증명 (수학)

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1. 개요

증명 (수학)은 어떤 명제의 진실성을 엄밀한 논증을 통해 청중에게 납득시키는 행위를 의미한다. 이는 라틴어 'probare'(시험하다)에서 유래되었으며, 역사적으로 엄밀성의 기준은 변화해 왔다. 증명은 형식 언어를 사용하여 작성되는 형식 증명과 자연어로 표현되는 증명으로 나뉘며, 공리적 방법, 대우법, 귀류법, 수학적 귀납법 등 다양한 방법이 존재한다. 수학 외 분야에서는 수학적 방법이나 데이터를 활용한 논증을 '증명'이라고 표현하기도 하며, 증명의 시작과 끝을 나타내는 표기법이 존재한다.

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증명 - 정리
정리는 논리학과 수학에서 공리를 바탕으로 증명된 참인 명제로서, "만약 A이면 B이다" 형태의 가정적 조건문으로 표현되며, 수학 외 다양한 분야에서도 사용되지만 수학에서의 엄밀한 증명과는 차이가 있다.
증명 - 수학적 귀납법
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정리는 논리학과 수학에서 공리를 바탕으로 증명된 참인 명제로서, "만약 A이면 B이다" 형태의 가정적 조건문으로 표현되며, 수학 외 다양한 분야에서도 사용되지만 수학에서의 엄밀한 증명과는 차이가 있다.
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증명 (수학)
개요
정의	수학적 명제의 진실성을 입증하는 논리적 논증
목적	명제가 참임을 의심의 여지 없이 확립
중요성	수학적 지식 체계의 기초를 형성
역사
기원	고대 그리스 시대
초기 증명	유클리드의 기하학 원론에서 찾아볼 수 있음
발전	수 세기에 걸쳐 다양한 수학 분야에서 발전
증명 방법
직접 증명	가정으로부터 결론을 직접 유도
간접 증명	귀류법: 결론을 부정하여 모순을 이끌어냄 반증법: 주어진 명제의 반례를 제시
수학적 귀납법	자연수에 대한 명제가 참임을 증명
구성적 증명	원하는 대상을 실제로 구성하여 존재성을 증명
비구성적 증명	원하는 대상의 존재성을 간접적으로 증명
증명의 구성 요소
공리	증명 없이 참으로 받아들여지는 기본적인 가정
정의	용어의 의미를 명확하게 규정
정리	이미 증명된 명제
추론 규칙	명제로부터 새로운 명제를 이끌어내는 규칙
증명의 엄밀성
중요성	증명의 타당성을 보장
요구 사항	모든 단계가 논리적으로 완벽해야 함
비형식적 증명	엄밀성을 다소 완화한 증명 (수학적 직관에 의존)
증명의 예시
피타고라스 정리	직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같음
페르마의 마지막 정리	3 이상의 자연수 n에 대해 x^n + y^n = z^n을 만족하는 자연수 해가 존재하지 않음
소수의 무한성	소수는 무한히 많이 존재함
증명의 응용
수학	새로운 정리의 발견 및 기존 정리의 확장
컴퓨터 과학	알고리즘의 정확성 및 효율성 검증
물리학	물리 법칙의 수학적 표현 및 예측
공학	시스템의 안정성 및 신뢰성 보장
참고
관련 개념	논리, 추론, 수학적 모델, 알고리즘, 계산 복잡도

2. 역사와 어원

"증명"이라는 단어는 라틴어 ''probare''(시험하다)에서 유래되었다. 관련된 현대 단어로는 영어의 "probe"(탐침), "probation"(집행유예), "probability"(확률), 스페인어의 ''probar''(냄새를 맡거나 맛을 보다, 또는 때로는 만져보거나 시험하다),^[5] 이탈리아어의 ''provare''(시도하다), 독일어의 ''probieren''(시도하다)가 있다. 법률 용어인 "probity"(성실성)는 평판이나 지위가 있는 사람이 제시할 때 사실을 증명하는 증언의 힘인 권위 또는 신뢰성을 의미한다.^[6]

그림과 유추와 같은 휴리스틱 장치를 사용한 타당성 주장은 엄격한 수학적 증명보다 앞섰다.^[25] 결론을 증명한다는 아이디어는 토지 측량의 실질적인 문제에서 시작된 기하학과 관련하여 처음으로 발생했을 가능성이 높다.^[7] 수학적 증명의 개발은 주로 고대 그리스 수학의 산물이며, 이는 가장 위대한 업적 중 하나이다.^[8] 탈레스(기원전 624–546년)와 키오스의 히포크라테스(기원전 470–410년경)는 기하학의 정리에 대한 최초의 증명 중 일부를 제시했다. 크니도스의 에우독소스(기원전 408–355년)와 테아이테토스 (수학자)(기원전 417–369년)는 정리를 공식화했지만 증명하지는 않았다. 아리스토텔레스(기원전 384–322년)는 정의가 이미 알려진 다른 개념을 사용하여 정의되는 개념을 설명해야 한다고 말했다.

수학적 증명은 오늘날에도 사용되는 공리적 방법을 도입한 유클리드(기원전 300년)에 의해 혁신을 겪었다. 이는 스스로 명백히 참이라고 가정되는(그리스어 "axios", 가치 있는 것에서 유래) 정의되지 않은 용어와 공리 (정의되지 않은 용어에 관한 명제)에서 시작된다. 이 기반에서 방법은 연역 논리를 사용하여 정리를 증명한다. 유클리드의 책, ''원론''은 20세기 중반까지 서구에서 교육을 받았다고 여겨지는 사람이라면 누구나 읽었다.^[9] 피타고라스 정리와 같은 기하학의 정리 외에도, ''원론''은 수론도 다루고 있으며, 제곱근 2가 무리수이고 소수가 무한히 많다는 증명을 포함한다.

추가적인 발전은 또한 중세 이슬람 수학에서도 이루어졌다. 서기 10세기에 이라크인 수학자 알 하쉬미는 "선"이라고 불리는 숫자로 작업했지만 반드시 기하학적 객체의 측량으로 간주되지는 않았으며, 곱셈, 나눗셈 등에 관한 대수적 명제를 증명하기 위해, 무리수의 존재를 포함하여 작업했다.^[10] 알 카라지는 ''알-파크리''(1000)에서 수학적 귀납법을 등차수열에 대해 도입했으며, 이를 사용하여 이항 정리와 파스칼의 삼각형의 속성을 증명했다.

현대 증명 이론은 증명을 공리가 어떤 의미에서 "참"이라는 가정을 필요로 하지 않는 귀납적으로 정의된 자료 구조로 취급한다. 이를 통해 공리적 집합론 및 비유클리드 기하학과 같이 대체 공리 집합을 기반으로 하는 주어진 직관적 개념의 형식적 모델로서 병렬 수학 이론을 허용한다.

3. 증명의 본질과 목적

증명은 자연어로 표현되는 엄밀한 논증이며, 어떤 명제의 진실성을 청중에게 납득시키는 것을 목표로 한다. 증명의 엄밀성 기준은 절대적인 것이 아니며, 시대와 문화, 그리고 대상에 따라 달라질 수 있다.^[11] 증명이 받아들여지려면 공동체의 엄밀성 기준을 충족해야 하며, 모호하거나 불완전하다고 여겨지는 논증은 거부될 수 있다.

수학적 논리 분야에서는 형식 증명의 개념이 도입되어 증명 이론 연구에 활용된다.^[11] 형식 증명은 형식 언어로 작성되며, 잘 짜여진 공식의 시퀀스로 구성된다. 각 공식은 가정에서 시작하여 이전 공식의 논리적 결과로 이어진다. 이러한 형식 증명의 정의는 증명의 개념을 연구하기 쉽게 만든다. 증명 이론 분야는 형식 증명과 그 속성을 연구하며, 거의 모든 공리적 시스템이 시스템 내에서 증명할 수 없는 특정 결정 불가능한 명제를 생성할 수 있다는 것이 가장 유명하고 놀라운 사실 중 하나이다.

형식 증명의 정의는 실제 수학에서 작성된 증명의 개념을 포착하기 위한 것이다. 출판된 증명이 원칙적으로 형식 증명으로 변환될 수 있다는 믿음이 이러한 정의의 건전성을 뒷받침한다. 그러나 자동화된 증명 보조자 분야 외에는 실제로는 거의 수행되지 않는다.

수학적 증명이 분석 명제인지 종합 명제인지에 대한 철학적 논쟁도 있다. 칸트는 분석-종합 구분을 도입하여 수학적 증명이 종합적이라고 믿었지만, 콰인은 1951년 그의 "경험주의의 두 가지 독단"에서 그러한 구분이 유지될 수 없다고 주장했다.^[12]

증명은 그 수학적 아름다움으로 존경받을 수 있다. 수학자 폴 에르되시는 특히 우아한 증명을, 각 정리를 증명하는 가장 아름다운 방법(들)을 담고 있는 가상의 서적인 "그 책"에서 나온 것이라고 묘사하는 것으로 알려졌다. 2003년에 출판된 책 ''THE BOOK에서의 증명''은 편집자들이 특히 만족스럽다고 생각하는 32개의 증명을 제시하는 데 전념하고 있다.

4. 증명의 방법

증명에는 다양한 방법이 있으며, 각 방법은 특정한 상황이나 목적에 적합하다. 다음은 증명의 대표적인 방법들이다.

대우법: 명제 P⇒Q를 증명하는 대신, 이것과 동치인 ￢Q⇒￢P를 증명한다 (￢는 부정).^[32]
귀류법: 명제 P를 증명하는 대신, ￢P가 거짓임을 증명한다. ￢P가 거짓임을 증명하려면 ￢P를 가정하고 모순을 이끌어내면 된다.^[33]
반례: 명제 "모든 x가 P(x)를 만족한다"가 거짓임을 보이기 위해, P(x)를 만족하지 않는 x를 하나 제시한다. ￢∀x, P(x) 와 ∃x, ￢P(x)가 동치임을 이용한다 (∀는 「모든」, ∃는 「존재한다」).^[34]
전환법: 모든 상황이 P, Q, R 중 하나로 분류될 수 있고, A, B, C가 독립이라고 가정할 때, "P⇒A", "Q⇒B", "R⇒C"가 증명되었다면, 그것들의 역 "A⇒P", "B⇒Q", "C⇒R"도 성립한다.
동일법: A ⇒ B가 성립하고, B를 만족하는 것이 단 하나라면, B ⇒ A가 성립한다.
디리클레 상자 넣기 논법 (비둘기집 원리): n+1개 이상의 공이 n개의 상자 중 하나에 들어 있다면, 적어도 1개의 상자에는 2개 이상의 공이 들어 있다.^[35]
수학적 귀납법: 자연수에 관한 명제 P(n)이 모든 n에 대해 성립함을 보이는 방법이다. 먼저 P(1)이 성립함을 보이고, P(n)이 성립하면 P(n+1)이 성립함을 보인다.^[36]

4. 1. 직접 증명

직접 증명은 공리, 정의, 이전의 정리들을 논리적으로 결합하여 결론을 도출하는 방법이다.^[13] 예를 들어, 직접 증명은 두 짝수 정수의 합이 항상 짝수임을 증명하는 데 사용할 수 있다.

두 짝수 정수 ''x''와 ''y''를 생각해 보자. 짝수이므로, 어떤 정수 ''a''와 ''b''에 대해 각각 ''x'' = 2''a''와 ''y'' = 2''b''로 쓸 수 있다. 그러면 합은 ''x'' + ''y'' = 2''a'' + 2''b'' = 2(''a''+''b'')이다. 따라서 ''x''+''y''는 2를 인수로 가지며, 정의에 따라 짝수이다. 그러므로 두 짝수 정수의 합은 짝수이다.

이 증명은 짝수 정수의 정의, 덧셈과 곱셈에 대한 닫힘의 정수 성질, 그리고 분배 법칙을 사용한다.

4. 2. 수학적 귀납법

이름과는 달리, 수학적 귀납법은 연역 추론의 방법이지 귀납 추론의 형태가 아니다. 수학적 귀납법에 의한 증명에서는 단일한 "기저 사례"를 증명하고, 임의의 사례가 다음 사례를 함의한다는 것을 확립하는 "귀납 규칙"을 증명한다. 원칙적으로 귀납 규칙은 (증명된 기저 사례에서 시작하여) 반복적으로 적용될 수 있으므로, 모든 (일반적으로 무한 집합인) 사례가 증명 가능하다.^[14] 이렇게 하면 각 경우를 개별적으로 증명할 필요가 없다. 수학적 귀납법의 변형으로는 무한 강하법에 의한 증명이 있으며, 이는 제곱근 2의 무리수임을 증명하는 데 사용될 수 있다.

수학적 귀납법의 일반적인 적용은 한 숫자에 대해 성립하는 것으로 알려진 속성이 모든 자연수에 대해 성립함을 증명하는 것이다:^[15]

'''N''' = {1, 2, 3, 4, ...}을 자연수의 집합이라고 하고, '''N'''에 속하는 자연수 ''n''을 포함하는 수학적 명제를 ''P''(''n'')이라고 하자.

'''(i)''' ''P''(1)은 참이다. 즉, ''n'' = 1에 대해 ''P''(''n'')은 참이다.
'''(ii)''' ''P''(''n'')이 참이면 ''P''(''n''+1)도 참이다. 즉, ''P''(''n'')이 참이면 ''P''(''n''+1)도 참이다.
'''그러면 모든 자연수 ''n''에 대해 ''P''(''n'')은 참이다.'''

예를 들어, 모든 형태의 양의 정수 2''n'' − 1이 홀수임을 귀납법으로 증명할 수 있다. ''P''(''n'')을 "2''n'' − 1은 홀수이다"로 나타내자.

:(i) ''n'' = 1에 대해, 2''n'' − 1 = 2(1) − 1 = 1이고, 1은 홀수이다. 이는 2로 나눌 때 나머지가 1이기 때문이다. 따라서 ''P''(1)은 참이다.

:(ii) 임의의 ''n''에 대해, 2''n'' − 1이 홀수이면 (''P''(''n'')), (2''n'' − 1) + 2도 홀수여야 한다. 홀수에 2를 더하면 홀수가 되기 때문이다. 하지만 (2''n'' − 1) + 2 = 2''n'' + 1 = 2(''n''+1) − 1, 따라서 2(''n''+1) − 1은 홀수이다 (''P''(''n''+1)). 따라서 ''P''(''n'')은 ''P''(''n''+1)을 함의한다.

:'''따라서''' 모든 양의 정수 ''n''에 대해 2''n'' − 1은 홀수이다.

"수학적 귀납법에 의한 증명" 대신 더 짧은 구절인 "귀납법에 의한 증명"이 종종 사용된다.^[16]

4. 3. 대우 증명

대우에 의한 증명은 "만약 ''p''이면 ''q''이다"라는 명제를, 논리적 동치인 대우 명제 "만약 ''not q''이면 ''not p''이다"를 증명함으로써 추론하는 방법이다.^[32]

예를 들어, 대우 증명은 정수

x

에 대해

x^2

이 짝수이면

x

가 짝수임을 증명하는 데 사용할 수 있다.

:

x

가 짝수가 아니라고 가정하자. 그러면

x

는 홀수이다. 두 홀수의 곱은 홀수이므로

x^2  = x\cdot x

는 홀수이다. 따라서

x^2

은 짝수가 아니다. 따라서

x^2

이 짝수''라면'' 가정은 거짓이어야 하므로

x

는 짝수여야 한다.

4. 4. 귀류법 (반증에 의한 증명)

귀류법(라틴어 표현 ''reductio ad absurdum''(반증을 통한 귀결)으로도 알려져 있음)은 어떤 명제가 참이라고 가정했을 때 논리적 모순이 발생하므로 해당 명제가 거짓임을 보이는 방법이다.

\sqrt{2}

가 무리수임을 증명하는 것이 유명한 예시이다.^[33]

:

\sqrt{2}

가 유리수라고 가정하자. 그렇다면

\sqrt{2} = {a\over b}

와 같이 기약분수로 나타낼 수 있으며, 여기서 ''a''와 ''b''는 공약수가 없는 0이 아닌 정수이다. 따라서

b\sqrt{2} = a

이다. 양변을 제곱하면 2''b''² = ''a''²이 된다. 좌변의 식은 2의 정수 배수이므로, 우변의 식도 정의상 2로 나누어 떨어진다. 즉, ''a''²는 짝수이며, 이는 ''a''도 짝수임을 의미한다. 따라서 ''a'' = 2''c''로 쓸 수 있으며, 여기서 ''c''도 정수이다. 원래 식에 대입하면 2''b''² = (2''c'')² = 4''c''²이 된다. 양변을 2로 나누면 ''b''² = 2''c''²이 된다. 그러나 이전과 동일한 논리로 2는 ''b''²를 나누므로, ''b''는 짝수여야 한다. 하지만 ''a''와 ''b''가 모두 짝수라면 2를 공통 인수로 갖게 된다. 이는 ''a''와 ''b''가 공약수를 갖지 않는다는 이전의 진술과 모순되므로,

\sqrt{2}

가 무리수라는 결론을 내려야 한다.

다시 말해, 만약

\sqrt{2}

를 분수로 나타낼 수 있다면, 이 분수는 절대로 기약분수로 나타낼 수 없을 것이다. 왜냐하면 2는 항상 분자와 분모에서 인수로 묶여 나올 수 있기 때문이다.

소수가 무한히 존재한다는 명제는 다음과 같이 증명할 수 있다.

: 소수의 개수가 유한하다고 가정한다. 모든 소수를 곱한 수에 1을 더한 수는 어떤 소수로 나누어도 1이 남고, 나누어 떨어지지 않는다. 즉, 그 자체가 소수이거나, 여기서 가정한 가장 큰 소수보다 큰 소수로만 나누어 떨어진다는 의미이다. 어느 경우든 모든 소수 외에 소수가 존재하게 되어 가정과 모순된다. 따라서 가정은 틀렸고, 소수는 무한히 존재함이 증명되었다.

4. 5. 구성 증명

구성 증명은 어떤 속성을 가진 구체적인 예시를 구성하여 해당 속성을 가진 무언가가 존재함을 보여주는 방법이다. 예를 들어, 조제프 리우빌은 초월수의 존재를 명시적인 예시를 구성하여 증명했다. 또한 모든 원소가 특정 속성을 갖는다는 명제를 반증하기 위한 반례를 구성하는 데에도 사용될 수 있다.^[32]

4. 6. 완전 검사 증명

완전 검사 증명은 결론을 유한 개의 경우로 나누어 각각을 개별적으로 증명함으로써 결론을 확립하는 방법이다. 경우의 수는 때때로 매우 커질 수 있다. 예를 들어, 사색 정리의 첫 번째 증명은 1,936개의 경우를 가진 완전 검사 증명이었다. 이 증명은 대부분의 경우가 손으로 확인된 것이 아니라 컴퓨터 프로그램에 의해 확인되었기 때문에 논란의 여지가 있었다.^[17]

4. 7. 닫힌 사슬 추론

닫힌 사슬 추론은 일련의 명제들이 쌍별로 동치임을 보여주는 방법이다.

명제

\varphi_1,\ldots,\varphi_n

이 각각 쌍별로 동치임을 증명하기 위해,

\varphi_1\Rightarrow\varphi_2

,

\varphi_2\Rightarrow\varphi_3

,

\dots

,

\varphi_{n-1}\Rightarrow\varphi_n

및

\varphi_{n}\Rightarrow\varphi_1

의 함의에 대한 증명이 제공된다.^[18]^[19]

명제들의 쌍별 동치는 추이성에서 비롯된다.

4. 8. 확률적 증명

확률적 증명은 확률론의 방법을 사용하여 예시가 확실하게 존재함을 보이는 증명 방법이다. 확률적 증명은 구성에 의한 증명과 마찬가지로 다양한 존재 정리를 증명하는 방법 중 하나이다.

확률적 방법에서는 주어진 속성을 가진 객체를 찾기 위해, 후보 집합에서 시작한다. 각 후보가 선택될 특정 확률을 할당한 다음, 선택된 후보가 원하는 속성을 가질 확률이 0이 아님을 증명한다. 이는 어떤 후보가 해당 속성을 가지는지는 명시하지 않지만, 적어도 하나는 있어야 확률이 양수가 될 수 있다.

확률적 증명은 '아마도' 참이라는 주장, 즉 '그럴듯한 주장'과 혼동해서는 안 된다. 콜라츠 추측에 대한 연구는 그럴듯함이 실제 증명과 얼마나 거리가 먼지를 보여주며, 이는 메르텐스 추측의 반증에서도 마찬가지이다. 대부분의 수학자들은 주어진 객체의 속성에 대한 확률적 증거가 진정한 수학적 증명으로 간주되지 않는다고 생각하지만, 몇몇 수학자와 철학자들은 적어도 일부 유형의 확률적 증거 (예: 소수 판별법을 위한 라빈의 확률적 알고리즘)가 진정한 수학적 증명만큼이나 유용하다고 주장한다.^[20]^[21]

4. 9. 조합적 증명

조합적 증명은 서로 다른 표현이 동일한 대상을 다른 방식으로 세고 있음을 보여줌으로써 그 동등성을 확립하는 방법이다. 종종 두 집합 사이의 전단사 함수를 통해 두 집합의 크기가 같음을 보이거나, 이중 계수 논법을 통해 단일 집합의 크기에 대한 두 가지 다른 표현이 같음을 보인다.

4. 10. 비구성적 증명

비구성적 증명은 특정 속성을 가진 수학적 대상이 존재함을 증명하지만, 그러한 대상을 어떻게 찾을 수 있는지 설명하지는 않는다. 종종 이는 대상의 부존재가 불가능하다는 귀류법의 형태로 나타난다. 이와 대조적으로, 구성적 증명은 대상을 찾는 방법을 제공하여 특정 대상이 존재함을 증명한다. 다음은 비구성적 증명의 유명한 예시로,

a^b

가 유리수가 되는 두 개의 무리수 ''a''와 ''b''가 존재함을 보여준다. 이 증명은

\sqrt{2}

가 무리수라는 사실을 사용하지만 (유클리드 이후로 쉬운 증명이 알려져 있다),

\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

가 무리수라는 사실은 사용하지 않는다(이는 사실이지만, 증명은 초등적이지 않다).

:

\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

가 유리수이면 완료된다(

a=b=\sqrt{2}

로 놓는다). 그렇지 않고

\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

가 무리수이면

a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

및

b=\sqrt{2}

로 쓸 수 있다. 그러면

\left (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right )^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2

가 되며, 이는

a^b.

형태의 유리수이다.

4. 11. 기타 증명 방법 (일본어 문서 참고)

; 대우법: 명제 P⇒Q를 증명하는 대신, 이것과 동치인 ￢Q⇒￢P를 증명하는 방법(￢는 부정).^[32]

; 귀류법: 명제 P를 증명하는 대신, ￢P가 거짓임을 증명하는 방법(￢P가 거짓임을 증명하려면 ￢P를 가정하고 모순을 이끌어내면 된다).^[33]

; 반례: 명제 "모든 x가 P(x)를 만족한다"가 거짓임을 나타내기 위해서는, P(x)를 만족하지 않는 x를 하나 제시하면 된다. ￢∀x, P(x) 와 ∃x, ￢P(x)가 동치임을 이용한다(∀는 「모든」, ∃는 「존재한다」).^[34]

; 전환법: 모든 상황이 P, Q, R 중 하나로 분류될 수 있고, A, B, C가 독립이라고 가정한다. "P⇒A", "Q⇒B", "R⇒C"가 증명되었다면, 그것들의 역 "A⇒P", "B⇒Q", "C⇒R"도 성립한다.

; 동일법: A ⇒ B가 성립하고, B를 만족하는 것이 단 하나라면, B ⇒ A가 성립한다.

; 디리클레 상자 넣기 논법 (비둘기집 원리): n+1개 이상의 공 각각이 n개의 상자 중 하나에 들어 있다고 하자. 이때, 적어도 1개의 상자에는 2개 이상의 공이 들어 있다.^[35]

; 수학적 귀납법: 자연수에 관한 명제 P(n)이 모든 n에 대해 성립함을 보이는 논법. 먼저 P(1)이 성립함을 보이고, 다음으로 P(n)이 성립하면 P(n+1)이 성립함을 보인다.^[36]

5. 결정 불가능한 명제

어떤 공리 집합에서 증명도 반증도 불가능한 명제를 (해당 공리들로부터) 결정 불가능하다고 한다. 한 예로 평행선 공준이 있는데, 이는 유클리드 기하학의 나머지 공리들로부터 증명도 반증도 불가능하다.

수학자들은 수학의 표준적인 집합론 체계인 선택 공리를 포함하는 체르멜로-프렝켈 집합론 (ZFC)에서 (ZFC가 일관적이라고 가정할 때) 증명도 반증도 불가능한 많은 명제가 존재한다는 것을 보였다. ZFC에서 결정 불가능한 명제 목록을 참조하라.

괴델의 불완전성 정리(제1 불완전성 정리)는 수학적으로 유용한 많은 공리 체계가 결정 불가능한 명제를 가질 것임을 보여준다.

6. 증명과 관련된 개념

실험 수학은 컴퓨터를 이용하여 수학적 대상을 연구하고 가설을 세우는 분야이다. 이렇게 세워진 가설은 증명을 통해 검증될 수 있다.^[27] 초기에는 증명-정리 틀을 벗어나 연구가 진행되었지만, 프랙탈 기하학의 초기 개발과 같이 결국 고전적인 증명-정리 틀로 해결되는 경우가 많았다.^[28]

수학적 정리의 시각적 시연은 때때로 "말 없는 증명"이라고 불린다. 예를 들어, 위 그림들은 (3,4,5) 삼각형의 경우에 대한 피타고라스 정리의 역사적인 시각적 증명이다. 하지만, 미싱 스퀘어 퍼즐과 같이 환각적인 시각적 증명은 작은 오류를 무시함으로써 수학적 사실을 증명하는 것처럼 보일 수 있으므로 주의해야 한다.

초등 증명은 기본적인 기법만 사용하는 증명이다. 수론에서는 복소해석학을 사용하지 않는 증명을 지칭하는 데 사용된다. 소수 정리와 같은 특정 정리는 한때 "고등" 수학을 사용해야만 증명할 수 있다고 생각되었지만, 시간이 지나면서 초등 기법만으로 다시 증명되기도 했다.

이중 열 증명은 증명을 두 개의 열로 구성하는 방식이다. 미국 초등 기하학 수업에서 수학 연습으로 자주 사용된다.^[29] 왼쪽 열에는 명제가, 오른쪽 열에는 해당 명제가 공리, 가설이거나 이전 명제에서 논리적으로 파생될 수 있는 방법에 대한 간략한 설명이 포함된다. 왼쪽 열은 "진술", 오른쪽 열은 "이유"라고 표시된다.^[30]

"통계적 증명"은 암호학, 혼돈 시계열, 확률론적 수론 또는 해석적 수론과 같이 순수 수학 분야에서 기술적 또는 통속적으로 사용될 수 있다.^[22]^[23]^[24]

데이터로부터의 "통계적 증명"은 통계학, 데이터 분석, 또는 베이즈 분석을 적용하여 데이터의 확률에 관한 명제를 추론하는 것을 의미한다. 이는 수학적 증명이 아니며, 확률적 진술이 도출되는 ''가정''은 수학 외부의 경험적 증거를 통해 검증해야 한다. 물리학에서 "통계적 증명"은 입자 물리학 실험이나 물리 우주론의 관측 연구에서 데이터를 분석하기 위해 적용되는 특수한 ''물리학의 수학적 방법''을 지칭할 수 있다.

귀납 논리를 사용한 증명은 일정한 정도의 확실성을 가진 명제를 확립하려는 시도를 하며, 이는 확률과 유사하게 작용하며 완전한 확실성보다 낮을 수 있다. 수학적 귀납법과는 다르다.

베이즈 분석은 새로운 증거 또는 정보를 얻을 때 가설의 가능성 평가를 업데이트하기 위해 베이즈 정리를 사용한다.

심리주의는 수학적 증명을 심리적 또는 정신적 객체로 간주한다. 라이프니츠, 프레게, 카르납과 같은 수학 철학자들은 이러한 관점을 비판하고, 사고의 언어에 대한 의미론을 개발하여 수학적 증명의 기준이 경험 과학에 적용될 수 있도록 시도했다.

7. 증명의 표기법 및 관습

증명의 시작과 끝을 명확하게 표시하는 것이 일반적이다. 증명의 시작은 "proof", "prf.", "pf.", "［증명］", "【증】", "∵" 등을 사용한다. 증명의 끝은 Q.E.D., "／증명 끝", "［증명 종］", "【증명종】", "（끝）", □, ■, "∥" 등을 사용한다.

각 줄에 하나의 내용을 담고, 윗줄에서 아랫줄로 논증을 전개하며, 이유나 사용된 정리를 괄호로 묶어 덧붙이는 경우가 많다.

8. 수학 외 분야에서의 증명

스피노자와 같은 철학자들은 철학적 주장을 공리적인 방식으로 공식화하여, 수학적 증명 기준을 일반 철학 논증에도 적용하려 했다.^[1] 다른 수학자 겸 철학자들은 수학적 증명과 추론의 기준을 사용하여 데카르트의 '나는 생각한다, 고로 존재한다'와 같은 명제에 도달하려 시도했으나, 수학적 증명에서 도출된 명제가 갖는 확실성을 확보하지는 못했다.^[1]

참조

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_[2] 서적 The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition
_[3] 서적 The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs Academic Press
_[4] 서적 Discrete Mathematics with Proof John Wiley & Sons 2009-07
_[5] 문서 proof New Shorter Oxford English Dictionary 1993
_[6] 서적 The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference Cambridge University Press
_[7] 서적 The development of logic Oxford University Press 1985-05
_[8] 웹사이트 The genesis of proof in ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading https://hal.archives[...] 2015-02
_[9] 서적 An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) Brooks/Cole 1990-01
_[10] 간행물 The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics
_[11] 간행물 Handbook of Proof Theory Elsevier
_[12] 웹사이트 Two Dogmas of Empiricism https://www.theologi[...] 1961
_[13] 문서 Cupillari, p. 20
_[14] 문서 Cupillari, p. 46
_[15] 웹사이트 Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers http://zimmer.csufre[...]
_[16] 웹사이트 Proof by induction http://www.warwick.a[...]
_[17] 문서 See [[Four color theorem#Simplification and verification]]
_[18] 서적 Mathematik für das Bachelorstudium I: Grundlagen und Grundzüge der linearen Algebra und Analysis https://books.google[...] Springer-Verlag 2019-02-11
_[19] 서적 Mathematik für Informatiker: Grundlagen und Anwendungen https://books.google[...] Springer-Verlag 2016-10-20
_[20] 간행물 Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two? 1972
_[21] 간행물 The Epistemic Status of Probabilistic Proof. 1997
_[22] 웹사이트 "in number theory and commutative algebra... in particular the statistical proof of the lemma." https://www.jstor.or[...]
_[23] 웹사이트 "Whether constant π (i.e., pi) is normal is a confusing problem without any strict theoretical demonstration except for some ''statistical'' proof"" (Derogatory use.)" https://doi.org/10.1[...]
_[24] 웹사이트 "these observations suggest a statistical proof of Goldbach's conjecture with very quickly vanishing probability of failure for large E" http://people.web.ps[...]
_[25] 웹사이트 The History and Concept of Mathematical Proof http://www.math.wust[...] 2007-02-05
_[26] 서적 Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein Cambridge University Press
_[27] 웹사이트 A Note on the History of Fractals https://home.att.net[...]
_[28] 서적 Introducing Fractal Geometry https://archive.org/[...] Icon Books
_[29] 간행물 Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century https://deepblue.lib[...]
_[30] 웹사이트 Introduction to the Two-Column Proof https://www.onemathe[...] 2009-10-15
_[31] 서적 The Thirteen Books of Euclid's Elements
_[32] 웹사이트 https://manabitimes.[...]
_[33] 웹사이트 https://manabitimes.[...]
_[34] 웹사이트 https://www.try-it.j[...]
_[35] 웹사이트 https://manabitimes.[...]
_[36] 웹사이트 https://www.nli-rese[...]

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