순환수

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1. 개요
2. 순환수의 정의 및 예시
- 2.1. 십진법에서의 순환수
- 2.2. 다른 진법에서의 순환수
3. 순환수의 수학적 성질
4. 순환수의 생성
5. 순환수의 활용 및 확장
- 5.1. 유사 순환수
참조

1. 개요

순환수는 연속된 배수가 순환 순열인 수로 정의되며, 142857과 같은 수가 대표적이다. 십진법에서 142857은 1/7의 순환소수 표현과 관련 있으며, 다른 진법에서도 순환수를 찾을 수 있다. 순환수는 미디의 정리와 페르마 몫과 연관되며, 단위 분수의 분모가 소수일 때 순환수가 생성된다. 순환수는 암호학, 난수 생성 등에 활용될 수 있으며, 142857과 유사한 성질을 보이는 유사 순환수도 존재한다.

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순환수
개요
다른 이름	순환정수 회귀수
정의
설명	어떤 정수의 배수들이 그 수의 자릿수들을 순환시켜서 만들어지는 수
예시	142857 × 1 = 142857
추가 예시	142857 × 2 = 285714
추가 예시	142857 × 3 = 428571
추가 예시	142857 × 4 = 571428
추가 예시	142857 × 5 = 714285
추가 예시	142857 × 6 = 857142
예시 (1/n)
1/7	0.142857... (순환소수)
1/17	0.0588235294117647... (순환소수)
1/19	0.052631578947368421... (순환소수)
1/23	0.0434782608695652173913... (순환소수)

2. 순환수의 정의 및 예시

순환수는 특정 진법에서 그 수에 1부터 특정 숫자까지를 곱했을 때, 원래 숫자의 순서가 순환적으로 바뀌는 특이한 수이다. 예를 들어 십진법에서 142857에 1, 2, 3, 4, 5, 6을 곱하면 각 결과는 원래 숫자 142857의 배열은 유지되면서 자리만 순환적으로 바뀐다.

순환수는 순환 소수와 관련이 깊다. 순환수는 어떤 소수 ''p''에 대해 1/''p''를 소수로 나타냈을 때, 소수점 아래 숫자가 ''p''-1자리마다 반복되는 경우에 나타난다. 예를 들어 1/7 = 0.142857142857... 이므로 142857은 순환수가 된다.

하지만, 모든 순환 순열이 배수라고 해서 순환수가 되는 것은 아니다. 예를 들어 076923은 순환 순열이지만, 연속된 정수의 배수가 아니므로 순환수가 아니다.^[1]

일반적으로 순환수에서 다음과 같은 경우는 제외한다.^[1]

단일 숫자 (예: 5)
반복되는 숫자 (예: 555)
반복되는 순환 숫자 (예: 142857142857)

2. 1. 십진법에서의 순환수

순환수가 되려면 연속된 배수가 순환 순열이어야 한다. 076923은 모든 순환 순열이 배수이기는 하지만, 연속된 정수 배수는 아니기 때문에 순환수로 간주되지 않는다.

:076923 × 1 = 076923

:076923 × 3 = 230769

:076923 × 4 = 307692

:076923 × 9 = 692307

:076923 × 10 = 769230

:076923 × 12 = 923076

일반적으로 다음과 같은 경우는 순환수에서 제외된다.

# 단일 숫자 (예: 5)

# 반복되는 숫자 (예: 555)

# 반복되는 순환 숫자 (예: 142857142857)

숫자에 선행 0을 허용하지 않으면, 십진법에서 142857이 유일한 순환수이다. 선행 0을 허용하면, 순환 수열은 다음과 같다.

식	값 (자리수)
(10⁶ − 1) / 7	142857 (6 자리수)
(10¹⁶ − 1) / 17	0588235294117647 (16 자리수)
(10¹⁸ − 1) / 19	052631578947368421 (18 자리수)
(10²² − 1) / 23	0434782608695652173913 (22 자리수)
(10²⁸ − 1) / 29	0344827586206896551724137931 (28 자리수)
(10⁴⁶ − 1) / 47	0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 자리수)
(10⁵⁸ − 1) / 59	0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 자리수)
(10⁶⁰ − 1) / 61	016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 자리수)
(10⁹⁶ − 1) / 97	010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 (96 자리수)

142857은 대표적인 순환수의 예시이다.

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

또한, 142857 × 7 = 999999이며, 이는 142857이

\frac{10^6-1}{7}

로 표현될 수 있음을 보여준다.

142857은 1 ÷ 7 = 0.142857142857...과 같이 순환소수가 되는 것과 관련이 있다. (0.142857142857... × 7 = 0.999... = 1)

그 외에 588235294117647, 52631578947368421, 434782608695652173913 등도 순환수이다.

2. 2. 다른 진법에서의 순환수

순환수는 특정 진법에서 연속된 배수가 순환 순열을 이루는 특수한 수이다. 076923과 같이 연속된 정수 배수가 아닌 경우는 순환수로 간주하지 않는다.

일반적으로 다음의 경우는 순환수에서 제외한다.

단일 숫자 (예: 5)
반복되는 숫자 (예: 555)
반복되는 순환 숫자 (예: 142857142857)

선행 0을 허용하지 않으면, 십진법에서 142857이 유일한 순환수이다. 선행 0을 허용하면 다양한 순환수를 찾을 수 있다.

다른 진법에서도 순환수를 찾을 수 있으며, 각 진법에서 순환수의 주기의 절반에 걸쳐 있는 숫자들의 합은 밑수에서 1을 뺀 값과 같다. 예를 들어, 이진법에서는 주기의 절반에 걸쳐 있는 비트들의 합은 1이고, 삼진법에서는 2이다.

다음은 다양한 진법에서의 순환수 예시이다.

진법	순환수	설명
이진법	01	11 (3)
	0011	101 (5)
	0001011101	1011 (11)
	000100111011	1101 (13)
	000011010111100101	10011 (19)
	0000100011010011110111001011	11101 (29)
삼진법	1	2 (2)
	0121	12 (5)
	010212	21 (7)
	0011202122110201	122 (17)
	001102100221120122	201 (19)
오진법	2	2 (2)
	13	3 (3)
	032412	12 (7)
	0121340243231042	32 (17)
	0102041332143424031123	43 (23)
	003142122040113342441302322404331102	122 (37)
육진법	0313452421	15 (11)
	024340531215	21 (13)
	0204122453514331	25 (17)
	0051335412440330234455042201431152253211	105 (41)
	0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541	135 (59)
	003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335	141 (61)
7진법	3	2 (2)
	1254	5 (5)
	0431162355	14 (11)
	035245631421	16 (13)
	0261143464055232	23 (17)
	0206251134364604155323	32 (23)
팔진법	25	3 (3)
	1463	5 (5)
	0564272135	13 (11)
	0215173454106475626043236713	35 (29)
	0115220717545336140465103476625570602324416373126743	65 (53)
	0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415	73 (59)
구진법	4	2 (2)
11진법	5	2 (2)
	37	3 (3)
	093425A17685	12 (13)
	07132651A3978459	16 (17)
	05296243390A581486771A	21 (23)
	04199534608387A69115764A2723	27 (29)
십이진법	2497	5 (5)
	186A35	7 (7)
	08579214B36429A7	15 (17)
	0478AA093598166B74311B28623A55	27 (31)
	036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207	35 (41)
	0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765	37 (43)

제곱수인 밑수(4, 9, 16, 25 등)에서는 2자리 이상의 순환수가 존재하지 않는다.

3. 순환수의 수학적 성질

순환수가 되려면 연속된 배수가 순환 순열이어야 한다. 예를 들어 076923은 순환수로 간주되지 않는데, 모든 순환 순열이 배수이기는 하지만, 연속된 정수 배수는 아니기 때문이다.

:076923 × 1 = 076923

:076923 × 3 = 230769

:076923 × 4 = 307692

:076923 × 9 = 692307

:076923 × 10 = 769230

:076923 × 12 = 923076

일반적으로 다음과 같은 경우는 순환수에서 제외된다.

단일 숫자 (예: 5)
반복되는 숫자 (예: 555)
반복되는 순환 숫자 (예: 142857142857)

숫자에 선행 0을 허용하지 않으면, 십진법에서 142857이 유일한 순환수이다. 선행 0을 허용하면, 순환 수열은 다음과 같이 시작한다.

:(10⁶ − 1) / '''7''' = 142857 (6 자리수)

:(10¹⁶ − 1) / '''17''' = 0588235294117647 (16 자리수)

:(10¹⁸ − 1) / '''19''' = 052631578947368421 (18 자리수)

:(10²² − 1) / '''23''' = 0434782608695652173913 (22 자리수)

:(10²⁸ − 1) / '''29''' = 0344827586206896551724137931 (28 자리수)

:(10⁴⁶ − 1) / '''47''' = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 자리수)

:(10⁵⁸ − 1) / '''59''' = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 자리수)

:(10⁶⁰ − 1) / '''61''' = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 자리수)

:(10⁹⁶ − 1) / '''97''' = 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 (96 자리수)

순환수의 성질은 다음과 같다.

생성 소수와 곱하면, 결과는 ''b'' − 1 자리의 숫자 열이 된다. 여기서 ''b''는 기수이다(예: 10진법에서 10). 예를 들어, 10진법에서 142857 × 7 = 999999이다.
모든 순환수는 기수 ''b'' − 1로 나누어 떨어지며 여기서 ''b''는 기수(예: 10진법에서 9)이고, 나머지의 합은 제수의 배수이다.
순환수는 미디의 정리의 특별한 경우로, 같은 길이의 그룹으로 나누어 더하면 9가 반복되는 수가 된다. 예를 들어 14 + 28 + 57 = 99이고, 142 + 857 = 999, 1428 + 5714 + 2857 = 9999이다.

다른 진법에서 순환수를 찾을 수 있다. 각 경우에 주기의 절반에 걸쳐 있는 숫자들의 합은 밑수에서 1을 뺀 값이다. 따라서 이진법의 경우 주기의 절반에 걸쳐 있는 비트들의 합은 1이고, 삼진법의 경우 2 등이다.

이진법에서 순환수의 수열은 다음과 같이 시작된다.

:11 (3) → 01

:101 (5) → 0011

:1011 (11) → 0001011101

:1101 (13) → 000100111011

:10011 (19) → 000011010111100101

:11101 (29) → 0000100011010011110111001011

삼진법에서 순환수의 수열은 다음과 같이 시작된다.

:2 (2) → 1

:12 (5) → 0121

:21 (7) → 010212

:122 (17) → 0011202122110201

:201 (19) → 001102100221120122

사진법에서는 순환수가 없다.

오진법에서 순환수의 수열은 다음과 같이 시작된다.

:2 (2) → 2

:3 (3) → 13

:12 (7) → 032412

:32 (17) → 0121340243231042

:43 (23) → 0102041332143424031123

:122 (37) → 003142122040113342441302322404331102

육진법에서 순환수의 수열은 다음과 같이 시작된다.

:15 (11) → 0313452421

:21 (13) → 024340531215

:25 (17) → 0204122453514331

:105 (41) → 0051335412440330234455042201431152253211

:135 (59) → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541

:141 (61) → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335

7을 밑수로 하는 경우 순환수의 수열은 다음과 같이 시작된다.

:2 (2) → 3

:5 (5) → 1254

:14 (11) → 0431162355

:16 (13) → 035245631421

:23 (17) → 0261143464055232

:32 (23) → 0206251134364604155323

팔진법에서 순환수의 수열은 다음과 같이 시작된다.

:3 (3) → 25

:5 (5) → 1463

:13 (11) → 0564272135

:35 (29) → 0215173454106475626043236713

:65 (53) → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743

:73 (59) → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415

구진법에서 유일한 순환수는 다음과 같다.

:2 (2) → 4

11을 밑수로 하는 경우 순환수의 수열은 다음과 같이 시작된다.

:2 (2) → 5

:3 (3) → 37

:12 (13) → 093425A17685

:16 (17) → 07132651A3978459

:21 (23) → 05296243390A581486771A

:27 (29) → 04199534608387A69115764A2723

십이진법에서 순환수의 수열은 다음과 같이 시작된다.

:5 (5) → 2497

:7 (7) → 186A35

:15 (17) → 08579214B36429A7

:27 (31) → 0478AA093598166B74311B28623A55

:35 (41) → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207

:37 (43) → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765

제곱수인 모든 숫자 밑수(4, 9, 16, 25 등)에서는 (단일 숫자인 ''p'' = 2를 제외하고) 순환수가 존재하지 않는다.

일반적으로 모든 순환수는 어떤 단위 분수를 소수로 나타냈을 때의 순환 마디가 된다. (단, 순환 마디의 처음에 0이 있는 경우는 적절히 정한다.)

순환수의 근원이 되는 단위 분수의 분모는 반드시 소수이다. 하지만 그 역은 성립하지 않는다. 어떤 자리 미만의 9의 열이 로 나누어 떨어질 때, 소수 에서는 순환수를 얻을 수 없다.

:(예) 13은 소수이지만 에서는 순환수를 얻을 수 없다. 이것은 999999 ÷ 13 = 76923으로 나누어 떨어짐으로써 판정할 수 있다.

3. 1. 단위 분수와의 관계

순환수는 순환 소수의 단위 분수의 반복되는 숫자 표현과 관련이 있다. 길이 ''L''의 순환수는 1/(''L'' + 1)의 숫자 표현이다. 반대로, 1/''p'' (여기서 ''p''는 소수)의 숫자 주기가 ''p'' − 1이면, 그 숫자는 순환수를 나타낸다.^[1]

예를 들어, 1/7 = 0.142857 142857... 이다. 이러한 분수의 배수는 순환적인 순열을 나타낸다.

:1/7 = 0.142857 142857...

:2/7 = 0.285714 285714...

:3/7 = 0.428571 428571...

:4/7 = 0.571428 571428...

:5/7 = 0.714285 714285...

:6/7 = 0.857142 857142...

단위 분수와의 관계로부터 순환수는 다음과 같은 페르마 몫의 형태를 가진다는 것을 알 수 있다.

:

\frac{b^{p-1}-1}{p}

여기서 ''b''는 기수 (10은 십진법), ''p''는 ''b''를 나누어 떨어뜨리지 않는 소수이다. 기수 ''b''에서 순환수를 제공하는 소수 ''p''는 기수 ''b''에서 완전 순환 소수 또는 긴 소수라고 불린다.^[1]

예를 들어, ''b'' = 10, ''p'' = 7인 경우 순환수 142857을 생성하고, ''b'' = 12, ''p'' = 5인 경우 순환수 2497을 생성한다.

이 공식으로 모든 ''p'' 값이 순환수를 생성하는 것은 아니다. 예를 들어, ''b'' = 10, ''p'' = 13인 경우 076923076923을 생성한다. 이러한 실패 사례는 항상 숫자의 반복을 포함한다(여러 번일 수도 있음).^[1]

소수 ''p''의 역수 1/''p''의 순환 마디가 순환수가 되기 위해서는, 그 순환 마디가 ''p''-1 자리일 필요충분조건이다. 그러한 소수는 작은 것부터 순서대로 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109 등이다. ()^[2]

3. 2. 페르마 몫과의 관계

순환수는 단위 분수와의 관계로부터 다음과 같은 페르마 몫의 형태를 가진다는 것을 알 수 있다.

:

\frac{b^{p-1}-1}{p}

여기서 ''b''는 기수(10은 십진법)이고, ''p''는 ''b''를 나누어 떨어뜨리지 않는 소수이다. 기수 ''b''에서 순환수를 제공하는 소수 ''p''는 기수 ''b''에서 완전 순환 소수 또는 긴 소수라고 불린다.

예를 들어, ''b'' = 10, ''p'' = 7인 경우 순환수 142857을 생성하고, ''b'' = 12, ''p'' = 5인 경우 순환수 2497을 생성한다.

이 공식으로 모든 ''p'' 값이 순환수를 생성하는 것은 아니다. 예를 들어, ''b'' = 10, ''p'' = 13인 경우 076923076923을 생성하고, ''b'' = 12, ''p'' = 19인 경우 076B45076B45076B45를 생성한다. 이러한 실패 사례는 항상 숫자의 반복을 포함한다(여러 번일 수도 있음).

이 공식이 십진법(''b'' = 10)에서 순환수를 생성하는 첫 번째 ''p'' 값, 십이진법(''b'' = 12)에서의 ''p'' 값, 이진법(''b'' = 2)에서의 ''p''값, 삼진법(''b'' = 3)에서의 ''p''값은 다음과 같다.^[2]

기수(b)	p 값
십진법 (b=10)	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ...
십이진법 (b=12)	5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, ...
이진법 (b=2)	3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ...
삼진법 (b=3)	2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, ...

16진법 시스템에는 그러한 ''p''가 없다.

이 수열의 알려진 패턴은 대수적 수론에서 비롯되며, 특히 이 수열은 ''b''가 원시근 모듈로 ''p''인 소수 ''p''의 집합이다. 에밀 아르틴의 원시근 추측^[1]에 따르면 이 수열은 소수의 37.395..%를 포함한다.

3. 3. 미디의 정리

순환수는 미디의 정리의 특별한 경우로, 같은 길이의 그룹으로 나누어 더하면 9가 반복되는 수가 된다. 예를 들어 14 + 28 + 57 = 99이고, 142 + 857 = 999, 1428 + 5714 + 2857 = 9999이다.

4. 순환수의 생성

순환수가 되려면 연속된 배수가 순환 순열이어야 한다. 076923은 연속된 정수 배수가 아니므로 순환수가 아니다.

076923 × 1 = 076923

076923 × 3 = 230769

076923 × 4 = 307692

076923 × 9 = 692307

076923 × 10 = 769230

076923 × 12 = 923076

일반적으로 다음과 같은 경우는 순환수에서 제외된다.

단일 숫자 (예: 5)
반복되는 숫자 (예: 555)
반복되는 순환 숫자 (예: 142857142857)

숫자에 선행 0을 허용하지 않으면, 십진법에서 142857이 유일한 순환수이다. 선행 0을 허용하면, 순환 수열은 다음과 같다.

식	결과	자릿수
(10⁶ − 1) / 7	142857	6자리수
(10¹⁶ − 1) / 17	0588235294117647	16자리수
(10¹⁸ − 1) / 19	052631578947368421	18자리수
(10²² − 1) / 23	0434782608695652173913	22자리수
(10²⁸ − 1) / 29	0344827586206896551724137931	28자리수
(10⁴⁶ − 1) / 47	0212765957446808510638297872340425531914893617	46자리수
(10⁵⁸ − 1) / 59	0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661	58자리수
(10⁶⁰ − 1) / 61	016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459	60자리수
(10⁹⁶ − 1) / 97	010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567	96자리수

순환수는 순환 소수의 단위 분수의 반복되는 숫자 표현과 관련이 있다. 길이 ''L''의 순환수는 1/(''L'' + 1)의 숫자 표현이다. 반대로, 1/''p'' (여기서 ''p''는 소수)의 숫자 주기가 ''p'' − 1이면, 그 숫자는 순환수를 나타낸다.

예를 들어, 1/7 = 0.142857142857... 이다.

이러한 분수의 배수는 순환적인 순열을 나타낸다.

1/7 = 0.142857 142857...

2/7 = 0.285714 285714...

3/7 = 0.428571 428571...

4/7 = 0.571428 571428...

5/7 = 0.714285 714285...

6/7 = 0.857142 857142...

순환수는 다음 알고리즘으로 구성할 수 있다.

# ''b''를 기수(십진법의 경우 10)로 한다.

# ''p''를 ''b''를 나누지 않는 소수로 한다.

# ''t'' = 0으로 한다.

# ''r'' = 1로 한다.

# ''n'' = 0으로 한다.

# 반복:

#:: ''t'' = ''t'' + 1으로 한다.

#:: ''x'' = ''r'' ⋅ ''b''로 한다.

#:: ''d'' = int(''x'' / ''p'')로 한다.

#:: ''r'' = ''x'' mod ''p''로 한다.

#:: ''n'' = ''n'' ⋅ ''b'' + ''d''로 한다.

#:: 만약 ''r'' ≠ 1이면 루프를 반복한다.

# 만약 ''t'' = ''p'' − 1이면 ''n''은 순환수이다.

이 절차는 기수 ''b''에서 1/''p''의 자릿수를 나눗셈으로 계산하여 작동한다. ''r''은 각 단계에서 나머지이고, ''d''는 생성된 숫자이다.

''n'' = ''n'' ⋅ ''b'' + ''d'' 단계는 자릿수를 모으는 역할을 한다. 매우 큰 정수를 표현할 수 없는 컴퓨터의 경우, 자릿수를 다른 방식으로 출력하거나 수집할 수 있다.

만약 ''t''가 ''p''/2를 초과하면, 나머지 자릿수를 계산할 필요 없이 그 수는 순환수여야 한다.

5. 순환수의 활용 및 확장

142857에 8 이상의 수를 곱하면 규칙성이 무너지는 것처럼 보이지만, 앞자리의 몇 자리를 잘라내어 뒤에 더하면 규칙성이 유지된다. 예를 들어 142857 × 8 = 1142856인데, 앞의 1을 뒤의 6에 더하면 142857이 된다. 142857에 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16을 곱한 결과도 마찬가지로 앞자리를 잘라 뒤에 더하면 순환수의 순서가 유지된다.^[1]

이는 142857이 6자리 숫자이기 때문인데, 6자리를 넘는 부분의 자릿수를 왼쪽(상위)에서 잘라내어 오른쪽(하위)에 더하여 규칙성을 유지할 수 있다. 이 방식은 더 큰 숫자에서도 성립한다. 예를 들어 142857 × 71 = 10142847에서 왼쪽 2자리 10을 나머지 142847에 더하면 142857이 된다.^[1]

012345679는 합성수 81의 역수의 순환마디이다. 이것도 순환수와 비슷한 성질을 가진다. 예를 들어 12345679에 10, 19, 28, ..., 73을 곱하면 각 자릿수가 순서대로 나타나며, 82를 곱하면 1012345678이 되는데, 여기서 10을 012345678에 더하면 012345679가 된다. 91을 곱하면 1123456789가 되고, 여기서 11을 23456789에 더하면 123456790이 된다.^[1]

5. 1. 유사 순환수

142857에 8 이상의 수를 곱하면 규칙성이 무너지는 것처럼 보이지만, 앞자리의 몇 자리를 잘라내어 뒤에 더하면 규칙성이 유지된다. 예를 들어 142857 × 8 = 1142856인데, 앞의 1을 뒤의 6에 더하면 142857이 된다. 이와 같은 방식으로 142857에 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16을 곱한 결과도 앞자리를 잘라 뒤에 더하면 순환수의 순서가 유지되는 것을 알 수 있다.^[1]

이는 142857이 6자리 숫자이기 때문인데, 6자리를 넘는 부분의 자릿수를 왼쪽(상위)에서 잘라내어 오른쪽(하위)에 더하는 방식으로 규칙성을 유지할 수 있다. 이러한 방식은 더 큰 숫자에서도 성립한다. 예를 들어 142857 × 71 = 10142847에서 왼쪽 2자리 10을 나머지 142847에 더하면 142857이 된다.^[1]

1/13의 순환마디인 076923은 순환수는 아니지만, 1~12배 했을 때 나타나는 수의 배열은 두 그룹으로 나눌 수 있다.

076923에 곱하는 수	결과
1, 3, 4, 9, 10, 12	076923, 230769, 307692, 692307, 769230, 923076
2, 5, 6, 7, 8, 11	153846, 384615, 461538, 538461, 615384, 846153

^[1]

012345679는 합성수 81의 역수의 순환마디이다. 이것도 순환수와 비슷한 성질을 가지고 있다. 예를 들어 12345679에 10, 19, 28, ..., 73을 곱하면 각 자릿수가 순서대로 나타나며, 82를 곱하면 1012345678이 되는데, 여기서 10을 012345678에 더하면 012345679가 된다. 91을 곱하면 1123456789가 되고, 여기서 11을 23456789에 더하면 123456790이 된다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Artin's Constant http://mathworld.wol[...]
_[2] OEIS A001913
_[3] OEIS http://oeis.org/A001[...]
_[4] OEIS http://oeis.org/A001[...]

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