오진법
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1. 개요
오진법은 5를 기수로 하는 위치 기수법으로, 0, 1, 2, 3, 4의 다섯 개 숫자를 사용한다. 5진법은 주판이나 로마 숫자와 같은 다른 진법 체계 내에서 보조적으로 사용되거나, 마야 문명의 숫자 체계와 같이 독자적으로 사용되기도 한다. 5진법은 2진법, 10진법 등 다른 진법과의 비교를 통해 특징을 살펴볼 수 있으며, 5진법의 곱셈표와 분수 표현도 존재한다. 또한 오진법은 한 손의 손가락 개수에서 유래한 것으로 추정되며, 구마치어와 같은 언어에서 수사 체계로 사용된다. 2와 5를 하위 기수로 사용하는 십진법 시스템인 이진오진법은 로마 숫자, 주판, 초기 컴퓨터 등에서 응용되었다. 현대에는 일부 계산기 모델에서 5진법 계산을 지원한다.
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구진법은 9를 밑으로 하는 위치 기수법으로 0부터 8까지의 숫자를 사용하여 수를 나타내며, 3의 배수 표현이 간결하고 3의 역수는 유한소수로 표현되는 특징이 있다.
| 오진법 |
|---|
2. 기수법
오진법은 5를 밑으로 하는 위치 기수법이다. 표기에는 0, 1, 2, 3, 4의 5개 숫자를 사용하며, 5는 (10)5, 6은 (11)5, 7은 (12)5와 같이 표기한다. 오진법에서 한 자리에 들어갈 수 있는 가장 큰 수는 4이다. 오른쪽 끝 또는 소수점으로 1의 자리를 나타내며, 왼쪽으로 한 자리씩 이동할 때마다 숫자가 나타내는 값은 5배가 되고, 오른쪽으로 한 자리씩 이동할 때마다 1/5이 된다. 예를 들어 (14)5라는 표기에서 왼쪽의 "1"은 5를 나타내고, 오른쪽의 "4"는 4를 나타내며, 합쳐서 9를 나타낸다.
오진법 표기의 정수는 다음과 같다.
| (20)5 = 10 (2×51) | (32)5 = 17 (3×51 + 2) | (100)5 = 25 (1×52) |
| (121)5 = 36 (1×52 + 2×51 + 1) | (224)5 = 64 (2×52 + 2×51 + 4) | (311)5 = 81 (3×52 + 1×51 + 1) |
| (400)5 = 100 (4×52) | (1000)5 = 125 (1×53) | (1331)5 = 216 (1×53 + 3×52 + 3×51 + 1) |
| (10000)5 = 625 (1×54) | (13000)5 = 1000 (1×54 + 3×53) | (20141)5 = 1296 (2×54 + 0×53 + 1×52 + 4×51 + 1) |
| (30234)5 = 1944 (3×54 + 0×53 + 2×52 + 3×51 + 4) |
사람 손가락이 5개인 것에서 유래했다. 실제로 오진법이 사용되는 경우는 적지만, 주판이나 로마 숫자와 같이 다른 N진법의 내부에 오진법이 포함되는 경우가 있다. 로마 숫자는 5와 십에서 새로운 숫자가 나타나기 때문에, 이·오진법이라고도 한다. 마야 문명의 숫자는 이십진법이지만, 오진법을 보조적으로 포함하고 있다.
5진 곱셈표는 다음과 같다.
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 20 |
| 2 | 2 | 4 | 11 | 13 | 20 | 22 | 24 | 31 | 33 | 40 |
| 3 | 3 | 11 | 14 | 22 | 30 | 33 | 41 | 44 | 102 | 110 |
| 4 | 4 | 13 | 22 | 31 | 40 | 44 | 103 | 112 | 121 | 130 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 200 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 110 | 121 | 132 | 143 | 204 | 220 |
| 12 | 12 | 24 | 41 | 103 | 120 | 132 | 144 | 211 | 223 | 240 |
| 13 | 13 | 31 | 44 | 112 | 130 | 143 | 211 | 224 | 242 | 310 |
| 14 | 14 | 33 | 102 | 121 | 140 | 204 | 223 | 242 | 311 | 330 |
| 20 | 20 | 40 | 110 | 130 | 200 | 220 | 240 | 310 | 330 | 400 |
2. 1. 다른 진법과의 비교
5진법, 6진법, 10진법, 2진법 등 다른 진법과의 비교를 통해 각 진법의 특징을 살펴볼 수 있다. 아래 표는 0부터 25까지의 정수를 5진법, 6진법, 10진법으로 나타낸 것이다.| 오진법 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 육진법 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 40 | 41 |
| 십진법 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 5진법 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 이진수 | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 | 10001 | 10010 | 10011 | 10100 | 10101 | 10110 | 10111 | 11000 | 11001 |
| 10진수 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
오진법에서 한 자리에 들어갈 수 있는 수는 4까지이며, 한 자리에 들어갈 수 있는 수가 5까지인 것은 육진법이다. 5가 홀수이므로, 5진법에서 각 자리의 합이 짝수가 되는 수는 모두 짝수이다.
2. 2. 소수와 제산
5진법은 소인수가 5뿐이므로, 5로만 나눌 수 있다. 한 자릿수 정수를 단위분수로 하면 모두 순환소수가 된다. 십분의 일(5진법 표기로 1/20)도 소인수가 2와 5이므로 나누어떨어지지 않고 순환소수가 된다.| 제수의 소인수분해 | 오진분수 | 오진소수 | 십진 소수 | 십진분수 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 1/2 | 0.2222… | 0.5 | 1/2 |
| 3 | 1/3 | 0.1313… | 0.3333… | 1/3 |
| 22 | 1/4 | 0.1111… | 0.25 | 1/4 |
| 10 | 1/10 | 0.1 | 0.2 | 1/5 |
| 2×3 | 1/11 | 0.0404… | 0.1666… | 1/6 |
| 2×10 | 1/20 | 0.0222… | 0.1 | 1/10 |
※ 단위분수와 소인수분해는 5진법 표기.
2. 3. 계산표
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 11 | 13 |
| 3 | 0 | 3 | 11 | 14 | 22 |
| 4 | 0 | 4 | 13 | 22 | 31 |
'''오진 명수법'''은 5를 밑으로 하는 명수법이다.
3. 명수법
3. 1. 수사
5진법은 한 손의 손가락 개수에서 유래한 것으로 추정된다. 5진법에서 5 이상의 숫자는 6은 "5와 1", 7은 "5와 2"와 같이 "5에 1에서 4를 더한 수"로 표현한다. 10은 "2 곱하기 5", 11은 "2 곱하기 5와 1"과 같이 "M배의 5 + R" 형태로 센다. 25, 125 등 5의 거듭제곱에 새로운 수사를 붙인다.[5]
자연어에서 5진법 수사를 가진 언어는 드물며, 오스트레일리아의 구마치어(Gumatj)가 대표적인 예이다.[6] 구마치어의 수사는 다음과 같다.
| 오진수 | 십진수 | 수사 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | wanggany |
| 2 | 2 | marrma |
| 3 | 3 | lurrkun |
| 4 | 4 | dambumiriw |
| 10 | 5 | wanggany rulu |
| 20 | 10 | marrma rulu |
| 30 | 15 | lurrkun rulu |
| 40 | 20 | dambumiriw rulu |
| 100 | 25 | dambumirri rulu |
| 200 | 50 | marrma dambumirri rulu |
| 300 | 75 | lurrkun dambumirri rulu |
| 400 | 100 | dambumiriw dambumirri rulu |
| 1000 | 125 | dambumirri dambumirri rulu |
| 10000 | 625 | dambumirri dambumirri dambumirri rulu |
많은 언어[1]가 5진법을 사용하는데, 여기에는 구마트지어, 능구부유어[2], 쿠른 코판 누트어[3], 루이세뇨어[4], 그리고 사라베카어가 포함된다.
4. 이진오진법
2와 5를 하위 기수로 사용하는 십진법 시스템을 이진오진법(biquinary)이라고 한다. 월로프어(Wolof language)와 크메르어(Khmer language)에서 이러한 체계를 찾아볼 수 있다. 로마 숫자, 주판 등은 이진오진법 체계를 사용한다.
우른필트 문화 숫자(Urnfield culture numerals)와 일부 tally mark 시스템도 이진오진법이다. 통화 단위는 일반적으로 부분적으로 또는 전체적으로 이진오진법인 경우가 많다.
이진오진 부호화 십진법(Bi-quinary coded decimal)은 콜로서스 컴퓨터(Colossus computer)와 IBM 650을 포함한 여러 초기 컴퓨터에서 십진수를 나타내는 데 사용된 이진오진법의 변형이다.
4. 1. 로마 숫자
로마 숫자는 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000을 각각 '''I''', '''V''', '''X''', '''L''', '''C''', '''D''', '''M'''으로 나타내는 이진오진법 시스템이다. 7은 '''VII''', 70은 '''LXX'''와 같이 표기한다. 전체 기호 목록은 다음과 같다.| 로마 숫자 | I | V | X | L | C | D | M |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 십진수 | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
이것들은 자릿값 기수법이 아니다. 이론적으로 73과 같은 숫자는 IIIXXL(모호하지 않음) 및 LXXIII로 쓸 수 있다. 로마 숫자를 1,000 이상으로 확장하려면 상선(가로 윗줄)을 추가하여 문자 값에 1,000을 곱했다. 예를 들어, 윗줄이 그어진 '''M̅'''은 백만이다. 0을 나타내는 기호도 없다. 그러나 IV 및 IX와 같은 반전을 도입하면서 가장 중요한 것에서 가장 중요하지 않은 것으로 순서를 유지해야 했다.
4. 2. 주판
주판의 많은 버전, 예를 들어 수안판(suanpan)과 소로반(soroban)은 윗줄의 구슬이 五|다섯중국어을 나타내고, 아랫줄의 구슬이 一|하나중국어를 나타내는 이진오진법 시스템을 사용하여 계산을 용이하게 한다.5. 현대적 응용
일부 샤프 계산기 모델(2005년경부터 일부 EL-500W 및 EL-500X 시리즈 포함, '펜탈 시스템'으로 명명됨))과 오픈소스 과학 계산기 WP 34S는 5진법 계산을 지원한다.
참조
[1]
서적
Rethinking Universals
https://www.degruyte[...]
De Gruyter Mouton
2010-03-26
[2]
웹사이트
Facts and fallacies of Aboriginal number system
https://web.archive.[...]
1982-12
[3]
서적
Australian aborigines : the languages and customs of several tribes of aborigines in the western district of Victoria, Australia
https://archive.org/[...]
Canberra City, ACT, Australia : Australian Institute of Aboriginal Studies; Atlantic Highlands, NJ : Humanities Press [distributor]
[4]
서적
Native American Mathematics
[5]
웹사이트
Ethnologue: Languages of the World
http://www.ethnologu[...]
[6]
간행물
Facts and fallacies of aboriginal number systems
http://www1.aiatsis.[...]
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