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십진법

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목차

1. 개요

십진법은 0부터 9까지의 열 개의 숫자를 사용하는 기수법으로, 소수점을 사용하여 정수 부분과 소수 부분을 구분한다. 다른 기수법과 구별하기 위해 아래 첨자로 10 또는 A를 사용하기도 한다. 십진법은 10을 밑으로 하는 위치 기수법이며, 각 숫자의 위치에 따라 값이 결정된다. 십진법은 고대부터 사용되었으며, 전 세계적으로 다양한 문화에서 발견된다. 현대에는 아라비아 숫자를 사용하여 수를 표기하며, 십진 소수와 무한 소수 전개를 통해 실수를 표현할 수 있다. 컴퓨터 시스템에서도 이진법과 함께 사용되며, 십진 산술은 재무 계산 등 특정 분야에서 중요하게 활용된다. 십진법 외에도 다양한 기수법이 존재하며, 십진법 기반의 단위계는 미터법과 국제 단위계 등에서 널리 사용된다. 한국은 전통적으로 척관법을 사용했지만, 현재는 미터법을 중심으로 십진법 기반의 단위계를 사용한다.

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십진법
십진법
다른 이름10진법, 10진 기수법
유형위치 기수법
기수10
기호0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
수학적 성질
거듭제곱10ⁿ (n은 정수)
곱셈 항등원1
덧셈 항등원0
사용
사용법일상적인 계산, 과학, 공학
문화인간의 손가락 수와 관련
관련 개념
다른 진법이진법, 십육진법
컴퓨터 과학자릿수, 부동소수점

2. 표기

'''십진법'''은 10을 밑으로 하는 기수법이다. 십진법에서는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9의 열 가지 숫자를 사용한다. 소수점(.)을 사용하여 정수 부분과 소수 부분을 구분한다.

아라비아 숫자 0, 1, …, 9를 자연수에 대응시키고,

:a_m a_{m-1} \cdots a_1 a_0 . b_1 b_2 \cdots b_k

라는 숫자열로 표현한다. (단, a_*, b_*는 각각 0에서 9를 나타내는 어느 숫자이며, a_m\neq 0이다.)

이 숫자열은

:a_m \times 10^m + a_{m-1} \times 10^{m-1} + \cdots + a_1 \times 10 + a_0 + \frac{b_1}{10} + \frac{b_2}{10^2} + \cdots + \frac{b_k}{10^k}

라는 수치를 나타낸다.[53]

두 손의 열 개의 손가락, 십진법 기수의 기원


고대 문명의 많은 기수법은 숫자를 나타내는 데 10과 그 거듭제곱을 사용했는데, 아마도 두 손에 열 개의 손가락이 있고 사람들이 손가락을 사용하여 세기 시작했기 때문일 것이다. 예를 들어 이집트 숫자, 브라흐미 숫자, 그리스 숫자, 히브리 숫자, 로마 숫자, 중국 숫자 등이 있다.[5]

주판은 십진법과 같은 구조이지만, 문자로서 표기하지는 않는다. 십진법 중, 다섯 배→두 배→다섯 배→두 배…의 순환으로 올림하는 방법은 2・5진법이라고 한다.

로마 숫자, 한자 숫자, 상형 문자(이집트 숫자) 등은 10을 "10"이 아닌 새로운 문자로 표현하지만, 십진법을 기본으로 하고 있다.

십진법이라는 개념은 고대부터 있었던 것으로 여겨진다. 일본 후쿠오카현 가스가시의 스쿠오카모토 유적에서는 야요이 시대에 분동처럼 무게를 재기 위해 사용된 권(けん)이라는 석기가 출토되었는데, 기준이 되는 권의 10배 무게를 가진 것이 발견되었다.[54]

2. 1. 다른 기수법과의 관계

다른 위치 기수법과 구별하는 경우 아래 첨자로 '''10''' 또는 '''A'''를 기재하고 십진수임을 명기한다. 예를 들어, 100('''9''') = 81('''10''') = 81('''A'''), 99('''C''') = 117('''A'''), 15.2343('''6''') = 11.4375('''A''') 등과 같이 표시한다.

그러나 이진법에서도 삼진법에서도 어느 기수법도 아래첨자를 "10" 진법으로 표시하고 있는데, 이는 오해의 소지가 있다. 아래첨자에 있는 "10"이라는 글자는 만약 이진법이라면 2이며, 삼진법이라면 3이 된다. 따라서, "10 = 십"의 의미를 기피하기 위해, 아래첨자를 십진법이라면 "'''A'''", 십이진법이라면 "'''C'''", 이십진법이라면 "'''K'''"와 같이 알파벳을 사용하여 나타낼 수 있다.

「10」이라고 썼을 경우, 십진법을 채택하지 않는 한 이것은 "십"을 의미하지 않는다. 반대로 어떤 밑수를 사용하더라도, 해당 진법에서 밑수 자체는 "10"으로 나타낼 수 있다 (예를 들어 2는 이진법에서 10으로 표기된다).

3. 역사



고대 문명에서는 숫자를 나타내는 데 10과 그 거듭제곱을 사용하는 기수법이 많았다. 이는 아마도 두 손에 열 개의 손가락이 있고, 사람들이 손가락을 사용하여 세기 시작했기 때문으로 보인다. 이집트 숫자, 브라흐미 숫자, 그리스 숫자, 히브리 숫자, 로마 숫자, 중국 숫자 등이 십진법을 사용했다.[5] 이러한 기수법은 큰 숫자를 표현하기 어려웠으나, 힌두-아라비아 숫자의 도입으로 정수를 나타내는 어려움이 해결되었다. 이후 이 시스템은 소수 또는 십진수를 표현하도록 확장되어 십진 기수법을 형성한다.[5]

세계에서 가장 오래된 십진법 곱셈표는 기원전 305년 중국 전국 시대에 제작된 대나무 조각으로 만들어졌다.


많은 고대 문화는 십진법을 기반으로 숫자를 계산했다.[15] 인더스 문명에서 사용된 표준화된 무게는 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500의 비율을 기반으로 했으며, 표준화된 자인 '모헨조다로 자'는 10개의 동일한 부분으로 나누어져 있었다.[16][17][18] 기원전 3000년경부터 사용된 이집트 상형 문자는 순수한 십진법을 사용했으며,[19] 미노아 문명의 선 문자 A[20][21]와 미케네 그리스의 선 문자 B(기원전 1400–1200년)도 마찬가지였다. 우네티체 문화 (기원전 2300-1600년)는 무역에 표준화된 무게와 십진법을 사용했다.[22] 고전 그리스의 숫자 체계와 로마 숫자는 5를 중간 기준으로 하여 10의 거듭제곱을 사용했다.[23] 특히, 아르키메데스(기원전 287–212년)는 모래 계산자에서 108을 기반으로 하는 십진법 위치 체계를 발명했다.[23][24] 히타이트 상형 문자 (기원전 15세기 이후) 또한 엄격한 십진법이었다.[25]

이집트 신관 문자, 그리스 문자 숫자, 히브리 문자 숫자, 로마 숫자, 중국 숫자 및 초기 인도 브라흐미 숫자는 모두 비위치 십진법 시스템으로, 많은 수의 기호가 필요했다. 예를 들어, 이집트 숫자는 10, 20~90, 100, 200~900, 1000, 2000, 3000, 4000에서 10,000까지 서로 다른 기호를 사용했다.[26] 세계에서 가장 오래된 위치 십진법 시스템은 중국의 산대수였다.[29]

세계에서 가장 오래된 위치 십진법 시스템
위쪽 행 세로 형식
아래쪽 행 가로 형식

3. 1. 한국에서의 십진법 역사

한국에서는 야요이 시대 유적에서 십진법의 흔적이 발견되었고, 전통적으로 십진법을 사용해 왔다. 현대 한국어 수사는 중국어에서 유래한 십진법 체계를 따른다.[55]

4. 십진 표기법



십진 표기법은 숫자를 표기하기 위해 10개의 십진수, 소수점, 그리고 음수의 경우 마이너스 기호 "-"를 사용한다. 십진수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9이다.[6] 소수 구분 기호는 많은 국가 (대부분 영어를 사용하는 국가)에서 점 "."이고,[7] 다른 국가에서는 쉼표 ","이다.[3]

음이 아닌 수를 나타내기 위해, 십진수는 다음 두 가지 형태로 나타낼 수 있다.


  • 정수를 나타내는 경우: 유한한 일련의 숫자로 구성된다. (예: 2017)

:a_ma_{m-1}\ldots a_0

  • 소수를 나타내는 경우: 두 개의 숫자 시퀀스를 구분하는 소수점으로 구성된다. (예: 20.70828)

:a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n

m > 0이면, 즉 첫 번째 시퀀스에 두 자리 이상이 포함되어 있다면, 일반적으로 첫 번째 숫자 a_m은 0이 아니라고 가정한다. 왼쪽에 하나 이상의 0을 포함해도 십진수가 나타내는 값은 변하지 않는다. (예: 3.14 = 03.14 = 003.14) 마찬가지로 소수점 오른쪽 마지막 숫자가 0인 경우 이를 제거하거나, 소수점 뒤에 0을 추가하여도 표현되는 숫자는 변하지 않는다. (예: 15 = 15.0 = 15.00, 5.2 = 5.20 = 5.200)

음수를 나타내기 위해서는 마이너스 기호를 a_m 앞에 놓는다.

숫자 a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n은 다음 숫자를 나타낸다.

:a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots+a_{0}10^0+\frac{b_1}{10^1}+\frac{b_2}{10^2}+\cdots+\frac{b_n}{10^n}

십진수의 ''정수 부분''은 소수 구분 기호 왼쪽에 쓰여진 정수이다. 음이 아닌 십진수의 경우, 십진수보다 크지 않은 가장 큰 정수이다. 소수 구분 기호 오른쪽 부분은 ''소수 부분''이며, 십진수와 정수 부분의 차이와 같다.

십진수의 정수 부분이 0일 때, 컴퓨팅에서는 정수 부분을 쓰지 않을 수 있다. (예: .1234, 0.1234 대신) 그러나 일반적인 글쓰기에서는 소수점과 다른 구두점 사이의 혼동 위험 때문에 이를 피한다.

십진법은 위치적 기수법으로, 숫자의 값에 대한 각 숫자의 기여는 십진수에서의 위치에 따라 달라진다.

4. 1. 십진 소수

소수(특히 명시적인 분수와 관련된 맥락에서 십진 소수라고도 함)는 10의 지수인 분수로 표현될 수 있는 유리수이다.[8] 예를 들어, 소수 표현 0.8, 14.89, 0.00079, 1.618, 3.14159는 분수 , , , 및 를 나타내며, 따라서 소수를 나타낸다.

더 일반적으로, 소수 구분 기호 (점 또는 쉼표) 뒤에 n 자릿수가 있는 소수는 분모가 10^n인 분수를 나타내며, 분자는 구분 기호를 제거하여 얻은 정수이다.

따라서 숫자는 유한 소수 표현을 만약 그리고 만약에만 가지고 있다면 소수이다.

약분된 분수로 표현하면, 소수는 분모가 2의 거듭제곱과 5의 거듭제곱의 곱인 수이다. 따라서 소수의 가장 작은 분모는 다음과 같다.

:1=2^0\cdot 5^0, 2=2^1\cdot 5^0, 4=2^2\cdot 5^0, 5=2^0\cdot 5^1, 8=2^3\cdot 5^0, 10=2^1\cdot 5^1, 16=2^4\cdot 5^0, 20=2^2\cdot5^1, 25=2^0\cdot 5^2, \ldots

4. 2. 무한 소수 전개

모든 실수는 유한 또는 무한 십진법 전개로 표현할 수 있다. 실수 와 정수 에 대해, 을 소수점 이하 자리 수를 갖는, 보다 크지 않은 가장 큰 숫자의 (유한) 십진법 전개로 나타낸다. 를 의 마지막 숫자로 나타낼 때, 은 의 오른쪽에 을 추가하여 얻을 수 있다. 이러한 방식으로 다음을 얻는다.

:

그리고 과 의 차이는 다음과 같다.

:

가 0인 경우, ''''이 무한대로 갈수록 임의로 작아진다. 극한의 정의에 따르면, ''''이 무한대로 갈 때 ''''는 의 극한이다. 이것은 또는

:

와 같이 쓰이며, 이것을 ''''의 '''무한 십진법 전개'''라고 한다.

반대로, 모든 정수 와 일련의 숫자 에 대해 (무한) 식 은 실수 ''''의 "무한 십진법 전개"이다. 이 전개는 모든 이 9와 같지도 않고, 모든 이 충분히 큰 ''''(어떤 자연수 보다 큰 모든 ''''에 대해) 0과 같지도 않다면 고유하다.

에 대한 모든 이 9와 같고 이면, 일련의 의 극한은 마지막 숫자를 대체하여 얻은 십진 소수이다. 즉, 을 로 바꾸고, 모든 후속 9를 0으로 바꾼다 (0.999... 참조).

어떤 십진 소수( for )는 을 로 바꾸고 모든 후속 0을 9로 바꿈으로써 이에 상응하는 무한 십진법 전개로 변환될 수 있다 (0.999... 참조).

요약하면, 십진 소수가 아닌 모든 실수는 고유한 무한 십진법 전개를 갖는다. 각 십진 소수는 정확히 두 개의 무한 십진법 전개를 가지며, 하나는 어떤 자리 이후에 0만 포함하고 의 위 정의에 의해 얻어지고, 다른 하나는 어떤 자리 이후에 9만 포함하고 을 소수점 이하 ''''자리를 갖는 ''''보다 "작은" 가장 큰 숫자로 정의하여 얻는다.

나눗셈을 통해 유리수의 무한 소수 전개를 계산할 수 있다. 유리수가 소수 분수인 경우, 나눗셈은 결국 중단되어 소수 숫자를 생성하며, 무한히 많은 0을 추가하여 무한 전개로 연장할 수 있다. 유리수가 소수 분수가 아닌 경우, 나눗셈은 무기한으로 계속될 수 있다. 그러나 모든 연속적인 나머지는 제수보다 작으므로 가능한 나머지는 유한하며, 특정 자리수 이후에는 몫에서 동일한 숫자 시퀀스가 무한정으로 반복되어야 한다. 즉, ''순환 소수''가 존재한다. 예를 들어,

: = 0.012345679012... (012345679 그룹이 무한정으로 반복됨).

그 역도 성립한다. 숫자의 소수 표현에서 어느 시점에서 동일한 일련의 숫자가 무한정으로 반복되기 시작하면 그 숫자는 유리수이다. 다음은 그 예시이다.

경우값
x0.4156156156...
10,000x4156.156156156...
10x4.156156156...
10,000x − 10x, 즉 9,990x4152.000000000...
x



위의 식에서 분자와 분모를 6으로 나누면 이다.

5. 십진 계산

대부분의 현대 컴퓨터 하드웨어 및 소프트웨어 시스템은 내부적으로 이진법을 사용한다.[9] 그러나 사용자가 보거나 입력하기 쉽도록 이진 값을 십진 값으로 변환하여 표현한다. 컴퓨터 프로그램은 기본적으로 십진수로 표현한다.

컴퓨터는 십진 값을 저장하고 계산하기 위해 십진법과 유사한 내부 표현을 사용하기도 한다. 2진화 10진법을 사용하거나, 십진 부동 소수점을 포함한 다른 십진 표현을 사용하기도 한다.[12]

십진 산술은 십진 소수의 결과가 소수점 이하 고정된 자릿수를 가질 때 항상 같은 정밀도로 계산되도록 해준다. 이는 재무 계산과 같이 정확한 소수 계산이 필요한 경우에 특히 중요하다. 이진법에서는 10의 음수 거듭제곱을 정확하게 표현할 수 없기 때문에 십진 산술이 필요하다.[13][14]

세계에서 가장 오래된 곱셈표 도표 (전국 시대)

6. 다양한 진법

일부 문화권에서는 5진법, 8진법, 12진법, 20진법 등 다른 진법을 사용하거나 사용했었다. 언어에 따라 수사 체계가 다르며, 십진법 외에 다른 진법의 흔적이 남아있는 경우도 있다.

고대 문명의 많은 기수법은 숫자를 나타내는 데 10과 그 거듭제곱을 사용했다. 이는 두 손에 열 개의 손가락이 있고 사람들이 손가락을 사용하여 세기 시작했기 때문으로 보인다.[5] 예를 들어 이집트 숫자, 브라흐미 숫자, 그리스 숫자, 히브리 숫자, 로마 숫자, 중국 숫자 등이 십진법을 사용했다.[5]

많은 고대 문화는 십진법을 기반으로 숫자를 계산했다.[15] 인더스 문명에서 사용된 표준화된 무게는 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500의 비율을 기반으로 했다.[16][17][18] 기원전 3000년경부터 사용된 이집트 상형 문자는 순수한 십진법을 사용했으며,[19] 미노아 문명의 선 문자 A[20][21]와 미케네 그리스의 선 문자 B(기원전 1400–1200년)도 마찬가지였다. 우네티체 문화 (기원전 2300-1600년)는 무역에 표준화된 무게와 십진법을 사용했다.[22] 고전 그리스와 로마 숫자 체계는 5를 중간 기준으로 하여 10의 거듭제곱을 사용했다.[23] 특히, 아르키메데스 (기원전 287–212년)는 모래 계산자에서 108을 기반으로 하는 십진법 위치 체계를 발명했다.[23][24] 히타이트 상형 문자 (기원전 15세기 이후) 또한 엄격한 십진법이었다.[25]

세계에서 가장 오래된 위치 십진법 시스템은 중국의 산대수였다.[29]

여러 인도 언어는 십진법을 보여준다. 드라비다어족은 10에서 20 사이의 숫자를 10에 더하는 규칙적인 패턴으로 표현한다.[36] 헝가리어 또한 10과 20 사이, 20과 100 사이의 모든 숫자를 규칙적으로 형성한다.

중국어와 베트남어는 십진법 체계를 사용하며, 일본어, 한국어, 태국어는 중국 십진법 체계를 수입했다. 많은 다른 언어는 10에서 20 사이의 숫자와 10의 배수에 대한 특별한 단어를 가지고 있다.

케추아어와 아이마라어와 같은 잉카 언어는 거의 간단한 십진법 체계를 가지고 있다. 일부 심리학자들은 영어 숫자 이름의 불규칙성이 어린이의 셈 능력을 저해할 수 있다고 제안한다.[37]

다른 기수의 숫자를 사용하거나 사용했던 문화권은 다음과 같다.


  • 프리콜롬비아 메소아메리카 문화권의 마야는 20진법 시스템을 사용했다.
  • 캘리포니아의 유키어와 멕시코의 파메어족[38] 언어는 8진법 (밑수-8) 시스템을 가지고 있다.[39]
  • 게르만어의 초기 흔적에서 10진법이 아닌 기수가 존재했다.
  • 추마시어족 언어는 원래 4진법 수 체계를 사용했다.
  • 많은 언어[45]는 5진법 수 체계를 사용한다.
  • 일부 나이지리아인들은 12진법 시스템을 사용한다.[48]
  • 파푸아뉴기니의 훌리어는 15진법 숫자를 가지고 있다고 보고된다.[50]
  • 움부-웅구어는 24진법 숫자를 가지고 있다고 보고된다.[51]
  • 응기티어는 밑수-4 주기를 가진 32진법 수 체계를 가지고 있다고 보고된다.[45]
  • 파푸아뉴기니의 돔어는 6진법 숫자를 가지고 있다고 보고된다.[52]


현재 세계 언어의 수사는 십진법이 압도적으로 많다. 베이징 관화, 영어, 스페인어, 포르투갈어, 러시아어, 일본어, 독일어 등 화자 수가 많은 언어의 대부분에서 사용되고 있다.

십진법은 인간의 양손 손가락의 수에서 유래한다. 완전한 십진법은 중국어에서 볼 수 있으며, 베트남어의 수사도 거의 예외가 없다.

그 외의 언어에서는 10의 배수가 한 단어로 표현되거나, 11부터 19까지의 수가 한 단어 또는 "10에 R을 더한" 단어로 표현되는 예가 많다.

이오진법은 5를 기준으로 "10의 거듭제곱수"와 "10의 거듭제곱수의 5배"로 자릿수를 올리는 방법이다. 이러한 수사를 가진 언어는 적고, 월로프어[56], 크메르어[57] 등이 있다. 불규칙한 수사는 아이들의 수 능력에 악영향을 준다는 보고가 있다.

다음은 한어, 일본어(야마토 말), 월로프어, 영어, 라틴어의 수사를 나타낸 것이다.

수한어일본어(야마토 말)월로프어영어라틴어
1一히이bennaoneunus
2二후우ñaartwoduo
3三미이ñettathreetres
4四요ñenentfourquattuor
5五이츠juróomfivequinque
6六무juróom bennasixsex
7七나나juróom ñaarsevenseptem
8八야juróom ñettaeightocto
9九코코juróom ñenentninenovem
10十토오fukkatendecem
11十一토오아마리히이fukka ak bennaelevenundecim
12十二토오아마리후우fukka ak ñaartwelveduodecim
20二十하타ñaar fukkatwentyviginti
21二十一하타아마리히이ñaar fukka ak bennatwenty-oneviginti et unus


6. 1. 한국어 수사 체계

한국어는 중국어에서 유래한 십진법 체계인 한자어 수사를 수입하여 사용한다.[35] 각 자릿수에 해당하는 단어(十|십중국어, 百|백중국어, 千|천중국어, 万|만중국어)가 있으며, 11은 "십-일", 23은 "이-십-삼"과 같이 표현한다.[35]

7. 십진화

십진화는 프랑스 혁명 이후 세계적으로 10의 거듭제곱에 기초한 단위계로 이행하는 것을 말한다. 그 이전에는 지역마다 다양한 수를 기반으로 하는 단위계가 사용되었다. 예를 들어 야드파운드법에서는 1 야드 = 3 피트 = 36 인치이다. 중국이나 일본의 척관법도 1 장 = 10 척 = 100 촌 등 10의 거듭제곱에 기반한 부분이 많지만, 1 근 = 16 냥과 같은 예외도 많았다.[1]

7. 1. 한국의 십진화

한국은 전통적으로 척관법을 사용했으나, 일제강점기를 거쳐 현대에는 미터법을 비롯한 십진법 기반의 단위계를 사용하고 있다.[1] 10의 거듭제곱에 기초한 단위계로 이행하는 것을 "십진화"라고 한다.[1]

참조

[1] OED denary
[2] 서적 Fleeting Footsteps http://dx.doi.org/10[...] World Scientific 2022-03-17
[3] 웹사이트 Decimal Point https://mathworld.wo[...] 2022-03-17
[4] 문서 The [[Vinculum (symbol)|vinculum (overline)]] in 5.123144 indicates that the '144' sequence repeats indefinitely, i.e. {{val|5.123144144144144|s=...}}.
[5] 서적 Arithmetic The Belknap Press of Harvard University Press 2017
[6] 문서 In some countries, such as [[Arabic]]-speaking ones, other [[glyph]]s are used for the digits
[7] 웹사이트 Decimal https://mathworld.wo[...] 2020-08-22
[8] 간행물 Decimal Fraction https://www.encyclop[...] 2013-06-18
[9] 문서 "Fingers or Fists? (The Choice of Decimal or Binary Representation)", [[Werner Buchholz]], ''Communications of the ACM'', Vol. 2 #12, pp. 3–11, ACM Press, December 1959.
[10] 서적 Decimal Computation Robert E. Krieger Publishing Company 1983
[11] 서적 Decimal Computation https://archive.org/[...] John Wiley & Sons 1974
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