시간의 화살로서의 엔트로피

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1. 개요

시간의 화살로서의 엔트로피는 엔트로피 증가의 법칙과 시간의 방향성을 연결하는 개념이다. 열역학 제2법칙에 따르면 엔트로피는 닫힌 계에서 감소하지 않으며, 이는 시간의 흐름에 방향성을 부여하고 과거와 미래를 구분하는 기준이 된다. 시간의 화살은 열역학적, 우주론적, 심리적, 인과적 시간의 화살로 구분되며, 특히 우주의 팽창과 관련된 우주론적 시간의 화살은 초기 우주의 낮은 엔트로피 상태와 관련이 있다. 양자역학, 파동함수 붕괴, 양자 결어긋남 등은 시간의 화살과 관련된 연구 주제이며, 현재 연구는 열역학적 시간의 화살을 수학적으로 설명하고 우주론적 경계 조건의 관점에서 그 기원을 이해하는 데 초점을 맞추고 있다.

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시간의 화살로서의 엔트로피
개요
엔트로피가 시간의 화살로 작용하는 방식
유형	물리학의 개념
분야	열역학, 통계역학, 정보 이론
관련 개념	시간의 화살, 열역학 제2법칙, 엔트로피, 무질서, 정보
상세 내용
설명	열역학 제2법칙을 사용하여 과거와 미래를 구별하는 방법
주요 내용	우주의 엔트로피는 시간이 지남에 따라 증가하는 경향이 있으며, 이로 인해 과거와 미래를 구분할 수 있음
미해결 문제	과거의 낮은 엔트로피 상태는 왜 존재했는가?
관련 학문 분야	물리학, 정보 이론
관련 개념
관련 개념	시간의 화살, 열역학 제2법칙, 엔트로피, 무질서, 정보

2. 역사적 배경

사디 카르노, 에밀 클라페롱, 루돌프 클라우지우스 등은 열기관의 효율에 대한 연구를 바탕으로 열역학 제2법칙과 관련된 수학적 기초를 다졌다.^[1] 이들은 열이 뜨거운 물체에서 차가운 물체로 이동하면서 에너지가 흐르고, 시간이 지남에 따라 시스템이 평형 상태에 도달하는 현상을 관찰했다.

2. 1. 초기 연구

사디 카르노는 1824년 열기관의 작동 원리를 연구하면서 비가역 과정의 개념을 도입했다.^[1] 루돌프 클라우지우스는 엔트로피 개념을 도입하여 열역학 제2법칙을 정량화했다.^[1]

일반적인 경험에서 알 수 있듯이, 용광로와 같은 뜨거운 물체 ''T₁''이 유체(작업 몸체)를 통해 차가운 물 흐름과 같은 차가운 물체 ''T₂''와 물리적으로 접촉하면, 에너지는 열 ''Q'' 형태로 항상 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 흐르며, 시간이 주어지면 그 시스템은 평형에 도달한다.^[1] 클라우지우스는 ''Q/T''로 정의된 엔트로피를 이 과정의 분자 비가역성, 즉 변환 중에 원자와 분자가 서로에게 수행하는 소산 작업을 측정하는 함수로 생각했다.^[1]

이 변환에 대한 엔트로피 변화(ΔS) 또는 "등가 값"은 다음과 같다.^[1]

:

\Delta S = S_{\mathit{final}} - S_{\mathit{initial}} \,

:

\Delta S = \left(\frac {Q}{T_2} - \frac {Q}{T_1}\right)

:

\Delta S = Q\left(\frac {1}{T_2} - \frac {1}{T_1}\right)

예를 들어 ''Q''가 50단위이고 ''T₁''가 초기에 100도, ''T₂''가 1도인 경우 엔트로피 변화량은 49.5가 된다.^[1] 따라서 이 과정에서는 엔트로피가 증가했고, 일정량의 "시간"이 걸렸으며, 시간의 흐름에 따라 엔트로피 증가를 연관시킬 수 있다.^[1] 이는 "절대적인 규칙"으로, 시스템의 분자들이 과정 중에 사용된 열(열의 기계적 등가물 참조)에 비례하여 외부 작업(피스톤을 미는 것)뿐만 아니라 내부 작업도 수행하기 때문에 모든 자연 과정은 되돌릴 수 없다는 사실에 기초한다.^[1] 엔트로피는 내부 분자간 마찰을 설명한다.^[1]

3. 열역학 제2법칙과 시간의 화살

열역학 제2법칙에 따르면 엔트로피는 시간의 방향에 관계없이 ''동일하게 유지''된다. 엔트로피가 시간의 어느 방향에서나 일정하다면 선호하는 방향은 없을 것이다. 그러나 엔트로피는 시스템이 가능한 가장 높은 무질서 상태에 있을 때만 일정할 수 있는데, 예를 들어 항상 용기 안에 균일하게 퍼져 있었고 앞으로도 그럴 기체와 같은 경우이다. 열역학적 시간의 화살의 존재는 시스템이 단지 한 방향의 시간에서만 매우 질서정연함을 의미하며, 이는 정의상 "과거"가 될 것이다. 따라서 이 법칙은 운동 방정식보다는 경계 조건에 관한 것이다.^[14]

열역학적 시간의 화살은 종종 우주의 초기 경계 조건에 대한 것이기 때문에 우주론적 시간의 화살과 연결된다. 빅뱅 이론에 따르면, 우주는 처음에는 매우 뜨거웠고 에너지가 균일하게 분포되어 있었다. 중력이 중요한 시스템, 즉 우주의 경우 이는 낮은 엔트로피 상태이다(모든 물질이 블랙홀로 붕괴된 높은 엔트로피 상태와 비교했을 때, 이는 시스템이 결국 진화할 수 있는 상태이다). 우주가 팽창함에 따라 온도가 떨어지고, 이는 과거에 사용 가능했던 것보다 미래에 일을 수행하는 데 사용할 수 있는 에너지가 공간의 단위 부피당 적어짐을 의미한다. 또한, 에너지 밀도에서 섭동이 증가한다(결국 은하와 별을 형성). 따라서 우주 자체는 잘 정의된 열역학적 시간의 화살을 가지고 있다. 그러나 이것은 우주의 초기 상태가 왜 낮은 엔트로피 상태였는지에 대한 질문에 답하지 못한다. 만약 중력으로 인해 우주의 팽창이 멈추고 역전된다면, 우주의 온도는 다시 뜨거워지겠지만, 섭동의 지속적인 증가와 궁극적인 블랙홀 형성을 통해 엔트로피도 계속 증가할 것이며,^[3] 결국 빅 크런치의 후반 단계에 이르러 엔트로피가 현재보다 낮아질 것이다.

3. 1. 엔트로피 증가의 법칙

열역학 제2법칙에 따르면, 닫힌 계의 엔트로피는 감소하지 않는다. 이는 시간의 흐름에 방향성을 부여하며, 과거와 미래를 구분하는 기준이 된다. 엔트로피는 시스템이 무질서한 정도를 나타내는 척도인데, 열역학 제2법칙은 시간이 지남에 따라 무질서도가 증가하는 경향이 있음을 의미한다.^[14]

이 법칙은 본질적으로 통계적이다. 거시적인 시스템은 엄청나게 많은 수의 입자로 구성되어 있기 때문에, 극히 낮은 확률로 엔트로피가 감소하는 경우가 발생할 수는 있지만, 실제로 관측하기는 어렵다. 예를 들어, 기체 몰에 있는 6 × 10²³개의 모든 원자가 용기의 한쪽으로 자발적으로 이동하는 것은 불가능하지 않지만, 그 확률은 ''엄청나게'' 낮다.^[3]

열역학적 시간의 화살은 우주의 초기 경계 조건과도 관련이 있다. 빅뱅 이론에 따르면, 우주는 초기에 매우 뜨겁고 에너지가 균일하게 분포된 낮은 엔트로피 상태였다. 중력이 중요한 역할을 하는 우주와 같은 시스템에서, 이는 낮은 엔트로피 상태에 해당한다. 우주가 팽창하면서 온도가 낮아지고, 에너지 밀도의 섭동이 증가하여 은하와 별이 형성된다. 이러한 과정은 우주 전체의 엔트로피를 증가시키며, 시간의 방향을 가리킨다.^[3]

카르노, 클라페롱, 클라우지우스는 열역학 제2법칙과 엔트로피의 수학적 기초를 확립했다.^[4] 열기관에서 고온의 물체에서 저온의 물체로 열이 이동할 때, 엔트로피 변화(Δ''S'')는 다음과 같이 계산된다.

:

\Delta S = Q\left(\frac {1}{T_2} - \frac {1}{T_1}\right)

여기서 ''Q''는 이동한 열의 양, ''T₁''은 고온, ''T₂''는 저온이다. 이 식에서 볼 수 있듯이, 온도가 다른 두 물체가 접촉하면 항상 엔트로피가 증가하는 방향으로 변화가 일어난다. 이는 자연 과정의 비가역성을 나타내며, 시간의 흐름과 엔트로피 증가를 연결 짓는다.

과거와 미래의 중요한 차이점은, 어떤 시스템에서든 초기 조건에서는 대개 시스템의 다른 부분들이 서로 상관관계가 없지만, 시스템이 발전하고 다른 부분들이 서로 상호작용하면서 상관관계를 갖게 된다는 것이다.^[4] 예를 들어, 기체 입자들을 다룰 때 초기 조건에서는 서로 다른 입자들의 상태 사이에 상관관계가 없다고 가정한다. 즉, 입자들의 속도와 위치는 무작위적이다. 그러나 시간이 지나면서 입자들은 상호작용하고, 그 결과 위치와 속도가 서로 종속되어 상관관계를 갖게 된다.

이러한 상관관계의 형성은 열역학 제2법칙과 밀접하게 관련되어 있다. 닫힌 상자 안에 이상 기체가 절반만 채워져 있는 경우를 생각해 보자. 시간이 지나면 기체는 팽창하여 상자 전체를 채우게 된다. 이는 비가역적인 과정이다. 만약 상자가 처음부터 가득 차 있었다면, 특별한 경우가 아니라면 기체가 나중에 절반만 채워지는 일은 일어나지 않는다. 이는 초기 조건에서는 입자들의 위치와 속도가 무작위적이라고 가정하기 때문이다. 그러나 시간이 지나 입자들이 상호작용한 후에는, 위치와 속도가 서로 종속되어 상관관계를 갖게 된다.

만약 모든 미시적인 물리 과정이 가역적이라면, 초기 조건에서 입자 상태가 상관관계가 없는 모든 고립된 입자 시스템에 대해 열역학 제2법칙을 증명할 수 있다. 이를 위해서는 측정된 엔트로피와 정보 엔트로피의 차이를 이해해야 한다.^[6] 측정된 엔트로피는 시스템의 매크로 상태 (부피, 온도 등)에만 의존하며, 입자 간의 상관관계에는 영향을 받지 않는다. 반면, 정보 엔트로피는 상관관계에 '''의존'''한다. 상관관계는 시스템의 무작위성을 낮추고, 따라서 시스템의 정확한 미시 상태를 설명하는 데 필요한 정보의 양을 줄이기 때문이다.^[7]

리우빌 정리에 따르면, 모든 미시적 과정의 시간 반전은 고립된 시스템의 정확한 미시 상태를 설명하는 데 필요한 정보의 양(결합 엔트로피)이 시간에 따라 일정하다는 것을 의미한다. 초기 조건에서 입자 간의 상관관계가 없다면, 결합 엔트로피는 주변 엔트로피와 같으며, 이는 시스템의 초기 열역학적 엔트로피를 볼츠만 상수로 나눈 값이다. 그러나 시간이 지나면서 입자 간의 상관관계가 형성되고, 이는 상호 엔트로피를 감소시킨다(또는 상호 정보를 증가시킨다). 따라서 주변 엔트로피에 비례하는 열역학적 엔트로피도 시간이 지남에 따라 증가해야 한다.^[8]

3. 2. 비가역성

분자들이 무작위로 섞이는 현상 때문에, 큰 용기에 담긴 두 액체(예: 염료와 물)는 시간이 지남에 따라 섞이게 된다. 염료와 물이 혼합된 상태에서는 저절로 분리되지 않는다. 이 과정을 담은 영상은 정방향 재생은 자연스럽지만, 역방향 재생은 부자연스럽다.

초기에 부분적으로만 혼합된 상태를 관찰하면, 과거에는 더 분리되어 있었고 미래에는 더 섞일 것이라고 예상하는 것이 합리적이다.

하지만, 아주 작은 용기에 몇 개의 분자만 있다면, 분자들이 무작위로 움직이다가 우연히 분리되는 현상도 가능하다. 요동정리에 따르면, 분자들이 스스로 분리되는 것은 불가능하지 않다. 그러나 많은 수의 분자에서는 분리가 일어날 확률이 극히 낮아, 우주의 나이보다 훨씬 더 오랜 시간을 기다려야 한다. 따라서 많은 수의 분자가 분리되는 영상은 비현실적이며, 거꾸로 재생되고 있다고 판단할 수 있다. 이는 볼츠만의 열역학 제2법칙을 무질서의 법칙으로 설명할 수 있다.

동역학계에 대한 연구는 시간의 화살에 대한 가능한 설명을 제공한다. 고전적인 틀에서, 상미분 방정식으로 표현되는 시스템의 해는 시간 가역적이다. 그러나 흥미로운 사례들은 에르고딕하거나 혼합이며, 이는 시간의 화살의 기초 메커니즘으로 여겨진다. 하지만, 여러 파라미터가 있을 때 편미분 방정식이 사용되며, 페인만-카츠 공식에 의해 비가역적인 단일 매개변수의 무작위 시스템과 동일하게 취급될 수 있다.^[20]

혼합 및 에르고딕 시스템은 정확한 해를 갖지 않아, 수학적으로 시간 비가역성을 증명하기 어렵다. 차분 방정식과 같은 이산 시간 모델은 명시적인 시간 비가역성을 갖는 경우가 있다. 반복 함수는 "현재" 지점에 여러 "과거"가 연관될 수 있는 줄리아 집합을 가지므로, 비가역성이 내장되어 있다.

베이커 맵과 같이 혼돈적이지만 시간 가역적인 시스템도 있다. 이 경우, 프로베니우스-페론 연산자 또는 전달 연산자를 연구하는데, 이 연산자가 트레이스 클래스가 아닐 수 있다. 베이커 맵의 경우, 전달 연산자는 서로 다른 고유값 집합을 갖는 여러 기저로 표현될 수 있으며, 이는 시간 대칭성이 깨진 것으로 해석될 수 있다. 즉, 시스템은 시간 대칭적이지만, 전달 연산자는 그렇지 않다.

2006년 현재, 이러한 시간 대칭성 깨짐은 극소수의 이산 시간 시스템에서만 증명되었다. 더 복잡한 시스템에서는 전달 연산자가 일관되게 정의되지 않았고, 여러 어려움이 있다. Hadamard의 당구대나 PSL(2,R)의 접선 공간에서 아노소프 흐름과 같은 연속 시간 에르고딕 시스템에서는 대칭성 깨짐이 증명되지 않았다.

3. 3. 예시: 컵 깨짐

컵이 바닥에 떨어져 깨지는 현상은 비가역적이다.^[1] 깨진 컵 조각들이 스스로 모여 원래의 컵으로 돌아가는 일은 일어나지 않는다.^[1]

4. 시간의 화살의 종류

시간의 화살은 여러 종류가 있으며, 이들은 서로 연관되어 있다. 주요 시간의 화살은 다음과 같다:

열역학적 시간의 화살: 열역학 제2법칙에 따라 엔트로피가 증가하는 방향을 가리킨다. 예를 들어, 얼음 조각은 뜨거운 커피 속에서 녹지만, 커피로부터 스스로 뭉쳐지지는 않는다.
심리학적 시간의 화살: 우리가 미래가 아닌 과거를 기억하는 현상을 말한다. 이는 맥스웰의 도깨비 및 정보 물리학과 관련이 깊으며, 뇌 세포와 외부 세계 사이의 상관관계가 시간이 지남에 따라 증가하기 때문에 과거 사건을 기억하게 된다.
우주론적 시간의 화살: 우주의 팽창과 관련이 있으며, 빅뱅 직후 초기 우주의 낮은 엔트로피 상태에서 비롯된다. 초기 우주는 균일하고 고밀도 상태였으며, 이는 낮은 엔트로피 상태에 해당한다. 우주가 팽창하면서 엔트로피가 증가하는 방향으로 시간의 화살이 정의된다.
인과적 시간의 화살: 원인과 결과의 순서에 따라 정의되는 시간의 화살이다.
약력(시간의 화살): 약력에 의해 지배되는 일부 과정(예: K-중간자 붕괴)은 시간 방향 사이의 대칭성을 거스른다.

이 외에도 양자역학적 시간의 화살 등이 존재한다.

4. 1. 열역학적 시간의 화살

열역학 제2법칙에 따르면, 고립계의 엔트로피는 시간이 지남에 따라 증가하거나 일정하게 유지된다. 엔트로피가 시간에 따라 일정하다면, 시간의 방향을 특정할 수 없다. 하지만 엔트로피는 시스템이 최대의 무질서 상태, 즉 모든 기체가 용기 안에 균일하게 퍼져 있는 상태에 있을 때만 일정하다. 열역학적 시간의 화살이 존재한다는 것은 시스템이 특정 시간 방향에서만 질서 정연하다는 것을 의미하며, 이 방향이 바로 '과거'로 정의된다. 따라서 이 법칙은 운동 방정식보다는 경계 조건에 관한 것이다.^[14]

열역학 제2법칙은 본질적으로 통계적이다. 거시적인 시스템에는 엄청나게 많은 수의 입자가 존재하기 때문에 이 법칙은 높은 신뢰도를 갖는다. 예를 들어, 1몰의 기체에는 약 6 × 10²³개의 원자가 있는데, 이 모든 원자가 자발적으로 용기의 한쪽으로 이동하는 것은 불가능하지는 않지만, ''극도로'' 일어날 가능성이 낮다. 실제로 거시적인 규모에서 열역학 제2법칙을 위반하는 사례는 관찰된 적이 없다.

열역학적 시간의 화살은 종종 우주론적 시간의 화살과 연결되는데, 이는 우주의 초기 경계 조건과 관련이 있다. 빅뱅 이론에 따르면, 우주는 초기에 매우 뜨겁고 에너지가 균일하게 분포된 상태였다. 중력이 중요한 역할을 하는 우주와 같은 시스템에서, 이는 낮은 엔트로피 상태에 해당한다. (모든 물질이 블랙홀로 붕괴된 높은 엔트로피 상태와 비교했을 때, 이는 시스템이 결국 진화할 수 있는 상태이다.) 우주가 팽창하면서 온도가 낮아지고, 이는 과거에 비해 미래에 일을 할 수 있는 에너지의 양이 단위 부피당 감소함을 의미한다. 또한, 에너지 밀도의 섭동이 증가하여 결국 은하와 별이 형성된다. 따라서 우주 자체는 잘 정의된 열역학적 시간의 화살을 가지고 있다.^[3] 그러나 이는 우주의 초기 상태가 왜 낮은 엔트로피였는지에 대한 질문에는 답하지 못한다. 만약 중력으로 인해 우주의 팽창이 멈추고 역전된다면, 우주의 온도는 다시 뜨거워지겠지만, 섭동의 지속적인 증가와 궁극적인 블랙홀 형성을 통해 엔트로피도 계속 증가하여^[3] 빅 크런치의 후반 단계에 이르러 엔트로피가 현재보다 낮아질 것이다.

''시간의 화살'', 엔트로피, 그리고 열역학 제2법칙의 기초가 되는 수학은 카르노(1824), 클라페롱(1832), 클라우지우스(1854)가 상세화한 내용에서 파생된다.

일반적인 경험에서 알 수 있듯이, 뜨거운 물체 ''T₁'' (예: 화로)가 유체(작업 유체)를 통해 차가운 물체 ''T₂'' (예: 차가운 물의 흐름)와 물리적으로 접촉하면, 에너지는 항상 열 ''Q''의 형태로 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 흐르며, '''시간'''이 주어지면 시스템은 평형에 도달한다. 엔트로피는 ''Q/T''로 정의되며, 루돌프 클라우지우스는 이 과정의 분자적 비가역성, 즉 변환 과정에서 원자와 분자가 서로에게 수행하는 소산적인 일을 측정하는 함수로 생각했다.

위 다이어그램에서, 온도 ''T₁''에서 ''T₂''로 열 ''Q''가 이동하는 동안의 엔트로피 변화 Δ''S''는 다음과 같이 계산될 수 있다. (여기서 작동 유체는 일반적으로 증기 덩어리인 열기관을 의미하며, 논의를 위해 물 분자 두 개만 포함한다고 가정할 수 있다.)

:

S= \frac {Q}{T}

이 변환에 대한 엔트로피 변화 또는 "등가 값"은 다음과 같다.

:

\Delta S = S_{\mathit{최종}} - S_{\mathit{초기}} \,

이는 다음과 같다.

:

\Delta S = \left(\frac {Q}{T_2} - \frac {Q}{T_1}\right)

Q를 묶어내면 클라우지우스가 유도한 다음과 같은 형태를 얻는다.

:

\Delta S = Q\left(\frac {1}{T_2} - \frac {1}{T_1}\right)

예를 들어, ''Q''가 50 단위이고, ''T₁''이 초기에 100도, ''T₂''가 1도였다면, 이 과정의 엔트로피 변화는 49.5가 된다. 따라서 이 과정에서 엔트로피가 증가했고, 이 과정에는 일정량의 "시간"이 소요되었으며, 엔트로피 증가를 시간의 흐름과 연관시킬 수 있다. 이 시스템 구성의 경우, 이 규칙은 이후 "절대적인 규칙"이 된다. 이 규칙은 모든 자연 과정이 비가역적이라는 사실에 기반한다. 즉, 시스템의 분자(예: 탱크 안의 두 분자)는 외부 일(예: 피스톤을 밀기)을 할 뿐만 아니라, 과정 중에 사용된 열(열의 일당량 참조)에 비례하여 서로에게 내부 일도 하기 때문이다. 엔트로피는 내부 분자 간 마찰이 존재한다는 사실을 설명한다.

과거와 미래의 중요한 차이점은 모든 시스템(예: 입자 기체)에서 초기 조건은 대개 시스템의 다른 부분이 상관관계가 없다는 것이지만, 시스템이 진화하고 다른 부분이 서로 상호 작용하면서 상관관계를 갖게 된다는 것이다.^[4] 예를 들어, 입자 기체를 다룰 때 항상 초기 조건은 서로 다른 입자 상태 간에 상관관계가 없는 것으로 가정한다. 즉, 서로 다른 입자의 속도와 위치는 시스템의 거시상태를 준수해야 하는 필요성을 제외하고 완전히 무작위적이다. 이것은 열역학 제2법칙과 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어 유한 열 저장소와 상호 작용하는 유한 시스템에서 엔트로피는 시스템-저장소 상관관계와 동일하며, 따라서 둘 다 함께 증가한다.^[5]

실험을 통해 예를 들면, (실험 A) 처음에는 이상 기체로 반쯤 채워진 닫힌 상자를 생각해 보자. 시간이 지남에 따라 기체는 팽창하여 전체 상자를 채우므로 최종 상태는 기체로 가득 찬 상자이다. 이것은 비가역적인 과정이다. 상자가 처음부터 가득 차 있다면(실험 B), 기체 입자가 매우 특별한 위치와 속도를 갖는 매우 드문 경우를 제외하고는 나중에 반만 채워지지 않는다. 그러나 이것은 우리가 항상 실험 B의 초기 조건이 입자가 무작위적인 위치와 속도를 갖도록 가정하기 때문이다. 이것은 실험 A의 시스템의 최종 조건에 대해 옳지 않다. 왜냐하면 입자는 서로 상호 작용했기 때문에 위치와 속도가 서로 종속적이 되었기 때문이다. 즉, 상관관계가 있다. 이것은 우리가 실험 A를 시간 역순으로 보면 이해할 수 있다. 이를 실험 C라고 부른다. 이제 가스로 가득 찬 상자에서 시작하지만 입자는 무작위적인 위치와 속도를 갖지 않는다. 오히려 위치와 속도는 매우 특이하여 얼마 후 모두 상자의 한쪽 절반으로 이동한다. 이것이 시스템의 최종 상태이다(이것은 실험 A의 초기 상태이다. 왜냐하면 이제 우리는 동일한 실험을 거꾸로 보고 있기 때문입니다!). 이제 입자 간의 상호 작용은 입자 간의 상관관계를 생성하는 것이 아니라 실제로 최소한 겉으로는 무작위적으로 만들어서 기존의 상관관계를 "취소"한다. 실험 C(열역학 제2법칙을 위반하는)와 실험 B(열역학 제2법칙을 따르는)의 유일한 차이점은 전자의 경우 입자가 마지막에 상관관계가 없는 반면, 후자의 경우 입자가 처음에 상관관계가 없다는 것이다.

모든 미시적 물리적 과정이 가역적이라면, 입자 상태가 상관관계가 없는 초기 조건을 가진 모든 고립된 입자 시스템에 대해 열역학 제2법칙을 증명할 수 있다. 이렇게 하려면 시스템의 측정된 엔트로피와 시스템의 정보 엔트로피의 차이를 인정해야 한다.^[6] 측정된 엔트로피는 시스템의 거시상태 (부피, 온도 등)에만 의존한다. 측정된 엔트로피는 시스템 내 입자 간의 상관관계에 의존하지 않는다. 왜냐하면 거시상태에 영향을 미치지 않기 때문입니다. 그러나 정보 엔트로피는 상관관계에 '''의존'''한다. 왜냐하면 상관관계가 시스템의 무작위성을 낮추고 따라서 시스템의 정확한 미시 상태를 설명하는 데 필요한 정보의 양을 낮추기 때문이다.^[7] 따라서 이러한 상관관계가 없으면 두 엔트로피가 동일하지만, 그렇지 않으면 정보 엔트로피가 측정된 엔트로피보다 작으며, 그 차이를 상관관계의 양을 측정하는 데 사용할 수 있다.

리우빌 정리에 따라 모든 미시적 과정의 시간 반전은 고립된 시스템의 정확한 미시 상태(정보 이론적 결합 엔트로피)를 설명하는 데 필요한 정보의 양이 시간에 따라 일정하다는 것을 의미한다. 이 결합 엔트로피는 주변 엔트로피(상관관계가 없다고 가정하는 엔트로피)에 상관 엔트로피(상호 엔트로피 또는 그 음수인 상호 정보)를 더한 것과 같다. 처음에 입자 간의 상관관계가 없다고 가정하면 이 결합 엔트로피는 단순히 주변 엔트로피이다. 이 주변 엔트로피는 시스템의 초기 열역학적 엔트로피를 볼츠만 상수로 나눈 값이다. 그러나 이것이 실제로 초기 조건이라면, 이러한 상관관계는 시간이 지남에 따라 형성된다. 즉, 상호 엔트로피가 감소하고(또는 상호 정보가 증가하고) 너무 길지 않은 시간 동안—입자 간의 상관관계(상호 정보)는 시간과 함께 증가한다. 따라서 주변 엔트로피에 비례하는 열역학적 엔트로피도 시간과 함께 증가해야 한다.^[8] (여기서 "너무 길지 않음"은 고전적 버전의 시스템에서 모든 가능한 미시 상태를 통과하는 데 필요한 시간에 상대적이다. 대략

\tau e^S

로 추정할 수 있는 시간이다. 여기서

\tau

는 입자 충돌 사이의 시간이고 S는 시스템의 엔트로피이다. 모든 실제 사례에서 이 시간은 다른 모든 것에 비해 엄청나다). 입자 간의 상관관계는 완전히 객관적인 양이 아니라는 점에 유의해야 한다. 상호 엔트로피를 측정할 수는 없으며, 미시 상태를 측정할 수 있다고 가정할 때 변화만 측정할 수 있다. 열역학은 미시 상태를 구별할 수 없는 경우로 제한되며, 이는 열역학적 엔트로피에 비례하는 주변 엔트로피만 측정할 수 있으며, 실제적인 의미에서 항상 증가한다는 것을 의미한다.

4. 2. 우주론적 시간의 화살

열역학적 시간의 화살은 우주의 초기 경계 조건과 관련이 있기 때문에 종종 우주론적 시간의 화살과 연결된다. 빅뱅 이론에 따르면, 우주는 처음에는 매우 뜨거웠고 에너지가 균일하게 분포되어 있었다. 중력이 중요한 시스템, 즉 우주의 경우 이는 낮은 엔트로피 상태이다 (모든 물질이 블랙홀로 붕괴된 높은 엔트로피 상태와 비교했을 때, 이는 시스템이 결국 진화할 수 있는 상태이다). 우주가 팽창함에 따라 온도가 떨어지고, 이는 과거에 사용 가능했던 것보다 미래에 일을 수행하는 데 사용할 수 있는 에너지가 공간의 단위 부피당 적어짐을 의미한다. 또한, 에너지 밀도에서 섭동이 증가한다 (결국 은하와 별을 형성). 따라서 우주 자체는 잘 정의된 열역학적 시간의 화살을 가지고 있다.^[3] 그러나 이것은 우주의 초기 상태가 왜 낮은 엔트로피 상태였는지에 대한 질문에 답하지 못한다. 만약 중력으로 인해 우주의 팽창이 멈추고 역전된다면, 우주의 온도는 다시 뜨거워지겠지만, 섭동의 지속적인 증가와 궁극적인 블랙홀 형성을 통해 엔트로피도 계속 증가할 것이며, 결국 빅 크런치의 후반 단계에 이르러 엔트로피가 현재보다 낮아질 것이다.

4. 3. 심리학적 시간의 화살

우리가 미래가 아닌 과거를 기억할 수 있다는 생각은 "심리학적 시간의 화살"이라고 불리며, 이는 맥스웰의 도깨비 및 정보 물리학과 깊은 관련이 있다. 뇌 세포(또는 컴퓨터 비트)와 외부 세계 사이의 상관관계로 기억을 본다면, 기억은 열역학 제2법칙과 연결된다. 이러한 상관관계는 시간이 지남에 따라 증가하므로, 기억은 미래 사건이 아닌 과거 사건과 연결된다.

4. 4. 인과적 시간의 화살

시간 방향에 따라 다르게 발생하는 현상은 궁극적으로 열역학 제2법칙과 연관될 수 있다. 예를 들어, 얼음 조각은 뜨거운 커피에서 녹지만 커피와 합쳐져 스스로 조립되지는 않는다. 또한 거친 표면 위를 미끄러지는 블록은 속도가 느려지지만 빨라지지는 않는다. 과거를 기억하고 미래를 기억할 수 없다는 생각은 "심리적 시간의 화살"이라고 불리며, 이는 맥스웰의 악마와 정보 물리학과 깊은 관련이 있다. 기억은 뇌세포(또는 컴퓨터 비트)와 외부 세계 사이의 상관관계로 간주될 경우 열역학 제2법칙과 연결된다. 이러한 상관관계는 시간이 지남에 따라 증가하므로, 기억은 미래 사건이 아닌 과거 사건과 연결된다.

5. 양자역학과 시간의 화살

양자역학은 시간의 화살에 대한 새로운 관점을 제시한다. 양자역학의 비가역성에 대한 연구는 여러 방향으로 진행되었다. 한 가지 방법은 리그드 힐베르트 공간(rigged Hilbert space)을 연구하는 것이다. 특히 이산 및 연속 고유값 스펙트럼들이 어떻게 혼합하는지 연구한다. 예를 들어, 유리수는 실수와 완전히 섞여 있으면서도 고유하고 뚜렷한 성질들을 가지고 있다. 이와 유사한 상호 혼합을 가진 힐베르트 공간을 연구하면 시간의 화살에 대한 통찰력을 얻을 수 있을 것으로 기대된다.

또 다른 접근 방식은 양자 혼돈(quantum chaos) 연구를 통해 시스템을 고전적으로 혼돈, 에르고딕 또는 믹싱으로 양자화하려는 시도이다. 얻은 결과는 전송 연산자 방법에서 얻은 결과와 다르지 않다. 예를 들어, 볼츠만 기체(직사각형 상자 안에 있는 단단한(탄성) 점 입자로 이루어진 기체)를 양자화하면 고유함수가 상자 전체를 차지하는 공간 채우기 프랙탈이며 또한 에너지 고유값들이 매우 밀접한 간격으로 "거의 연속적인" 스펙트럼을 가지고 있음을 알 수 있다(상자 안에 입자가 유한한 경우, 스펙트럼은, 필수적으로, 이산적이어야 한다). 만일 초기 조건들이 모든 입자들이 상자의 한쪽에 한정되어 있는 경우라면, 시스템은 입자들이 상자 전체를 채우는 시스템으로 매우 빠르게 진화한다.

5. 1. 파동함수 붕괴

양자역학에서 파동함수 붕괴는 코펜하겐 해석에 따르면 실제적이고, 다세계 해석에 따르면 외견상으로만 그런, 돌이킬 수 없는 과정으로 간주된다. 파동함수 붕괴는 항상 열역학 제2법칙의 결과로 이해되는 양자 결어긋남을 따른다.^[20]

5. 2. 양자 결어긋남

양자 결어긋남은 양자 시스템이 주변 환경과 상호작용하면서 고전적인 상태로 변해가는 과정이다.Quantum decoherence^영어 이는 엔트로피 증가와 관련이 있으며, 시간의 화살을 설명하는 한 가지 방법을 제공할 수 있다.^[20]

양자역학의 비가역성을 연구하는 방법은 여러 가지가 있다. 한 가지 방법은 리그드 힐베르트 공간을 연구하는 것이다. 특히, 이산적인 고유값 스펙트럼과 연속적인 고유값 스펙트럼이 어떻게 섞이는지 연구한다. 예를 들어, 유리수는 실수와 완전히 섞여 있지만, 고유하고 뚜렷한 성질을 가지고 있다. 이와 유사하게 섞이는 힐베르트 공간을 연구하면 시간의 화살에 대한 통찰력을 얻을 수 있을 것으로 기대된다.

또 다른 접근 방식은 양자 혼돈을 연구하는 것이다. 고전적으로 혼돈, 에르고딕, 또는 섞임 상태인 시스템을 양자화하려는 시도를 통해 이루어진다. 여기서 얻은 결과는 전송 연산자 방법에서 얻은 결과와 다르지 않다. 예를 들어, 볼츠만 기체(직사각형 상자 안에 있는 단단한(탄성) 점 입자로 이루어진 기체)를 양자화하면, 고유함수가 상자 전체를 채우는 공간 채우기 프랙탈이며, 에너지 고유값들이 매우 촘촘하게 "거의 연속적인" 스펙트럼을 갖는다는 것을 알 수 있다. (상자 안에 입자가 유한하게 존재하므로, 스펙트럼은 필연적으로 이산적이어야 한다.) 만약 초기 조건에서 모든 입자들이 상자의 한쪽에만 있도록 설정하면, 시스템은 매우 빠르게 모든 입자가 상자 전체를 채우는 상태로 진화한다. 모든 입자들이 처음에 상자의 한쪽에 있더라도, 그것들의 파동 함수는 실제로 상자 전체에 퍼져있다. 즉, 한쪽에서는 건설적으로 간섭하고 다른 쪽에서는 파괴적으로 간섭한다. 이때 파동 함수들이 "우연히" 어떤 예상치 못한 상태로 배열되는 것은 "거의 불가능"하다고 주장함으로써 비가역성이 설명된다. 이러한 배열은 영의 측도의 집합이다. 고유함수들이 프랙탈이기 때문에, 엔트로피와 통계 역학의 많은 개념들을 도입하여 양자 사례를 설명할 수 있다.

6. 우주론과 시간의 화살

우주의 기원과 진화는 시간의 화살과 밀접하게 관련되어 있다. 우주는 빅뱅 직후 초기 단계에서 균일하고 고밀도 상태에 있었으며, 초기 우주의 뜨거운 가스는 열역학적 평형에 가까웠다.^[10] 중력이 주요 역할을 하는 시스템에서 이는 낮은 엔트로피 상태인데, 이는 열역학적 평형이 최대 엔트로피 상태인 비중력 시스템과는 반대이다. 따라서 초기 우주는 매우 질서 정연한 것으로 간주될 수 있다.

우주 인플레이션 이론에 따르면, 우주는 매우 작고 완전히 균일한 부피에서 진화하여 크게 팽창했고, 그 결과 매우 질서 정연했다. 이후 팽창과 관련된 양자 과정에 의해 변동이 생성되었고, 양자 탈공간화를 거쳐 상관 관계가 없어졌다. 이는 열역학 제2법칙에 필요한 초기 조건을 제공했다.

우주는 겉보기에 열린 우주이므로 팽창이 끝나지 않지만, 닫힌 우주였다면 미래의 특정 시간에 팽창이 멈추고 수축하기 시작할 것이다. 이 경우 열역학 제2법칙이 어떻게 될지는 불분명하다. 현재 과학계의 합의는 부드러운 초기 조건이 매우 불균일한 최종 상태로 이어지며, 이것이 열역학적 시간의 화살의 원천이라는 것이다.^[10] 중력 시스템은 중력 붕괴로 인해 블랙홀과 같은 조밀한 물체로 붕괴되는 경향이 있고, 우주가 수축함에 따라 이러한 물체는 더 큰 블랙홀로 병합된다.

한편, 시간의 화살이 역전될 것이라는 논란이 있는 견해도 있다.^[11] 이 견해에 따르면, 우주는 빅 크런치로 끝나며, 이는 빅뱅과 유사하다. 최종 상태가 매우 질서 정연하기 때문에 엔트로피는 우주의 끝에 가까워지면서 감소해야 하므로, 열역학 제2법칙은 우주가 수축할 때 역전된다.

6. 1. 빅뱅과 초기 조건

열역학 제2법칙에 따르면, 닫힌 계의 엔트로피는 시간이 지남에 따라 증가하거나 일정하게 유지된다. 빅뱅 이론은 우주가 매우 뜨겁고 밀도가 높은, 즉 엔트로피가 낮은 상태에서 시작되었다고 설명한다. 이는 열역학적 시간의 화살이 나타나는 근본적인 원인이 된다.^[14]

초기 우주는 에너지가 균일하게 분포된 낮은 엔트로피 상태였다. 중력이 중요한 역할을 하는 우주와 같은 시스템에서, 낮은 엔트로피 상태는 모든 물질이 블랙홀로 붕괴된 높은 엔트로피 상태와 비교된다. 우주가 팽창하면서 온도가 낮아지고, 에너지 밀도의 섭동이 증가하여 은하와 별이 형성되었다.

급팽창 이론은 초기 우주의 균일하고 고밀도 상태를 설명한다. 이 이론에 따르면, 우주는 매우 작고 균일한 부피에서 시작하여 급격하게 팽창하면서 고도로 질서 정연한 상태가 되었다. 이후 팽창과 관련된 양자 과정에서 발생한 요동들은 양자 결어긋남을 통해 상관관계가 없어졌고, 이는 열역학 제2법칙에 필요한 초기 조건을 제공했다.

만약 우주가 닫힌 우주라면, 먼 미래에 팽창을 멈추고 수축하기 시작할 것이다. 이 경우 열역학 제2법칙이 어떻게 작용할지는 불분명하다. 한 가지 가능성은, 우주가 수축하면서 블랙홀들이 합쳐져 매우 불균일한 최종 상태를 이룰 것이라는 점이다. 이는 매끄러운 초기 조건에서 매우 불균일한 최종 상태로 이어진다는 현재 과학계의 광범위한 합의와 일치한다.^[21] 또 다른 가능성은, 시간의 화살이 역전되어 우주가 대폭발과 유사한 대함몰로 끝날 것이라는 논란이 있는 견해이다.^[22]

6. 2. 우주의 팽창과 엔트로피 증가

열역학 제2법칙에 따르면 엔트로피는 시간이 흘러도 ''동일하게 유지''될 수 있지만, 이는 시스템이 이미 최대의 무질서 상태(예: 기체가 용기 안에 균일하게 퍼져 있는 경우)에만 해당한다. 열역학적 시간의 화살이 존재한다는 것은 과거에 시스템이 고도로 질서정연했음을 의미한다.

열역학적 시간의 화살은 우주의 초기 조건과 관련되어 있으며, 종종 우주론적 시간의 화살과 연결된다. 대폭발(빅뱅) 이론에 따르면, 초기 우주는 매우 뜨겁고 에너지가 균일하게 분포된, 낮은 엔트로피 상태였다. 우주가 팽창하면서 온도가 낮아지고 에너지 밀도의 섭동이 증가하여 은하와 별이 형성되었다. 따라서 우주 자체는 열역학적 시간의 화살을 가진다.

만약 우주 팽창이 중력으로 인해 멈추고 역전된다면, 온도는 다시 뜨거워지겠지만, 섭동의 증가와 블랙홀 형성으로 인해 엔트로피는 계속 증가할 것이다.^[14] 이는 대함몰 후반 단계까지 엔트로피가 지금보다 낮아지지 않음을 의미한다.

오늘날 과학계의 주류적 견해는 매끄러운 초기 조건이 매우 불규칙한 최종 상태로 이어지며, 이것이 열역학적 시간의 화살의 근원이라는 것이다.^[21] 이 관점에서 우주의 초기 상태와 최종 상태의 차이가 열역학적 시간의 화살을 설명하며, 이는 우주론적 시간의 화살과는 독립적이다.

7. 시간의 화살에 대한 논쟁

시간의 화살은 여전히 많은 논쟁의 대상이다.

참조

_[1] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory CRC Press
_[2] ArXiv The Thermodynamic Arrow: Puzzles and Pseudo-puzzles
_[3] 서적 The road to reality: a complete guide to the laws of the universe Jonathan Cape 2004
_[4] 간행물
_[5] 저널 Entropy production as correlation between system and reservoir 2010-01-15
_[6] 간행물
_[7] 간행물
_[8] 웹사이트 Some Misconceptions about Entropy http://www.ucl.ac.uk[...] 2011-02-13
_[9] 서적 The Feynman integral and Feynman's operational calculus Clarendon Press
_[10] 저널 Time's arrow and Boltzmann's entropy
_[11] 저널 Arrow of time in cosmology
_[12] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory CRC Press
_[13] ArXiv The Thermodynamic Arrow: Puzzles and Pseudo-puzzles
_[14] 간행물 The Road to Reality
_[15] 간행물 Physical Origins of Time Asymmetry
_[16] 간행물 Entropy production as correlation between system and reservoir 2010
_[17] 간행물 Physical Origins of Time Asymmetry
_[18] 간행물 Physical Origins of Time Asymmetry
_[19] 웹인용 Some Misconceptions about Entropy http://www.ucl.ac.uk[...] 2011-02-13
_[20] 서적 The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus Oxford University Press
_[21] 저널 Time's arrow and Boltzmann's entropy
_[22] 저널 Arrow of time in cosmology

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