쌍대 가군

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1. 개요

쌍대 가군은 환 R 위의 왼쪽 가군 M에 대해 정의되는 R-오른쪽 가군 M∨R이며, M에서 R로의 왼쪽 선형 변환들로 구성된다. 체의 경우, 쌍대 가군은 벡터 공간의 쌍대 공간으로, 유한 차원 벡터 공간에서는 원래 공간과 차원이 같고 동형이지만, 무한 차원 벡터 공간에서는 차원이 더 작다. 쌍대 가군의 개념은 가군층으로 일반화될 수 있으며, 이중 쌍대 가군은 M의 쌍대 가군의 쌍대 가군 M^{**}를 의미하며, 자연 사상을 통해 원래 가군 M과 연관된다.

쌍대 가군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 체의 경우
- 2.2. 가군층의 경우
3. 성질
- 3.1. 유한 차원 벡터 공간
- 3.2. 무한 차원 벡터 공간
4. 이중 쌍대 가군

2. 정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 의 쌍대 가군(雙對加群, dual module^영어) $M^\vee_R$ 은 $_RM$ 에서 $_RR$ 로 가는 모든 $R$ -왼쪽 선형 변환들의 집합으로 정의되며, 다음과 같은 자연스러운 $R$ -오른쪽 가군 구조를 가진다.
: $M^\vee_R = \hom(_RM, _RR)$
여기서 $\hom(_RM, _RR)$ 은 $_RM$ 에서 $_RR$ 로 가는 모든 $R$ -왼쪽 선형 변환(즉, $f(rm) = rf(m)$ 을 만족하는 함수 $f: M \to R$ )의 집합을 나타낸다.

쌍대 가군 $M^\vee_R$ 의 원소는 왼쪽 $R$ -선형 변환 $f: M \to R$ 들이며, 이 집합 위에는 다음과 같이 덧셈과 오른쪽 스칼라 곱 연산이 정의되어 $R$ -오른쪽 가군을 이룬다.
* 덧셈: 두 선형 변환 $f, g \in M^\vee_R$ 와 임의의 $m \in M$ 에 대하여, 합 $f+g$ 는 다음과 같이 정의된다.
:: $(f+g)(m) = f(m) + g(m)$
* 스칼라 곱: 선형 변환 $f \in M^\vee_R$ 와 스칼라 $r \in R$ , 그리고 임의의 $m \in M$ 에 대하여, 스칼라 곱 $fr$ 은 다음과 같이 정의된다.
:: $(fr)(m) = f(m)r$

마찬가지 방식으로, $R$ -오른쪽 가군의 쌍대 가군은 $R$ -왼쪽 가군이다.

만약 $R$ 가 가환환이면 왼쪽 가군과 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.

2.1. 체의 경우

R = K가 체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 가군 V는 벡터 공간이 된다. 벡터 공간의 쌍대 가군은 (대수적) 쌍대 공간((algebraic) dual space^영어)이라고 불리며, 보통 V*로 표기한다.

체 K 위의 벡터 공간 V의 부분 벡터 공간 W ⊂ V의 소멸자(annihilator^영어) W⁰는 다음과 같은, 쌍대 공간 V*의 부분 공간이다.
: $W^0 = \{f \in V^* \colon f(w) = 0 \, \forall w \in W\} \subset V^*$

2.2. 가군층의 경우

쌍대 가군의 개념은 가군층에 대하여 일반화될 수 있다.

국소환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 $\mathcal O_X$ -가군층 $\mathcal M$ 에 대하여, 쌍대 가군층 $\mathcal M^\vee$ 는 다음과 같이 정의된다.
: $\mathcal M^\vee=\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M,\mathcal O_X)$
여기서 $\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M,\mathcal O_X)$ 는 $\mathcal M$ 에서 $\mathcal O_X$ 로 가는 $\mathcal O_X$ -가군층 사상들의 층을 나타낸다.

또한, 다음과 같은 표준적인 $\mathcal O_X$ -가군층 사상이 존재한다.
: $\mathcal M\to\mathcal M^{\vee\vee}$
이 사상은 열린 집합 $U \subseteq X$ 의 단면 $s\in\Gamma(U;\mathcal M)$ 를 다음과 같은 사상으로 보낸다.
: $\left(f\in\Gamma\left(U;\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M, \mathcal O_X)\right)\right)\mapsto f(s)$
이때 $\mathcal M^\vee$ 를 $\mathcal O_X$ -가군층 $\mathcal M$ 의 쌍대 가군층(雙對加群層, sheaf of dual modules^영어)이라고 한다.

3. 성질

임의의 환 $R$ 에 대하여, 쌍대 가군을 취하는 연산은 $R$ 에 대한 왼쪽 가군들의 범주 $_R\text{Mod}$ 에서, 오른쪽 가군들의 범주 $\text{Mod}_R$ 의 반대 범주로 가는 함자
: $(-)^\vee\colon {}_R\text{Mod}\to\text{Mod}_R^{\operatorname{op}}$
를 정의한다.

특히, 쌍대 가군을 두 번 취하는 연산은 자기 함자
: $(-)^{\vee\vee}\colon {}_R\text{Mod}\to{}_R\text{Mod}$
를 정의한다. R-가군 M의 쌍대 가군 M^*의 다시 쌍대 가군인
: $M^{$ } = {\mathrm{Hom}}_R (M^* , R)
을 M의 이중 쌍대 가군(double dual module^영어)이라고 한다. 여기서 ${\mathrm{Hom}}_R (M^* , R)$ 은 $M^*$ 에서 $R$ 로 가는 모든 R-가군 준동형들의 집합을 나타낸다.

M의 원소는 M^*에서 R로 가는 가군 준동형이다. 각 $m \in M$ 에 대하여, 사상 $\phi_m : M^* \to R$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다.
: $\phi_m(f) = f(m) \quad (\forall f \in M^*)$
이 $\phi_m$ 은 가군 준동형이므로 $M^{$ }의 원소가 된다 ( $\phi_m \in M^{$ }).

이를 이용하여 M에서 M로 가는 사상 $\chi : M \to M^{$ }를 다음과 같이 정의한다.
: $\chi(m) = \phi_m$
이 사상 $\chi$ 는 가군 준동형이며, 정규 사상(canonical map^영어) 또는 자연 사상(natural map^영어)이라고 불린다. 이 사상이 동형 사상인지 여부 등 구체적인 성질은 가군 M의 종류에 따라 달라진다.

3.1. 유한 차원 벡터 공간

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간 $V^*$ 역시 유한 차원 벡터 공간이다. 중요한 점은 $V$ 와 그 쌍대 공간 $V^*$ 의 차원이 같다는 것이다.

: $\dim V=\dim V^*$

차원이 같으므로 두 공간은 서로 동형이다.

: $V\cong V^*$

이 동형 관계를 구체적으로 보기 위해, $V$ 의 기저 $B = \{b_1, b_2, \dots, b_n\}$ 를 생각해보자. 이 기저에 대응하는 $V^*$ 의 기저 $B^* = \{b^1, b^2, \dots, b^n\}$ 를 정의할 수 있는데, 이를 쌍대 기저(dual basis^영어)라고 부른다. 쌍대 기저의 각 원소 $b^i \in B^*$ 는 $V$ 의 기저 벡터 $b_j \in B$ 에 다음과 같이 작용하는 선형 범함수이다.

: $b^i(b_j)=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}$

즉, $b^i$ 는 자신과 같은 첨자를 가진 기저 벡터 $b_i$ 에 대해서는 1을, 다른 기저 벡터 $b_j$ ( $i \ne j$ )에 대해서는 0을 값으로 가진다.

벡터 $v \in V$ 와 선형 범함수 $f \in V^*$ 는 각각의 기저와 쌍대 기저를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $v=\sum_{i=1}^n b^i(v)b_i$
: $f=\sum_{i=1}^n f(b_i)b^i$

여기서 $b^i(v)$ 는 벡터 $v$ 의 $b_i$ 에 대한 좌표이고, $f(b_i)$ 는 선형 범함수 $f$ 의 $b^i$ 에 대한 좌표가 된다.

그러나 $V$ 와 $V^*$ 사이의 동형은 $V$ 의 기저를 선택하는 방식에 따라 달라지므로, 표준적(canonical^영어)이지 않다. 즉, 특별히 선호되는 자연스러운 동형 관계가 존재하지 않는다.

반면, $V$ 의 이중 쌍대 공간 $V^{$ } = (V^*)^*는 $V$ 와 표준적으로 동형이다. 이 표준 동형은 기저의 선택과 무관하게 다음과 같이 정의된다.

: $\Psi: V \to V^{$ }
: $v \mapsto \Psi_v$

여기서 $\Psi_v$ 는 $V^*$ 의 원소 $f$ 를 $f(v)$ 로 보내는 $V^{$ }의 원소이다. 즉, $\Psi_v(f) = f(v)$ 이다. 유한 차원 벡터 공간의 경우 이 사상 $\Psi$ 는 동형 사상이 된다.

: $V\cong V^{$ }

범주론의 언어를 사용하면, 유한 차원 벡터 공간의 범주 $K\text{-FinVect}$ 에서 자기 자신으로 가는 함자 $^{**}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}$ 는 항등 함자 $\operatorname{id}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}$ 와 자연 동형이다.

또한, $V$ 의 부분 벡터 공간 $W \subseteq V$ 가 주어졌을 때, $W$ 의 소멸자(annihilator^영어) $W^0$ 는 $W$ 의 모든 벡터를 0으로 보내는 $V^*$ 의 원소들로 이루어진 부분 공간이다 ( $W^0 = \{f \in V^* \mid f(w)=0 \text{ for all } w \in W\}$ ). 이 소멸자의 차원은 다음과 같다.

: $\dim W^0 = \dim V - \dim W$

3.2. 무한 차원 벡터 공간

무한 차원의 벡터 공간 $V$ 의 경우, 만약 $V$ 의 차원이 가산 무한 ( $\aleph_0$ ) 이상이라면, $V$ 의 차원은 (기수로서) 항상 그 쌍대 공간 $V^*$ 의 차원보다 엄격하게 작다. 즉, $\dim V < \dim V^*$ 이다.

모든 벡터 공간 $V$ 에 대해, $V$ 에서 그 이중 쌍대 공간 $V^{$ }로 가는 표준적인 선형 사상 $\phi_V$ 가 존재한다.
: $\phi_V\colon V\to V^{$ }
이 사상은 각 벡터 $v \in V$ 를 $V^*$ 상의 계산 사상(evaluation map)으로 보내며, 이는 $f \in V^*$ 에 대해 다음과 같이 정의된다.
: $(\phi_V(v))(f) = f(v)$

이 사상 $\phi_V$ 는 항상 단사 함수이다. 만약 $V$ 가 유한 차원이라면 $\phi_V$ 는 전사 함수이기도 하여 동형 사상이 되지만, $V$ 가 무한 차원일 경우에는 전사 함수가 아니다.

이러한 이유 때문에, 만약 $V$ 가 위상 벡터 공간이라면 대수적 쌍대 공간( $V^*$ ) 대신 연속 쌍대 공간(위상적 쌍대 공간)을 사용하는 경우가 많다. 연속 쌍대 공간은 $V$ 에서 기저 체로 가는 모든 연속 선형 함수들의 공간이다.

4. 이중 쌍대 가군

R-가군 M의 쌍대 R-가군 M^*의 쌍대 가군인,
: $M^{$ } = \mathrm{Hom}_R (M^*, R)
을 M의 이중 쌍대 가군(double dual module)이라고 한다.

이것은 M^* (즉, M에서 R로 가는 가군 준동형들의 모임)에서 R로 가는 가군 준동형 전체가 이루는 R-가군이다. 따라서 M의 원소는 M^*의 각 원소(가군 준동형 $f: M \to R$ )에 R의 원소를 대응시키는 사상이다.

각 원소 $r \in M$ 에 대해, 사상 $\phi_r : M^* \to R$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다.
: $\phi_r(f) = f(r) \quad (\forall f \in M^*)$
이 사상 $\phi_r$ 은 M^*에서 R로 가는 가군 준동형이므로, $\phi_r$ 은 M의 원소이다.

이를 이용하여 사상 $\chi : M \to M^{$ }를 다음과 같이 정의한다.
: $\chi(r) = \phi_r$
이 사상 $\chi$ 는 가군 준동형이며, 그 직관적이고 범주론적으로 자연스러운 모습 때문에 R-가군 M에서 M로의 정규 사상(canonical map) 또는 자연 사상**(natural map)이라고 불린다.