쌍순환군

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1. 개요

쌍순환군은 아벨 군과 차수가 2인 원소를 사용하여 정의되는 군의 일종이다. 특히 짝수 크기의 순환군에 대한 쌍순환군은 Dic(n)으로 표기되며, 사원수 가역원군의 부분군으로 나타낼 수 있다. 쌍순환군은 이진 다면체군의 일종으로, 이진 이면체군으로도 알려져 있으며, 이면체군과 유사하지만 다른 구조를 가진다. 일반화된 이중 순환 군은 아벨 군과 추가 원소로 생성되며, 쌍순환군은 이진 삼각 군족의 경우로 정의된다. 사원수군은 쌍순환군의 한 예시이며, 브라우어-스즈키 정리는 쌍순환군과 관련된 유한군의 성질을 설명한다.

쌍순환군

개요

이름	쌍순환군
영어 이름	Dicyclic group
독일어 이름	Verallgemeinerte Quaternionengruppe (일반화 사원수군)
다른 이름	일반화 사원수군 이중 순환군

표기

쇤플리스 표기법	$Q_{4m}$
콕서터 표기법	⟨n,2,2⟩
다른 표기법	Dic(n) 또는 <2,2,n>

정의

생성원	$a, b$
관계	$a^{2m} = 1, b^2 = a^m, bab^{-1} = a^{-1}$

성질

위수	$4m$
군 종류	유한군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 이진 다면체군
5. 일반화
6. 예
7. 사원수군
8. 브라우어-스즈키 정리

2. 정의

아벨 군 $A$ 와 차수가 2인 원소 $y\in A$ 가 주어졌을 때, 쌍순환군 $\operatorname{Dic}(A,y)$ 는 다음 조건들을 만족시키는 군 $G\ge A$ 이다.
* 부분군의 지표는 $[G:A]=2$ 이다.
* $G$ 는 $A$ 와 어떤 $x\in G\setminus A$ 에 의하여 생성되며, $x^2=y$ 이며 $x^{-1}ax=a^{-1}$ 이다.

이러한 군은 항상 유일하다. 짝수 크기의 순환군 $\operatorname{Cyc}(2n)=\langle a|a^{2n}=1\rangle$ 의 경우, 차수가 2인 원소 $a^n$ 이 유일하게 존재한다. $\operatorname{Cyc}(2n)$ 에 대한 쌍순환군을 $\operatorname{Dic}(n)$ 이라고 하며, 이 군의 표시는 다음과 같다.

: $\operatorname{Dic}(n)=\langle a,x|a^{2n}=1,\;x^2=a^n,\;x^{-1}ax=a^{-1}\rangle$

이는 사원수 가역원군의 부분군으로 나타낼 수 있다.

: $\operatorname{Dic}(n)=\{\exp(i\pi m/n)j^k\colon m,k\in\mathbb Z\}$

각 정수 n > 1에 대해, 쌍순환군 Dic_n은 다음으로 생성되는 단위 사원수의 부분군으로 정의될 수도 있다.

: $\begin{align}a & = e^\frac{i\pi}{n} = \cos\frac{\pi}{n} + i\sin\frac{\pi}{n} \\x & = j\end{align}$

Dic_n의 모든 원소는 0 ≤ m < 2n이고 l = 0 또는 1일 때, a^mx^l로 고유하게 표기될 수 있다. 곱셈 규칙은 다음과 같다.

* $a^k a^m = a^{k+m}$
* $a^k a^m x = a^{k+m}x$
* $a^k x a^m = a^{k-m}x$
* $a^k x a^m x = a^{k-m+n}$

이로부터 Dic_n은 차수 4n을 갖는다.

3. 성질

다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.
: $1\to A\hookrightarrow\operatorname{Dic}(A,y)\twoheadrightarrow\operatorname{Cyc}(2)\to 1$
그러나 이는 분할 완전열이 아니다.

다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
: $\begin{matrix}\operatorname{Dic}(A,y)&\twoheadrightarrow&\operatorname{Dih}(A/\langle y\rangle)\\\cup&&\cup\\A&\twoheadrightarrow& A/\langle y\rangle\end{matrix}$
여기서 $\operatorname{Dih}(A/\langle y\rangle)\cong(A/\langle y\rangle)\rtimes\operatorname{Cyc}(2)$ 는 정이면체군이다.

각 n > 1에 대해 쌍순환군 Dic_n는 4n차의 비가환군이다. (n = 1인 경우는 순환군 C₄이다.)

A = 를 Dic_n의 a에 의해 생성된 부분군이라고 하면, A는 2n차의 순환군이므로, [Dic_n:A] = 2이다. 지수 2의 부분군으로서, 자동적으로 정규 부분군이다. 몫군 Dic_n/A는 2차의 순환군이다.

Dic_n은 가해군이다. A는 정규 부분군이며, 가환군이므로, 그 자체로 가해군이다.

4. 이진 다면체군

쌍순환군은 이진 다면체군의 일종으로, 핀 군 Pin₋(2)의 부분군 중 하나이며, 이는 다시 스핀 군 Spin(3)의 부분군이다. 이 맥락에서 이진 이면체군으로 알려져 있다.

쌍순환군은 이면체군과 유사해 보이지만, x² = aⁿ이라는 점이 다르며, 이로 인해 다른 구조가 생성된다.

사원수와 공간 회전에서 설명된 단위 사원수군에서 3차원 회전군으로의 자연스러운 2대 1 준동형사상이 있다. 쌍순환군은 단위 사원수 내부에 포함될 수 있으므로, 이 준동형사상 하에서 쌍순환군의 이미지는 이면체 대칭군 Dih_n이다. 이러한 이유로 쌍순환군은 이진 이면체군이라고도 한다.

5. 일반화

A를 위수 2의 특정 원소 y를 갖는 아벨 군이라고 하자. 군 G가 일반화된 이중 순환 군이라고 불리며, Dic(A, y)로 표기하고, A와 추가 원소 x에 의해 생성되고, [G:A] = 2, x² = y이며, A의 모든 a에 대해 x⁻¹ax = a⁻¹을 만족하는 경우이다.

짝수 위수의 순환군에는 항상 위수 2의 고유한 원소가 있기 때문에, 이중 순환 군은 단지 일반화된 이중 순환 군의 특정 유형일 뿐이다.

이중 순환 군은 이진 삼각 군족 $\Gamma(p,q,r)$ 의 경우 $(p,q,r)=(2,2,n)$ 이며, 표현식에 의해 정의된다:[https://groupprops.subwiki.org/wiki/Binary_von_Dyck_group]

$\langle a,b,c \mid a^p = b^q = c^r = abc \rangle.$

추가 관계

abc = e

로 몫을 취하면 일반적인 삼각 군이 생성되며, 이 경우 이면체 몫

\mathrm{Dic}_n\rightarrow  \mathrm{Dih}_n

이 된다.

6. 예

낮은 차수의 쌍순환군은 다음과 같다.

* $\operatorname{Dic}(1)\cong\operatorname{Cyc}(4)$
* $\operatorname{Dic}(2)\cong Q_8$ (사원수군)
* $\operatorname{Dic}(3)\cong\operatorname{Cyc}(3)\rtimes\operatorname{Cyc}(4)$
* $\operatorname{Dic}(6)\cong\operatorname{Cyc}(3)\rtimes Q_8$
* $\operatorname{Dic}(7)\cong\operatorname{Cyc}(7)\rtimes\operatorname{Cyc}(4)$

$\operatorname{Dic}(3)$ 의 반직접곱 표현에서, $\operatorname{Cyc}(4)$ 의 $\operatorname{Cyc}(3)$ 위의 작용은 다음과 같다.

: $\operatorname{Cyc}(3)=\langle a|a^3=1\rangle$
: $\operatorname{Cyc}(4)=\langle b|b^4=1\rangle$
: $b\colon\begin{cases}1\mapsto 1\\a\mapsto a^2\\a^2\mapsto a\end{cases}$

7. 사원수군

사원수군(quaternion group)은 $Q_8 = \langle\, i, j, k \mid i^2 = j^2 = k^2 = ijk \,\rangle$ 라는 표현으로 정의된다. 이는 위수 8의 비가환군으로, 모든 진부분군은 순환적이다. 원소 ijk \in Q는 유일한 대합으로 중심적이며, $-1$ 로 쓰이는 경우가 많다. 이러한 기호는 해밀턴의 사원수환의 생성계에서 유래한다. 군의 생성원을
: $i \mapsto \begin{bmatrix} \sqrt{-1} & 0 \\ 0 & -\sqrt{-1} \end{bmatrix}, \quadj \mapsto \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \quadk \mapsto \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} & 0 \end{bmatrix}$
처럼 대응시킴으로써, 충실한 행렬 표현을 얻을 수 있다. 사원수군은 해밀턴 군(Hamilton group), 즉, 모든 부분군이 정규 부분군인 비가환군의 최소 위수의 예이다. 자기 동형군은 4차 대칭군과 동형이다.

8. 브라우어-스즈키 정리

유한군 G가 갖는 실로우 {{math이 일반 사원수군과 동형이라면, 최대의 홀수 위수 정규 부분군 {{math에 의한 몫 의 중심은 위수 이다. 특히, 이러한 유한군 G는 결코 단순군이 아니다.