존 폰 노이만

3. 수학 분야 업적

폰 노이만은 순수 수학과 응용 수학 양쪽에서 방대한 업적을 남겼다. 순수 수학 분야에서는 수리논리학, 집합론, 측도론, 함수 해석학, 작용소환론, 에르고드 이론 등을 깊이 연구했다. 특히 집합론에서는 정칙성 공리와 클래스 개념을 도입하여 현대 집합론의 기초를 다지는 데 기여했으며, 수리논리학에서는 괴델과 독립적으로 제2 불완전성 정리를 발견하기도 했다. 그의 집합론, 함수해석학, 격자 이론, 에르고드 이론 등에 대한 상세한 업적은 관련 하위 문단에서 자세히 다룬다.

게임 이론의 정립에도 크게 기여했는데, 특히 미니맥스 정리의 증명은 수학뿐만 아니라 경제학, 경영학, 군사학(작전 연구), 컴퓨터 과학(제로섬 게임 전략, 인공지능 체스 프로그램 등) 등 다양한 분야에 큰 영향을 미쳤다.^[237] 오스카 모르겐슈테른과 함께 게임 이론을 경제학에 도입한 것은 그의 중요한 경제학적 공헌으로 평가받으며, 현대 경제학의 주요 분야로 자리 잡게 되었다. 또한, 경제성장이론에서는 폰 노이만 다부문 성장 모형을 제시하고 생산집합과 재생산 개념을 도입했으며, 브라우어의 고정점 정리를 이용해 경제 균형의 존재를 증명하기도 했다.

컴퓨터 과학 분야에서도 선구적인 업적을 남겼다. 1944년 ENIAC의 존재를 알게 된 후, 고속 계산 능력의 중요성을 간파하고 EDVAC 개발에 참여하여 프로그램 내장 방식 개념을 제안했다. 이 아이디어는 EDVAC 관련 보고서 초고를 통해 알려졌고, 현대 컴퓨터 구조의 표준인 폰 노이만 구조로 불리게 되었다.^[243] 그는 앨런 튜링, 클로드 섀넌 등과 함께 현대 컴퓨터의 이론적 기초를 다진 인물로 평가받는다.^[249] 또한 IAS에서 IAS 머신 개발 프로젝트를 이끌었다.

3. 1. 집합론

3. 2. 함수해석학

3. 3. 격자 이론

차원은 양의 선형 변환까지, 다음 두 가지 성질에 의해 결정됩니다. 원근 사상("원근 변환")에 의해 보존되고 포함에 의해 순서가 지정됩니다. 증명의 가장 심오한 부분은 원근성과 "분해에 의한 사영성"의 동등성에 관한 것으로, 그 결과 원근성의 추이성이 나옵니다.

서로 원근적인 $n\; \backslash ge\; 4$개의 원소의 "기저"를 갖는 여결 모듈러 격자 $L$는 적절한 정칙환 $R$의 모든 주 우이데알의 격자 $\backslash mathcal\{R\}(R)$와 동형입니다. 이 결론은 완전히 새로운 공리를 포함하는 140페이지에 걸친 훌륭하고 예리한 대수의 절정입니다. 폰 노이만의 마음의 날카로운 면을 잊을 수 없는 인상을 받고 싶은 사람은 스스로 이 정확한 추론의 연쇄를 추구해 보는 것만으로 충분합니다. 종종 그 중 5페이지가 아침 식사 전에 잠옷을 입고 거실 서재에 앉아 쓰여졌다는 것을 깨닫습니다.

3. 4. 기타 수학 분야

4. 물리학 분야 업적

폰 노이만은 물리학 분야, 특히 양자역학과 유체역학에서 중요한 업적을 남겼다. 그는 형식적으로 양자역학을 완성한 것으로 평가받는 저서 『양자역학의 수학적 기초』로 잘 알려져 있다. (자세한 내용은 아래 문단 참조)

또한 그는 제2차 세계 대전 중 원자폭탄 개발에 깊이 관여했다. 이 과정에서 다음과 같은 기여를 했다.

• 폭탄이 지상에 충돌하기 전 공중에서 폭발할 때 피해가 더 커진다는 이론을 제시했으며, 이 이론은 히로시마와 나가사키에 투하된 원자폭탄에 실제로 적용되었다.
• 나가사키에 투하된 플루토늄형 원자폭탄 팻 맨에 사용된 폭축렌즈 개발을 담당했다. 그는 1940년대에 폭굉파면의 구조에 관한 ZND 이론을 공동으로 확립했으며, 이 이론에 기반한 수치 해석을 통해 폭축렌즈 방식의 원자폭탄이 실현 가능함을 보였다. (자세한 내용은 아래 문단 참조)
• 소련의 스파이였던 클라우스 푸크스와 수소폭탄을 공동으로 개발하기도 했다.
• 일본에 대한 원폭 투하 목표 지점을 선정할 당시, 일본 국민에게 깊은 문화적 의미를 지닌 교토를 오히려 파괴해야 한다고 주장하며 투하 목표로 제안하기도 했다. 이러한 측면 때문에 폰 노이만은 스탠리 큐브릭 감독의 영화 『닥터 스트레인지러브』에 등장하는 스트레인지러브 박사의 모델 중 한 명으로 여겨진다.

4. 1. 양자역학

4. 2. 유체역학

5. 경제학 분야 업적

폰 노이만은 경제학 분야에서도 중요한 업적을 남겼으며, 특히 게임 이론과 수리 경제학의 발전에 기여했다.

주요 기여는 다음과 같다.

• 폰 노이만 다부문 성장 모형을 통해 경제성장이론에 기여했다.
• 생산집합 및 재생산의 생산 시스템 개념을 도입했다.
• 브라우어의 부동점 정리를 이용하여 경제 시스템 내 균형의 존재를 수학적으로 증명했다.
• 오스카 모르겐슈테른과 함께 경제학에 게임 이론을 도입했으며, 이는 게임 이론이 미시경제학 및 거시경제학과 함께 경제학의 중요한 분야로 자리 잡는 계기가 되었다.

5. 1. 게임 이론

5. 2. 수리 경제학

• 벡터 ''p''는 상품의 가격을 나타낸다 (전치된 형태).
• 벡터 ''q''는 각 생산 과정이 얼마나 활발하게 이루어지는지("강도")를 나타낸다.
• 고유값 ''λ''는 경제의 성장 계수를 의미하며, 이는 성장률에 1을 더한 값이다. 이 성장률은 이자율과 같다.^[139][140]

폰 노이만의 일반균형, 고정점 정리, 선형 계획법 연구는 후대 경제학자들에게 큰 영향을 미쳤다. 케네스 애로(1972년), 제라르 드브뢰(1983년), 그리고 존 내쉬(1994년) 등 노벨 경제학상 수상자들은 그의 연구 방법론을 활용하여 중요한 경제 이론들을 발전시켰다. 이들 외에도 팃징 쿡만스, 레오니드 칸토로비치, 바실리 레온티예프, 폴 새뮤얼슨, 로버트 도프먼, 로버트 솔로, 레오니트 후르비치 등 많은 노벨상 수상자들이 선형 계획법을 연구에 활용했다.

6. 컴퓨터 과학 분야 업적

폰 노이만은 컴퓨터 과학 분야의 선구적인 인물로, 컴퓨터 하드웨어 설계, 이론 컴퓨터 과학, 과학 컴퓨팅, 그리고 컴퓨터 과학 철학 등 다방면에 걸쳐 중요한 공헌을 남겼다.

6. 1. 폰 노이만 구조

6. 2. 알고리즘

6. 3. 세포 자동자

6. 4. 기타 컴퓨터 과학 분야

7. 기타 업적

폰 노이만은 다양한 분야에 걸쳐 중요한 업적을 남겼다. 그의 학문적 여정은 수학에서 시작되었다. 18세 때 미하엘 페케테와 공동으로 첫 논문 "특정 최소 다항식의 영점 위치에 관하여"를 발표했고, 19세에는 단독으로 "초한 수의 도입에 관하여"라는 논문을 발표했다. 이후 집합론의 공리화에 대한 연구로 박사 학위 논문을 작성했으며, 1932년에는 양자역학의 수학적 기초를 다룬 중요한 저서 양자역학의 수학적 기초를 출판했다.

이후 그의 연구는 순수 수학을 넘어 응용 분야로 확장되었다. 독일어 대신 영어로 저술하기 시작하면서 그의 출판물은 더욱 선별적이 되었고, 순수 수학의 범위를 넘어섰다. 1942년 발표한 "폭발파 이론"은 군사 연구에 기여했으며, 컴퓨팅 분야 연구는 1946년 미발표 논문 "대규모 컴퓨팅 기계의 원리에 관하여"에서 시작되었다. 또한, 1950년에는 "정압성 와동 방정식의 수치적 적분" 논문을 통해 기상 예측 연구의 문을 열었다. 이는 이후 기상학 분야에서 컴퓨터를 활용한 수치 예보 발전의 중요한 계기가 되었다.

말년에는 기술 발전이 인류 사회에 미칠 영향에 대해서도 깊이 고찰했다. 1947년 발표한 에세이 "수학자"는 순수 수학에서 벗어나 현실 문제에 대한 그의 관심을 보여주는 글로 평가받으며,^[212] 1955년 "우리는 기술을 극복할 수 있을까?"에서는 핵전쟁과 인공적인 기후 변화 가능성 등 기술 발전의 잠재적 위험성을 경고했다. 이러한 고찰은 훗날 기술적 특이점 가설 논의의 기초가 되기도 했다. 그의 연구 결과와 저술들은 총 6권의 전집으로 편찬되었다.

7. 1. 기상학

7. 2. 기술적 특이점 가설

8. 평가와 유산

허먼 골드스타인은 폰 노이만이 숨겨진 오류를 직감하는 능력과 오래된 자료를 완벽하게 기억하는 능력을 높이 평가했다.^[181] 그는 어려움에 직면했을 때 문제에 끈질기게 매달리기보다는 잠시 쉬면서 해결책을 찾는 방식을 선호했으며, 때로는 이러한 '최소 저항의 경로'를 택하는 방식 때문에 문제에서 벗어나기도 했다고 평가했다. 스타니스와프 울람 역시 문제가 처음부터 매우 어려워 보이면 폰 노이만이 다른 문제로 관심을 돌리는 경향이 있었다고 언급했다. 또한, 폴 할모스에 따르면 폰 노이만은 때때로 표준 수학 문헌을 찾아보기보다 필요한 정보를 직접 다시 유도하는 것을 더 쉽게 여겼다.

제2차 세계 대전 발발 후 학문 및 군사 활동으로 매우 바빠지면서, 강연 내용을 정리하거나 연구 결과를 체계적으로 발표하지 않는 습관은 더욱 심해졌다.^[181] 그는 자신의 생각이 충분히 무르익지 않은 주제에 대해 공식적으로 글을 쓰는 것을 어려워했으며, 그렇지 않으면 "가장 나쁜 형식주의와 비효율성의 특징을 보일 것"이라고 생각했다.

수학자 장 디외도네는 폰 노이만을 "순수 수학과 응용 수학 모두에 정통했고, 평생 두 분야 모두에서 꾸준한 성과를 낸 위대한 수학자들의 마지막 대표자일지도 모른다"고 평가했다. 디외도네는 그의 독특한 천재성이 해석학과 "조합론"에 있다고 보았는데, 여기서 조합론은 복잡한 작업을 체계화하고 공리화하는 그의 능력을 설명하는 넓은 의미로 사용되었다. 그의 해석학 스타일은 선형대수학과 일반위상수학에 기반한 독일 학파를 따랐다. 그러나 디외도네는 폰 노이만의 순수 수학 범위가 앙리 푸앵카레, 다비트 힐베르트, 헤르만 바일만큼 넓지는 않았으며, 정수론, 대수적 위상수학, 대수기하학, 미분기하학 분야에서는 중요한 연구를 남기지 않았다고 지적했다. 반면 응용 수학에서의 업적은 칼 프리드리히 가우스, 오귀스탱 루이 코시, 앙리 푸앵카레와 견줄 만하다고 평가했다.

유진 위그너는 "아무도 모든 과학을 알지 못하며, 폰 노이만조차 그러지 못했다. 그러나 수학에 관해서는 정수론과 위상수학을 제외한 모든 부분에 기여했다. 이것은 독특한 일이다"라고 말했다. 폴 할모스 역시 폰 노이만이 토러스의 위상학적 정의를 알지 못했던 일화를 언급하며 그의 지식 범위에 한계가 있었음을 지적했다. 폰 노이만 자신도 허먼 골드스타인에게 위상수학에 능숙하지 않으며 불편함을 느낀다고 인정했다. 골드스타인은 이를 언급하며 폰 노이만을 헤르만 바일과 비교했을 때 바일이 더 깊고 넓다고 생각했다.

살로몬 보크너는 폰 노이만의 순수 수학 연구가 주로 유한 및 무한 차원 벡터 공간에 집중되었지만, 위상수학, 미분기하학, 조화 적분, 대수기하학과 같은 "전역적 의미"의 기하학 분야는 거의 다루지 않았다고 지적했다.

폰 노이만 자신도 말년에 순수 수학자들이 더 이상 해당 분야의 일부조차 깊이 알기 어렵게 되었다고 한탄했다. 1940년대 초, 울람은 폰 노이만의 지식의 약점을 찾기 위해 미분기하학, 정수론, 대수학 질문을 던졌으나 만족스러운 답을 얻지 못했다고 회상했다. 울람은 대부분의 수학자들이 하나의 기법을 숙달하여 반복 사용하는 반면, 폰 노이만은 세 가지 기법, 즉 선형 연산자의 기호 조작 능력, 새로운 수학 이론의 논리 구조에 대한 직관, 새로운 이론의 조합적 상부 구조에 대한 직관을 모두 숙달했다고 평가했다.

일반적으로 해석학자로 분류되지만, 폰 노이만은 스스로를 대수학자로 여겼으며^[182], 그의 스타일은 대수적 기법과 집합론적 직관의 혼합을 보여주었다. 그는 세부 사항에 집착하고 반복이나 명시적인 표기법을 꺼리지 않았다. 예를 들어, 연산자의 환에 관한 논문에서 정규 함수 표기법 'φ(x)'를 'φ((x))'로 확장하고 이를 반복하여 '(ψ((((a)))))² = φ((((a))))'와 같은 복잡한 방정식을 사용하기도 했다. 이 때문에 1936년 논문은 학생들 사이에서 "폰 노이만의 양파"로 불렸는데,^[183] 방정식을 이해하기 위해 "껍질을 벗겨내야" 했기 때문이다. 전반적으로 그의 글은 명료하고 강력했지만, 깔끔하거나 우아하지는 않다는 평가를 받았다. 기술적으로 뛰어났지만, 그의 주된 관심사는 수학 퍼즐 해결보다는 과학의 근본적인 문제와 질문을 명확하고 실행 가능하게 형식화하는 데 있었다.

울람에 따르면, 폰 노이만은 물리학자들을 놀라게 할 정도로 차원 추정과 대수적 계산을 머릿속에서 유창하게 수행했는데, 이는 마치 눈 가리고 체스를 두는 것과 같았다. 그는 구체적인 시각화보다는 추상적인 논리적 연역을 통해 물리적 상황을 분석하는 경향이 있었다.

골드스타인은 폰 노이만의 강의를 "매끄럽고 명쾌한 유리 위에 있는 것"에 비유했지만, 그의 과학 논문은 상대적으로 거칠고 통찰력이 덜한 방식으로 쓰였다고 생각했다. 폴 할모스는 그의 강의를 "눈부시다"고 묘사하며, 그의 말이 명료하고 빠르며 정확하고 포괄적이라고 평가했다. 그러나 강의 중에는 모든 것이 너무 쉬워 보이지만 나중에 되돌아보면 이해하기 어려웠다고 덧붙였다. 그는 말이 매우 빨라서, 배니쉬 호프만은 속기로도 필기하기 어려웠다고 했고, 앨버트 튜커는 사람들이 종종 질문을 던져 그의 설명 속도를 늦춰야 했다고 말했다. 폰 노이만 자신도 이 점을 인지하고 있었으며, 청중이 너무 빠르다고 지적해주면 고마워했다. 그는 강의 준비에 시간을 할애했지만, 메모는 거의 사용하지 않고 간략한 개요만 적어두었다.

폰 노이만은 특히 기호적인 종류의 사진기억력으로 유명했다. 허먼 골드스타인은 그가 책이나 기사를 한 번 읽으면 수년 후에도 그대로 암송할 수 있었고, 원래 언어에서 영어로 즉시 번역하며 암송할 수도 있었다고 회상했다. 골드스타인이 시험 삼아 "두 도시 이야기"의 시작 부분을 요청하자, 폰 노이만은 즉시 첫 장을 암송하기 시작했고 10~15분 후에 멈추라고 할 때까지 계속했다고 한다. 그는 전화번호부 한 페이지를 통째로 외울 수 있었으며, 친구들이 임의로 페이지 번호를 부르면 그 안의 이름, 주소, 번호를 암송하며 즐거움을 주었다고 전해진다.^[185] 스타니스와프 울람은 그의 기억이 시각적이기보다는 청각적인 것 같다고 추측했다.

그의 수학적 능숙함, 계산 속도, 문제 해결 능력은 동료들 사이에서 전설적이었다. 폴 할모스는 그의 속도를 "경외감을 불러일으킨다"고 표현했고, 로타르 볼프강 노르트하임은 그를 "내가 만나본 사람 중 가장 빠른 두뇌"라고 묘사했다. 엔리코 페르미는 허버트 앤더슨에게 "조니는 내가 할 수 있는 것보다 열 배나 빠르게 머릿속으로 계산할 수 있어! 그리고 나는 네가 할 수 있는 것보다 열 배나 빠르게 계산할 수 있지. 그러니까 조니가 얼마나 대단한지 알 수 있겠지!"라고 말했다고 한다.^[186] 에드워드 텔러는 "그를 따라갈 수 없었다"고 인정했고,^[187] 이스라엘 할페린은 그를 따라가려는 노력을 "경주용 자동차를 쫓는 세발자전거"에 비유했다.^[188]

새로운 문제를 빠르게 해결하는 능력 또한 뛰어났다. 조지 폴리아는 취리히 연방 공과대학교 시절 폰 노이만에 대해 "나는 조니가 유일하게 두려웠던 학생이었다. 강의 중에 풀리지 않은 문제를 제시하면, 그는 강의가 끝날 무렵 완벽한 해결책을 종이 조각에 적어서 내게 가져왔다"고 회상했다.^[189] 조지 댄치히가 선형 계획법의 미해결 문제를 가져갔을 때, 폰 노이만은 즉석에서 한 시간 이상 강의하며 당시에는 생각지도 못했던 이중성 이론을 이용한 해결책을 제시하여 댄치히를 놀라게 했다.^[190]

유명한 "파리 퍼즐" 일화^[191]는 수학적 전승의 일부가 되었다. 약 32.19km 떨어진 두 자전거가 각각 시속 10마일로 서로를 향해 달려 충돌할 때까지, 파리가 시속 15마일로 두 자전거 사이를 계속 왕복하는 문제이다. 파리가 총 이동한 거리를 묻는 질문인데, 간단한 해법은 자전거가 1시간 후에 충돌하므로 파리도 1시간 동안 시속 15마일로 날았다는 것을 깨닫는 것이다. 유진 위그너에 따르면,^[192] 막스 보른이 폰 노이만에게 이 문제를 냈을 때, 그는 즉시 정답인 약 24.14km를 말했다. 보른은 그가 간단한 해법을 알아차렸을 것이라고 생각했지만, 폰 노이만은 "무슨 요령이죠? 제가 한 것은 기하급수를 더한 것뿐입니다"라고 답했다고 한다.

그러나 이러한 천재성에도 불구하고, 로타(Gian-Carlo Rota)는 폰 노이만이 "깊이 박힌, 되풀이되는 자기 의심"을 가지고 있었다고 적었다. 존 L. 켈리(John L. Kelley)는 "조니 폰 노이만은 자신이 잊혀질 것이지만 쿠르트 괴델은 피타고라스와 함께 기억될 것이라고 말했지만, 우리 나머지는 조니를 경외심으로 바라보았다"고 회고했다.^[193] 울람은 폰 노이만이 괴델의 불완전성 정리나 버크호프의 점별 에르고딕 정리와 같은 중요한 발견을 자신이 하지 못했다는 사실에서 자기 의심이 비롯되었을 수 있다고 추측했다. 폰 노이만은 복잡한 추론을 따라가는 데는 탁월했지만, 비이성적인 증명이나 직관적인 통찰력에는 스스로 부족함을 느꼈을 수 있다는 것이다. 울람은 폰 노이만이 자신의 연구 중요성에 대해 확신하지 못하고, 독창적인 기술적 기교나 새로운 접근법을 발견했을 때만 만족감을 얻었다고 술회했다.

동료들의 평가는 경외심에 가까웠다. 한스 베테는 "폰 노이만과 같은 두뇌는 인간보다 우월한 종을 나타내는 것은 아닌지 가끔 의문을 품곤 했습니다"라고 말했고, 에드워드 텔러는 "폰 노이만은 제 3살짜리 아들과 동등한 수준으로 대화했는데, 그가 우리 다른 사람들과 이야기할 때도 같은 원리를 사용하는지 가끔 의문을 품었습니다"라고 말했다.^[194] 피터 랙스는 "폰 노이만은 사고에 중독되었고, 특히 수학에 대해 생각하는 것을 좋아했습니다"라고 썼다. 유진 위그너는 "그는 수학적 문제를 초기 측면뿐만 아니라 그 복잡성 전체를 이해했습니다"라고 평가했다. 클로드 섀넌은 그를 "제가 만난 사람 중 가장 똑똑한 사람"이라고 불렀으며, 야코프 브론스키는 "그는 제가 알았던 사람 중 가장 영리한 사람이었습니다. 예외 없이 천재였습니다"라고 썼다. 이러한 광범위한 영향력과 여러 분야에 대한 기여로 폰 노이만은 널리 폴리매스로 여겨진다.^{[197][198][199]}

위그너는 폰 노이만의 정신 속도에 대해 다음과 같이 말하며 그를 자신이 아는 가장 뛰어난 정신의 소유자로 꼽았다. "저는 제 삶에서 많은 똑똑한 사람들을 알았습니다... 그러나 그들 중 아무도 얀치 폰 노이만만큼 빠르고 예리한 정신을 가진 사람은 없었습니다. 저는 종종 그 사람들 앞에서 이 점을 언급했고, 아무도 저에게 이의를 제기한 적이 없습니다."

미클로시 레데이는 "과학자의 영향력이 과학 자체를 넘어서는 분야에 대한 영향까지 포함하도록 충분히 넓게 해석된다면, 존 폰 노이만은 아마도 역사상 가장 영향력 있는 수학자였을 것입니다"라고 썼다. 피터 랙스는 폰 노이만이 더 오래 살았다면 노벨 경제학상을 수상했을 것이며, 컴퓨터 과학과 수학 분야의 노벨상이 있었다면 그 상들도 받았을 것이라고 말했다. 로타는 폰 노이만이 "컴퓨팅의 무한한 가능성을 처음으로 예견한 사람이며, 최초의 대형 컴퓨터 건설로 이어진 상당한 지적 및 기술 자원을 모을 결단력을 가졌다"고 평가하며, 결과적으로 "이 세기의 다른 어떤 수학자도 문명의 진로에 그처럼 깊고 지속적인 영향을 미치지 못했다"고 결론지었다. 그는 20세기 가장 위대하고 영향력 있는 수학자이자 과학자 중 한 명으로 널리 인정받는다.^[200]

신경생리학자 레온 하먼은 그를 자신이 만난 유일한 "진정한 천재"라고 칭하며 "폰 노이만의 정신은 모든 것을 포괄했습니다. 그는 어떤 영역의 문제라도 해결할 수 있었습니다. ... 그리고 그의 정신은 항상 작동하고, 항상 불안정했습니다"라고 묘사했다.^[201] 비학문적 프로젝트 자문을 통해 보여준 뛰어난 과학적 능력과 실용성의 조합은 그에게 군 장교, 엔지니어, 산업가들 사이에서 다른 과학자들이 따라올 수 없는 높은 신뢰를 안겨주었다. 특히 핵무기 개발 분야에서 그는 허버트 요크에 따르면 "분명히 지배적인 자문 인물"로 여겨졌다. 경제학자 니콜라스 칼도르는 그가 "의심할 여지 없이 제가 만난 사람 중 가장 천재에 가까운 사람"이라고 말했으며, 폴 새뮤얼슨은 "우리 경제학자들은 폰 노이만의 천재성에 감사하고 있습니다. ... 그는 비교할 수 없는 조니 폰 노이만이었습니다. 그는 우리 영역에 잠깐 출현했고, 그 이후로는 결코 같지 않았습니다"라고 그의 영향력을 강조했다.

8. 1. 수상 경력

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