오르트 상수

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1. 개요
2. 역사적 중요성과 등장 배경
3. 유도
4. 측정
- 4.1. 측정 방법
- 4.2. 오르트 상수 값의 변동
5. 의미
- 5.1. 강체 회전, 케플러 회전, 평탄 회전 곡선
6. 응용
참조

1. 개요

오르트 상수는 은하의 회전 특성을 나타내는 두 개의 상수 A와 B를 말한다. 1920년대 천문학자들이 외부 은하의 회전 곡선을 연구하면서 우리 은하의 회전을 이해하기 위해 얀 오르트가 고안했다. 오르트 상수는 은하 내 천체의 방사형 및 횡방향 속도, 거리, 은하 경도 등을 통해 측정하며, 측정을 통해 은하가 차등 회전을 한다는 것을 밝혀냈다. 오르트 상수는 은하 회전 곡선을 보정하고, 은하의 질량 밀도 및 질량 분포 모델을 제한하는 데 사용된다.

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오르트 상수
오르트 상수
개요
기호	A, B
분야	천문학
정의	우리 은하의 회전 속도 기울기를 나타내는 상수
값
A	14.82 ± 0.84 km/s/kpc
B	-12.37 ± 0.64 km/s/kpc
유도
공식	A = 1/2 (V/R - dV/dR), B = -1/2 (V/R + dV/dR)
변수 설명	V는 은하의 회전 속도, R은 은하 중심으로부터의 거리

2. 역사적 중요성과 등장 배경

1920년대에 이르러 천문학자들은 밤하늘에서 관측되는 일부 성운과 같은 천체들이 단순히 성단이 아니라, 우리 은하수 너머에 존재하는 별들의 거대한 집합체, 즉 외부 은하임을 인식하기 시작했다. 이 외부 은하들은 타원형부터 원반형까지 다양한 형태를 지니고 있었다. 밤하늘에 길게 늘어선 별빛의 띠인 은하수는 우리 은하 역시 원반 구조를 가지고 있음을 시사했지만, 은하 중심부에 비해 태양계가 어느 위치에 있는지 정확히 파악하는 것은 관측상의 어려움으로 인해 쉽지 않았다.

고전역학에 따르면, 별들로 이루어진 거대한 천체 구조는 개별 별들의 무작위적인 운동(속도 분산)이나 전체 구조의 질량 중심을 기준으로 한 공전을 통해 자체 중력으로 붕괴하지 않고 형태를 유지할 수 있다.^[4]^[15] 특히 원반 형태의 은하에서는 별들의 공전 운동이 구조를 지탱하는 주된 요인으로 여겨진다. 은하 원반 내의 질량 분포(질량 밀도)에 따라 중심으로부터의 거리에 따른 별들의 공전 속도는 달라지게 되는데, 이 속도 변화를 나타낸 그래프를 은하의 회전곡선이라고 부른다. 외부 은하의 경우, 원반의 한쪽은 관측자에게 다가오고 다른 쪽은 멀어지므로, 별빛 스펙트럼의 도플러 편이를 측정하여 회전 곡선을 비교적 쉽게 얻을 수 있다. 그러나 우리 은하는 태양계가 은하 원반 내부에 위치하고 있어, 은하 중심 방향이나 원반의 다른 영역을 관측할 때 별 사이의 가스와 먼지에 의해 별빛이 가려지는 소광 현상이 심각했다. 이 때문에 1930년대 21cm 수소선 관측 기술이 개발되기 전까지는 우리 은하 전체의 회전 곡선을 정확히 파악하기 어려웠다.

이러한 상황 속에서 1927년, 네덜란드의 천문학자 얀 오르트는 우리 은하 전체가 아닌, 태양계 주변의 비교적 가까운 별들의 움직임만을 분석하여 은하의 회전 특성을 알아낼 수 있는 독창적인 방법을 고안했다.^[5]^[16] 그가 이 연구를 통해 유도해낸 두 상수, 즉 오르트 상수

A

와

B

는 우리 은하가 단순히 회전하고 있다는 사실뿐만 아니라, 은하 중심으로부터의 거리에 따라 회전 속도가 달라지는 차등회전을 하고 있음을 명확히 보여주었다. 이는 우리 은하가 딱딱한 강체처럼 회전하는 것이 아니라, 유체처럼 각 부분이 다른 속도로 움직이고 있다는 중요한 증거가 되었다.

3. 유도

오르트 상수는 태양 근처 별들의 관측된 운동(시선 속도 및 고유 운동)으로부터 우리 은하의 국소적인 차등회전 특성을 정량적으로 기술하기 위해 유도된 값들이다. 유도 과정은 기본적으로 태양과 주변 별들이 은하 중심을 기준으로 원 궤도를 따라 공전한다는 가정에서 출발한다.

태양의 위치에서 관측한 별의 상대적인 속도를 은하 좌표계에서의 위치(은하 경도 $l$ )와 거리( $d$ )의 함수로 표현한다. 이 과정에서 별과 태양의 각속도 차이( $\Omega - \Omega_0$ )와 별과 태양 사이의 거리 관계 등을 이용하여 속도 식을 전개한다. 특히, 태양 주변의 '국소적인' 영역을 다루므로, 테일러 전개를 이용한 근사 계산을 통해 속도 공식을 관측 가능한 양들과 두 개의 상수 $A$ 와 $B$ 로 단순화한다.

최종적으로 얻어지는 오르트 상수 $A$ 와 $B$ 는 각각 은하 원반의 전단 운동(shearing motion)과 회전(vorticity) 성분을 나타내며, 이 값들을 통해 태양 부근 은하의 동역학적 구조에 대한 중요한 정보를 얻을 수 있다.

3. 1. 가정

그림 1: 태양 근처에 있는 은하 평면에 있는 별을 사용하여 오르트 상수를 유도하는 기하학.

은하 원반 평면에 있는 별 하나를 가정한다. 이 별은 은경

l

을 가지며, 태양으로부터

d

만큼 떨어져 있다. 별과 태양 모두 은하 중심을 중심으로 원 궤도를 그리며 공전한다고 가정한다. 각각의 궤도 반경은

R

과

R_{0}

이고, 공전 속도는 각각

V

와

V_{0}

이다. 태양의 위치에서 관측했을 때, 별이 우리 시선 방향으로 움직이는 속도(시선 속도)와 천구면 위에서 움직이는 속도(접선 속도)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=V_{\text{star, r}}-V_{\text{sun, r}}=V\cos\left(\alpha\right)-V_{0}\sin\left(l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=V_{\text{star, t}}-V_{\text{sun, t}}=V\sin\left(\alpha\right)-V_{0}\cos\left(l\right) \\\end{align}

원운동을 가정했으므로, 공전 속도

v

는 각속도

\Omega

와 궤도 반경

r

에 대해

v=\Omega r

의 관계를 가진다. 이 관계를 위 속도 식에 대입하면 다음과 같다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=\Omega R\cos\left(\alpha\right)-\Omega_{0}R_{0}\sin\left(l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=\Omega R\sin\left(\alpha\right)-\Omega_{0}R_{0}\cos\left(l\right) \\\end{align}

그림 1의 기하학적 구조를 보면, 은하 중심, 태양, 별이 이루는 삼각형에서 다음 삼각함수 관계식을 얻을 수 있다.

::

\begin{align}& R\cos\left(\alpha\right)=R_{0}\sin\left(l\right)   \\& R\sin\left(\alpha\right)=R_{0}\cos\left(l\right)-d \\\end{align}

이 관계식들을 이용해 속도 성분 식을 정리하면 다음과 같다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=\left(\Omega-\Omega_{0}\right)R_{0}\sin\left(l\right)          \\& V_{\text{obs, t}}=\left(\Omega-\Omega_{0}\right)R_{0}\cos\left(l\right)-\Omega d \\\end{align}

관측 가능한 값인

l

과

d

만으로 식을 표현하기 위해,

\Omega-\Omega_{0}

항을

R_{0}

근처에서 테일러 전개한다.

::

\left(\Omega-\Omega_{0}\right) \approx \left(R-R_{0}\right)\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}

또한, 분석 대상 별이 태양 근처에 있다고 가정한다. 즉,

R-R_{0}

의 값이 매우 작고, 별까지의 거리

d

는

R

또는

R_{0}

보다 훨씬 작다고 가정하면, 다음 근사식을 사용할 수 있다.

::

R-R_{0} \approx -d \cdot \cos\left(l\right)

.^[6]

이를 이용해 속도 식을 다시 쓰면 다음과 같다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}} \approx -R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}d \cdot \cos\left(l\right)\sin\left(l\right) \\& V_{\text{obs, t}} \approx -R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}d \cdot \cos^{2}\left(l\right)-\Omega d \\\end{align}

삼각 함수의 반각 공식을 사용하여 속도 성분들을 정리하면 다음과 같다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}} \approx \left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right)d\sin\left(2l\right) \\& V_{\text{obs, t}} \approx \left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right)d\cos\left(2l\right) + \left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}-\Omega\right)d \\\end{align}

이제 관측 속도를 우리가 아는 값

l

,

d

와 두 개의 상수

A

,

B

로 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=Ad\sin\left(2l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=Ad\cos\left(2l\right)+Bd \\\end{align}

여기서 오르트 상수

A

와

B

는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}& A=-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}} \\& B=-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}-\Omega \\\end{align}

이 식들은 관측 가능한 속도가 오르트 상수와 별의 위치(

l, d

)에 의해 결정됨을 보여준다. 이제 이 상수들을 은하의 회전 특성과 연결할 수 있다. 원 궤도를 도는 별에 대해 각속도

\Omega = v/r

관계를 이용하여 각속도의 반경에 대한 미분(

\frac{d\Omega}{dr}

)을 공전 속도

v

와 그 미분(

\frac{dv}{dr}

)으로 표현하고, 태양의 위치(

R_0

)에서 값을 구하면 다음과 같다.

::

\begin{align}& \Omega=\frac{v}{r} \\& \frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}=\frac{d(v/r)}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}=-\frac{V_{0}}{R_{0}^{2}}+\frac{1}{R_{0}}\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}} \\\end{align}

이를 오르트 상수 정의에 대입하면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}& A=\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}-\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) \\& B=-\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}+\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) \\\end{align}

여기서

A

는 은하 원반의 차등회전에 따른 전단 운동(shearing motion)을 나타내는 오르트 상수이고,

B

는 은하의 회전(vorticity)을 나타내는 오르트 상수이다. 여러 별들의 속도를 측정하고 은하 경도

l

에 대해 분석함으로써

A

와

B

의 값을 실험적으로 결정할 수 있다.

3. 2. 유도 과정

은하 원반 평면에 있는 별 하나를 가정하고, 그 별의 은경을

l

, 태양으로부터의 거리를

d

라고 한다. 그 별과 태양이 모두 은하 중심을 중심으로 하는 원형 궤도를 그리면서 공전한다고 가정하고, 각각의 궤도 반경을

R

과

R_{0}

, 각각의 공전 속도를

V

과

V_{0}

라고 한다. 태양의 위치에서 관측된 별의 시선 속도 및 천구상에서의 별의 운동(접선 속도)를 태양과의 위치 관계에 따라 쓰면 다음과 같다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=V_{\text{star, r}}-V_{\text{sun, r}}=V\cos\left(\alpha\right)-V_{0}\sin\left(l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=V_{\text{star, t}}-V_{\text{sun, t}}=V\sin\left(\alpha\right)-V_{0}\cos\left(l\right) \\\end{align}

원운동을 가정했기에 공전 속도는 각속도와

v=\Omega r

의 관계식을 가지고 있고, 이것을 속도식에 대입하면

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=\Omega R\cos\left(\alpha\right)-\Omega_{0}R_{0}\sin\left(l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=\Omega R\sin\left(\alpha\right)-\Omega_{0}R_{0}\cos\left(l\right) \\\end{align}

그림 1의 기하학에서, 은하 중심, 태양, 별로 인해 형성된 삼각형들은 변 또는 변의 일부를 공유하므로 다음 관계가 성립한다.

::

\begin{align}& R\cos\left(\alpha\right)=R_{0}\sin\left(l\right)   \\& R\sin\left(\alpha\right)=R_{0}\cos\left(l\right)-d \\\end{align}

이를 이용하여 속도 성분들을 각속도와 반경에 대한 식으로 나타내면 다음과 같다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=\left(\Omega-\Omega_{0}\right)R_{0}\sin\left(l\right)          \\& V_{\text{obs, t}}=\left(\Omega-\Omega_{0}\right)R_{0}\cos\left(l\right)-\Omega d \\\end{align}

우리가 알고 있는 값

l

과

d

만 사용한 식으로 다시 나타내기 위해

\Omega-\Omega_{0}

를

R_{0}

를 중심으로 테일러 전개한다.

::

\left(\Omega-\Omega_{0}\right) \approx \left(R-R_{0}\right)\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}

또한, 이 분석에 사용된 별들이 "국소적"이라는 가정, 즉

R-R_{0}

가 작고, 별까지의 거리

d

가

R

또는

R_{0}

보다 작다는 점을 이용하여 다음 근사식을 적용한다.

::

R-R_{0} \approx -d \cdot \cos\left(l\right)

.^[6]

따라서 속도식은 다음과 같이 근사된다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}} \approx -R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}d \cdot \cos\left(l\right)\sin\left(l\right) \\& V_{\text{obs, t}} \approx -R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}d \cdot \cos^{2}\left(l\right)-\Omega d \\\end{align}

사인과 코사인의 반각 공식 (

\sin(l)\cos(l) = \frac{\sin(2l)}{2}

,

\cos^2(l) = \frac{1+\cos(2l)}{2}

)을 사용하면, 속도 성분들은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}} \approx \left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) d\sin\left(2l\right) \\& V_{\text{obs, t}} \approx \left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) d\cos\left(2l\right) + \left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}-\Omega\right)d \\\end{align}

이제 속도 성분들은 우리가 아는 값인

l

과

d

, 그리고 오르트 상수

A

와

B

에 관한 식으로 쓸 수 있다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}} \approx Ad\sin\left(2l\right) \\& V_{\text{obs, t}} \approx Ad\cos\left(2l\right)+Bd \\\end{align}

이때

A

와

B

는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}& A \equiv -\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}} \\& B \equiv -\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}-\Omega_{0} \\\end{align}

(여기서

\Omega \approx \Omega_0

근사를 사용했다.)

살펴보면, 관측 속도는 이 상수들과 별의 위치에 따라 결정된다. 이제 이 상수들을 은하의 회전 특성과 관계지을 수 있다. 원 궤도를 갖는 어느 별에 대하여, 각속도(

\Omega=v/r

)의 도함수를 공전 속도

v

및 궤도 반경

r

에 대한 식으로 표현하고, 태양계의 위치(

R_0, V_0

)에서 평가하면 다음과 같다.

::

\begin{align}& \frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}=\frac{d(v/r)}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}=\left(\frac{1}{r}\frac{dv}{dr}-\frac{v}{r^2}\right)\Bigg\vert_{R_{0}} = \frac{1}{R_{0}}\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}} - \frac{V_{0}}{R_{0}^{2}} \\\end{align}

고로 오르트 상수

A

와

B

는 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{align}& A=\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}-\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) \\& B=-\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}+\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) \\\end{align}

A

는 은하면 내에서의 전단 운동(shearing motion)을 나타내는 오르트 상수이며,

B

는 은하의 회전(vorticity)을 나타내는 오르트 상수이다. 많은 별들에 대해 시선 속도와 고유 운동을 측정하고, 이 값들을 은경

l

에 대해 분석함으로써

A

와

B

의 값을 실험적으로 결정할 수 있다.

3. 3. 오르트 상수 A와 B

은하 원반 평면에 있는 별 하나를 가정해 보자. 이 별의 은하 경도는

l

이고, 태양으로부터의 거리는

d

이다. 별과 태양 모두 은하 중심을 기준으로 원형 궤도를 돌고 있다고 가정하며, 각각의 궤도 반경은

R

과

R_{0}

, 공전 속도는

V

와

V_{0}

라고 한다. 태양의 위치에서 관측했을 때, 별의 시선 속도(우리 시선 방향으로의 속도)와 횡단 속도(천구 평면상에서의 속도)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=V_{\text{star, r}}-V_{\text{sun, r}}=V\cos\left(\alpha\right)-V_{0}\sin\left(l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=V_{\text{star, t}}-V_{\text{sun, t}}=V\sin\left(\alpha\right)-V_{0}\cos\left(l\right) \\\end{align}

원운동을 가정했으므로, 공전 속도

v

는 각속도

\Omega

와

v=\Omega r

의 관계를 가진다. 이를 위 속도 식에 대입하면 다음과 같다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=\Omega R\cos\left(\alpha\right)-\Omega_{0}R_{0}\sin\left(l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=\Omega R\sin\left(\alpha\right)-\Omega_{0}R_{0}\cos\left(l\right) \\\end{align}

그림 1의 기하학적 관계를 보면, 은하 중심, 태양, 별이 이루는 삼각형에서 다음 관계식을 얻을 수 있다.

::

\begin{align}& R\cos\left(\alpha\right)=R_{0}\sin\left(l\right)   \\& R\sin\left(\alpha\right)=R_{0}\cos\left(l\right)-d \\\end{align}

이 관계식들을 이용해 속도 식을 다시 정리하면 다음과 같다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=\left(\Omega-\Omega_{0}\right)R_{0}\sin\left(l\right)          \\& V_{\text{obs, t}}=\left(\Omega-\Omega_{0}\right)R_{0}\cos\left(l\right)-\Omega d \\\end{align}

관측 가능한 양인

l

과

d

만으로 식을 표현하기 위해,

\Omega-\Omega_{0}

를

R_{0}

근처에서 테일러 전개한다.

::

\left(\Omega-\Omega_{0}\right) \approx \left(R-R_{0}\right)\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}

또한, 분석 대상인 별이 태양 근처에 있다고 가정하면(

R-R_{0}

가 작고,

d

가

R

또는

R_{0}

보다 작음), 다음과 같은 근사식을 사용할 수 있다.

::

R-R_{0} \approx -d \cos\left(l\right)

.^[6]

이를 대입하여 속도 식을 정리하면 다음과 같다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}} \approx -R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}d \cos\left(l\right)\sin\left(l\right) \\& V_{\text{obs, t}} \approx -R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}d \cos^{2}\left(l\right)-\Omega d \\\end{align}

삼각함수의 반각 공식을 이용하면 속도 식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}} \approx \left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right)d\sin\left(2l\right) \\& V_{\text{obs, t}} \approx -R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}d\frac{\left(\cos\left(2l\right)+1\right)}{2}-\Omega d \\& V_{\text{obs, t}} \approx \left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right)d\cos\left(2l\right) + \left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}-\Omega\right)d \\\end{align}

이제 관측 속도를 우리가 아는 값

l

,

d

와 두 상수

A

,

B

로 나타낼 수 있다. 상수를 정의할 때는 태양 위치(

R_0

)에서의 값을 사용하므로

\Omega

는

\Omega_0

로 표기한다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=Ad\sin\left(2l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=Ad\cos\left(2l\right)+Bd \\\end{align}

여기서 오르트 상수

A

와

B

는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}& A = -\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}} \\& B = -\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}-\Omega_{0} \\\end{align}

이 식들은 관측 가능한 속도가 오르트 상수와 별의 위치(

l

,

d

)에 의해 결정됨을 보여준다. 이제 이 상수들을 은하의 회전 특성과 연결할 수 있다. 원형 궤도를 도는 별에 대해 각속도

\Omega = v/r

관계를 이용하여 각속도의 반경에 대한 도함수를 구하고, 태양의 위치(

R_0

)에서 계산하면 다음과 같다.

::

\begin{align}& \frac{d\Omega}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}=\frac{d(v/r)}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}} = \left(-\frac{v}{r^2} + \frac{1}{r}\frac{dv}{dr}\right)\Bigg\vert_{R_{0}} = -\frac{V_{0}}{R_{0}^{2}}+\frac{1}{R_{0}}\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}} \\\end{align}

이를

A

와

B

의 정의에 대입하면 다음과 같다.

:

\begin{align}& A = -\frac{1}{2}R_{0}\left(-\frac{V_{0}}{R_{0}^{2}}+\frac{1}{R_{0}}\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}-\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) \\& B = A - \Omega_{0} = \frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}-\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) - \frac{V_{0}}{R_{0}} = -\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}+\frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}\right) \\\end{align}

여기서

A

는 은하의 차등회전에 따른 전단 운동(shearing motion)을 나타내는 오르트 상수이고,

B

는 은하의 회전(vorticity)을 나타내는 오르트 상수이다. 여러 별들의 속도를 측정하고 은하 경도

l

에 대해 그래프를 그려보면 상수

A

와

B

의 값을 실험적으로 결정할 수 있다.

4. 측정

그림 2: 대규모 데이터 세트에 맞춰 오르트 상수를 측정합니다. 이 그래프는 B를 양수로 잘못 표시합니다. 음의 B 값은 횡방향 속도에 서쪽 성분을 기여합니다.

오르트 상수는 원칙적으로 우리 은하 내 천체들의 관측 가능한 양들, 즉 시선 속도, 접선 속도(고유 운동), 거리, 은하 경도를 이용하여 측정할 수 있다.^[5] 이론적으로는 간단한 관계식을 통해 상수를 유도할 수 있지만, 실제 측정 과정은 몇 가지 복잡한 문제에 직면한다.

주요 어려움은 다음과 같다.

태양과 대상 별들이 완벽한 원형 궤도를 돌지 않는다는 점이다. 태양 자체도 국부 기준계에 대해 약 13.4 km/s의 비원형 운동 성분을 가진다.^[6]
우리 은하의 중력장이 완벽한 축대칭이 아니며, 나선팔이나 중심의 막대 구조 등의 영향을 받는다는 점이다.
별들의 고유 운동과 거리를 정확하게 측정하는 것이, 특히 멀리 있는 천체의 경우 매우 어렵다는 점이다.

이러한 어려움에도 불구하고, 천문학자들은 많은 별들의 데이터를 통계적으로 분석하여 오르트 상수를 측정해왔다. 특히 1989년 발사된 히파르코스 위성과 2013년 발사된 가이아 우주선과 같은 우주 망원경의 정밀한 천체 측정 데이터는 오르트 상수 측정의 정확도를 크게 향상시키는 데 기여했다.^[10]^[1]

''이 섹션의 내용은 아래 하위 섹션에서 더 자세히 다룹니다.''

4. 1. 측정 방법

오르트 상수를 유도하는 과정에서 다음 관계식을 얻을 수 있다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=A\,d\,\sin\left(2l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=A\,d\,\cos\left(2l\right)+B\,d \\\end{align}

여기서

V_{\text{obs, r}}

은 관측된 시선 속도,

V_{\text{obs, t}}

는 관측된 접선 속도(횡방향 속도),

d

는 천체까지의 거리,

l

은 은하 경도이다. 따라서 오르트 상수

A

와

B

는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}& A=\frac{V_{\text{obs, r}}}{d\,\sin\left(2l\right)} \\& B=\frac{V_{\text{obs, t}}}{d}-A\,\cos\left(2l\right) \\\end{align}

이 식들은 오르트 상수가 우리 은하 내 천체의 시선 속도, 접선 속도, 거리, 은하 경도라는 관측 가능한 양들로 결정될 수 있음을 보여준다.

하지만 실제 측정에는 몇 가지 어려움이 따른다. 위의 간단한 유도는 태양과 대상 천체가 모두 은하 중심 주위를 원형 궤도로 돈다고 가정했지만, 이는 사실과 다르다. 태양 자체도 국부 기준계에 대해 약 13.4 km/s의 속도로 움직이며,^[6] 다른 별들 역시 완벽한 원형 궤도를 돌지 않는다. 또한, 이 유도는 은하의 중력장이 축대칭이며 항상 중심을 향한다고 가정하는데, 이는 나선팔의 영향이나 은하 중심의 막대 구조를 고려하지 않은 것이다. 마지막으로, 별들의 고유 운동과 우주 거리 사다리를 이용한 거리는 가까운 천체가 아니면 측정하기 매우 어렵다.

태양의 비원형 운동 성분은 알려져 있으므로 관측값에서 보정할 수 있다. 그러나 개별 별들의 비원형 운동 성분은 알 수 없으므로 직접 보정하기 어렵다. 대신, 많은 별들의 표본을 대상으로 은하 경도에 따른 접선 속도를 거리에 대해 그려보면, 이론적인 예측처럼 사인 곡선 형태를 따른다는 것을 확인할 수 있다. 개별 별들의 비원형 운동은 이 곡선 주위에 흩어짐(산포)을 만들지만, 충분히 큰 표본을 사용하면 통계적으로 실제 함수 형태를 추정하고 오르트 상수를 측정할 수 있다(그림 2 참조). 이 그래프에서

A

는 사인 곡선의 진폭에 해당하고,

B

는 전체적인 수직 이동(offset)에 해당한다. 그럼에도 불구하고 접선 속도와 거리를 정확하고 편향 없이 측정하는 것은 여전히 어려운 과제이며, 측정된

A

와

B

값들은 연구마다 차이를 보이는 경우가 많다.

A

와

B

를 측정하는 대부분의 방법은 기본적으로 위와 유사한 원리를 따른다. 주된 차이는 어떤 종류의 천체를 사용하는지, 그리고 거리나 고유 운동을 측정하는 세부적인 방식에 있다. 얀 오르트가 1927년 처음 상수를 유도했을 때 얻은 값은

A

= 31.0 ± 3.7 km s⁻¹ kpc⁻¹ 이었다. 그는

B

값을 명시적으로 구하지는 않았지만, 은하가 거의 케플러 운동을 한다는 결론으로부터

B

≈ −10 km s⁻¹ kpc⁻¹ 정도의 값을 가정했을 것으로 추정된다.^[5] 이 초기 값들은 현재 받아들여지는 값과 상당히 다르며, 이는 오르트 상수 측정의 어려움을 보여준다. 이후

A

와

B

의 측정값은 계속 변해왔다. 1964년 국제 천문 연맹(IAU)은

A

= 15 km s⁻¹ kpc⁻¹ 와

B

= −10 km s⁻¹ kpc⁻¹ 를 표준값으로 채택했다.^[11] 최근의 측정값들도 여전히 변동하지만, 대체로 이 값들 근처에 모이는 경향을 보인다.^[7]^[8]^[9]

1989년에 발사된 히파르코스 위성은 최초의 우주 기반 천체 측정 임무였다. 히파르코스가 측정한 정밀한 시차와 고유 운동 데이터는 오르트 상수를 훨씬 더 정확하게 측정하는 계기가 되었다. 1997년 히파르코스 데이터를 이용한 연구에서는

A

= 14.82 ± 0.84 km s⁻¹ kpc⁻¹ 와

B

= −12.37 ± 0.64 km s⁻¹ kpc⁻¹ 라는 값을 얻었다.^[10] 2013년에 발사된 가이아 위성은 히파르코스의 후속 임무로, 더욱 향상된 정밀도로 오르트 상수를 측정했다. 가이아 데이터를 이용한 최근 연구 결과는

A

= 15.3 ± 0.4 km s⁻¹ kpc⁻¹,

B

= -11.9 ± 0.4 km s⁻¹ kpc⁻¹, 그리고 추가적인 상수

C

= −3.2 ± 0.4 km s⁻¹ kpc⁻¹ 와

K

= −3.3 ± 0.6 km s⁻¹ kpc⁻¹ 를 제시했다.^[1]

가이아 측정값을 사용하면 다음과 같은 값들을 계산할 수 있다.

:

\begin{align}& \frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}=-A-B=-3.4\text{ km/s/kpc} \\& \frac{V_{0}}{R_{0}}=\Omega=A-B=27.2\text{ km/s/kpc} \\\end{align}

여기서

\Omega

는 태양 부근에서의 은하 회전 각속도이다. 이 값은 태양이 현재 위치에서 은하 중심을 한 바퀴 도는 데 약 2억 2천 6백만 년이 걸린다는 것을 의미한다. 하지만 태양의 실제 은하 공전 주기(은하년)는 이보다 더 길 수 있는데, 이는 태양이 은하 중심에서 더 먼 거리에 있는 가상의 점을 중심으로 공전하는 것으로 볼 수 있기 때문이다(태양#은하에서의 궤도 참조).

오르트 상수의 단위인 km s⁻¹ kpc⁻¹는 4.740으로 나누어 연간 밀리각초(mas/yr) 단위로 변환할 수 있다. 이를 통해 국부 기준계에 대한 태양의 운동 효과를 보정한 후, 우리 은하 주변 별들의 평균적인 고유 운동을 예측할 수 있다.

은하 경도	별자리	평균 고유 운동	mas/년	대략적인 방향
0°	궁수자리	B+A	3.4	북동
45°	독수리자리	B	-11.9	남서
90°	백조자리	B−A	-27.2	서
135°	카시오페이아자리	B	-11.9	서
180°	마차부자리	B+A	3.4	동남
225°	외뿔소자리	B	-11.9	북서
270°	돛자리	B−A	-27.2	서
315°	센타우루스자리	B	-11.9	서

참고: 위 표의 평균 고유 운동 값은 가이아 측정값 ( $A$ = 15.3, $B$ = -11.9)을 사용하여 계산되었다.

태양은 헤라클레스자리 방향의 태양 극점을 향해 움직이고 있는데, 이 운동은 관측되는 별들의 고유 운동에 영향을 미친다. 예를 들어, 돛자리나 센타우루스자리 부근 별들의 고유 운동에는 서쪽 방향 성분이 더해지고, 백조자리나 카시오페이아자리 부근 별들의 고유 운동에는 동쪽 방향 성분이 더해지는 경향이 있다. 이 효과는 거리가 멀어질수록 작아지므로, 위 표의 값은 비교적 멀리 있는 별들에게 더 잘 적용된다. 하지만 아주 멀리 있는 천체들은 우리 동네 별들과는 다른 운동을 보일 수 있다. 예를 들어, 은하 중심에 있는 전파원인 궁수자리 A*는 궁수자리 방향에 있지만, 태양의 운동 효과를 보정한 후의 고유 운동은 대략

\Omega

또는 약 5.7 mas/y (가이아 값 기준으로는 약 6.1 mas/yr)의 속도로 서남쪽을 향한다. 이러한 고유 운동은 주변의 배경 별들을 기준으로 측정하기 어려우며(배경 별들도 비슷한 고유 운동을 가지므로), 퀘이사와 같이 훨씬 더 멀리 있어 거의 움직이지 않는 천체들을 기준으로 측정해야 한다.

4. 2. 오르트 상수 값의 변동

앞선 유도 과정의 중간 단계에서 보았듯이, 관측된 방사 속도(

V_{\text{obs, r}}

)와 횡방향 속도(

V_{\text{obs, t}}

)는 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{align}& V_{\text{obs, r}}=A\,d\,\sin\left(2l\right) \\& V_{\text{obs, t}}=A\,d\,\cos\left(2l\right)+B\,d \\\end{align}

여기서

A

와

B

는 오르트 상수,

d

는 천체까지의 거리,

l

은 은하 경도이다. 따라서 오르트 상수

A

와

B

는 다음과 같이 관측 가능한 양들로 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}& A=\frac{V_{\text{obs, r}}}{d\,\sin\left(2l\right)} \\& B=\frac{V_{\text{obs, t}}}{d}-A\,\cos\left(2l\right) \\\end{align}

원칙적으로 우리 은하 내 천체의 방사 속도, 횡방향 속도, 거리, 은하 경도를 측정하면 오르트 상수를 결정할 수 있다.

하지만 실제 측정에는 몇 가지 어려움이 따른다. 위의 간단한 유도는 태양과 대상 천체가 모두 은하 중심을 기준으로 원형 궤도를 돈다고 가정했지만, 이는 사실과 다르다. 태양 자체도 국부 기준계에 대해 약 13.4km/s의 비원형 속도를 가지고 있으며,^[6] 다른 별들 역시 마찬가지이다. 또한, 유도 과정에서는 우리 은하의 중력장이 축대칭이며 항상 중심을 향한다고 암묵적으로 가정했지만, 이는 나선팔이나 은하 중심의 막대 구조와 같은 실제 은하 구조의 영향을 고려하지 않은 것이다. 마지막으로, 별의 고유 운동과 거리 측정은 비교적 가까운 천체가 아니면 정확하게 측정하기 어렵다는 문제도 있다.

태양의 비원형 속도는 알려져 있으므로 관측값에서 보정할 수 있다. 그러나 개별 별들의 비원형 속도는 알 수 없으므로 직접 보정하기 어렵다. 대신, 많은 수의 별 표본에 대해 은하 경도(

l

)에 따른

V_{\text{obs, t}}/d

값을 그래프로 그리면, 이론적인 예측처럼

A \cos(2l) + B

형태의 주기적인 경향성을 관찰할 수 있다 (그림 2 참조). 개별 별들의 비원형 속도는 이 경향선 주위에 흩어짐(산포)을 만들지만, 충분히 큰 표본을 사용하면 통계적으로 실제 함수 형태를 추정하고 오르트 상수

A

(정현파의 진폭)와

B

(수직 이동량) 값을 측정할 수 있다. 그럼에도 불구하고 횡방향 속도와 거리를 정확하고 편향 없이 측정하는 것은 여전히 어려운 과제이며, 이로 인해 측정된

A

와

B

값들은 연구마다 차이를 보이는 경우가 많다.

오르트 상수를 측정하는 대부분의 방법은 기본적으로 위와 유사한 원리를 따르지만, 사용하는 천체의 종류나 거리 및 고유 운동 측정 방식 등 세부적인 부분에서 차이가 있다. 오르트는 1927년 상수를 처음 유도한 논문에서

A

= 31.0 ± 3.7 km s⁻¹ kpc⁻¹라는 값을 얻었다. 그는

B

값을 명시적으로 제시하지 않았지만, 은하가 거의 케플러 운동을 한다는 결론으로부터

B

≈ −10 km s⁻¹ kpc⁻¹ 정도의 값을 얻었을 것으로 추정된다.^[5] 이 초기 값들은 현재 받아들여지는 값과 상당한 차이가 있으며, 이는 오르트 상수 측정의 어려움을 보여준다. 이후

A

와

B

의 측정값은 계속해서 변동해왔다. 1964년 국제 천문 연맹(IAU)은

A

= 15 km s⁻¹ kpc⁻¹ 및

B

= −10 km s⁻¹ kpc⁻¹을 표준 값으로 채택했으며,^[11] 이후의 측정값들은 이 값들 주변에서 변동하는 경향을 보였다.^[7]^[8]^[9]

1989년에 발사된 히파르코스 위성은 최초의 우주 기반 천체 측정 임무로서, 별들의 시차와 고유 운동을 매우 정밀하게 측정하여 오르트 상수 측정의 정확도를 크게 향상시켰다. 1997년 히파르코스 데이터를 이용한 연구에서는

A

= 14.82 ± 0.84 km s⁻¹ kpc⁻¹ 및

B

= −12.37 ± 0.64 km s⁻¹ kpc⁻¹라는 값을 얻었다.^[10] 2013년에 발사된 가이아 우주선은 히파르코스의 후속 임무로, 훨씬 더 높은 정밀도로 오르트 상수를 측정했다. 가이아 데이터를 이용한 최근 연구 결과는 다음과 같다.^[1]

$A$ = 15.3 ± 0.4 km s⁻¹ kpc⁻¹
$B$ = -11.9 ± 0.4 km s⁻¹ kpc⁻¹
$C$ = −3.2 ± 0.4 km s⁻¹ kpc⁻¹
$K$ = −3.3 ± 0.6 km s⁻¹ kpc⁻¹

가이아 측정값을 사용하면 태양 부근의 은하 회전 특성을 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\begin{align}& \frac{dv}{dr}\Bigg\vert_{R_{0}}=-A-B=-3.4\text{ km s}^{-1}\text{ kpc}^{-1} \\& \frac{V_{0}}{R_{0}}=\Omega=A-B=27.2\text{ km s}^{-1}\text{ kpc}^{-1} \\\end{align}

여기서

\Omega

는 태양 부근의 각속도로, 이 값은 태양이 현재 위치 근처에서 은하 중심을 한 바퀴 도는 데 약 2억 2천 6백만 년이 걸린다는 것을 의미한다. 그러나 태양의 실제 궤도는 단순한 원이 아니며, 은하 중심에서 더 먼 지점까지 이동하므로 실제 은하년(태양이 은하를 한 바퀴 도는 시간)은 이보다 더 길 수 있다 ( 태양#은하에서의 궤도 참조).

오르트 상수의 단위 km s⁻¹ kpc⁻¹는 4.740으로 나누어 연간 밀리각초(mas/yr) 단위로 변환할 수 있다. 이를 통해 국부 기준계에 대한 태양의 고유 운동 효과를 보정한 후, 우리 은하 내 가까운 별들의 평균적인 고유 운동을 예측할 수 있다.

은하 경도 ( $l$ )	주요 별자리	평균 고유 운동 ( $\mu$ )	mas/년	대략적인 방향
0°	궁수자리	$A+B$	3.4	북동
45°	독수리자리	$B$	-11.9	남서
90°	백조자리	$B-A$	-27.2	서
135°	카시오페이아자리	$B$	-11.9	서
180°	마차부자리	$A+B$	3.4	동남
225°	외뿔소자리	$B$	-11.9	북서
270°	돛자리	$B-A$	-27.2	서
315°	센타우루스자리	$B$	-11.9	서

'''주:''' 표의 고유 운동 값은 가이아 측정값 A = 15.3, B = -11.9 km s⁻¹ kpc⁻¹ 를 사용하여 계산되었다. $A+B = 3.4$ , $B-A = -27.2$ mas/yr. 방향은 근사치이다.

실제 관측에서는 헤라클레스자리 방향으로 움직이는 태양의 고유 운동(태양 극점) 효과가 더해진다. 이 효과는 돛자리나 센타우루스자리 방향의 별들에게는 서쪽 방향의 고유 운동 성분을 추가하고, 백조자리나 카시오페이아자리 방향의 별들에게는 동쪽 방향 성분을 추가하는 경향이 있다. 이 효과는 거리가 멀어질수록 작아지므로, 위 표의 값은 비교적 멀리 있는 별들에게 더 잘 맞는다. 하지만 아주 멀리 있는 천체, 예를 들어 은하 중심의 전파원인 궁수자리 A*는 위 표의 예측과 다른 고유 운동을 보인다. 궁수자리 A*는 궁수자리 방향에 있지만, (태양 운동 효과를 보정한 후) 약 5.7 mas/yr의 속도로 서남쪽으로 움직이는 것으로 관측된다. 이는 국부적인 별들의 평균 운동( $\Omega = A-B$ = 27.2 km s⁻¹ kpc⁻¹ ≈ 5.7 mas/yr)과 유사한 값이다. 이러한 먼 천체의 고유 운동은 주변의 "배경 별"(비슷한 고유 운동을 가짐)을 기준으로 측정하기 어렵기 때문에, 우주적으로 거의 움직이지 않는 퀘이사와 같은 외부 천체를 기준으로 측정해야 한다.

5. 의미

1920년대에 이르러 천문학계에서는 밤하늘의 성운 중 일부가 우리 은하 바깥에 존재하는 별들의 거대한 집합체, 즉 외부 은하임을 인식하기 시작했다. 우리 은하 역시 원반 구조를 가지고 있지만, 우리가 그 원반 안에 위치하고 있어 전체 구조와 회전 방식을 파악하기 어려웠다.^[4] 은하와 같은 거대한 천체 구조는 자체 중력으로 붕괴하지 않기 위해 별들의 속도 분산이나 회전을 통해 유지된다. 특히 원반 은하는 주로 회전을 통해 그 형태를 유지한다.

은하의 회전 속도는 중심으로부터의 거리에 따라 달라질 수 있는데, 이를 그래프로 나타낸 것이 회전 곡선이다. 외부 은하는 도플러 효과를 이용해 회전 곡선을 비교적 쉽게 측정할 수 있지만, 우리 은하는 내부에서 관측해야 하고 성간 소광 때문에 가시광선 관측이 어려워 1930년대 21cm선 관측 이전까지는 회전 곡선을 얻기 힘들었다.

이러한 상황에서 1927년 얀 오르트는 우리 태양 주변의 가까운 별들의 움직임만을 분석하여 우리 은하의 회전 특성을 알아내는 방법을 개발했다.^[5] 그가 정의한 오르트 상수 $A$ 와 $B$ 는 우리 은하가 단순히 회전하는 것을 넘어, 딱딱한 고체처럼 전체가 같은 속도로 도는 것이 아니라 중심에서 멀어질수록 회전 속도가 달라지는 차등 회전을 하고 있음을 명확히 보여주었다.

오르트 상수

A

와

B

는 태양 근처에서의 은하 회전 특성을 구체적으로 나타낸다.

''' $A$ 상수'''는 태양 주변 은하 원반의 전단 운동(shearing motion), 즉 은하 중심으로부터 거리가 다른 별들 사이의 상대적인 속도 차이를 나타낸다.
''' $B$ 상수'''는 태양 근방의 와도(vorticity) 또는 각운동량 기울기를 나타낸다.

따라서 오르트 상수를 측정하면 우리 은하가 태양 근처에서 어떤 방식으로 회전하는지에 대한 중요한 정보를 얻을 수 있다. 예를 들어, 은하가 강체처럼 회전하는지, 케플러 법칙을 따르는지, 아니면 속도가 거의 일정한 평탄한 회전 곡선을 가지는지 등을 오르트 상수를 통해 분석할 수 있다. 이러한 분석은 그림 3과 같은 다양한 회전 곡선 모델(녹색: 강체 회전, 파란색: 케플러 회전, 빨간색: 평탄 회전)과 비교하여 이루어진다.

5. 1. 강체 회전, 케플러 회전, 평탄 회전 곡선

오르트 상수는 은하의 회전 방식에 대한 많은 정보를 제공한다.

A

와

B

는 모두 태양의 궤도 속도 및 그 1차 미분의 함수이다. 결과적으로

A

는 태양 주변 원반의 전단 운동을,

B

는 태양 근방의 각운동량 기울기(와도)를 설명한다.

별과 가스가 은하 내에서 공전하는 방식에 대한 세 가지 예시(강체 회전, 케플러 회전, 평탄 회전 곡선)를 통해

A

와

B

의 의미를 직관적으로 이해할 수 있다. 이 세 회전 유형은 반지름(

R

)의 함수로 나타나며, 그림 3에서 각각 녹색, 파란색, 빨간색 곡선으로 표시된다. 회색 곡선은 우리 은하의 회전 곡선 근사치를 나타낸다.

=== 강체 회전 (Rigid Body Rotation) ===

먼저, 우리 은하의 회전이 그림 3의 녹색 곡선처럼 강체 회전으로 설명된다고 가정해 보자. 강체 회전은 전체 시스템이 차등 회전 없이 하나의 덩어리처럼 움직이는 것을 가정한다. 이 경우, 반지름

R

에 무관한 상수 각속도

\Omega

를 가진다. 따라서 속도는 반지름

R

에 선형적으로 비례(

v \propto R

)하며, 속도의 미분은 다음과 같다.

:

\begin{align}&\frac{d v}{dr}  =\frac{v}{r}= \Omega \\\end{align}

이를 오르트 상수 정의에 대입하면

A

와

B

는 다음과 같이 결정된다.

:

\begin{align}& A= \frac{1}{2}\left(\frac{\Omega_{0} R_{0}}{R_{0}}-{\Omega}\Bigg\vert_{R_{0}}\right)=0 \\& B=-\frac{1}{2}\left(\frac{\Omega_{0}R_{0}}{R_{0}}+{\Omega}\Bigg\vert_{R_{0}}\right)=-\Omega_{0} \\\end{align}

이는 강체 회전에서는 전단 운동이 없으며(

A=0

), 와도(vorticity)는 각 회전 속도(

B=-\Omega

)와 같음을 의미한다. 반지름이 변해도 궤도 속도 차이가 없어 고리 사이에 응력이 발생하지 않으므로 이는 예상 가능한 결과이다. 또한 강체 회전에서는 전체가 동일한 각속도로 회전하므로, 시스템의 와도가 전체 회전으로 설명되는 것은 타당하다. 하지만 실제 측정값은

A=14

km s⁻¹ kpc⁻¹^[10]^[11]로 0이 아니다. 따라서 우리 은하는 태양 근처에서 강체처럼 회전하지 않지만, 중심부 근처에서는 강체 회전에 가까울 수 있다.

=== 케플러 회전 (Keplerian Rotation) ===

두 번째로, 태양 근처 천체의 궤도가 그림 3의 파란색 선처럼 케플러 궤도를 따른다고 가정해 보자. 케플러 궤도의 속도는 다음과 같다.

:

v=\sqrt{ \frac{G M}{r} } ,

여기서

G

는 중력 상수,

M

은 반지름

r

안의 질량이다. 속도를 반지름에 대해 미분하면 다음과 같다.

:

\frac{d v}{dr}  = -\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{G M}{R^3} }=-\frac{1}{2} \frac{v}{r}

이 경우 오르트 상수는 다음과 같다.

:

\begin{align}& A= \frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}+\frac{v}{2r}\Bigg\vert_{R_{0}}\right)= \frac{3V_{0}}{4R_{0}} \\& B=-\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}-\frac{v}{2r}\Bigg\vert_{R_{0}}\right)=-\frac{1V_{0}}{4R_{0}} \\\end{align}

태양의 속도를

V_{0}=218

km/s, 은하 중심까지의 거리를

R_{0}=8

kpc로 가정하면, 오르트 상수는

A= 20

km s⁻¹ kpc⁻¹,

B=-7

km s⁻¹ kpc⁻¹로 계산된다. 이는 관측값

A=14

km s⁻¹ kpc⁻¹,

B = -12

km s⁻¹ kpc⁻¹와 차이가 있다. 따라서 케플러 회전은 우리 은하의 회전을 잘 설명하지 못한다. 다만, 이 모델은 중심 질량에만 의존하는 극한적인 경우로, 실제 은하 회전의 하한선을 제시한다고 볼 수 있다.

=== 평탄 회전 곡선 (Flat Rotation Curve) ===

마지막으로, 은하의 회전 곡선이 평탄하다고 가정해 보자. 즉, 속도

v

가 반지름

r

에 관계없이 일정하다고 본다. 이는 그림 3의 빨간색 점선에 해당하며, 강체 회전과 케플러 회전의 중간적인 특성을 가진다. 속도가 일정하므로, 속도의 반지름에 대한 미분은 0이다.

:

\frac{dv}{dr}=0

따라서 오르트 상수는 다음과 같다.

:

\begin{align}& A=\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}-0\Bigg\vert_{R_{0}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}\right) \\& B=-\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}+0\Bigg\vert_{R_{0}}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}\right) \\\end{align}

앞서 사용한 태양 근처의 값(

V_{0}=218

km/s,

R_{0}=8

kpc)을 대입하면

A= 13.6

km s⁻¹ kpc⁻¹,

B=-13.6

km s⁻¹ kpc⁻¹이다. 이는 실제 측정된 오르트 상수(

A=14

,

B=-12

)와 상당히 가까우며, 세 모델 중 평탄 회전 곡선 모델이 태양 근처의 실제 은하 회전을 가장 잘 근사함을 시사한다. 실제 관측값(

A=14

,

B=-12

)을 이용하면

-A-B = -2

km s⁻¹ kpc⁻¹이다. 이는

dV/dR = -A-B

관계에 따라 태양 위치에서 은하 중심으로부터 거리가 멀어질수록 속도가 약간 감소한다는 것을 의미한다.

이 세 가지 예시는 오르트 상수

A

와

B

가 우리 은하의 회전 특성을 어떻게 반영하는지 보여준다. 강체 회전과 케플러 회전 모델은 각각 은하 회전 속도의 상한과 하한에 대한 이론적인 경계로 생각할 수 있다. 평탄 회전 곡선 모델은 이 두 극단적인 경우의 중간에 해당하며, 실제 태양 근방의 회전을 비교적 잘 설명한다.

6. 응용

오르트 상수의 주요 용도 중 하나는 은하 회전 곡선을 보정하는 데 있다. 은하수 내 가스 구름의 움직임을 연구하여 상대적인 회전 곡선을 얻을 수 있지만, 관련된 실제 절대 속도를 보정하려면 V₀에 대한 지식이 필요하다.^[6] 다음과 같은 관계식이 성립한다.

: $V_0 = R_0(A-B)\,\!$

R₀는 다른 방법(예: 은하수 중심의 초거대 블랙홀 근처 별의 움직임을 주의 깊게 추적하는 방법)으로 결정할 수 있으므로,^[12] 오르트 상수 $A$ 와 $B$ 를 알면 V₀을 결정할 수 있다.

또한, 질량 밀도 $\rho_R$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[6]

: $\rho_R = \frac{B^2 - A^2}{2 \pi G}$

따라서 오르트 상수를 통해 은하 원반의 특정 반경에서의 질량 밀도를 알 수 있다. 이는 은하의 질량 분포 모델을 세우는 데 유용하게 활용된다.^[6] 또한, 은하 원반에서 거의 원형에 가까운 별의 궤도를 가정하는 진원 근사에서 진원 진동수 $\kappa$ 는 $\kappa^2 = -4B\Omega$ 로 주어진다. 여기서 $\Omega$ 는 각속도이다.^[13] 결론적으로 오르트 상수는 은하의 운동에 대한 많은 정보를 제공한다.

참조

_[1] 논문 Galactic rotation in Gaia DR1 2017-06
_[2] 웹사이트 Where do the stars go or come from? - Gaia - Cosmos https://www.cosmos.e[...] 2022-06-18
_[3] 논문 "''Gaia'' Data Release 3" 2023
_[4] 서적 Galactic dynamics (2nd edition) Princeton University Press
_[5] 논문 Observational evidence confirming Lindblad's hypothesis of a rotation of the galactic system 1927-04-14
_[6] 서적 Galactic Astronomy Princeton University Press
_[7] 논문 Kinematics and velocity ellipsoid of the F giants 2010-09
_[8] 논문 The Oort constants measured from proper motions 2003-12-10
_[9] 논문 Galactic parameters from masers with trigonometric parallaxes 2010-11
_[10] 논문 Galactic Kinematics of Cepheids from HIPPARCOS Proper Motions 1997-11
_[11] 논문 Review of Galactic Constants 1986-08-15
_[12] 논문 A Geometric Determination of the Distance to the Galactic Center 2003-11
_[13] 서적 Galaxies in the Universe Cambridge University Press
_[14] 논문 Galactic Kinematics of Cepheids from HIPPARCOS Proper Motions 1997-11
_[15] 서적 Galactic dynamics (2nd edition) Princeton University Press
_[16] 논문 Observational evidence confirming Lindblad's hypothesis of a rotation of the galactic system 1927-04-14
_[17] 서적 Galactic Astronomy https://archive.org/[...] Princeton University Press

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