온저항

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1. 개요

온저항은 교류 회로에서 전압과 전류의 비를 나타내는 개념으로, 회로의 전기적 특성을 설명하는 데 사용된다. 1879년 요한 빅터 비틀리스바흐가 맥스웰 브리지 분석에 복소수를 처음 사용하면서 시작되었으며, 올리버 헤비사이드가 "임피던스"라는 용어를 만들었다. 임피던스는 회로 내 소자의 저항, 인덕턴스, 커패시턴스 등 다양한 요소에 의해 결정되며, 복소수 표현을 통해 계산된다. 일반화된 s-평면 임피던스는 임의의 신호로 전원이 공급되는 회로로 확장되며, 저항, 리액턴스, 임피던스 결합, 측정, RLC 직렬 회로, 분포 정수 선로의 특성 임피던스, 에너지 변환 소자의 임피던스, 전자기파, 광학, 음향, 기계적 임피던스 등 다양한 분야에서 활용된다.

온저항

회로 이론

임피던스	전압이 가해졌을 때 회로가 전류의 흐름을 방해하는 정도
기호	Z
단위	옴(Ω)
공식	Z = R + jX
크기	Z∠θ

구성 요소

저항 (R)	전기 에너지를 열 에너지로 변환하여 전류의 흐름을 방해함.
리액턴스 (X)	전기 에너지를 저장했다가 다시 방출하면서 전류의 흐름을 방해함.
인덕턴스 리액턴스 (XL)	인덕터에 의해 발생하는 리액턴스.
커패시턴스 리액턴스 (XC)	커패시터에 의해 발생하는 리액턴스.

특징

주파수 의존성	교류 회로에서 임피던스는 주파수에 따라 달라짐.
위상 변화	임피던스는 전압과 전류 사이에 위상 변화를 일으킴.
복소수 표현	임피던스는 크기와 위상을 모두 포함하는 복소수로 표현됨.

활용

회로 설계	임피던스 개념은 회로의 동작을 분석하고 설계하는 데 필수적임.
신호 처리	임피던스 정합은 신호 전송 효율을 높이는 데 중요함.
전력 시스템	임피던스는 전력 시스템의 안정성을 분석하고 제어하는 데 사용됨.

옴의 법칙	회로의 전압, 전류, 저항 사이의 관계를 나타내는 법칙.
어드미턴스	임피던스의 역수로, 회로가 전류를 얼마나 잘 흐르게 하는지를 나타냄.
전기 회로	전기 부품들이 연결되어 전류가 흐르는 경로.
교류 회로	전류의 방향이 주기적으로 변하는 회로.
직류 회로	전류의 방향이 일정한 회로.

로마자 표기	Impideonseu

2. 역사

회로 분석에서 복소수를 처음으로 사용한 사람은 1879년 맥스웰 브리지를 분석한 요한 빅터 비틀리스바흐일 것이다. 비틀리스바흐는 교류(AC) 전류와 전압을 허수 지수를 가진 지수 함수로 표현하여 미분 방정식을 사용하지 않았다. 비틀리스바흐는 필요한 전압이 전류에 복소수(임피던스)를 곱하면 얻을 수 있다는 것을 발견했지만, 이것을 일반적인 변수로 인식하지는 않았다.

"임피던스"라는 용어는 1886년 7월 올리버 헤비사이드가 처음 사용했다. 헤비사이드는 연산 미적분에서 "저항 연산자"(임피던스)가 복소수임을 알아차렸다. 1887년 그는 옴의 법칙에 대한 교류 등가물이 존재함을 증명했다.

1893년 아서 케넬리는 임피던스에 대한 중요한 논문을 발표했다. 케넬리는 허수 지수 함수를 사용하는 것보다 훨씬 직접적인 방법으로 복소수 표현에 도달했다. 케넬리는 1889년 존 앰브로스 플레밍이 개발한 임피던스의 그래픽 표현(저항, 리액턴스, 임피던스를 직각삼각형의 변의 길이로 나타냄)을 따랐다. 따라서 임피던스는 벡터처럼 더할 수 있었다. 케넬리는 임피던스의 그래픽 표현이 복소수의 그래픽 표현(아르강 도표)과 매우 유사하다는 것을 알아차렸다. 그래서 복소수 표현을 사용하여 임피던스 계산 문제를 대수적으로 접근할 수 있었다. 같은 해 말, 케넬리의 연구는 찰스 프로테우스 슈타인메츠에 의해 모든 교류 회로로 일반화되었다. 슈타인메츠는 임피던스를 복소수로 표현했을 뿐만 아니라 전압과 전류도 복소수로 표현했다. 케넬리와 달리 슈타인메츠는 옴의 법칙 및 키르히호프의 법칙과 같은 직류(DC) 법칙의 교류 등가물을 표현할 수 있었다. 슈타인메츠의 연구는 엔지니어들 사이에서 이 기술을 널리 알리는 데 큰 영향을 주었다.

3. 복소 전압 및 전류

교류 회로의 계산을 단순화하기 위해, 사인파 전압 및 전류 파동은 일반적으로 복소수 값을 갖는 함수로 표현된다. 쌍극 회로의 임피던스는 복소 전압과 복소 전류의 비율로 정의된다. 크기 방정식은 전압 및 전류 진폭에 적용된 옴의 법칙이고, 두 번째 방정식은 위상 관계를 정의한다.

RLC 직렬회로에서 총 온저항을 $Z$ , 리액턴스를 $X$ , 가해준 전압의 복소수 표시를 $V$ , 실효치를 $V_{\rm e}$ , 흘려주는 전류의 복소수 표시를 $I$ , 실효치를 $I_{\rm e}$ 라고 하면 다음과 같은 식들이 성립한다.

: $Z = R + j \omega L + \frac{1}$

회로 내 일반화된 임피던스는 저항과 동일한 기호(미국 ANSI 또는 DIN 유로) 또는 레이블이 있는 상자로 그릴 수 있다.

계산을 단순화하기 위해, 사인파 전압 및 전류 파동은 일반적으로

V

와

I

로 표시되는 시간의 복소수 값을 갖는 함수로 표현된다.

:

\begin{align}V &= |V|e^{j(\omega t + \phi_V)}, \\I &= |I|e^{j(\omega t + \phi_I)}.\end{align}

쌍극 회로의 임피던스는 이러한 값의 비율로 정의된다.

:

Z = \frac{V}{I} = \frac

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e^{j(\phi_V - \phi_I)}.

따라서

\theta = \phi_V - \phi_I

라고 표시하면 다음과 같다.

:

\begin{align}|V| &= |I| |Z|, \\\phi_V &= \phi_I + \theta.\end{align}

3.1. 복소수 표현의 유효성

복소 지수 표현을 사용하는 이러한 표현은 오일러 공식에 의해 정당화될 수 있다.

: $\ \cos(\omega t + \phi) = \frac{1}{2} \Big[ e^{j(\omega t + \phi)} + e^{-j(\omega t + \phi)}\Big]$

전압 또는 전류를 나타내는 실수 값 사인 함수는 두 개의 복소수 값 함수로 나눌 수 있다. 중첩의 원리에 따라, 왼쪽의 사인파의 동작을 오른쪽의 두 복소수 항의 동작을 분석하여 분석할 수 있다. 대칭성을 고려할 때, 한쪽 항에 대해서만 분석을 수행하면 된다. 다른 쪽 항에 대한 결과는 동일하다. 어떤 계산이든 끝에서, 다음 사실을 통해 실수 값 사인파로 돌아갈 수 있다.

: $\ \cos(\omega t + \phi) = \operatorname\mathcal{R_e} \Big\{ e^{j(\omega t + \phi)} \Big\}$

3.2. 옴의 법칙

전기 임피던스의 의미는 옴의 법칙에 대입하여 이해할 수 있다. 임피던스 $Z$ 를 가진 2단자 회로 소자가 사인파 전압 또는 전류에 의해 구동된다고 가정하면 다음이 성립한다.

: $V = I Z = I |Z| e^{j \arg (Z)}$

임피던스 $|Z|$ 의 크기는 저항과 마찬가지로 작용하여, 주어진 전류 $I$ 에 대해 임피던스 $Z$ 에서 전압 진폭의 강하를 나타낸다. 위상 인자는 전류가 전압보다 위상 $\theta = \arg(Z)$ 만큼 뒤쳐짐을 알려준다(즉, 시간 영역에서 전류 신호는 전압 신호에 대해 $\frac{\theta}{2 \pi} T$ 만큼 늦게 이동).

임피던스가 옴의 법칙을 AC 회로까지 확장하는 것처럼, 전압 분배, 전류 분배, 테브닌의 정리 및 노턴의 정리와 같은 DC 회로 분석의 다른 결과도 저항을 임피던스로 대체하여 AC 회로로 확장할 수 있다.

3.3. 페이저

페이저는 시간의 정현파 함수의 복소 진폭(크기와 위상)을 나타내는 상수 복소수이다. 전기 기술자는 페이저를 사용하여 정현파와 관련된 계산을 단순화하는데, 예를 들어 교류 회로에서 미분 방정식 문제를 대수 방정식 문제로 줄일 수 있다.

회로 소자의 임피던스는 소자에 걸리는 페이저 전압과 소자를 통과하는 페이저 전류의 비율로 정의할 수 있으며, 이는 전압과 전류의 상대적인 진폭과 위상에 의해 결정된다. 이는 $e^{j\omega t}$ 의 인수가 상쇄된다는 것을 인식하면서 주어진 옴의 법칙의 정의와 동일하다.

4. 소자별 임피던스

인덕턴스에 의한 온저항을 유도 리액턴스라고 하며, 인덕턴스를 $L$ 이라 하면 이에 의한 온저항 $Z_{\rm L}$ 은 다음과 같다.
: $Z_{\rm L} = j \omega L$
크기는 $\omega L$ 이고, $j= e^{\pi j/2}$ 이므로 저항보다 위상이 $\pi/2$ 빠르다.

정전 용량에 의한 온저항을 용량 리액턴스라고 하며, 정전 용량을 $C$ , 이에 의한 온저항을 $Z_{\rm C}$ 으로 놓으면 다음과 같은 식이 성립한다.
: $Z_{\rm C} = \frac{1}{j \omega C}$

4.1. 저항(Resistor)

이상적인 저항기의 임피던스는 순수하게 실수이며 저항 임피던스라고 한다. 이 경우 전압과 전류 파형은 비례하며 위상이 같다.

: $Z_R = R$

이는 옴의 법칙과 같으며, 저항의 경우 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $v_\text{R} \mathord\left( t \right) = i_\text{R} \mathord\left( t \right) R$

전압 신호를 $v_\text{R}(t) = V_p \sin(\omega t)$ 와 같이 고려하면, 다음과 같은 결과가 나온다.

: $\frac{v_\text{R} \mathord\left( t \right)}{i_\text{R} \mathord\left( t \right)} = \frac{V_p \sin(\omega t)}{I_p \sin \mathord\left( \omega t \right)} = R$

이는 저항 양단의 교류 전압 진폭과 교류 (AC) 전류 진폭의 비가 $R$ 이며, 저항 양단의 교류 전압이 전류보다 0도 앞선다는 것을 의미한다.

이 결과는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

: $Z_\text{resistor} = R$

직류에서의 전기 저항이 $R$ 일 때, 그 임피던스는 단순히 $R$ 이다. 복소 평면의 벡터로 나타내면 오른쪽 방향의 벡터가 된다.

4.2. 인덕터(Inductor)

이상적인 인덕터는 순수한 허수 리액턴스 임피던스를 갖는다. 인덕터의 임피던스는 주파수가 증가함에 따라 증가한다.

: $Z_L = j\omega L$

여기서 $j$ 는 전기 공학에서 사용되는 허수 단위로, $j = \sqrt{-1}$ 이다. 전류에 자주 사용되는 문자 $i$ 는 사용되지 않는다.

인가된 정현파 전압에 대해, 결과 전류도 정현파이지만 전압과 위상이 90도 차이가 난다. 인덕터에서 전류는 지연된다.

허수 단위와 그 역수에 대한 다음 항등식을 참고할 수 있다.

: $\begin{align}j &\equiv \cos{\left( \frac{\pi}{2}\right)} + j\sin{\left( \frac{\pi}{2}\right)} \equiv e^{j \frac{\pi}{2}} \\\frac{1}{j} \equiv -j &\equiv \cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} + j\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} \equiv e^{j\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\end{align}$

따라서 인덕터 임피던스 방정식은 극좌표 형식으로 다시 작성할 수 있다.

: $Z_L = \omega Le^{j\frac{\pi}{2}}$

크기는 주어진 전류 진폭에 대한 임피던스를 통한 전압 진폭의 변화를 제공하고, 지수 인자는 위상 관계를 제공한다.

유도체의 경우, 패러데이의 법칙에 따라 다음 관계가 성립한다.

: $v_\text{L}(t) = L \frac{\mathrm{d}i_\text{L}(t)}{\mathrm{d}t}$

전류 신호를 다음과 같이 고려한다.

: $i_\text{L}(t) = I_p \sin(\omega t)$

따라서 다음이 성립한다.

: $\frac{\mathrm{d}i_\text{L}(t)}{\mathrm{d}t} = \omega I_p \cos \mathord\left( \omega t \right)$

이 결과는 일반적으로 극좌표 형식으로 다음과 같이 표현된다.

: $Z_\text{inductor} = \omega L e^{j\frac{\pi}{2}}$

또는 오일러 공식을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $Z_\text{inductor} = j \omega L$

전압과 전류의 복소수 표현에서 직접 이 공식을 유도하거나, 유도체의 두 단자 사이에 정현파 전압이 있다고 가정하여 유도할 수도 있다. 후자의 경우, 위의 미분 방정식을 적분하면 유도체를 통해 흐르는 고정된 직류 바이어스를 나타내는 전류에 대한 상수 항이 발생한다. 이것은 AC 분석이 주파수 도메인 임피던스를 사용하여 한 번에 하나의 주파수를 고려하고, DC는 이 컨텍스트에서 0 헤르츠의 별도의 주파수를 나타내기 때문에 0으로 설정된다.

인덕터 (이상적인 코일)에 의한 임피던스는, 인덕턴스를 $L$ 이라고 하면 다음과 같다.

: $Z_{\mathrm L} = {\mathrm j}\omega L$

이것은 복소 평면의 벡터로 나타내면 위쪽 방향의 벡터가 된다.

4.3. 커패시터(Capacitor)

이상적인 축전기는 순수한 허수 리액턴스 임피던스를 갖는다. 축전기(커패시터)의 임피던스는 주파수가 증가함에 따라 감소한다.

: $Z_C = \frac{1}{j\omega C}$

인가된 정현파 전압에 대해, 결과 전류도 정현파이지만 전압과 위상이 90도 차이가 난다. 커패시터에서는 전류가 선행한다.

허수 단위와 그 역수에 대한 다음 항등식을 참고할 수 있다.

: $\begin{align}\frac{1}{j} \equiv -j &\equiv \cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} + j\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} \equiv e^{j\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\end{align}$

따라서 축전기 임피던스 방정식은 극좌표 형식으로 다시 작성할 수 있다.

: $Z_C = \frac{1}{\omega C}e^{j\left(-\frac{\pi}{2}\right)}$

크기는 주어진 전류 진폭에 대한 임피던스를 통한 전압 진폭의 변화를 제공하고, 지수 인자는 위상 관계를 제공한다.

커패시터의 경우, 다음 관계가 성립한다.
: $i_\text{C}(t) = C \frac{\mathrm{d}v_\text{C}(t)}{\mathrm{d}t}$

전압 신호가 다음과 같다고 가정하면
: $v_\text{C}(t) = V_p e^{j\omega t}$

다음이 성립한다.
: $\frac{\mathrm{d}v_{\text{C}}(t)}{\mathrm{d}t} = j\omega V_p e^{j\omega t}$

따라서,
: $Z_\text{capacitor} = \frac{v_\text{C} \mathord\left( t \right)}{i_\text{C} \mathord\left( t \right)} = \frac{1}{j\omega C}.$

회로를 통과하는 전류가 정현파라고 가정하고, 복소수 표현이 다음과 같다고 하면,
: $i_\text{C}(t) = I_p e^{j\omega t}$

미분 방정식을 적분하면
: $i_\text{C}(t) = C \frac{\mathrm{d}v_\text{C}(t)}{\mathrm{d}t}$

다음과 같다.
: $v_C(t) = \frac{1}{j\omega C}I_p e^{j\omega t} + \text{Const.} = \frac{1}{j\omega C} i_C(t) + \text{Const.}$

Const 항은 AC 정현파 전위에 중첩된 고정 전위 바이어스를 나타내며, AC 분석에서는 아무런 역할을 하지 않는다. 이 항은 0으로 가정할 수 있으며, 따라서 다시 임피던스는 다음과 같다.

: $Z_\text{capacitor} = \frac{1}{j\omega C}.$

캐패시터(이상 콘덴서)에 의한 임피던스는, 캐패시턴스를 $C$ 라고 하면 다음과 같다.

: $Z_{\mathrm C} = \frac{1}{{\mathrm j} \omega C} = -{\mathrm j}\frac{1}{\omega C}$

이것은 복소 평면의 벡터로 나타내면 아래쪽을 향하는 벡터가 된다.

5. 일반화된 s-평면 임피던스

임피던스 개념은 jω 대신 복소 주파수를 사용하여 임의의 신호로 전원이 공급되는 회로로 확장할 수 있다. 복소 주파수는 기호 s로 표시되며, 일반적으로 복소수이다. 신호는 신호의 시간 영역 표현의 라플라스 변환을 취함으로써 복소 주파수로 표현된다. 이 보다 일반적인 표기법에서 기본 회로 소자의 임피던스는 다음과 같다.

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\| 임피던스 표현
저항	R
인덕터	sL
커패시터	1/sC

DC 회로의 경우, 이는 s = 0으로 단순화된다. 정상 상태의 정현파 AC 신호의 경우 s = jω이다.

전기 부품의 임피던스 Z는 전압의 라플라스 변환과 이를 통과하는 전류의 라플라스 변환의 비율로 정의된다. 즉,

:

여기서 s = σ + jω는 복소 라플라스 파라미터이다. 예를 들어, 커패시터의 I-V 법칙에 따르면 ℒ{i(t)} = ℒ{C dv(t)/dt} = sCℒ{v(t)}이므로 Z_C(s) = 1/sC가 된다.

페이저 영역(정상 상태 AC, 즉 모든 신호가 간단한 복소 지수 v(t) = V̂ e^jωt 및 i(t) = Î e^jωt로 수학적으로 표현되어 공통 주파수 ω에서 진동함을 의미)에서 임피던스는 전압 대 전류의 비율로 간단히 계산할 수 있으며, 여기서 공통 시간 종속 인수는 상쇄된다.

:

다시, 커패시터의 경우 i(t) = C dv(t)/dt = jωC v(t)가 되어 Z_C(ω) = 1/jωC가 된다. 페이저 도메인은 때때로 주파수 도메인이라고 불리지만, 라플라스 파라미터의 차원 중 하나가 부족하다. 정상 상태 AC의 경우 복소 임피던스의 극형식은 전압과 전류의 진폭과 위상을 관련시킨다. 특히 다음과 같다.

* 복소 임피던스의 크기는 전압 진폭과 전류 진폭의 비율이다.
* 복소 임피던스의 위상은 전류가 전압보다 뒤쳐지는 위상차이다.

이 두 관계는 실제 회로에서 실제로 측정하는 신호의 부분인 복소 지수의 실수부를 취한 후에도 유지된다( 페이저 참조).

6. 저항 대 리액턴스

저항과 리액턴스는 임피던스의 크기와 위상을 결정한다.

RLC 직렬회로에서 총 임피던스를 $Z$ , 리액턴스를 $X$ 라 하고, 가해준 전압과 전류를 복소수로 나타낼 수 있다. 임피던스의 크기( $|Z|$ )와 위상( $\theta$ )은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}|Z| &= \sqrt{R^2 + X^2} \\\theta &= \arctan{\left(\frac{X}{R}\right)}\end{align}$

많은 경우, 전압과 전류의 상대적인 위상은 중요하지 않으므로 임피던스의 크기만 고려 대상이 된다.

6.1. 저항(Resistance)

저항 $R$ 은 임피던스의 실수부이며, 순수 저항성 임피던스를 가진 장치는 전압과 전류 사이에 위상 변이가 없다.

: $R = |Z| \cos{\theta} \quad$

6.2. 리액턴스(Reactance)

리액턴스( $X$ )는 임피던스의 허수 부분이다. 유한한 리액턴스를 가진 소자는 전압과 전류 사이에 위상 변화를 유발한다. 순수 리액턴스는 어떤 전력도 소비하지 않는다.

RLC 직렬 회로에서 리액턴스 $X$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $X = \omega L - \frac{1}{\omega C}$

여기서 $\omega$ 는 각주파수, $L$ 은 인덕턴스, $C$ 는 캐패시턴스이다.

* 유도 리액턴스( $Z_{\rm L}$ )는 $j \omega L$ 이며, 크기는 $\omega L$ 이고, 위상은 저항보다 $\pi/2$ 빠르다.
* 용량 리액턴스( $Z_{\rm C}$ )는 $\frac{1}{j \omega C}$ 이다.

전압에서 전류의 위상차 $\phi$ 는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

: $\phi = \tan^{-1}{\frac{X}{R}}$

6.2.1. 용량성 리액턴스(Capacitive Reactance)

커패시터(콘덴서)는 신호 주파수에 반비례하는 리액턴스 임피던스를 갖는다. 커패시터는 유전체(절연체)로 분리된 두 개의 전기 전도체로 구성된다.

용량 리액턴스는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $X_\mathsf{C} = \frac{-1\ ~}{\ \omega\ C\ } = \frac{-1\ ~}{\ 2\pi\ f\ C\ } ~.$

여기서 $\omega$ 는 각주파수, $C$ 는 정전 용량(커패시턴스), $f$ 는 주파수이다. 마이너스 부호는 임피던스의 허수부가 음수임을 나타낸다.

낮은 주파수에서 커패시터는 개방 회로와 같이 동작하여 전류가 흐르지 않는다. 커패시터에 직류 전압이 가해지면 한쪽에 전하가 축적되고, 축적된 전하로 인한 전기장이 전류를 방해한다. 전하와 관련된 전위가 가해진 전압과 같아지면 전류는 0이 된다.

교류 전원에 의해 구동되는 커패시터는 전위차가 부호를 바꾸고 전하가 소산되기 전에 제한된 전하만 축적한다. 주파수가 높을수록 축적되는 전하가 적어지고 전류에 대한 저항이 작아진다.

캐패시터(콘덴서)에 의한 임피던스는, 정전 용량을 $C$ 라고 하면 다음과 같다.

: $Z_{\mathrm C} = \frac{1}{{\mathrm j} \omega C} = -{\mathrm j}\frac{1}{\omega C}$

이것은 복소 평면에서 아래쪽을 향하는 벡터로 나타낼 수 있다.

6.2.2. 유도성 리액턴스(Inductive Reactance)

유도 리액턴스 $X_L$ 은 신호의 주파수 $f$ 와 유도 계수 $L$ 에 비례한다.

: $X_L = \omega L = 2\pi f L\quad$

유도체는 코일 도체로 구성된다. 패러데이의 유도 법칙에 따르면 전류 루프를 통과하는 자속 밀도 $B$ 의 변화율에 따른 역 기전력 $\mathcal{E}$ (전류에 반대하는 전압)이 발생한다.

: $\mathcal{E} = -{{d\Phi_B} \over dt}\quad$

$N$ 개의 루프로 구성된 코일로 이루어진 유도체의 경우 다음과 같다.

: $\mathcal{E} = -N{d\Phi_B \over dt}\quad$

역기전력은 전류 흐름에 대한 반대의 원천이다. 일정한 직류는 0의 변화율을 가지며, 유도체를 단락 회로로 간주한다(일반적으로 낮은 저항을 가진 재료로 만들어진다). 교류는 시간에 따라 평균된 변화율이 주파수에 비례하며, 이로 인해 유도 리액턴스가 주파수에 따라 증가한다.

6.2.3. 총 리액턴스(Total Reactance)

총 리액턴스는 유도성 리액턴스( $X_L$ )와 용량성 리액턴스( $X_C$ )의 합으로 나타내며, 다음 식으로 표현된다.

: $X = X_L + X_C$ ( $X_C$ 는 음수)

RLC 직렬 회로에서 리액턴스 성분 $X$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $X = \omega L - \frac{1}{\omega C}$

7. 임피던스 결합

많은 간단한 회로망의 전체 임피던스는 직렬 및 병렬로 임피던스를 결합하는 규칙을 사용하여 계산할 수 있다. 이 규칙은 일반적인 숫자가 복소수라는 점을 제외하면 저항을 결합하는 규칙과 동일하다. 그러나 일반적인 경우에는 직렬 및 병렬 외에도 등가 임피던스 변환이 필요하다.

7.1. 직렬 연결(Series Combination)

직렬로 연결된 부품의 경우, 각 회로 소자를 통과하는 전류는 동일하며, 총 임피던스는 부품 임피던스의 합이다.

Z_{\text{eq}} = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n

또는 실수부와 허수부로 표현하면 다음과 같다.

:

Z_{\text{eq}} = R + jX = (R_1 + R_2 + \cdots + R_n) + j(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)

7.2. 병렬 연결(Parallel Combination)

병렬로 연결된 소자의 경우, 각 회로 소자 양단의 전압은 동일하다. 임의의 두 소자를 통과하는 전류의 비율은 그 임피던스의 역수와 같다.

따라서 전체 임피던스의 역수는 개별 임피던스 역수의 합과 같다.

:

\frac{1}{Z_{\text{eq}}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \cdots + \frac{1}{Z_n}

n = 2일 때:

:

\frac{1}{Z_{\text{eq}}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} = \frac{Z_1 + Z_2}{Z_1 Z_2}

\ Z_{\text{eq}} = \frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}

등가 임피던스

Z_{\text{eq}}

는 등가 직렬 저항

R_{\text{eq}}

과 리액턴스

X_{\text{eq}}

를 사용하여 계산할 수 있다.

:

\begin{align}Z_{\text{eq}} &= R_{\text{eq}} + j X_{\text{eq}} \\R_{\text{eq}} &= \frac{(X_1 R_2 + X_2 R_1) (X_1 + X_2) + (R_1 R_2 - X_1 X_2) (R_1 + R_2)}{(R_1 + R_2)^2 + (X_1 + X_2)^2} \\X_{\text{eq}} &= \frac{(X_1 R_2 + X_2 R_1) (R_1 + R_2) - (R_1 R_2 - X_1 X_2) (X_1 + X_2)}{(R_1 + R_2)^2 + (X_1 + X_2)^2}\end{align}

8. 임피던스 측정

장치 및 전송선의 임피던스 측정은 무선 통신 기술 및 기타 분야에서 실질적인 문제이다. 임피던스는 옴 단위로 직접 측정하거나 표시할 수 있으며, 임피던스와 관련된 다른 값도 표시할 수 있다. 임피던스 측정에는 전압과 전류의 크기, 그리고 이들 간의 위상차 측정이 필요하다. 임피던스는 직류 휘트스톤 브리지와 유사한 브리지 회로 방식을 사용하여 측정되는 경우가 많다.

장치의 임피던스는 전압과 전류의 복소수 나눗셈으로 계산할 수 있다. 장치의 임피던스는 저항과 직렬로 연결된 장치에 정현파 전압을 가하고, 저항과 장치 양단의 전압을 측정하여 계산할 수 있다. 적용된 신호의 주파수를 스위핑하여 이 측정을 수행하면 임피던스 위상과 크기를 얻을 수 있다.

고속 푸리에 변환 (FFT)과 함께 임펄스 응답을 사용하여 다양한 전기 장치의 전기 임피던스를 빠르게 측정할 수 있다.

LCR 미터 (인덕턴스(L), 커패시턴스(C) 및 저항(R))는 부품의 인덕턴스, 저항 및 커패시턴스를 측정하는 데 일반적으로 사용되는 장치이다. 이러한 값으로부터 모든 주파수에서의 임피던스를 계산할 수 있다.

9. RLC 직렬 회로

RLC 직렬 회로에서 총 온저항(임피던스)을 $Z$, 리액턴스를 $X$, 가해준 전압의 복소수 표시를 $V$, 실효값을 $V_{\rm e}$, 흘려주는 전류의 복소수 표시를 $I$, 실효값을 $I_{\rm e}$라고 하면 다음과 같은 식들이 성립한다.

:$Z = R + j \omega L + \frac{1}{j\omega C} = R + jX$
:$X = \omega L - \frac{1}{\omega C}$
:$V = IZ$
:$V_{\rm e} = |V| = I_{\rm e} |Z| = I_{\rm e} \sqrt{R^2 + X^2}$

또한, 전압에 대한 전류의 위상차 $\phi$는 다음 식으로 나타낸다.

:$\phi = \tan^{-1}{\frac{X}{R}}$

특히 $X=0$일 때, 즉 $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 또는 $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$일 때 $Z=R$로 임피던스가 최소가 된다(공진).

10. 분포 정수 선로의 특성 임피던스

분포 정수 회로, 특히 분포 정수 선로에도 전압과 전류의 비로서의 임피던스가 있다. 이것은 특성 임피던스라고 불리며, 교류, 특히 고주파의 전송에 사용되는 동축 케이블 또는 평행 선로 등에서 중요한 특성값이다.

단위 길이당 인덕턴스가 $L$ 인 도체, 단위 길이당 캐패시턴스가 $C$ 인 절연체에 의한 손실이 없는 균일한 전송로의 특성 임피던스 $Z_0$ 는 다음 식으로 나타낸다.

: $Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}$

11. 에너지 변환을 수반하는 소자의 임피던스

전기 회로 내에서 닫히지 않고, 전기 에너지에서 다른 에너지로의 변환을 수반하는 소자나 기기에서는 특별한 고찰이 필요하다.

11.1. 열에너지로의 변환

니크롬선 히터 등은 줄열을 발생시키는 전기 저항으로 논의할 수 있다. 전기 저항 $R$ 에서 $P=IV=I^2R=V^2/R$ 의 전력이 시간 $t$ 동안 소비될 때 발생하는 열량, 즉 줄열 $Q$ 는 $Q=Pt\,$ 이다.

11.2. 전자기파 에너지로의 변환

고주파 전류를 전자기파로 변환하는 소자를 공중선 또는 안테나라고 한다. 안테나는 고주파 에너지의 전송 매체인 동축 케이블 또는 평행 전송선과 전자기파의 전송 매체인 공중(유전체)의 임피던스 변환기이다. 동축 케이블 등에서 전송된 고주파 에너지가 전자기파 에너지로 변환될 때, 전기 회로 측에서는 단순히 에너지가 소비된 것으로 보인다. 이 겉보기 에너지 소비에 대응하는 실수 성분으로서의 전기 저항 $R_i$ (복사 저항 또는 방사 저항이라고 함)를 의사적으로 생각하면 안테나의 임피던스는 $Z = R + R_i$ 이다.

11.3. 음향 에너지로의 변환

헤드폰(또는 이어폰), 스피커 등은 저주파의 전기 신호를 공기 진동으로 변환하는 소자이다. 저주파 전기 에너지가 "전자석"에 의해 공기 진동, 즉 음향 에너지로 변환될 때, 전기 회로 측에서는 단순히 에너지가 소비된 것으로 보인다.

일반적으로 스피커의 임피던스는 전기 회로로 보았을 경우의 대표값으로 8Ω 내지 4–16Ω로 표시되며, 앰프 설계 등에서는 그 값의 저항으로 간주하는 경우가 많다. 그러나 실측값으로는 주파수에 따라 임피던스가 오르내리며, 스피커 케이스(스피커 박스)나 설치 상황에 따라서도 변화한다(보이스 코일이 움직이기 쉬우면 임피던스가 높아진다).

앰프와 스피커(및 헤드폰, 이어폰) 사이에서 각각 임피던스가 다른 경우에는, 앰프 측의 임피던스는 낮고, 스피커(또는 헤드폰, 이어폰) 측의 임피던스는 높은 "로우 (저 임피던스) 출력 하이 (고 임피던스) 입력"이 원칙이다.

12. 기타 분야에서의 임피던스

교류 전기 회로에서 전압과 전류의 비인 전기 임피던스는 압력과 유량의 비라는 일반화를 통해 교류 전기 회로뿐만 아니라 전자기파, 빛, 음향, 진동, 지진, 쓰나미 등 모든 파 현상에 적용될 수 있다.

12.1. 전자기파의 임피던스

전자기파의 임피던스 (특성 임피던스)는 진공을 포함한 유전체(보통 대기 등)에서의 전자기파 전파에 관한 개념이다. 전기 회로에서 전압과 전류의 비인 전기 임피던스 정의를 전자기파에 적용하면, 특성 임피던스는 전계 $E$ 와 자계 $H$ 의 비이다.

12.2. 광학 임피던스

광학 임피던스(optical impedance)는 빛과 그 전파 매체의 전파에 관한 개념이다. 빛을 전자기파의 일부로 간주하면 전자기파의 특성 임피던스에 대한 논의와 일치한다. 굴절, 반사, 회절 등 광학 현상의 많은 부분에서 이 광학 임피던스 개념이 사용된다.

12.3. 음향 임피던스

탄성체에서의 탄성파의 전파 어려움을 나타낸다. 또한, 유체에서의 흐름의 어려움을 나타내는 말로 사용되는 경우가 있다.

12.4. 기계적 임피던스

물체의 질량, 힘, 속도, 움직이기 쉬움 등의 관계를 임피던스 개념에 적용한 것이다.