원적 문제

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 고대
- 2.2. 중세 및 근대
3. 불가능의 증명
- 3.1. 비유클리드 기하학에서의 원적 문제
4. 근사 작도법
참조

1. 개요

원적 문제(圓積問題, squaring the circle)는 주어진 원과 동일한 면적을 가진 정사각형을 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도하는 문제이다. 고대부터 많은 수학자들이 이 문제 해결에 도전했으나, 1882년 페르디난트 폰 린데만에 의해 원주율이 초월수임이 증명되면서 원적 문제의 불가능성이 밝혀졌다. 원적 문제는 불가능하지만, 원의 면적을 근사하는 정사각형을 작도하는 방법은 존재하며, 홉슨, 라마누잔 등의 수학자들이 다양한 근사 작도법을 제시했다.

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원적 문제
개요
주제	작도 불가능성
분야	기하학
관련 개념	자와 컴퍼스 작도, 초월수
역사적 배경
기원	고대 그리스
주요 인물	아낙사고라스
1882년 증명	페르디난트 폰 린데만
수학적 분석
불가능성 증명	원의 넓이와 같은 넓이를 가진 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도하는 것이 불가능함을 증명
작도 가능성	초월수인 원주율의 특성으로 인해 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능
문화적 의미
비유적 의미	해결 불가능한 문제
종종 사용되는 예시	형이상학적인 문제나 실현 불가능한 목표

2. 역사

원적 문제는 고대 바빌로니아와 고대 이집트 시대부터 그 기원을 찾을 수 있으며, 당대 수학자들은 이미 주어진 원에 가까운 면적의 정사각형을 구하는 방법을 알고 있었다.^[2]

고대 그리스에서는 아낙사고라스가 이 문제에 처음 관심을 가졌다고 알려져 있다. 히오스의 히포크라테스는 초승달 모양 도형(2개의 원호로 둘러싸인 영역)의 정사각형화에 성공했고, 소피스트 안티폰은 원에 내접하는 정다각형의 변의 수를 늘려 원을 채우면 원과 같은 면적의 정사각형을 구할 수 있다고 주장했다. 그러나 로도스의 에우데모스는 수량이 무한히 분할될 수 없다는 점을 들어 이러한 주장에 반박했다.^[3] 원적 문제는 아리스토파네스의 희극 《새》에도 등장한다.

히오스의 오이노피데스는 자와 컴퍼스만을 사용하여 원과 같은 면적의 정사각형을 작도하는 문제를 최초로 제시했다. 제임스 그레고리는 1667년에 자신의 저서 《원과 쌍곡선의 정사각형화》에서 원적 문제가 불가능함을 증명하려 했으나, 그의 증명은 틀렸다. 하지만 이는 원주율(π)의 대수적 성질을 바탕으로 원적 문제를 논의한 최초의 시도였다.

1837년 피에르 방첼은 컴퍼스와 자로 작도 가능한 길이가 유리수를 계수로 갖는 특정 다항식 방정식의 해여야 한다는 것을 증명했다.^[4]^[5] 1882년 페르디난트 폰 린데만은 원주율이 초월수임을 증명하여 원적 문제가 불가능하다는 엄밀한 증명을 제시했다.

2. 1. 고대

기원전 1800년경 고대 이집트에서 제작된 《린드 수학 파피루스》에는 지름이

d

인 원의 면적을

\frac{64}{81} d^2

로 계산하는 방법이 기록되어 있다. 바빌로니아에서는 주어진 원에 가까운 면적의 정사각형을 구하는 방법이 알려져 있었다. 인도의 수학 서적인 《슐바 수트라》에는 원의 면적을 근사하는 방법과 주어진 정사각형에 가까운 면적의 원을 작도하는 방법이 기록되어 있다.^[2]

고대 그리스에서는 아낙사고라스가 원적 문제에 처음으로 뛰어든 수학자로 알려져 있다. 히오스의 히포크라테스는 여러 개의 초승달 모양(2개의 원호로 둘러싸인 영역)의 정사각형화를 달성했다. 소피스트 안티폰은 원에 내접하는 정다각형의 변의 수를 늘려 원을 채우는 방식으로 원적 문제를 해결하려 했으나, 로도스의 에우데모스는 수량이 무한히 분할되는 것은 불가능하다는 점을 들어 반박했다.^[3]

2. 2. 중세 및 근대

고대 그리스에서 원의 정사각형화에 가장 먼저 뛰어든 것은 이오니아 학파에 속해 있던 수학자인 아낙사고라스라고 알려져 있다. 히오스의 히포크라테스는 원적 문제에 몰두하는 과정에서 여러 개의 초승달 모양(2개의 원호로 둘러싸인 영역)의 정사각형화를 달성했다. 소피스트 안티폰은 원에 내접하는 정다각형에 주목했는데 다각형은 정사각형화할 수 있기 때문에 원의 내접다각형 변의 수를 배로 늘려서 원을 정다각형으로 채우면 원과 같은 면적인 정사각형이 요구된다고 주장했다. 그에 대한 회의적인 시각은 당시부터 존재했는데 특히 로도스의 에우데모스는 수량이라는 것은 무한히 분할하는 것이 불가능하기 때문에 그러한 원의 면적은 결코 다할 수 없다고 반박했다.^[3] 원적 문제는 아리스토파네스의 희극인 《새》에도 등장하게 되었다.

원과 같은 면적을 가진 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 사용해서 작도하는 문제를 제시한 것은 히오스의 오이노피데스가 최초인 것으로 보인다. 스코틀랜드의 수학자인 제임스 그레고리는 1667년에 자신의 저서인 《원과 쌍곡선의 정사각형화》(Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura)에서 원적 문제가 불가능하다는 것을 증명하려고 했다. 결과적으로 그레고리의 증명은 틀렸지만 원적 문제에 대해 처음으로 원주율(π)의 대수적 성질을 바탕으로 논의를 시도한 것이었다.

1837년에는 프랑스의 수학자인 피에르 방첼이 컴퍼스와 자로 구성될 수 있는 길이가 유리수를 가진 특정 다항식 방정식의 답이어야 한다는 것을 입증했다.^[4]^[5] 1882년에는 독일의 수학자인 페르디난트 폰 린데만이 원주율의 초월성을 증명함으로써 원적 문제가 불가능하다는 엄밀한 증명을 얻었다.

3. 불가능의 증명

주어진 원과 같은 넓이의 정사각형을 작도하려면 단위 길이에 대해 √π의 길이를 만들어야 한다. 원주율(π)이 대수방정식의 해가 되는 복소수인 대수적 수가 아니라 초월수라는 사실이 증명되면서 원적 문제가 불가능하다는 것이 밝혀졌다. 작도 가능한 수는 대수적 수이므로, 원의 정사각형화가 가능하다면 원주율은 대수적 수여야 한다. 원의 정사각형화 가능성은 정사각형의 원화 가능성과 같으므로, 정사각형의 원화 역시 불가능하다.

요한 람베르트는 1768년 논문에서 원주율이 무리수임을 증명했고, 당시에는 초월수의 존재조차 증명되지 않았지만 원주율이 초월수일 것이라고 예상했다. 원주율이 초월수라는 것은 1882년 페르디난트 폰 린데만에 의해 증명되었다.^[6]

컴퍼스나 직선 자 연산을 무한히 허용하거나, 특정 비유클리드 기하학에서 연산을 수행하는 등 제한을 완화하여 보조 도구를 도입하면 원을 분할하는 것이 가능하다. 예를 들어 히피아스의 원적곡선은 원을 정사각형으로 만들고 아르키메데스 와선처럼 임의의 각도를 3등분할 수 있게 한다.

3. 1. 비유클리드 기하학에서의 원적 문제

요한 람베르트는 1768년에 작성된 논문에서 원주율이 무리수임을 증명했는데, 아직 초월수의 존재조차 증명되지 않았던 당시에 원주율이 초월수일 것으로 예상했다. 유클리드 공간에서는 원의 정사각형화가 불가능하지만, 카를 프리드리히 가우스, 보여이 야노시, 니콜라이 로바쳅스키가 제창한 쌍곡기하학에서는 용어의 적절한 해석에 따라 원적 문제가 가능하다.^[7]^[8]

쌍곡면에는 정사각형이 없기 때문에 그 역할은 정규 4분위수(모든 변이 일치하고 모든 각도가 일치하는 사각형, 그러나 이러한 각도는 직각보다 매우 작음)가 대신한다. 쌍곡면에는 무한히 많은 쌍의 구성 가능한 원과 동일한 영역의 구성 가능한 정규 4분위수가 존재하지만, 이는 동시에 생성된다. 정사각형으로 시작하여 동일한 면적의 원을 구성하는 방법은 없으며, 원으로 시작하여 동일한 면적의 정사각형을 구성하는 방법(원이 동일 면적의 정사각형이 존재할 정도로 작은 경우에도 마찬가지)도 없다.

4. 근사 작도법

원적 문제는 불가능하지만, π에 가까운 수를 구성하여 주어진 원의 면적을 임의의 정밀도로 근사하는 정사각형을 만드는 것은 가능하다. 주어진 유리수의 길이를 갖는 선분을 작도하는 데는 초등적인 원리밖에 필요로 하지 않지만, 이러한 방법은 얻을 수 있는 근사 정도에 비해 효율이 나쁘고 번잡해지기 쉽다.

원적 문제 작도가 불가능하다고 증명된 뒤에도 원의 정사각형화 과정의 아름다운 근사법(즉 비슷한 정도의 정밀도를 가진 근사법 중에서도 특히 단순한 것)을 찾는 데 온 힘을 기울이는 수학자들이 있었다.

1963년에는 칼 D. 올즈, 1966년에는 마틴 가드너, 1982년에는 벤저민 볼드가 각각 소수점 이하 6자리까지 정확한 근삿값을 이용한 작도를 고안했다.^[9]^[10]

4. 1. 홉슨의 작도법

1913년, 잉글랜드의 수학자 E. W. 홉슨은 π의 근사치로 3.14164079…(소수점 이하 4번째 자리까지 정확)를 사용하는 비교적 정확한 작도법을 고안했다.^[9]

4. 2. 라마누잔의 작도법

1913년, 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔은 π의 근사치로 355/113 (소수점 이하 6번째 자리까지 정확)을 사용하는 작도법을 제시했다.^[9]^[10]

:

\pi \approx \frac{355}{113} =3.1415929203539823008\dots

1914년, 라마누잔은 π의 근사치로 (9² + 19²/22)^(1/4) (소수점 이하 8번째 자리까지 정확)를 사용하는 작도법을 발견했다.^[11]

:

\left(9^2 + \frac{19^2}{22}\right)^\frac14 = \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.141\;592\;65{\color{red}2\;582\;\ldots}

4. 3. 황금비를 이용한 작도법

영국의 수학자 로버트 딕슨은 1991년에 황금비를 응용한 다음 근삿값을 발견했다.^[12]

:

\frac{6}{5}\cdot \left( 1 + \varphi\right) = 3.141\;{\color{red}640\;\ldots},

여기서

\varphi

는 황금비를 가리킨다. 이 값은 소수점 이하 3번째 자리까지 π와 같다.

반지름이

r = 1

인 정사각형의 한 변의 길이를 구하는 경우에는 다음과 같은 등식이 나온다.

:

a =\sqrt{\frac{6}{5}\cdot\left(1+\varphi \right)} = \sqrt{\varphi +1 +\frac{1}{5}\cdot\left(1+\varphi \right)} = 1.772\;4{\color{red}67\;\ldots}

위 식을 확장하면 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이 때 소수점 이하 4번째 자리까지 π와 같다.

:

\sqrt{\overline{AE} + 1 + \tfrac{1}{5}\cdot(1 + \overline{AE})} = \sqrt{AG} = a \approx\sqrt{\pi}

참조

_[1] 문서 π가 초월수이므로 π의 작도는 눈금이 있는 자와 컴퍼스를 사용하는 [[뉴시스 작도]]나 종이를 접는 [[종이접기의 수학|종이접기 작도]]로도 불가능하다.
_[2] 웹인용 The Indian Sulbasutras http://www-groups.dc[...] St Andrews University 2021-04-28
_[3] 서적 History of Greek Mathematics https://archive.org/[...] Courier Dover Publications 1981
_[4] 저널 Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas https://babel.hathit[...] 1837
_[5] 저널 Pierre Laurent Wantzel 1918
_[6] 저널 Über die Zahl π https://babel.hathit[...] 1882
_[7] 저널 Squaring circles in the hyperbolic plane http://zakuski.math.[...] 1995
_[8] 서적 Euclidean and Non-Euclidean Geometries https://archive.org/[...] W H Freeman 2008
_[9] 웹인용 Who Was Ramanujan? http://blog.stephenw[...]
_[10] 저널 The Ubiquitous π 1988-04
_[11] 웨이백 Modular Equations and Approximations to π 1914
_[12] 서적 Mathographics https://books.google[...] Courier Corporation 1991-01-01

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