자연로그의 밑

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1. 개요

자연로그의 밑, 또는 e는 극한, 적분, 무한 급수 등 다양한 방법으로 정의되는 수학 상수이다. e는 무리수이자 초월수이며, 자연로그, 지수함수, 오일러 공식 등 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 복리 계산, 확률론, 최적화 문제 등 다양한 분야에서 응용되며, 컴퓨터 과학과 관련해서도 특별한 의미를 갖는다.

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자연로그의 밑
개요
종류	초월수
값 (근사치)	2.71828...
발견 시기	1685년
발견자	야코프 베르누이
발견 연구	Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685
이름의 유래	레온하르트 오일러 존 네이피어
정의
식	lim (1 + 1/n)^n (n → ∞)
다른 표현	1/i!}} 미분: d/dx e^x = e^x 적분: ∫(1/x) dx = ln\|x\| + C, (x > 0일 때 ln x + C)
성질
무리수 여부	무리수이다.
초월수 여부	초월수이다.
자연로그	자연로그의 밑이다.
오일러의 공식	e^(iπ) + 1 = 0 (수학에서 가장 아름다운 등식 중 하나로 여겨짐)
역사
최초 언급	1618년 (부록의 표에서 간접적으로 언급)
최초 사용	1690년 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 (상수 b로 표기)
일반화	1727년 레온하르트 오일러 (기호 e를 사용)
기타 정보
소수점 전개	2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …
관계 있는 상수	오일러-마스케로니 상수 (기호: γ)

2. 정의

자연로그의 밑( $e$ )은 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다.

야코프 베르누이가 제시한 방법으로, 다음 극한값으로 정의된다.^[86]

::

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

좌표평면 상의 네 그래프 $y=\dfrac{1}{x},~$ $x$ 축 $,~ x=1,~ x=t(>1)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이가 $1$ 일 때, $t$ 의 값으로 정의할 수 있다. 이를 정적분으로 표현하면 다음과 같다.^[8]

::

\int_{1}^e \frac{1}{x} dx = 1

다음의 무한급수로 표현할 수 있다.

::

e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}

함수 $y=a^x$ 의 그래프가 $x=0$ 에서 기울기가 1이 되도록 하는 유일한 양수 $a$ 로 정의할 수 있다.

자연 로그 ln ''x''는 지수함수와 서로 역함수 관계에 있는데, 지수 함수나 자연 로그를 네이피어 수 ''e''로 정의하는 경우, 순환 정의가 된다.

2. 1. 극한을 이용한 정의

''e''는 다음의 극한값으로 표현되며, 가장 일반적으로 정의되는 야코프 베르누이의 방법이다.^[86]

:

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

이 식은 복리 계산에서 나타난다. 야코프 베르누이는 이 식을 이자의 연속 복리 계산과 관련하여 언급하였다.^[86] 원금 1을 연 이율 1, 이자 부리 기간을

\frac{1}{n}

년으로 1년 예금하면

\frac{1}{n}

년마다 이자

\frac{1}{n}

로 원리 합계가 증가하여 1년이 지나면 위 식의 우변이 된다. ''n'' → ＋∞로 한 극한은 연속 복리의 원리 합계가 된다.

오일러는 도함수가 원래 함수와 같은 지수 함수의 밑이 이 식의 우변에 의해 구해진다는 것을 보였다. 여기서 ''n''은 자연수이지만, ''n''을 실수로 하여 변동시킨 경우에도 위의 식은 같은 값으로 수렴한다.

2. 2. 급수를 이용한 정의

''e''는 다음의 무한급수로 표현될 수 있다.^[86]

:

e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}

이는 지수함수를 나타내는 테일러 급수

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

에 대하여

x=1

일 때의 값이다.

또한, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

e = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots.

exp ''x''는 지수 함수이다.

2. 3. 적분을 이용한 정의

e^영어는 좌표평면 상의 네 그래프

y=\dfrac{1}{x},~

x^한국어축

,~ x=1,~ x=t(>1)

로 둘러싸인 부분의 넓이가

1

일 때,

t

의 값이다. 이 정의는 로그함수, 극한, 정적분을 선행하지 않고 쓸 수 있다. 이를 정적분으로 표현하면 다음과 같다.^[86]

:

\int_{1}^e \frac{1}{x} dx = 1

이때 정적분 값이 항상 양수이므로 넓이로 부를 수 있다.

2. 4. 미분방정식을 이용한 정의

e^영어는 함수

y=a^x

의 그래프가

x=0

에서 기울기가 1이 되도록 하는 유일한 양수

a

이다.

오일러는 다음을 만족하는 실수 ''a''를 네이피어수의 정의로 삼았다.

:

\frac{d}{dx} \, a^x= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h} -a^x}{h}=a^x \lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^h -1}{h}= a^x

:

\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^h -1}{h} =1

3. 명칭

정식 수학 용어는 '''자연로그의 밑'''이지만, 수학교육학 분야에서는 로그가 선행되지 않은 상태에서 서술되는 경우가 많아 상수 ''' $e$ '''로 지칭하기도 한다.

그 외의 용어는 모두 비공식 용어이다. 레온하르트 오일러의 이름을 따서 "오일러의 수"라고 부르거나, 존 네이피어를 기려 "네이피어 수"라고 부르는 경우도 있지만, 이는 비공식적인 용어이다.^[87] 야코프 베르누이가 연속 복리 이자 계산 문제를 해결하기 위해 이 상수를 도입했다.^[10]^[11]

4. 역사

1618년 존 네이피어가 발표한 로그표에 자연로그의 밑의 근삿값이 처음으로 등장했지만, 당시에는 상수로 인식되지 않았다.^[88]^[89] 네이피어의 로그는 $N = 10^7 (1 - 10^{-7})^L$ 과 동치인데, 이를 현대 로그함수 정의로 옮기면 밑이 (e의 역수)와 매우 가까운 근삿값인 로그함수가 된다.^[88]^[89] 윌리엄 오트레드는 네이피어의 로그표를 사용하여 로그 계산자를 만들었지만, 그 역시 e를 특별한 상수로 취급하지는 않았다.^[90]

야코프 베르누이는 복리 이자 계산 문제를 연구하면서 자연로그의 밑을 발견하였다.^[91] 그는 복리 이자 계산이 다음과 같은 극한을 취할 수 있다는 것을 발견하고,^[91] 이 식이 수렴하며 특정한 값이 된다는 것을 알아냈다.

: $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 크리스티안 하위헌스에게 쓴 편지에서 이 급수를 처음으로 상수 “b”로 표현하였다.^[92] 레온하르트 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 $e$ 로 표현하기 시작했으며,^[92] 1736년 출판된 그의 저서 《메카니카》를 통해 $e$ 표기가 널리 퍼지게 되었다.^[93]

5. 특성

e는 무리수이자 초월수이다.^[99] 레온하르트 오일러는 e가 단순 연분수 전개가 종료되지 않음을 보여주어 무리수임을 증명했다.^[37]

린데만-바이어슈트라스 정리에 따라, e는 초월수이며, 이는 유리수 계수를 갖는 0이 아닌 어떤 다항식 방정식의 해도 아님을 의미한다. 이는 이 목적을 위해 특별히 구성되지 않고 초월수임이 증명된 첫 번째 숫자였다(리우빌 수와 비교). 이 증명은 1873년 샤를 에르미트에 의해 제시되었다.^[38] 숫자 e는 정확한 무리성 지수가 알려진 소수의 초월수 중 하나이다( $\mu(e)=2$ 로 주어짐).^[39]

e가 정규수라는 추측이 있는데, 이는 e가 어떤 기수로 표현될 때 해당 기수의 가능한 자릿수가 균일하게 분포된다는 의미이다(주어진 길이의 어떤 시퀀스에서도 동일한 확률로 발생).^[42]

대수기하학에서, ''주기''는 대수적 정의역에 대한 대수적 함수의 적분으로 표현될 수 있는 숫자이다. 상수 π는 주기이지만, e는 그렇지 않다고 추측된다.^[43]

n → +∞로 한 극한은 다음과 같다.

: $\lim_{n\to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = e$

일반적으로, 임의의 실수 x에 대해,

: $\lim_{n\to +\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = e^{x}$

특히, x＝-1의 경우,

: $\lim_{n\to +\infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e}$

가 성립한다.

밑이 e인 지수 함수 e^x의 도함수와 부정 적분은 다음과 같다.

: $\frac{d}{dx} e^x = e^x,$

: $\int e^x \,dx= e^x +C$ （C는 적분 상수）

또한, 밑이 e인 로그 함수 ln x의 도함수는 다음과 같다.

: $\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

따라서

: $\int \frac{dx}{x} =\ln x+C$

이다.

e는 샤를 에르미트가 1873년에 초월수임을 증명하였다.

지수 함수의 해석적 연속에 의해 일반적인 복소수를 지수로 하는 e의 거듭제곱 e^z가 정의되지만, 특히 순허수를 지수로 하는 거듭제곱은 오일러 공식으로 알려진 관계식

: $e^{ix} =\cos x+i\sin x$

을 만족한다. 이 식의 특별한 경우로 x = π를 대입하여 얻을 수 있는 오일러의 등식

: $e^{i\pi} +1=0$ 또는 $e^{i\pi}=-1$

에서 전자는 네이피어 수를 포함한 5개의 기본적인 수학 상수 e, i, π, 0, 1 사이의, 후자는 e, i, π, -1 사이의 직관적으로는 전혀 명백하지 않은 관계를 기술하는 것이다.

네이피어 수는 다음과 같은 규칙적인 연분수 전개를 가진다.

:e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, …]

5. 1. 무리성

e^영어가 무리수라는 것은 귀류법을 사용하여 증명할 수 있다. e^영어를 유리수라고 가정하면 모순이 발생함을 보인다.^[102]

먼저 e^영어의 테일러 전개는 다음과 같다.

:

\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = e

:이때 n까지의 부분합을 X_n라 하면,

X_n= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}

이다.

::

e - X_n =  \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} < \frac{1}{(n+1)!} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} + \cdots \right) = \frac{1}{n(n)!}

:이 식이 성립한다.

이제 e^영어를 유리수라 가정하면 양의 정수

p

,

q

에 대해

:

e=\frac{p}{q}

가 되어야 한다. 따라서,

:

0 < e - X_q < \frac{1}{q(q)!}

이어야 하고 이 부등식의 각 변에

q!

를 곱하면

:

0 < q!(e - X_q) < \frac{1}{q} \cdots \cdots (1)

이 된다. 한편,

e = \frac{p}{q}

라 가정하였으므로

:

q! e = q! \frac{p}{q} = p(q-1)!

이 된다. 이에 따라

q!e

와

q!X_q

는 양의 정수가 되어야 하므로

q!(e - X_q)

역시 양의 정수가 되어야 한다. 그런데 위의 식 (1)에서

q!(e - X_q)

는 0보다 크고 1보다 작다고 하였으므로 이는 자연수가 될 수 없다. 따라서 e^영어는 두 양의 정수의 비, 즉 유리수로 나타낼 수 없는 무리수이다.^[102]

레온하르트 오일러는 e^영어가 단순 연분수 전개가 종료되지 않음을 보여줌으로써 e^영어가 무리수임을 증명했다.^[37]

5. 2. 초월성

e는 무리수이자 초월수이다.^[99] 1873년 프랑스의 수학자 샤를 에르미트가 e가 초월수임을 증명하였다.^[101] e가 초월수라는 것은 유리수 계수를 갖는 0이 아닌 다항식 방정식의 해가 될 수 없음을 의미한다. 이는 이 목적을 위해 특별히 구성되지 않고 초월수임이 증명된 첫 번째 숫자였다.^[38] e가 초월수임을 증명하는 방식은 귀류법을 사용하는데, 만일 e가 대수적인 수라고 가정하면 다항식을 구성하는 계수가 무한히 약분되는 모순이 발생함을 보이는 것이다. 숫자 e는 정확한 무리성 지수가 알려진 소수의 초월수 중 하나이다(

\mu(e)=2

로 주어짐).^[39]

5. 3. 연분수 표현

e^영어는 연분수로 표현될 수 있다.

6. 자연로그

e^영어를 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 하며, $\ln x$ 로 표기한다. 과거에는 밑을 표기하지 않은 $\log x$ 가 자연로그를 의미했지만, 상용로그와의 혼동을 피하기 위해 현재는 $\ln x$ 로 표기한다.^[94]

로그함수 $f(x)=\ln x$ 의 도함수는 $\frac{1}{x}$ 이다. 즉,

: $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

이고,

: $\int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$

이다. 이는 e^영어를 밑으로 한 자연로그의 가장 큰 특징으로, 지수가 등차적으로 증가할 때 로그 곡선의 기울기는 등비적으로 감소한다는 의미가 된다.^[94]

e^영어를 밑으로 하는 자연로그는 여러 가지 정리와 관련이 있다. 대표적인 예로 소수의 개수가 로그함수에 점근한다는 소수 정리가 있다. 리만 가설에서 출발한 이 정리는 1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 발레푸생이 서로 독자적인 연구를 통하여 증명하였다.^[95]

자연로그는 물리, 화학 등 여러 자연 과학의 변화량에서도 사용된다.^[96] 예를 들어 루트비히 볼츠만은 엔트로피 ''S''와 다중도 ''g''의 자연로그 값이 비례함을 보였다.^[97]

: $S = k \cdot \ln g$

또한, 두 화학 물질의 1차 반응 속도에 따른 농도의 변화량은 다음과 같이 표현된다.^[98]

: $\ln [A] = -k t + \ln [A]_0$

:''A''₀ - 초기 농도, ''k'' - 반응 계수, ''t'' - 시간, ''A'' - 해당 시간에 따른 잔여 물질의 농도

7. 함수론적 성질

e

는 함수의 미분과 적분에서 특별하게 취급된다.

e

에 대한 임의 차원의 지수함수인

f(x) = e^x

는 이를 미분한 도함수가 다시 자기 자신이 되는 함수이다.^[104] 또한, 곡선

f(x) = e^x

에서

x= - \infty

에서

x=1

까지 아래 넓이는

e

이다.^[104]

f(x) = e^x

의 미분은 다음과 같다.

:

\frac{d}{dx} e^x = e^x

이에 대한 증명은 다음과 같다.^[105]

:

\frac{d}{dx} e^x = \lim_{n \to 0} \frac{e^{x + n} - e^x}{n} = e^x \cdot \lim_{n \to 0} \frac{e^n - 1}{n}

::이때,

\lim_{n \to 0} \frac{e^n - 1}{n} = 1

:::따라서,

\frac{d}{dx} e^x = e^x

오른쪽 그림과 같은

y=e^x

의 그래프에서

x= - \infty

에서

x=1

까지 아래 넓이는 아래와 같다.

:

\int_{-\infty}^1 e^x\,dx = e

8. 오일러 공식

1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연 로그 함수를 복소수로 확장할 경우 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.

:

\ln(\cos x + i\sin x)=ix \

1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.

:

e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x

이를 오일러의 공식이라 한다.^[108]^[91]

오일러 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 설명하고 있다. 이러한 사실은 복소수를 복소평면 위의 한 점으로 표현할 수 있다는 것을 시사한다. 하지만 코츠나 오일러 모두 이러한 발상을 했음에도 불구하고 복소평면을 일반화하지는 않았다. 복소수를 복소평면의 한 점으로 표현하기 시작한 것은 오일러 공식이 발표된 뒤 50여년이 지난 때부터였다.^[109]

오일러 공식은 테일러 급수를 통해 유도될 수 있다.^[110] 아래는 오일러 공식의 유도 과정을 소개한 것이다.

절댓값이 1 보다 작은 어떤 수 x에 대해 다음과 같은 무한 차수 다항식이 성립한다.

:

1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x}

(단, |x| < 1)

삼각함수 역시 위와 같은 조건을 만족하므로 다음과 같은 무한 차수 다항식으로 표기할 수 있다. 삼각함수의 무한 차수 다항식이 실제 무한히 전개된다는 것은 영국의 브룩 테일러가 증명하였기 때문에 이 전개를 흔히 테일러 급수라고 한다. 사인 함수와 코사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

:

\sin{x} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \cdots

:

\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots

한편

f(z)=e^z

인 지수함수의 테일러 급수는

:

e^z = 1 + \frac{z}{1} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots

이다. 이때,

z = i x

라 하면 이 테일러 급수의 전개는 다음과 같이 변환될 수 있다.

:

e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1} - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \cdots

(i²= -1)

위 식에서 짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 따로 모아 정리하면

:

e^{ix} = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \right) + i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \right)

가 된다.

위 식을 살펴 보면 실수항은 코사인 함수의 테일러 급수이고 허수항은 사인 함수의 테일러 급수임을 알 수 있다. 따라서, 다음과 같은 오일러 공식이 성립한다.

:

e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x

여기에서 ''x''에 π를 대입하면

:

e^{i \pi} + 1 = 0 \!

이 되고, 이를 오일러의 등식

\;e^{i \pi} + 1 = 0 \;

이라고 한다.^[111]

지수 함수는 다음과 같은 테일러 급수로 나타낼 수 있다.^[44]

:

e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.

이 급수는 모든 복소수 값에 대해 수렴하므로, 지수함수의 정의를 복소수로 확장하는 데 일반적으로 사용된다.^[45] 이것은 삼각 함수와 코사인에 대한 테일러 급수와 함께, 오일러 공식을 유도할 수 있게 한다.

:

e^{ix} = \cos x + i\sin x ,

이것은 모든 복소수 x에 대해 성립한다.^[45] x = π인 특수한 경우는 오일러 등식이다.

:

e^{i\pi} + 1 = 0 ,

이 등식은 수학에서 가장 기본적인 숫자들 사이의 심오한 관계를 보여주기 때문에 수학적 아름다움의 전형으로 여겨진다. 또한, π가 초월수임을 증명하는 데 직접적으로 사용되며, 이는 원적 문제의 불가능성을 의미한다.^[46]^[47] 게다가, 이 등식은 로그의 주 가지에서^[45]

:

\ln (-1) = i\pi .

임을 함축한다.

더 나아가, 지수 법칙을 사용하면,

:

(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos nx + i \sin nx

모든 정수 n에 대해 성립하며, 이는 드 무아브르의 공식이다.^[48]

코사인와 사인을 지수 함수로 표현하는 식은 테일러 급수에서 유추할 수 있다:^[45]

:

\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} , \qquad\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.

\cos x + i \sin x

는 때때로

cis(x)

로 줄여 쓰인다.^[48]

지수 함수의 해석적 연속에 의해 일반적인 복소수를 지수로 하는 ''e''의 거듭제곱 ''e''가 정의되지만, 특히 순허수를 지수로 하는 거듭제곱은 오일러 공식으로 알려진 관계식

:

e^{ix} =\cos x+i\sin x

을 만족한다. 이 식의 특별한 경우로 ''x'' = π (π는 원주율)를 대입하여 얻을 수 있는 오일러의 등식

:

e^{i\pi} +1=0

또는

e^{i\pi}=-1

에서 전자는 네이피어 수를 포함한 5개의 기본적인 수학 상수 ''e'', ''i'', π, 0, 1 사이의, 후자는 ''e'', ''i'', π, -1 사이의 직관적으로는 전혀 명백하지 않은 관계를 기술하는 것이다.

9. 응용

자연로그의 밑(e^영어)은 여러 분야에서 활용된다.

복리 계산: 야코프 베르누이는 기간이 n 일 때 이율을 1/n^영어 이라 하면, 이 원리 합계의 극한이 e^영어에 점근한다는 것을 발견하였다.^[91]

:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n =  2.71828 \cdots = e

확률론: 어떤 도박사가 1/n 확률로 당첨되는 슬롯머신을 n번 플레이한다고 가정하면, n이 커질수록 도박사가 n번 모두 잃을 확률은 1/e^영어에 접근한다.^[21]
최적화 문제: $\sqrt[x]{x}$ 의 최댓값은 $x = e$ 에서 발생한다.^[25]
점근적 분석: 스털링 근사에 따르면 계승 함수는 다음과 같이 근사할 수 있다.^[26]

:

n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.

9. 1. 복리 계산

복리 적금의 원리합계는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[106]

: 원리 합계 = 원금 X (1 + 이율)^기간

예를 들어 1,000원을 예금하였을 때의 복리 합계는 이율에 따라 다음과 같이 계산된다.

기간	3%	4%	5%	6%
1년	1030KRW	1040KRW	1050KRW	1060KRW
2년	1061KRW	1081KRW	1102KRW	1123KRW
3년	1093KRW	1124KRW	1157KRW	1191KRW
4년	1126KRW	1169KRW	1215KRW	1262KRW
5년	1159KRW	1216KRW	1276KRW	1338KRW
6년	1194KRW	1265KRW	1340KRW	1418KRW

위의 식을 이용하면 원리합계가 목표하는 금액이 되기 위해서 얼마의 기간이 필요한지 계산할 수 있다. 예를 들어 1천원을 복리 5%로 예금할 때 원리합계가 1억원을 넘기 위해서는 236년이 걸린다.^[107]

이자율과 기간 사이에는 일정한 관계가 있다. 일정 기간이 지났을 때의 원리합계는 특정한 비율을 나타낸다. 야코프 베르누이는 기간이 n 일 때 이율을 1/n^영어 이라 하면, 이 원리 합계의 극한이 다음과 같이 e에 점근한다는 것을 발견하였다.^[91]

:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n =  2.71828 \cdots = e

베르누이는 1683년, 복리에 관한 질문을 연구하면서 이 상수를 발견했다.^[3]

1.00달러로 시작하여 연간 100%의 이자를 지급하는 계좌를 생각해보자. 1년에 한 번, 연말에 이자가 적립되면 연말 계좌의 가치는 2USD가 된다. 만약 1년 동안 더 자주 이자를 계산하고 적립하면 어떻게 될까?

만약 1년에 두 번 이자가 적립된다면, 6개월마다의 이자율은 50%가 될 것이고, 초기 1달러는 1.5로 두 번 곱해져 연말에 2.25USD가 된다. 분기별 복리는 2.44140625USD를, 월별 복리는 2.613035USD를 생성한다.

만약 n개의 복리 간격이 있다면, 각 간격에 대한 이자는 100%/n 이 될 것이고 연말 가치는 1USD × (1 + 1/n)ⁿ 이 될 것이다.^[20]^[22]

베르누이는 이 수열이 더 큰 n과 더 작은 복리 간격에서 이자율에 가까워진다는 것을 알아챘다.^[3] 주간 복리 (n = 52)는 2.692596USD를, 일일 복리 (n = 365)는 2.714567USD (약 2센트 더)를 생성한다.

n이 커질 때의 극한은 e로 알려지게 된 숫자이다. 즉, '연속' 복리를 사용하면 계좌 가치는 2.718281828USD에 도달할 것이다. 더 일반적으로, 1USD로 시작하여 연간 R의 이자율을 제공하는 계좌는 t년 후에 연속 복리로 e^Rt 달러를 얻을 것이다. 여기서 R은 ''백분율''로 표현된 이자율의 소수점과 동일하므로, 5%의 이자에서는 R = 5/100 = 0.05이다.^[20]^[22]

9. 2. 확률론

''n''번의 베르누이 시행 후 확률 ''P''의 그래프 (확률이 인 독립적인 사건이 아닌 경우)와 대 ''n''의 그래프. ''n''이 증가함에 따라 확률의 사건이 ''n''번 시도 후에도 나타나지 않을 확률이 빠르게 로 수렴한다.

수 ''e''는 지수적 성장과 관련 없는 방식으로 확률론에도 적용된다. 예를 들어, 어떤 도박사가 확률로 당첨되는 슬롯머신을 ''n''번 플레이한다고 가정하자. ''n''이 커질수록 도박사가 ''n''번 모두 잃을 확률은 에 접근한다. 일 때, 이 값은 이미 대략 1/2.789509...이다.^[21]

이는 베르누이 시행의 한 예이다. 도박사가 슬롯머신을 플레이할 때마다 당첨될 확률은 이다. ''n''번 플레이하는 것은 이항 분포로 모델링할 수 있으며, 이는 이항 정리 및 파스칼의 삼각형과 관련이 깊다. ''n''번의 시행 중 ''k''번 당첨될 확률은 다음과 같다.

:

\Pr[k~\mathrm{wins~of}~n] = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-k}.

특히, 0번 당첨될 확률 ()은 다음과 같다.

:

\Pr[0~\mathrm{wins~of}~n] = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}.

''n''이 무한대로 갈 때 위 식의 극한은 정확히 이다.

야코프 베르누이와 피에르 레몽 드 몽모르가 부분적으로 발견한 ''e''의 또 다른 응용은 교란(모자 확인 문제)에서 찾을 수 있다.^[23] ''n''명의 손님이 파티에 초대되어 문에서 집사에게 모자를 맡긴다. 집사는 각 모자를 ''n''개의 상자에 넣는데, 각 상자에는 손님 한 명의 이름이 적혀 있다. 그러나 집사는 손님들의 신원을 모르기 때문에 무작위로 상자에 모자를 넣는다. 드 몽모르의 문제는 ''어떤'' 모자도 올바른 상자에 들어가지 않을 확률을 구하는 것이다. 이 확률을

p_n

로 나타내면 다음과 같다.

:

p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.

''n''이 무한대로 갈수록

p_n

은 에 접근한다. 또한, 모자가 올바른 상자에 들어가지 않도록 모자를 넣는 방법의 수는 모든 양의 ''n''에 대해 를 가장 가까운 정수로 반올림한 값이다.^[24]

9. 3. 최적화 문제

\sqrt[x]{x}

의 최댓값은

x = e

에서 발생한다. 즉, 밑 b > 1인 어떤 값에 대해서도

x^{-1}\log_b x

의 최댓값은

x = e

에서 발생한다(슈타이너의 문제).^[25]

이는 길이 L의 막대기를 n개의 동일한 부분으로 나누는 문제에서 유용하다. 길이를 곱한 값이 최대가 되는 n의 값은 다음과 같다.^[25]

:

n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor

또는

\left\lceil \frac{L}{e} \right\rceil.

x^{-1}\log_b x

는 확률

1/x

로 발생하는 사건에서 얻은 정보의 척도이기도 하며(대략

x=e

일 때

36.8\%

임), 따라서 본질적으로 동일한 최적 분할이 비서 문제와 같은 최적 계획 문제에 나타난다.

9. 4. 점근적 분석

는 점근선과 관련된 많은 문제에서 자연스럽게 나타난다. 한 예로, 와 가 모두 나타나는 계승 함수의 점근적 분석인 스털링 근사가 있다:^[26]

:

n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.

결과적으로,^[26]

:

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} .

10. 미해결 문제

''e''와 연관된 여러 문제가 아직 해결되지 않았다. 대표적인 문제로는 오일러-마스케로니 상수 γ가 무리수나 초월수인지를 밝히는 것인데, 아직까지 증명되지 않고 있다.^[112] γ는 조화 급수와 자연로그의 차에 대한 극한으로 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

: $\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right) = 0.57721 \cdots$

11. 컴퓨터 문화

컴퓨터 문화가 등장하면서 개인과 단체는 때때로 숫자 e에 경의를 표했다.

초창기 예로, 컴퓨터 과학자 도널드 커누스는 자신의 프로그램 메타폰트의 버전 번호를 e에 가깝게 설정했다. 버전은 2, 2.7, 2.71, 2.718 등으로 이어졌다.^[64]

또 다른 예로, IPO를 진행한 구글은 2004년에 일반적인 숫자가 아닌 2718281828USD를 조달할 계획이라고 발표했는데, 이는 e십억 미국 달러를 가장 가까운 달러로 반올림한 금액이다.^[65]

구글은 또한 실리콘밸리 중심가와 나중에 매사추세츠주 케임브리지, 워싱턴주 시애틀, 텍사스주 오스틴에 등장한 광고판의 주인공이었다.^[66] 광고판에는 "e의 연속된 숫자에서 발견된 첫 번째 10자리 소수.com"이라는 문구가 적혀 있었다. e에서 첫 번째 10자리 소수는 7427466391이며, 99번째 숫자부터 시작한다.^[67] 이 문제를 해결하고 (현재는 폐쇄된) 웹사이트를 방문하면 더욱 어려운 문제에 직면하게 되는데, 이는 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391 수열의 다섯 번째 항을 찾는 것이었다. 이 수열은 e의 연속된 숫자에서 발견된 10자리 숫자들로 이루어져 있으며, 각 숫자의 합은 49였다. 수열의 다섯 번째 항은 5966290435이며, 127번째 숫자부터 시작한다.^[68] 이 두 번째 문제를 해결하면 구글 랩스 웹페이지로 연결되어 이력서를 제출할 수 있었다.^[69]

파이썬 2 공식 인터프리터의 마지막 릴리스 버전은 2.7.18로, ''e''를 참조한다.^[70]

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