각의 3등분

3. 불가능성의 증명

피에르 방첼은 1837년에 임의의 각을 고전적으로 3등분하는 것이 불가능하다는 것을 증명하였다.^[1] 방첼의 증명은 현대 용어로는 갈루아 이론과 결합되는 주제인 체 확대의 개념을 사용한다. 그러나 방첼은 에바리스트 갈루아보다 먼저 이 결과를 발표했으며(1830년에 작성된 그의 연구는 1846년에 출판되었다), 갈루아가 도입한 개념을 사용하지 않았다.^[2]

주어진 크기 θ|쎄타^영어의 각을 작도하는 문제는 그 길이의 비율이 cos θ|코사인 쎄타^영어가 되는 두 선분을 작도하는 것과 같다. 삼각 공식은 원래 각과 그 3등분의 코사인 간의 관계를 표현하는데, cos θ|코사인 쎄타^영어 = 4 cos³ |4 코사인 세제곱 쎄타/3 빼기 3 코사인 쎄타/3}}이다.

따라서 단위 길이를 갖는 선분이 주어지면 각의 3등분 문제는 길이가 3차 다항식의 근인 선분을 작도하는 것과 같다.

모든 유리수는 작도 가능하다. 어떤 주어진 수로부터 단일 단계로 작도 가능한 수인 모든 무리수는 이 수에 의해 생성된 체의 계수를 갖는 2차 다항식의 근이다. 따라서 일련의 단계에 의해 작도 가능한 모든 수는 차수가 2의 거듭제곱인 최소 다항식의 근이다. 각 라디안 (60 도, 60°)는 정삼각형을 통해 작도 가능하다. 20°의 각을 작도하는 것이 불가능하다는 것은 60°의 각을 3등분할 수 없다는 것을 의미하며, 따라서 임의의 각을 3등분할 수 없다는 것을 의미한다.

유리수의 집합을 '''Q'''|Q^영어로 표기한다. 60°를 3등분할 수 있다면, cos 20°|코사인 20도^영어의 '''Q'''|Q^영어 위에서의 최소 다항식의 차수는 2의 거듭제곱일 것이다. 이제 ''x'' = cos 20°|x는 코사인 20도^영어라고 하자. cos 60°|코사인 60도^영어 = cos = 임을 참고하면 삼각 공식에 의해, cos 이므로 4''x''³ − 3''x'' = 이다. 따라서 8''x''³ − 6''x'' − 1 = 0|8x³ - 6x - 1 = 0^영어이다. ''p''(''t'')|p(t)^영어를 다항식 ''p''(''t'') = 8''t''³ − 6''t'' − 1|p(t) = 8t³ - 6t - 1^영어로 정의한다.

''x'' = cos 20°|x = 코사인 20도^영어는 ''p''(''t'')|p(t)^영어의 근이므로, cos 20°|코사인 20도^영어에 대한 최소 다항식은 ''p''(''t'')|p(t)^영어의 인수이다. ''p''(''t'')|p(t)^영어는 3차이므로, '''Q'''|Q^영어 위에서 기약 가능하면 유리수 근을 갖는다. 유리근 정리에 의해, 이 근은 ±1, ±, ±|±1, ±1/2, ±1/4, ±1/8}}이어야 하지만, 이 중 어느 것도 근이 아니다. 따라서 ''p''(''t'')|p(t)^영어는 '''Q'''|Q^영어 위에서 기약 다항식이며, cos 20°|코사인 20도^영어에 대한 최소 다항식은 차수가 3이다.

따라서 크기가 60°인 각은 3등분될 수 없다.

4. 3등분이 가능한 각

그러나 일부 각은 3등분할 수 있다. 예를 들어, 모든 작도 가능한 각 θ에 대해, 크기가 3θ인 각은 주어진 각을 무시하고 크기가 θ인 각을 직접 작도함으로써 자명하게 3등분할 수 있다. 작도 가능하지 않지만 3등분 가능한 각이 있다(1/3 각 자체가 작도 불가능함에도 불구하고). 예를 들어, 3π/7|3π/7^영어은 그러한 각이다. 크기가 3π/7|3π/7^영어인 다섯 개의 각을 합하면 크기가 15π/7|15π/7^영어인 각이 되는데, 이는 완전한 원에 원하는 π/7|π/7^영어를 더한 것이다.

양의 정수 N에 대해, 크기가 2π/N|2π/N^영어인 각은 3이 N을 나누지 않을 때에만 ''3등분 가능''하다.^[3][4] 반대로, 2π/N|2π/N^영어은 N이 2의 거듭제곱이거나, 2의 거듭제곱과 하나 이상의 서로 다른 페르마 소수의 곱일 때에만 ''작도 가능''하다.

5. 3등분을 하는 다른 방법

작도의 조건을 만족하지 않는 방법으로 각의 3등분을 할 수 있다. 일반적인 각의 3등분 방법을 제시하는 많은 오류가 있었지만, 이러한 방법들은 합리적인 근사값을 제공하거나 고전적인 문제에서 허용되지 않는 도구를 사용한다.^[6]

5. 1. 종이접기 작도

5. 2. 보조 곡선을 이용하는 법

5. 3. 눈금 있는 자를 이용하는 방법 (뉴시스 작도)

각의 3등분을 해주는 도구로는 작도할 수 없는 정십일각형의 작도가 가능한 등 3등분기보다 강력한 도구이다.

그리스의 틀을 벗어난 "작은" 단계로 임의의 각을 3등분하는 또 다른 방법은 두 개의 표시가 일정 간격으로 떨어진 눈금 있는 자를 사용하는 것이다. 다음 작도는 원래 아르키메데스에 의한 것으로, ''뉴시스 작도''라고 불리며,^[1] 즉 ''눈금이 없는'' 자 이외의 도구를 사용한다. 다이어그램은 예각에 대한 이 작도를 보여주지만, 실제로 180도까지의 모든 각에 적용된다.

이 작도는 기하학의 세 가지 사실이 필요하다.

# 직선 상의 전체 각도는 180°이다.

# 모든 삼각형의 각의 합은 180°이며,

# 이등변 삼각형의 두 변의 길이가 같으면 세 번째 변과 같은 각도로 만난다.

인접한 다이어그램에서 수평선을 l|^영어이라고 하자. 각 a|^영어 (점 B|^영어의 왼쪽)가 3등분 대상이다. 먼저, 점 A|^영어를 각의 반직선에 B|^영어에서 1단위 떨어진 지점에 그린다. 반지름 AB|^영어의 원을 그린다. 그런 다음 자의 눈금이 작용한다. 자의 한쪽 눈금을 A|^영어에 놓고 다른 쪽 눈금을 B|^영어에 놓는다. 자(표시는 제외)를 A|^영어에 닿게 유지하면서, 한쪽 눈금이 원 위에, 다른 쪽 눈금이 선 l|^영어 위에 오도록 자를 밀고 회전시킨다. 원 위의 눈금은 C|^영어로 표시하고 선 위의 눈금은 D|^영어로 표시한다. 이렇게 하면 CD|^영어 = AB|^영어가 보장된다. 반경 BC|^영어를 그려 선분 AB|^영어, BC|^영어, CD|^영어가 모두 같은 길이를 갖는다는 것을 명확하게 한다. 이제 삼각형 ABC|^영어와 BCD|^영어는 이등변 삼각형이므로 (위의 사실 3에 의해) 각각 두 개의 같은 각을 갖는다.

가설: AD|^영어는 직선이고, AB|^영어, BC|^영어, CD|^영어는 모두 길이가 같다.

결론: 각 b|^영어 = a|^영어/3.

증명:

# 위의 사실 1)에서, e|^영어 + c|^영어 = 180°.

# 삼각형 ''BCD''를 보면, 사실 2)에서 e|^영어 + 2b|^영어 = 180°.

# 마지막 두 방정식에서 c|^영어 = 2b|^영어.

# 그러므로 a|^영어 = c|^영어 + b|^영어 = 2b|^영어 + b|^영어 = 3b|^영어.

따라서 정리가 증명된다.

이 작도는 눈금 있는 자를 사용하여 컴퍼스와 자 작도의 틀을 벗어났다.^[2]

5. 4. 토마호크 이용

토마호크는 반원과 두 개의 직교하는 선분으로 구성된 기하학적 도형으로, 짧은 선분의 길이는 원의 반지름과 같다. 3등분은 토마호크의 짧은 선분 끝을 한 변 위에, 원의 가장자리를 다른 변 위에 기대어 "손잡이"(긴 선분)가 각의 꼭지점을 지나도록 함으로써 수행된다. 3등분선은 꼭지점과 반원의 중심 사이를 잇는다.

토마호크는 컴퍼스와 자로 작도할 수 있지만, 일반적으로 원하는 위치에 토마호크를 작도하는 것은 불가능하다. 따라서 위의 작도는 자와 컴퍼스만으로는 각을 3등분할 수 없다는 것과 모순되지 않는다.

토마호크는 삼각자로 사용할 수 있으므로, 직각 삼각자를 사용한 방법에 설명된 방법으로 각을 3등분하는 데에도 사용할 수 있다.

토마호크는 종이 접기 방법과 동일한 기하학적 효과를 낸다. 즉, 원의 중심과 짧은 선분 끝 사이의 거리는 반지름의 두 배이며, 이 거리는 각에 접촉하도록 보장된다. 또한 건축가의 L자형 자 (목수의 각도기)를 사용하는 것과 동일하다.

5. 5. 직각 삼각자 이용

1932년, 루드비히 비버바흐는 ''순수 및 응용 수학 저널''에 "입방 작도 이론에 관하여"라는 연구를 발표했다.^[9] 그는 이 연구에서 직각 삼각자를 이용하여 각의 3등분과 세제곱근 추출 문제를 해결할 수 있다고 제시했다.

이 작도는 3등분할 각의 꼭짓점 를 지나고, 각의 한 변 위에 중심 가 있으며, 변과의 두 번째 교차점 를 갖는 원을 그리는 것으로 시작한다. 를 중심으로 하고 같은 반지름을 갖는 원은 변을 지지하는 선과 와 에서 교차한다.

이제 ''직각 삼각자''를 다음과 같이 배치한다. 직각의 한 변이 를 통과하고, 직각의 꼭짓점은 선상의 점 에 놓는다. 삼각자의 두 번째 변은 를 중심으로 하는 원에 에서 접한다. 이렇게 하면 원래 각은 선 와 에 수직이고 를 지나는 선 에 의해 3등분된다. 이 선은 직각 삼각자를 다시 사용하거나 전통적인 자와 컴퍼스 작도를 통해 그릴 수 있다. 선과 를 지나는 수직선의 교차점을 이용하면 의 위치를 더 정확하게 찾을 수 있다.

''증명:'' $\backslash widehat\{EPD\}=\; \backslash widehat\{DPS\}$와 $\backslash widehat\{BPE\}\; =\; \backslash widehat\{EPD\}.$의 각이 같음을 증명해야 한다. 세 선 , , 는 평행하다. 선분 와 의 길이가 같으므로, 이 세 평행선은 다른 모든 할선, 특히 공통 수직선 에서 두 개의 동일한 선분을 만든다. 따라서 이고, 여기서 는 선 와 의 교차점이다. 따라서 직각삼각형 와 는 합동이므로, $\backslash widehat\{EPD\}=\; \backslash widehat\{DPS\},$가 성립한다. 한편, 삼각형 는 모든 반지름이 같으므로 이등변삼각형이다. 따라서 $\backslash widehat\{APE\}=\backslash widehat\{AEP\}.$이다. 또한 $\backslash widehat\{AEP\}=\backslash widehat\{EPD\},$인데, 이 두 각은 두 평행선을 가로지르는 횡단선의 엇각이기 때문이다. 이는 작도가 정확함을 증명한다.

5. 6. 기타 방법

연결 장치인 켐페의 3등분기 및 실베스터 링크 팬(아이소클리노스타트)^[8]이나 4개의 갈래가 있는 컴퍼스와 같은 장치를^[12] 사용하여 각을 3등분할 수 있다.

다음은 각의 근사적인 3등분 방법이다.

• 파스칼의 리마콩, 3등분선을 이용한 방법.
• 아르키메데스 나선을 이용한 방법.
• 니코메데스의 컨코이드를 이용한 방법.
• 종이접기를 사용한 방법.

6. 각의 3등분의 활용

실계수를 갖는 삼차 방정식은 자, 컴퍼스, 각의 3등분기를 사용하여 기하학적으로 풀 수 있는데, 이는 삼차 방정식이 세 개의 실수 근을 가질 경우에만 해당한다.^[13]

''n''개의 변을 가진 정다각형은 자, 컴퍼스, 각의 3등분기를 사용하여 작도할 수 있는데, 이는 $n=2^r3^sp\_1p\_2\backslash cdots\; p\_k$일 경우에만 해당하며, 여기서 ''r, s, k'' ≥ 0이고 ''p''_''i''는 3보다 큰 서로 다른 소수이며, $2^t3^u\; +1$ 형태(즉, 3보다 큰 피어폰트 소수)를 갖는다.^[13]

참조

_[1] 논문 Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. http://math-doc.ujf-[...] 2014-03-03
_[2] 서적 History of Mathematics: A Supplement https://books.google[...] Springer
_[3] 간행물 Constructing integer angles Mathematical Gazette 1982-06
_[4] 논문 Trisecting angles with ruler and compasses https://www.cambridg[...] 2008-07
_[5] 서적 "''Galois Theory''" Chapman and Hall Mathematics
_[6] 서적 The trisectors Mathematical Association of America
_[7] 웹사이트 Trisection of an Angle http://www.jimloy.co[...] 2012-03-30
_[8] 서적 The Trisection Problem http://files.eric.ed[...] The National Council of Teachers of Mathematics
_[9] 간행물 "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen" http://gdz.sub.uni-g[...] H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlin 1932
_[10] 웹사이트 Trisection of an Angle http://www.jimloy.co[...] 2013-11-04
_[11] 논문 Dividing Any Angle into Any Number of Equal Parts 2001-05
_[12] 간행물 Two mathematical papers without words Mathematics Magazine 1975
_[13] 논문 Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon http://apollonius.ma[...] 1988-03
_[14] 논문 Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. http://www.numdam.or[...] 1837
_[15] 서적
_[16] 서적
_[17] 서적
_[18] 서적
_[19] 서적
_[20] 서적
_[21] 서적 The trisectors Mathematical Association of America
_[22] 서적
_[23] 서적