유수 공식

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1. 개요

유수 공식은 수론에서 수체의 데데킨트 제타 함수의 s=1에서의 유수를 계산하는 공식이다. 이 공식은 수체의 여러 중요한 데이터, 즉 차수, 유수, 정칙자, 1의 거듭제곱근의 수, 판별식을 관련시킨다. 유수 공식은 데데킨트 제타 함수의 유수를 수체의 기본 불변량으로 표현하며, 일반적인 형태 외에 원분 확대체와 같은 특수한 경우에 더 세련된 형태가 존재한다. 증명은 K = Q(i)인 경우 가우스 정수환을 이용하여 가우스 원 문제와 연관시켜 증명할 수 있으며, 일반적인 경우에는 디리클레 단위 정리를 활용하여 증명한다. 이차 수체에 대한 디리클레 유수 공식은 이차 형식과 디리클레 지표를 사용하여 표현되며, 갈루아 확장 및 아벨 확대를 통해 아르틴 L-함수와 디리클레 L-함수를 이용하여 유수 공식을 확장할 수 있다.

유수 공식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 유수 공식
3. 증명
- 3.1. Q(i) 에서의 증명
- 3.2. 일반적인 경우의 증명
4. 디리클레 유수 공식
- 4.1. 이차 형식과 디리클레 지표
- 4.2. 디리클레 유수 공식 (이차 수체)
5. 갈루아 확대와 아벨 확대
- 5.1. 갈루아 확대
- 5.2. 아벨 확대

2. 정의

수체 $K$ 와 관련된 기본 용어 및 기호는 다음과 같다.

* $K$ : 수체
* $[K:\mathbb Q] = n = r_1 + 2r_2$ : 여기서 $r_1$ 은 $K$ 의 실수 임베딩의 수이고, $2r_2$ 는 $K$ 의 복소수 임베딩의 수이다.
* $\zeta_K(s)$ : $K$ 의 데데킨트 제타 함수
* $h_K$ : 유수, 즉 $K$ 의 아이디얼 유군의 원소의 수
* Reg^영어_K: $K$ 의 레귤레이터 (단수 기준)
* $w_K$ : $K$ 에 포함된 1의 거듭제곱근의 수
* $D_K$ : 확대 $K/\mathbb Q$ 의 판별식

정리(유수 공식): $\zeta_K(s)$ 는 $\Re(s)>1$ 에서 절대 수렴하며, $s=1$ 에서 하나의 단순 극만 있는 모든 복소수 $s$ 에 대해 정의된 메로모르픽 함수로 확장되며, 잔차는 다음과 같다.

: $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s) = \frac{2^{r_1} \cdot(2\pi)^{r_2} \cdot \operatorname{Reg}_K \cdot h_K}{w_K \cdot \sqrt$

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}

이것이 가장 일반적인 "유수 공식"이다. 특히,

K

가

\mathbb Q

의 원분 확대체인 경우와 같은 특수한 경우에는 더 정밀한 유수 공식이 있다.

2.1. 기본 정의

수체 $K$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 수체의 다음과 같은 데이터를 정의할 수 있다.

* 유리수체의 확대로서의 차수 $[K:\mathbb Q]=r_1+2r_2$
* $r_1$ 은 $K$ 의 실수 매장의 수이고, $r_2$ 는 복소수 매장의 수이다.
* $h_K$ 는 $K$ 의 유수 (아이디얼 유군의 크기)이다.
* $R_K$ 는 $K$ 의 정칙자(regulator)이다.
* $g_K$ 는 $K$ 가 포함하는 1의 거듭제곱근의 수이다.
* $\Delta_K$ 는 $K$ 의 판별식이다.

그렇다면 $K$ 의 데데킨트 제타 함수 $\zeta_k(s)$ 는 (해석적 연속을 통해 정의하면) 복소평면에서 유리형 함수이며, $s=1$ 에서 단 하나의 극점을 가진다. 극점의 유수는 다음과 같은 유수 공식에 의해 주어진다.

: $\lim_{s \to 1}(s-1)\zeta_K(s) = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}h_KR_K}{g_K\sqrt$

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}

2.2. 유수 공식

수체 $K$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 데이터를 정의할 수 있다.

* 유리수체의 확대로서의 차수 $[K:\mathbb Q]=r_1+2r_2$
* $r_1$ 은 $K$ 의 실수 매장의 수이다.
* $r_2$ 는 $K$ 의 복소 매장의 수이다.
* $h_K$ 는 $K$ 의 유수 (아이디얼 유군의 크기)이다.
* $R_K$ 는 $K$ 의 정칙자(regulator)이다.
* $g_K$ 는 $K$ 가 포함하는 1의 거듭제곱근의 수이다.
* $\Delta_K$ 는 $K$ 의 판별식이다.

이때, $K$ 의 데데킨트 제타 함수 $\zeta_k(s)$ 는 (해석적 연속을 통해 정의하면) 복소평면에서 유리형 함수이며, $s=1$ 에서 단 하나의 극점을 가진다. 이 극점의 유수는 다음과 같은 유수 공식으로 주어진다.

: $\lim_{s \to 1}(s-1)\zeta_K(s) = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}h_KR_K}{g_K\sqrt$

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}

이것은 가장 일반적인 형태의 "유수 공식"이다. 특히,

K

가

\mathbb Q

의 원분 확대체인 경우와 같이 특수한 경우에는 더 정밀한 유수 공식이 존재한다.

3. 증명

K가 임의의 허수 이차 수체인 경우의 증명은 K = Q(i)인 경우와 매우 유사하다.

3.1. Q(i) 에서의 증명

K = Q(i)일 때 유수 공식의 증명 아이디어를 가장 쉽게 이해할 수 있다. 이 경우 K의 정수환은 가우스 정수이다.

간단한 조작을 통해 데데킨트 제타 함수의 s = 1에서의 잔류항은 데데킨트 제타 함수의 디리클레 급수 표현의 계수 평균임을 알 수 있다. 디리클레 급수의 n번째 계수는 본질적으로 n을 음이 아닌 두 제곱수의 합으로 표현하는 횟수이다. 따라서 평균 표현 횟수를 계산하여 데데킨트 제타 함수의 s = 1에서의 잔류항을 계산할 수 있다. 가우스 원 문제에서와 같이, 원점을 중심으로 하는 사분원의 내부 격자점의 수를 근사하여 계산할 수 있으며, 그 결과 잔류항은 π의 1/4이 된다.

3.2. 일반적인 경우의 증명

디리클레 단위 정리에 의해 K의 정수환에서 단위군의 원소는 무한하다. 그럼에도 불구하고, 고전적인 실수 및 복소수 매입 이론을 사용하여 잔류항 계산을 격자점 개수 문제로 줄일 수 있으며, 영역의 부피로 영역 내의 격자점 수를 근사하여 증명을 완료할 수 있다.

4. 디리클레 유수 공식

디리클레는 1839년에 이차 수체에 대한 유수 공식의 증명을 발표했지만, 이는 아이디얼의 유수가 아닌 이차 형식의 언어로 표현되었다. 가우스는 이미 1801년에 이 공식을 알고 있었던 것으로 보인다.

이 설명은 다벤포트를 따른다.

d를 기본 판별식이라 하고, 판별식 d를 갖는 이차 형식의 동치류의 수를 h(d)로 표기한다. $\chi = \left(\!\frac{d}{m}\!\right)$ 를 크로네커 기호라고 하자. 그러면 $\chi$ 는 디리클레 지표이다. $L(s,\chi)$ 를 $\chi$ 를 기반으로 하는 디리클레 L-함수라고 쓴다.

d > 0에 대해, t > 0, u > 0를 펠 방정식 $t^2 - d u^2 = 4$ 의 해로, u가 가장 작은 값으로 하고, 다음을 표기한다.

: $\varepsilon = \frac{1}{2}(t + u \sqrt{d}).$

(그러면 $\varepsilon$ 는 실수 이차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 의 기본 단위 또는 기본 단위의 제곱이다.)

d < 0에 대해, w를 판별식 d의 이차 형식의 자기 동형 사상의 수로 한다. 즉,

: $w =\begin{cases}2, & d < -4; \\4, & d = -4; \\6, & d = -3.\end{cases}$

디리클레는 다음을 보였다.

: $h(d)=\begin{cases}\dfrac{w \sqrt$

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}{2 \pi} L(1,\chi), & d < 0; \\\dfrac{\sqrt{d}}{2\ln \varepsilon} L(1,\chi), & d > 0.\end{cases}

이것은 유수 정리의 특수한 경우이다. 이차 수체K에 대해, 데데킨트 제타 함수는

\zeta_K(s) = \zeta(s) L(s, \chi)

이고, 잔차는

L(1,\chi)

이다.

디리클레는 또한 L-급수를 유한 형태로 쓸 수 있으며, 이는 유수에 대한 유한 형식을 제공함을 보였다.

\chi

가 소수 도수

q

를 갖는 원시 지표라고 가정하자. 그러면

:

L(1, \chi) =\begin{cases}-\dfrac{\pi}{q^{3/2}}\sum_{m=1}^{q-1} m \left( \dfrac{m}{q} \right), & q \equiv 3 \mod 4; \\-\dfrac{1}{2 q^{1/2}}\sum_{m=1}^{q-1} \left( \dfrac{m}{q} \right) \ln\left(\sin \dfrac{m\pi}{q}\right) , & q \equiv 1 \mod 4.\end{cases}

4.1. 이차 형식과 디리클레 지표

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}{2 \pi} L(1,\chi), & d < 0; \\\dfrac{\sqrt{d}}{2\ln \varepsilon} L(1,\chi), & d > 0.\end{cases}

이것은 위 정리 1의 특수한 경우이다. 이차 수체K에 대해, 데데킨트 제타 함수는

\zeta_K(s) = \zeta(s) L(s, \chi)

이고, 잔차는

L(1,\chi)

이다. 디리클레는 또한 L-급수를 유한 형태로 쓸 수 있으며, 이는 유수에 대한 유한 형식을 제공함을 보였다.

\chi

가 소수 도수

q

를 갖는 원시 지표라고 가정하자. 그러면

:

L(1, \chi) =\begin{cases}-\dfrac{\pi}{q^{3/2}}\sum_{m=1}^{q-1} m \left( \dfrac{m}{q} \right), & q \equiv 3 \mod 4; \\-\dfrac{1}{2 q^{1/2}}\sum_{m=1}^{q-1} \left( \dfrac{m}{q} \right) \ln\left(\sin \dfrac{m\pi}{q}\right) , & q \equiv 1 \mod 4.\end{cases}

4.2. 디리클레 유수 공식 (이차 수체)

디리클레는 1839년에 이차 수체에 대한 유수 공식의 증명을 발표했지만, 이는 아이디얼의 유수가 아닌 이차 형식의 언어로 표현되었다. 가우스는 이미 1801년에 이 공식을 알고 있었던 것으로 보인다.

이 설명은 다벤포트를 따른다.

d를 기본 판별식이라 하고, 판별식 d를 갖는 이차 형식의 동치류의 수를 h(d)로 표기한다. $\chi = \left(\!\frac{d}{m}\!\right)$ 를 크로네커 기호라고 하자. 그러면 $\chi$ 는 디리클레 지표이다. $L(s,\chi)$ 를 $\chi$ 를 기반으로 하는 디리클레 L-함수라고 쓰자.

d > 0에 대해, t > 0, u > 0를 펠 방정식 $t^2 - d u^2 = 4$ 의 해로, u가 가장 작은 값으로 하고, 다음을 표기한다.
: $\varepsilon = \frac{1}{2}(t + u \sqrt{d}).$
(그러면 $\varepsilon$ 는 실수 이차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 의 기본 단위 또는 기본 단위의 제곱이다.)

d < 0에 대해, w를 판별식 d의 이차 형식의 자기 동형 사상의 수로 한다. 즉,
: $w =\begin{cases}2, & d < -4; \\4, & d = -4; \\6, & d = -3.\end{cases}$
디리클레는 다음을 보였다.
: $h(d)=\begin{cases}\dfrac{w \sqrt$

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}{2 \pi} L(1,\chi), & d < 0; \\\dfrac{\sqrt{d}}{2\ln \varepsilon} L(1,\chi), & d > 0.\end{cases}
이것은 유수 정리의 특수한 경우이다. 이차 수체K에 대해, 데데킨트 제타 함수는

\zeta_K(s) = \zeta(s) L(s, \chi)

이고, 잔차는

L(1,\chi)

이다.

디리클레는 또한 L-급수를 유한 형태로 쓸 수 있으며, 이는 유수에 대한 유한 형식을 제공함을 보였다.

\chi

가 소수 도수

q

를 갖는 원시 지표라고 가정하자. 그러면
:

L(1, \chi) =\begin{cases}-\dfrac{\pi}{q^{3/2}}\sum_{m=1}^{q-1} m \left( \dfrac{m}{q} \right), & q \equiv 3 \mod 4; \\-\dfrac{1}{2 q^{1/2}}\sum_{m=1}^{q-1} \left( \dfrac{m}{q} \right) \ln\left(\sin \dfrac{m\pi}{q}\right) , & q \equiv 1 \mod 4.\end{cases}

5. 갈루아 확대와 아벨 확대

K가 Q(유리수체)의 갈루아 확대인 경우와 아벨 확대인 경우, 유수 공식을 확장할 수 있다.

갈루아 확대의 경우, 아르틴 L-함수 이론을 적용할 수 있다. 이때, 특정 조건을 만족하는 L-함수의 곱으로 표현되는 유수 공식의 우변은 좌변과 같게 된다. 여기서 L-함수는 Gal(K/Q)의 비자명한 복소 선형 표현 ρ에 대한 것으로, 각 표현의 차원에 따라 곱해진다.

아벨 확대의 경우에는, 갈루아 군이 아벨 군이 되며, 모든 ρ는 디리클레 지표로 대체할 수 있다. 이때 사용되는 디리클레 지표의 모듈러스 f는 도수라고 불린다. 결과적으로, 모든 L(1) 값은 디리클레 L-함수에 대한 것이 되며, 로그를 포함하는 고전적인 공식이 존재한다.

크로네커-베버 정리에 따르면, 해석적 유수 공식에 필요한 모든 값은 원분체를 고려할 때 이미 나타난다. 에른스트 쿠머는 이 경우에 대한 추가적인 공식화를 제시했다. 조절자는 순환 단위의 로그로 인식할 수 있는 L(1)의 양과 비교할 수 있으며, 이를 통해 유수는 순환 단위가 전체 단위 군에서 갖는 지수에 의해 결정된다는 공식을 얻을 수 있다.

이러한 개념들은 이와사와 이론에서 슈티켈베르거 정리와 함께 더욱 발전한다.

5.1. 갈루아 확대

K가 Q의 갈루아 확대이면, 아르틴 L-함수 이론이 $\zeta_K(s)$ 에 적용된다. 이는 잔류값 1을 갖는 리만 제타 함수의 하나의 인수를 가지며, 몫은 s = 1에서 정칙적이다. 이것은 유수 공식의 우변이 좌변과 같다는 것을 의미한다.

:Π L(1,ρ)^{dim ρ}

여기서 ρ는 Gal(K/Q)의 비자명한 복소 선형 표현의 차원 dim(ρ)을 갖는 기약 표현의 클래스들을 순회한다. 이것은 정규 표현의 표준 분해에 따른 것이다.

5.2. 아벨 확대

이는 위에서 Gal(K/Q)가 아벨 군(갈루아 군이 아벨 군인 경우를 아벨 확대라고 한다)인 경우로, 이때 모든 ρ는 (류체론을 거쳐) f를 법으로 하는 디리클레 지표(도수)로 바꿀 수 있다. 따라서 모든 L(1)의 값은 디리클레 L-함수가 되며, 이에 대해 로그를 포함하는 고전적인 공식이 존재한다.

크로네커-베버 정리에 의해, 해석적 유수 공식에 필요한 모든 값은 원분체를 생각했을 때 이미 발생한다. 이 경우, 에른스트 쿠머에 의해 제시되었지만, 추가적인 공식화가 존재한다. 레귤레이터는 원분체의 단위의 로그로 나눔으로써 얻어지는 "로그 공간" 내의 부피 계산이지만, cyclotomic unit^영어의 로그로 인식할 수 있는 L(1)로부터 거꾸로 계산할 수 있다. 유수는 단위 전체의 군에서 원분체의 단위의 인덱스로부터 결정할 수 있다는 결론이 나온다.

이와사와 이론에서는 이러한 아이디어는 Stickelberger's theorem^영어와 더욱 깊이 연관되어 있다.