육만오천오백삼십칠각형

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1. 개요
2. 성질
- 2.1. 기하학적 성질
- 2.2. 대칭성
3. 작도 가능성
- 3.1. 페르마 소수와 작도
- 3.2. 1의 거듭제곱근과 작도
4. 작도법
- 4.1. 요한 구스타프 헤르메스의 작도법
- 4.2. 칼라일 원을 이용한 작도법
5. 65537-그램
참조

1. 개요

정육만오천오백삼십칠각형은 65,537개의 변을 가진 다각형이다. 변의 수가 매우 많아 원에 가까우며, 컴퍼스와 눈금 없는 자만 사용하여 작도가 가능하다. 이는 65,537이 페르마 소수이기 때문이며, 카를 프리드리히 가우스에 의해 작도 가능성이 증명되었다. 정육만오천오백삼십칠각형의 작도법은 매우 복잡하며, 요한 구스타프 헤르메스는 10년에 걸쳐 연구하여 작도법을 제시했다.

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육만오천오백삼십칠각형
기본 정보
65537각형
종류	정다각형
변	65537
꼭짓점	65537
슈플리 기호	{65537}
성질	볼록
측정
내각	179.994529221°

2. 성질

(내용 없음 - 하위 섹션에서 상세 내용을 다루므로 중복 방지를 위해 본문 생략)

2. 1. 기하학적 성질

정65537각형은 변의 수가 매우 많기 때문에 거의 원에 가깝다. 정65537각형의 외각의 크기는 다음과 같다.

\frac{360^\circ}{65537} \approx {0.005493^\circ} \approx 19.775''

이고, 내각의 크기는 약 179.99450692°이다.

반지름이 1인 원에 내접하는 정65537각형의 면적은 다음과 같다.

\frac{65537}{2} \sin \frac{2 \pi}{65537} \approx 3.141592648777

이는 원의 면적인 원주율에 매우 가까운 수치이다. 한 변의 길이는 다음과 같다.

2 \sin \frac{\pi}{65537} \approx 0.00009587

예를 들어, 가로와 세로가 각각 200m인 영역에 가능한 가장 크게 정65537각형을 그린다고 해도, 한 변의 길이는 1cm 미만인 약 9.58mm에 불과하다.

변의 길이를 ''t''라고 할 때, 정65537각형의 면적(A)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

A = \frac{65537}{4} t^2 \cot \frac{\pi}{65537}

전체 정규 65537각형은 시각적으로 원과 구별하기 어려우며, 그 둘레는 외접원의 둘레와 비교했을 때 약 15 ppb 정도의 미미한 차이만 난다.

2. 2. 대칭성

정규 ''65537각형''은 D₆₅₅₃₇ 대칭을 가지며, 차수는 131074이다. 65537은 소수이므로, 이면군 대칭을 갖는 부분군은 D₁, 그리고 2개의 순환군 대칭, Z₆₅₅₃₇ 및 Z₁이 존재한다.

3. 작도 가능성

정육만오천오백삼십칠각형은 자와 컴퍼스로 작도가 가능한 다각형이다. 이는 65537이 $2^{2^4}+1$ 꼴의 페르마 소수이기 때문이며, 이러한 작도 가능성은 카를 프리드리히 가우스에 의해 증명되었다.^[1]^[2]^[3]

3. 1. 페르마 소수와 작도

65537은

2^{2^4}+1

의 형태로 알려져 있는 페르마 소수이다. 카를 프리드리히 가우스는 1801년에 출판한 《산술 연구》에서

p

가 페르마 소수라면 정

p

각형은 자와 컴퍼스로 작도 가능함을 증명했다. 반대로, 소수

p

에 대해서 정

p

각형이 작도 가능하면

p

는 페르마 소수라는 것도 증명했다. 알려져 있는 페르마 소수는 가우스 이전부터 3, 5, 17, 257, 65537 뿐이며^[3], 이것이 전부라고 예상되고 있다.

정육만오천오백삼십칠각형은 작도가능한 다각형이라는 점에서 흥미롭다. 즉, 컴퍼스와 눈금이 없는 자만 사용하여 작도할 수 있다. 이는 65537이 페르마 소수이기 때문이며, 2^{2^''n''} + 1의 형태를 띤다 (이 경우 ''n'' = 4). 정65537각형이 컴퍼스와 자로 작도 가능하다는 것은, 1의 65537제곱근

\cos \frac{2\pi}{65537}+i \sin \frac{2\pi}{65537} \approx 0.9999999954042+0.0000958723362i

의 실수부와 허수부가 모두 유리수로부터 시작해 사칙연산 및 제곱근을 취하는 계산을 유한한 횟수로 조합해 표현할 수 있는 것을 의미한다. 따라서,

\cos \frac{\pi}{65537}

과

\cos \frac{2\pi}{65537}

의 값은 32768차의 차수 대수적 수이며, 다른 모든 작도가능한 수와 마찬가지로 제곱근을 사용하여 나타낼 수 있고 더 높은 차수의 근은 사용하지 않는다.

카를 프리드리히 가우스는 1801년까지 정65537각형이 작도가 가능하다는 것을 알고 있었지만, 정65537각형의 첫 번째 명시적인 작도는 요한 구스타프 헤르메스(1894)에 의해 제시되었다. 이 작도는 매우 복잡하며, 헤르메스는 200페이지 분량의 원고를 완성하는 데 10년의 시간을 보냈다.^[1] 또 다른 방법은 최대 1332개의 칼라일 원을 사용하는 것이며, 이 방법의 첫 번째 단계는 아래에 그림으로 나타나 있다. 이 방법은 이러한 칼라일 원 중 하나가 이차 방정식 ''x''² + ''x'' − 16384 = 0 (16384는 2¹⁴)을 풀기 때문에 실질적인 문제에 직면한다.^[2]

3. 2. 1의 거듭제곱근과 작도

65537은

2^{2^4}+1

의 형태로 표시되며, 알려진 것 중 가장 큰 페르마 소수이다. 카를 프리드리히 가우스는 1801년에 출판한 《산술 연구》에서, ''p''가 페르마 소수이면 정 ''p''각형은 자와 컴퍼스로 작도 가능함을 증명했다. 또한, 반대로, 홀수 소수 ''p''에 대해 정 ''p''각형이 작도 가능하다면, ''p''는 페르마 소수임도 증명했다. 알려진 페르마 소수는 다음과 같다.^[3]

: 3, 5, 17, 257, 65537

이것이 페르마 소수의 전부일 것으로 예상된다.

정65537각형이 컴퍼스와 자로 작도 가능하다는 것은, 1의 원시 65537제곱근 중 하나인

:

\cos \frac{2\pi}{65537}+i \sin \frac{2\pi}{65537} \approx 0.9999999954042 + 0.0000958723362 \, i

의 실수부와 허수부가 모두, 유리수에서 시작하여 사칙연산 및 제곱근을 취하는 연산을 유한 번 조합하여 표현할 수 있다는 것을 의미한다.

4. 작도법

정육만오천오백삼십칠각형은 컴퍼스와 눈금 없는 자만으로 작도할 수 있는 작도가능한 다각형이다. 이는 65537이 2^2⁴ + 1 형태의 페르마 소수이기 때문이다. 따라서 cos(2π/65537) 값은 32768차 대수적 수이며, 제곱근만을 사용하여 나타낼 수 있다.

카를 프리드리히 가우스는 1801년경 이 다각형이 작도 가능하다는 것을 증명했지만, 구체적인 작도 방법까지 제시하지는 않았다.^[1] 가우스의 증명을 바탕으로 작도법을 유도하는 것은 원칙적으로 가능하지만 매우 방대한 작업이 요구된다.

독일의 수학자 요한 구스타프 헤르메스가 10년에 걸친 연구 끝에 1894년 처음으로 구체적인 작도법의 요지를 발표했다.^[6]^[7]^[1]^[4] 헤르메스가 작성한 200쪽이 넘는 방대한 원고는 현재 괴팅겐 대학교에 보관되어 있다.^[8]^[5]

정65537각형의 작도는 이론적으로 가능하지만 실제로는 매우 복잡하다. 헤르메스의 방법 외에도 최대 1332개의 칼라일 원을 사용하는 방법 등이 알려져 있으나, 이 역시 첫 단계부터 복잡한 이차 방정식(''x''² + ''x'' − 16384 = 0)을 풀어야 하는 등 실질적인 어려움이 따른다.^[2] 일본의 수학자 도야마 히라쿠는 그의 저서 『수학 입문』에서 이 작도 작업의 방대함을 보여주는 일화를 소개하기도 했다.

4. 1. 요한 구스타프 헤르메스의 작도법

카를 프리드리히 가우스는 정65537각형이 작도가능한 다각형임을 증명했지만, 구체적인 작도 방법까지 제시하지는 않았다. 가우스의 증명을 바탕으로 작도법을 유도하는 것은 원칙적으로 가능했지만, 이는 매우 방대한 작업이었다.

독일의 수학자 요한 구스타프 헤르메스는 이 과제에 도전하여 10년의 세월을 들여 정65537각형의 구체적인 작도법을 연구했다. 그는 1894년에 마침내 작도법 계산의 요지를 담은 보고서를 학술지에 발표했다.^[6]^[7]^[4] 이는 정65537각형의 첫 번째 명시적인 작도법으로 알려져 있다.^[1] 헤르메스가 작성한 200쪽이 넘는 방대한 원고는 현재 괴팅겐 대학교에 보관되어 있다.^[8]^[5]

헤르메스의 작도법은 매우 복잡하다. 다른 방법으로는 최대 1332개의 칼라일 원을 사용하는 것이 제안되었으나, 이 방법 역시 첫 단계부터 x² + x - 16384 = 0 (16384 = 2¹⁴)과 같은 복잡한 이차 방정식을 풀어야 하는 등 실질적인 어려움이 따른다.^[2]

일본의 수학자 도야마 히라쿠는 그의 저서 『수학 입문』에서 정65537각형 작도 연구의 방대함을 보여주는 일화를 소개하기도 했다.

4. 2. 칼라일 원을 이용한 작도법

정육만오천오백삼십칠각형은 작도가능한 다각형으로, 이는 65537이 페르마 소수(2^2⁴ + 1)이기 때문이다. 카를 프리드리히 가우스는 1801년에 이미 이 다각형의 작도 가능성을 알았지만, 실제로 작도법을 제시한 것은 아니었다.

정 65537각형의 첫 번째 명시적인 작도법은 1894년 요한 구스타프 헤르메스에 의해 제시되었다. 이 방법은 매우 복잡하여, 헤르메스는 작도 과정을 설명하는 200페이지 분량의 원고를 완성하는 데 10년이라는 긴 시간을 보냈다.^[1]

헤르메스의 방법 외에, 칼라일 원을 이용한 작도법도 존재한다. 이 방법은 최대 1332개의 칼라일 원을 사용해야 할 수 있으며, 실질적인 작도 과정에서 어려움이 따른다. 예를 들어, 이 방법의 첫 단계에서는 이차 방정식 x² + x − 16384 = 0 (여기서 16384는 2¹⁴)을 풀어야 하는데, 이 과정 자체가 칼라일 원 하나를 이용하는 것에 해당한다.^[2]

5. 65537-그램

65537-그램은 65,537개의 변을 가진 별 다각형이다. 65,537은 소수이므로, 65537을 2로 나눈 값의 내림은 32768이 되어 2 ≤ ''n'' ≤ 32768인 모든 정수 ''n''에 대해 슐래플리 기호 {65537/''n''}으로 생성되는 32,767개의 정규 형태가 존재한다.

참조

_[1] 학술지 Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile http://www.digizeits[...]
_[2] 학술지 Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions https://web.archive.[...] 2011-11-06
_[3] 기타 A19434
_[4] 학술지 Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile http://www.digizeits[...]
_[5] 학술지 フェルマー数物語日本詳論社
_[6] 학술지 Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile http://www.digizeits[...]
_[7] 학술지 Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile http://gdz.sub.uni-g[...]
_[8] 학술지 フェルマー数物語日本詳論社

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