이백오십칠각형

1. 개요

정이백오십칠각형은 257개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형이다. 중심각과 외각은 약 1.4°, 내각은 약 178.6°이며, 한 변의 길이가 a일 때 면적은 약 5255.75062a²이다. 정이백오십칠각형은 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있으며, 이는 257이 페르마 소수이기 때문이다. 1832년 프리드리히 율리우스 리셸로와 슈베덴바인은 작도 방법을 발표했다. 정이백오십칠각형은 Dih₂₅₇ 이면각 대칭을 가지며, 257-그램이라는 별 다각형도 존재한다.

2. 성질

정이백오십칠각형의 중심각과 외각은 약 1.4°이며, 내각은 약 178.6°이다.

한 변의 길이가 a인 정이백오십칠각형의 면적(A)은 다음과 같다.
$A\; =\; \backslash frac\{257\}\{4\}\; a^2\; \backslash cot\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{257\}\backslash approx\; 5255.75062a^2$

전체 정이백오십칠각형은 시각적으로 원과 구별하기 어려우며, 둘레는 외접원의 둘레와 약 24 ppm 차이가 난다.

3. 작도 가능성

정이백오십칠각형은 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도할 수 있는 다각형이다. 일반적으로 홀수 소수 p에 대해 정p각형이 작도 가능하려면, p가 페르마 소수여야 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 3, 5, 17, 257, 65537 다섯 개뿐이며, 이에 해당하는 정다각형은 정삼각형, 정오각형, 정십칠각형, 정이백오십칠각형, 정육만오천오백삼십칠각형이다.

257은 2²³ + 1 형태로 표현되는 페르마 소수이기 때문에 정이백오십칠각형은 작도가 가능하다. 이러한 작도 가능성은 수학적으로 중요한 의미를 지니며, 삼각함수에서 각이 2π/257 rad일 때 그 함수의 값이 유리수와 제곱근의 조합만으로 표현될 수 있음을 뜻한다. 구체적으로, $\backslash cos\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{257\}$과 $\backslash cos\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{257\}$의 값은 128차 대수적 수이며, 다른 모든 작도 가능 수와 마찬가지로 제곱근만을 사용하여 나타낼 수 있다.

가우스는 1801년에 이미 정이백오십칠각형의 작도 가능성을 알고 있었던 것으로 알려져 있으며, 구체적인 작도 방법은 1832년 프리드리히 율리우스 리셸로와 슈베덴바인에 의해 발표되었다.

3.1. 작도 방법

정이백오십칠각형은 자와 컴퍼스만으로 작도가 가능한 다각형이다. 일반적으로 홀수 소수 p에 대해 정p각형이 작도 가능하려면, p가 페르마 소수여야 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 3, 5, 17, 257, 65537뿐이며, 이에 따라 작도 가능한 정다각형은 정삼각형, 정오각형, 정십칠각형, 정이백오십칠각형, 정육만오천오백삼십칠각형 다섯 가지뿐이다.

정이백오십칠각형이 작도 가능하다는 사실은 수학적으로 중요한 의미를 가진다. 이는 삼각함수에서 각이 2π/257 rad일 때, 그 값이 유리수와 제곱근만으로 표현될 수 있음을 의미한다. 예를 들어, cos(π/257)과 cos(2π/257)의 값은 128차 대수적 수이며, 모든 작도 가능 수와 마찬가지로 제곱근만을 사용하여 나타낼 수 있다.

가우스는 1801년에 이미 정이백오십칠각형이 작도 가능하다는 사실을 알고 있었던 것으로 알려져 있다. 그러나 실제 작도 방법을 명시적으로 제시한 것은 1822년 마그누스 게오르그 파우커가 처음이었다. 이후 1832년에는 프리드리히 율리우스 리셸로와 슈베덴바인이 자와 컴퍼스만을 이용한 구체적인 작도 방법을 발표했다.

리셸로 등이 제시한 방법 외에도 다른 작도법이 존재한다. 그중 하나는 총 150개의 원을 사용하는 방법인데, 이 중 24개는 칼라일 원이다. 이 방법은 이차 방정식 x² + x − 64 = 0의 해를 구하는 과정을 포함한다.

4. 대칭성

정이백오십칠각형은 Dih₂₅₇ 대칭, 차수 514를 갖는다. 257은 소수이므로, 한 개의 이면각 부분군: Dih₁, 그리고 두 개의 순환군 대칭: Z₂₅₇ 및 Z₁이 존재한다.

5. 257-그램

257-그램은 257개의 변을 가진 별 다각형이다. 257은 소수이므로, 슐래플리 기호 {257/n}으로 표현되는 정규 257-그램은 정수 n이 2부터 128까지일 때 총 127개가 존재한다. 예를 들어 {257/128}은 257개의 거의 방사형인 모서리를 가지며, 각 별 꼭짓점에서의 내각 크기는 180°/257 (약 0.7°)이다.