이온 음향파

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1. 개요
2. 유도 (Derivation)
3. 분산 관계 (Dispersion relation)
4. 감쇠 (Damping)
- 4.1. 쿨롱 충돌 감쇠
- 4.2. 란다우 감쇠
참조

1. 개요

이온 음향파는 플라즈마 내에서 발생하는 파동의 일종으로, 플라즈마 내의 이온과 전자의 열적 특성에 의해 발생하며, 플라즈마의 중요한 특성을 이해하는 데 사용된다. 이온 음향파의 유도는 플라즈마 내 각 종의 연속 방정식과 운동 방정식을 선형화하여 1차 섭동 항을 구하는 방식으로 이루어진다. 분산 관계는 파동의 위상 속도와 파수 사이의 관계를 나타내며, 단일 이온 종 또는 다중 이온 종을 포함하는 플라즈마에서 다양한 형태로 표현된다. 핵융합 플라즈마에서 이온 음향파는 핵융합 연구에 중요한 역할을 하며, 쿨롱 충돌과 란다우 감쇠에 의해 감쇠된다. 란다우 감쇠는 플라스마 가열 및 전류 구동에 중요한 역할을 한다.

2. 유도 (Derivation)

플라즈마 내에서 전자와 여러 종류의 이온이 존재할 때, 이온 음향파의 분산 관계(파동의 주파수 $\omega$ 와 파수 $k$ 사이의 관계)는 유체 모델을 기반으로 유도될 수 있다. 이 과정은 플라즈마의 거동을 나타내는 기본 방정식들을 단순화하고 해석하기 위해 몇 가지 중요한 가정과 단계를 포함한다.

먼저, 플라즈마 내 각 입자 종(전자 및 이온)의 거동은 연속 방정식과 운동 방정식으로 기술된다. 파동 현상은 평형 상태( $X_0$ )로부터의 작은 변화(섭동, $X_1$ )로 간주하므로, 이 방정식들을 선형화하여 1차 섭동량에 대한 방정식을 얻는다. 이 과정에서 전기장은 1차 섭동으로 취급하고 자기장은 무시하는 경우가 많다.

압력 변화를 다루기 위해, 각 입자 종의 압력 섭동 $p_{s1}$ 이 밀도 섭동 $n_{s1}$ 에 비례한다고 가정하는 폴리트로픽 과정( $p_{s1} = \gamma_s T_{s0} n_{s1}$ )을 도입한다. 이는 에너지 방정식을 대체하여 분석을 간결하게 만든다.

또한, 전자의 질량( $m_e$ )이 이온의 질량( $m_i$ )보다 매우 작기 때문에( $m_i \gg m_e$ ), 전자 운동 방정식에서 전자 관성 항을 무시하는 근사를 흔히 사용한다. 이는 고려하는 파동의 주파수가 전자 플라즈마 주파수보다 훨씬 낮을 때 유효하며, 이 근사를 통해 전기장 섭동 $\vec E_1$ 과 전자 밀도 섭동 $n_{e1}$ 사이의 간단한 관계를 얻을 수 있다.

이렇게 얻어진 관계식들을 푸아송 방정식(전기장과 전하 밀도를 연결하는 방정식)과 결합한다. 푸아송 방정식에 선형화된 전하 밀도 섭동( $\sum Z_i n_{i1} - n_{e1}$ )과 위에서 구한 전기장 표현을 대입하고 푸리에 변환을 이용하여 공간 및 시간 의존성을 주파수( $\omega$ )와 파수( $k$ ) 의존성으로 바꾸면, 최종적으로 $\omega$ 와 $k$ 사이의 관계식, 즉 이온 음향파의 분산 관계를 도출할 수 있다. 이 과정에서 드바이 길이와 같은 플라즈마의 특성 길이가 자연스럽게 나타난다.

각 단계에 대한 더 자세한 설명과 수식 유도는 아래 하위 섹션들에서 다룬다.

2. 1. 선형화된 유체 방정식

플라즈마 내에 전자와

N

개의 이온 종이 존재한다고 가정하고, 이들의 유체 방정식을 선형화하여 이온 음향파의 분산 관계를 유도한다. 각 물리량

X

를 평형 상태 값

X_0

와 작은 변화량(섭동)

X_1

의 합, 즉

X=X_0+\delta\cdot X_1

로 표현한다. 여기서

\delta

는 선형화를 위한 작은 매개변수이다. 선형화는 각 방정식에서

\delta

의 동일한 차수를 가지는 항들끼리 균형을 맞추는 과정이다. 0차 항(

\delta^0

)은 평형 상태를 나타내고, 1차 항(

\delta^1

)은 섭동을 나타낸다. 이 분석에서는 전기장은 1차 섭동(

\vec E_0=0

)으로 간주하고 자기장은 무시한다.

각 종

s

(전자 또는 이온)는 질량

m_s

, 전하

q_s=Z_se

, 수 밀도

n_s

, 유체 속도

\vec u_s

, 압력

p_s

로 설명된다. 각 종의 압력 섭동

p_{s1}

은 폴리트로픽 과정을 따른다고 가정한다. 즉,

p_{s1} = \gamma_s T_{s0} n_{s1}

이다. 여기서

T_{s0}

는 0차 온도이고,

\gamma_s

는 폴리트로픽 지수이다. 이 가정은 에너지 방정식을 대체하며,

\gamma_s

값은 운동론적 접근을 통해 결정될 수 있다. 편의상 0차 온도

T_{s0}

를

T_s

로 표기한다.

각 종

s

는 다음의 연속 방정식과 운동 방정식을 만족한다.

연속 방정식: $\partial_t n_s + \nabla\cdot(n_s\vec u_s) = 0$
운동 방정식: $\partial_t \vec u_s + \vec u_s \cdot\nabla\vec u_s = {Z_s e \over m_s}\vec E - {\nabla p_s \over n_s}$

이제 이 방정식들을 선형화하여 1차 섭동에 대한 방정식을 얻는다. 이온(

i

)에 대해 연속 방정식과 운동 방정식을 결합하고 선형화하면 다음 식을 얻는다.

(-m_i\partial_{tt}+\gamma_iT_{i}\nabla^2)n_{i1} = Z_ien_{i0}\nabla\cdot\vec E_1

전자(

e

)의 운동 방정식을 선형화하면 다음과 같다.

n_{e0}m_e\partial_t\vec v_{e1} = -n_{e0}e\vec E_1 - \gamma_eT_{e}\nabla n_{e1}

여기서 전자 질량(

m_e

)이 이온 질량(

m_i

)보다 훨씬 작기 때문에(

m_i\gg m_e

), 좌변의 전자 관성 항(

n_{e0}m_e\partial_t\vec v_{e1}

)을 무시할 수 있다. 이는 고려하는 파동의 주파수가 전자 플라즈마 주파수보다 훨씬 낮을 때 유효한 근사이다. 이 근사를 적용하면 1차 전기장

\vec E_1

은 전자 밀도 섭동

n_{e1}

의 기울기(gradient)로 표현된다.

\vec E_1 = - {\gamma_eT_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1}

이 전기장 표현을 선형화된 이온 운동 방정식에 대입하면, 각 이온 종의 밀도 섭동

n_{i1}

과 전자 밀도 섭동

n_{e1}

사이의 관계식을 얻는다.

(-m_i\partial_{tt}+\gamma_iT_{i}\nabla^2)n_{i1} = -\gamma_e T_{e} \nabla^2 n_{e1}

분산 관계를 얻기 위해 푸아송 방정식을 사용한다.

{\epsilon_0 \over e}\nabla\cdot\vec E_1 = \left[ \sum_{i=1}^N n_{i0}Z_i - n_{e0} \right] + \left[ \sum_{i=1}^N n_{i1}Z_i - n_{e1} \right]

여기서

\epsilon_0

는 진공의 유전율이다. 플라즈마는 전체적으로 전기적 중성 상태를 유지하므로, 0차 항인 첫 번째 괄호 안의 값은 0이다(

\sum_{i=1}^N n_{i0}Z_i = n_{e0}

). 위에서 구한 전기장

\vec E_1

을 대입하고 정리하면 다음 식을 얻는다.

(1-\gamma_e \lambda_{De}^2\nabla^2)n_{e1} = \sum_{i=1}^N Z_in_{i1}

여기서

\lambda_{De}^2 \equiv \epsilon_0T_{e}/(n_{e0}e^2)

는 전자 드바이 길이의 제곱을 정의한다. 좌변의 두 번째 항(

-\gamma_e \lambda_{De}^2\nabla^2 n_{e1}

)은 전기장 발산(

\nabla\cdot\vec E

) 항에서 유래하며, 섭동이 전하 중성 상태에서 벗어나는 정도를 나타낸다. 파장(

1/k

)이 드바이 길이(

\lambda_{De}

)보다 훨씬 길어서

k\lambda_{De}

가 작은 경우, 이 항을 무시할 수 있으며, 이를 플라즈마 근사라고 한다.

이제 푸리에 변환을 이용하여 각 1차 섭동량을

X_1 = \tilde X_1 \exp i(\vec k\cdot\vec x-\omega t) + c.c.

형태로 표현한다. 여기서

\vec k

는 파수 벡터,

\omega

는 각주파수이다. 미분 연산자

\partial_t

는

-i\omega

로,

\nabla

는

i\vec k

로 대치된다. 푸리에 공간에서 이온 밀도 섭동과 전자 밀도 섭동의 관계는 다음과 같다. (이후 푸리에 진폭을 나타내는 물결표(~)는 생략한다.)

n_{i1} = \frac{Z_i n_{i0}}{n_{e0}} \frac{\gamma_e T_e k^2}{m_i \omega^2 - \gamma_i T_i k^2} n_{e1} = \frac{Z_i n_{i0}}{n_{e0}} \frac{\gamma_e T_e}{m_i v_s^2 - \gamma_i T_i} n_{e1}

여기서

v_s = \omega/k

는 파동의 위상 속도이다. 이 관계식을 푸리에 변환된 푸아송 방정식에 대입하면 다음과 같은 분산 관계를 얻는다.

(1+\gamma_e k^2\lambda_{De}^2)n_{e1} = \sum_{i=1}^N Z_i n_{i1} = \sum_{i=1}^N \frac{Z_i^2 n_{i0}}{n_{e0}} \frac{\gamma_e T_e}{m_i v_s^2 - \gamma_i T_i} n_{e1}

n_{e1}

이 0이 아닌 해를 찾으면, 최종적인 분산 관계식은 다음과 같다.

\gamma_eT_e \sum_{i=1}^N \frac{Z_i^2 n_{i0}/n_{e0}}{m_i v_s^2 - \gamma_iT_i} = 1+\gamma_e k^2\lambda_{De}^2

이 식을 이온 종에 대한 평균

\langle X_i \rangle \equiv \sum_i f_i X_i

(여기서

f_i = n_{i0} / \sum_j n_{j0}

는 이온 종

i

의 분율)를 사용하여 표현할 수 있다. 0차 전하 중성 조건(

\sum_i Z_i n_{i0} = n_{e0}

)을 이용하여

n_{i0}/n_{e0} = f_i / \langle Z_i \rangle

로 쓸 수 있으므로, 분산 관계는 다음과 같이 표현된다.

\frac{\gamma_e T_e}{\langle Z_i \rangle} \left\langle \frac{Z_i^2}{m_i v_s^2 - \gamma_i T_i} \right\rangle = 1 + \gamma_e k^2 \lambda_{De}^2

이 식을 무차원화하면 다음과 같다.

{\gamma_e \over \langle Z_i \rangle} \left\langle {Z_i^2/A_i \over u^2 - \tau_i} \right\rangle = 1+\gamma_e k^2\lambda_{De}^2

여기서

A_i=m_i/m_u

(

m_u

는 원자 질량 단위),

u^2=m_uv_s^2/T_e

,

\tau_i = {\gamma_i T_i / (A_i T_e)}

이다.

만약

k\lambda_{De} \ll 1

(플라즈마 근사)이면, 오른쪽의

k^2\lambda_{De}^2

항을 무시할 수 있다. 이 경우 파동은 분산이 없으며(

\omega = v_s k

), 위상 속도

v_s

는 파수

k

에 무관한 상수가 된다. 이 속도

v_s

가 이온 음향 속도에 해당한다.

2. 2. 폴리트로픽 가정

각 종

s

는 질량

m_s

, 전하

q_s=Z_se

, 개수 밀도

n_s

, 유속

\vec u_s

, 압력

p_s

로 설명된다. 이온 음향파를 분석할 때, 각 종에 대한 압력의 작은 변화량(섭동,

p_{s1}

)이 폴리트로픽 과정을 따른다고 가정한다. 이는 특정 종

s

에 대해 압력 섭동

p_{s1}

이 밀도 섭동

n_{s1}

과 초기 온도

T_{s0}

에 비례한다는 것을 의미하며, 수식으로는

p_{s1} = \gamma_s T_{s0} n_{s1}

로 표현된다. 여기서

\gamma_s

는 해당 종의 폴리트로픽 지수이다.

이러한 폴리트로픽 가정을 사용하는 이유는 복잡한 에너지 방정식을 직접 다루는 대신, 압력과 밀도 사이의 관계를 간단하게 설정하여 분석을 용이하게 하기 위함이다. 즉, 폴리트로픽 가정은 에너지 방정식을 효과적으로 대체하는 역할을 한다. 이 가정이 타당한지, 그리고 폴리트로픽 지수

\gamma_s

의 구체적인 값을 결정하기 위해서는 플라스마 내 입자들의 속도 분포 함수를 고려하는 더 상세한 운동론적 접근 방식이 필요하다.

2. 3. 전자 관성 무시

전자 운동량 방정식은 다음과 같이 주어진다.

n_{e0}m_e\partial_t\vec v_{e1} = -n_{e0}e\vec E_1 - \gamma_eT_{e}\nabla n_{e1}

여기서 좌변 항

n_{e0}m_e\partial_t\vec v_{e1}

은 전자의 관성을 나타낸다. 만약 다루는 파동의 주파수가 전자 플라즈마 주파수

(n_{e0}e^2/\epsilon_0m_e)^{1/2}

보다 훨씬 낮다면, 전자는 전기장의 변화에 매우 빠르게 반응하여 거의 즉각적으로 평형 상태에 도달한다고 볼 수 있다. 이런 경우 전자의 관성 효과는 무시할 수 있을 정도로 작아지므로, 위 식의 좌변 항을 0으로 근사할 수 있다.

0 \approx -n_{e0}e\vec E_1 - \gamma_eT_{e}\nabla n_{e1}

이 근사는 이온의 질량(

m_i

)이 전자의 질량(

m_e

)보다 훨씬 큰 일반적인 플라즈마(

m_i \gg m_e

) 상황, 예를 들어 대부분의 이온화된 기체에서 매우 잘 성립한다. 전자의 질량이 매우 작기 때문에 관성 효과가 상대적으로 미미하기 때문이다. 하지만 반도체 내의 전자-정공 플라즈마나 전자-양전자 플라즈마와 같이 전자와 다른 입자(정공 또는 양전자)의 질량 차이가 크지 않은 경우에는 이 근사가 적합하지 않을 수 있다.

전자 관성을 무시하면, 1차 섭동 전기장

\vec E_1

은 전자 밀도 섭동

n_{e1}

의 기울기(

\nabla

)와 직접적인 관계를 갖게 된다. 위 식을

\vec E_1

에 대해 정리하면 다음과 같다.

\vec E_1 = - {\gamma_eT_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1}

이 결과는 전기장(

\vec E_1

)이 전자 압력의 구배(

\nabla p_{e1} = \gamma_e T_{e} \nabla n_{e1}

)에 의해 결정됨을 의미한다. 즉, 전기력(

-e\vec E_1

)과 전자 압력에 의한 힘(

-\nabla p_{e1}/n_{e0}

)이 서로 균형을 이루는 상태를 나타낸다. 이렇게 얻어진 전기장과 전자 밀도 섭동 간의 관계는 푸아송 방정식 및 이온 운동 방정식과 결합하여 이온 음향파의 분산 관계를 유도하는 데 사용된다.

2. 4. 푸아송 방정식

선형화된 이온 운동 방정식과 전자 운동 방정식을 통해 각 이온 종의 밀도 섭동

n_{i1}

과 전자 밀도 섭동

n_{e1}

사이의 관계를 유도할 수 있다. 전자 관성을 무시하는 근사(전자 플라즈마 주파수보다 훨씬 낮은 주파수에서 유효)를 사용하면 전기장

\vec E_1

은 전자 밀도 구배로 표현된다.

:

\vec E_1 = - {\gamma_eT_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1}

이 전기장 표현을 선형화된 이온 운동 방정식에 대입하면, 각 이온 종의 밀도 섭동

n_{i1}

과 전자 밀도 섭동

n_{e1}

사이의 관계식을 얻는다.

:

(-m_i\partial_{tt}+\gamma_iT_{i}\nabla^2)n_{i1} = -\gamma_e T_{e} \nabla^2 n_{e1}

이제 푸아송 방정식을 이용하여 분산 관계를 유도한다. 푸아송 방정식은 다음과 같다.

:

{\epsilon_0 \over e}\nabla\cdot\vec E_1 = \left[ \sum_{i=1}^N n_{i0}Z_i - n_{e0} \right] + \left[ \sum_{i=1}^N n_{i1}Z_i - n_{e1} \right]

여기서 오른쪽 첫 번째 항

\left[ \sum_{i=1}^N n_{i0}Z_i - n_{e0} \right]

은 평형 상태에서의 전하 중성 조건을 나타내며, 가정에 따라 0이다. 위에서 구한 전기장

\vec E_1

표현을 푸아송 방정식에 대입하고 정리하면 다음과 같은 관계식을 얻는다.

:

(1-\gamma_e \lambda_{De}^2\nabla^2)n_{e1} = \sum_{i=1}^N Z_in_{i1}

여기서

\lambda_{De}

는 전자 드바이 길이로,

\lambda_{De}^2 \equiv \epsilon_0T_{e}/(n_{e0}e^2)

로 정의된다. 좌변의 두 번째 항

-\gamma_e \lambda_{De}^2\nabla^2 n_{e1}

은 전기장의 발산(

\nabla\cdot\vec E

) 항에서 유래하며, 섭동이 전하 중성 상태에서 벗어나는 정도를 나타낸다. 만약 파수

k

에 대해

k\lambda_{De}

가 매우 작다면 (

k\lambda_{De} \ll 1

), 이 항은 무시할 수 있는데, 이를 플라즈마 근사라고 한다.

분산 관계를 구체적으로 얻기 위해 푸리에 공간에서 분석한다. 각 1차 섭동을

X_1 = \tilde X_1 \exp i(\vec k\cdot\vec x-\omega t) + c.c.

형태로 가정하고, 시간 및 공간 미분을 각각

-i\omega

와

i\vec k

로 대체한다. 이온 밀도 섭동과 전자 밀도 섭동 사이의 관계식은 다음과 같이 표현된다.

:

n_{i1} = \gamma_eT_{e}Z_i {n_{i0} \over n_{e0}} [m_iv_s^2-\gamma_iT_{i}]^{-1} n_{e1}

여기서

v_s=\omega/k

는 파동의 위상 속도이다.

이 관계식을 푸아송 방정식으로부터 유도된 식

(1+\gamma_e k^2\lambda_{De}^2)n_{e1} = \sum_{i=1}^N Z_in_{i1}

(푸리에 공간에서

\nabla^2 \rightarrow -k^2

적용)에 대입하면, 모든 항이

n_{e1}

에 비례하게 된다.

n_{e1}

이 0이 아닌 해(즉, 자연 모드)를 찾으면 다음과 같은 이온 음향파의 분산 관계를 얻는다.

:

\gamma_eT_e \left\langle { Z_i^2 \over m_i v_s^2 - \gamma_iT_i } \right\rangle = \langle Z_i \rangle (1+\gamma_e k^2\lambda_{De}^2)

여기서

\langle X_i \rangle \equiv \Sigma_i f_iX_i

는 이온 종들에 대한 평균을 의미하며,

f_i = n_{i0} / \Sigma_j n_{j0}

는 각 이온 종의 분율이다.

이 분산 관계를 무차원 형태로 표현하면 다음과 같다.

:

{\gamma_e \over \langle Z_i \rangle} \left\langle {Z_i^2/A_i \over u^2 - \tau_i} \right\rangle = 1+\gamma_e k^2\lambda_{De}^2

여기서

A_i=m_i/m_u

(

m_u

는 원자 질량 단위),

u^2=m_uv_s^2/T_e

,

\tau_i = {\gamma_i T_i \over A_i T_e}

이다.

특히, 플라즈마 근사(

k\lambda_{De} \ll 1

)가 성립하는 경우, 분산 관계식의 우변은 1이 된다. 이 경우 위상 속도

v_s

는 파수

k

에 무관한 상수가 되어, 파동은 분산이 없는(

\omega = v_sk

) 특성을 보인다.

3. 분산 관계 (Dispersion relation)

이온 음향파의 분산 관계는 파동의 주파수( $\omega$ )와 파수( $k$ ) 사이의 관계를 나타내며, 이는 파동의 위상 속도( $v_s = \omega/k$ )를 결정한다.

일반적으로 플라즈마 내에 N 종류의 이온이 존재할 경우, 분산 관계는 위상 속도의 제곱( $v_s^2$ , 종종 $u^2$ 으로 표기)에 대한 N차 다항식 형태로 표현된다. 파동의 감쇠를 무시하는 이상적인 경우, 이 다항식의 모든 해는 실수이며 양수 값을 가져야 한다. 위상 속도 $v_s$ 의 부호(+ 또는 -)는 파동이 진행하는 방향(오른쪽 또는 왼쪽)을 나타낸다.

플라즈마 내 이온 구성에 따라 분산 관계의 구체적인 형태와 파동의 특성이 달라진다.

단일 이온 종만 존재하는 경우에는 비교적 간단한 형태로 표현된다.
여러 종류의 이온이 섞여 있는 경우에는 각 이온 종의 특성(질량, 전하, 온도, 비율 등)을 반영하여 더 복잡한 양상을 보이며, 일반적으로 여러 개의 파동 모드(예: 빠른 모드, 느린 모드)가 존재할 수 있다.
특히 핵융합 연구 등에서 중요한 다중 이온 플라즈마(예: 중수소-삼중수소 혼합물, 금-붕소 혼합물)에서는 이러한 모드들의 특성이 중요하게 다뤄진다.

3. 1. 단일 이온 종

이온 음향파의 위상 속도

v_s = \omega/k

에 대한 분산 관계를 고려할 때, 감쇠를 무시하면 위상 속도의 제곱(

v_s^2

, 원본에서는

u^2

로 표기됨)에 대한 해는 실수이며 양수 값을 가진다. 위상 속도

v_s

의 부호는 파동이 오른쪽 또는 왼쪽으로 진행하는 방향을 나타낸다.

플라즈마 내에 단 하나의 이온 종류만 존재하는 경우, 이온 음향파의 분산 관계는 다음과 같이 주어진다.

:

v_s^2 = {\gamma_e Z_i T_e \over m_i}{1 \over 1+\gamma_e(k\lambda_{De})^2} + {\gamma_i T_{i}\over m_i} = {\gamma_e Z_i T_e \over m_i} \left[ {1 \over 1+\gamma_e(k\lambda_{De})^2} + {\gamma_i T_{i}\over Z_i\gamma_e T_e} \right]

여기서 각 기호는 다음을 의미한다:

$v_s$ : 이온 음향파의 위상 속도
$\gamma_e$ : 전자의 폴리트로프 지수
$Z_i$ : 이온의 전하 상태 (이온 하나당 전하량)
$T_e$ : 전자 온도 (에너지 단위)
$m_i$ : 이온의 질량
$k$ : 파동의 파수 (파장의 역수에 비례)
$\lambda_{De}$ : 전자의 디바이 길이 (플라즈마 내에서 전하 차폐가 일어나는 거리 척도)
$\gamma_i$ : 이온의 폴리트로프 지수
$T_i$ : 이온 온도 (에너지 단위)

이 식은 이온 음향파의 속도가 플라즈마를 구성하는 입자들의 온도(

T_e, T_i

), 이온의 질량(

m_i

) 및 전하 상태(

Z_i

), 그리고 파동의 특성(

k

)에 어떻게 의존하는지를 보여준다. 특히,

(k\lambda_{De})^2

항은 파장이 디바이 길이보다 짧아질수록(

k

가 커질수록) 전하 분리 효과가 중요해져 파동의 전파 속도에 영향을 미치는 것을 나타낸다.

3. 2. 다중 이온 종

플라즈마 내에 여러 종류의 이온이 존재하는 경우, 이온 음향파의 특성은 더욱 복잡해진다. N개의 이온 종이 있을 때, 분산 관계는 파동의 위상 속도 제곱(

u^2

)에 대한 N차 다항식으로 나타낼 수 있다. 만약 파동의 감쇠를 무시한다면, 이 다항식의 모든 해(

u^2

)는 실수이고 양수 값을 가진다. 위상 속도

u

의 부호는 파동이 진행하는 방향(오른쪽 또는 왼쪽)을 의미한다.

단일 이온 종만 존재할 때의 위상 속도 제곱(

v_s^2

)은 다음과 같다.

:

v_s^2 = {\gamma_eZ_iT_e \over m_i}{1 \over 1+\gamma_e(k\lambda_{De})^2} + {\gamma_iT_{i}\over m_i} = {\gamma_eZ_iT_e \over m_i} \left[ {1 \over 1+\gamma_e(k\lambda_{De})^2} + {\gamma_iT_{i}\over Z_i\gamma_eT_e} \right]

여기서

\gamma_e, \gamma_i

는 각각 전자와 이온의 폴리트로프 지수,

Z_i

는 이온 전하량,

T_e, T_i

는 각각 전자와 이온의 온도,

m_i

는 이온 질량,

k

는 파수,

\lambda_{De}

는 전자의 디바이 길이이다.

이제 여러 이온 종이 존재하고, 이온의 온도(

T_i

)가 전자의 온도(

T_e

)보다 훨씬 낮은(

T_i \ll T_e

) 일반적인 상황을 고려해보자. 만약 이온 온도를 0(

T_i=0

)으로 가정하면, 분산 관계는 N-1개의 중복된 해

u^2=0

과 하나의 0이 아닌 해를 가진다. 이 0이 아닌 해는 다음과 같이 주어진다.

:

v_s^2(T_i=0) \equiv {\gamma_eT_e/m_u \over 1+\gamma_e(k\lambda_{De})^2} { \langle Z_i^2/A_i\rangle \over \langle Z_i \rangle }

여기서

m_u

는 원자 질량 단위이고,

A_i

는 이온의 질량수,

\langle \cdot \rangle

는 플라즈마 내 모든 이온 종에 대한 평균값을 의미한다 (

\langle X_i \rangle = \sum_j f_j X_j

,

f_j

는 j번째 이온 종의 분율).

이 해들은 두 가지 모드로 분류된다.

빠른 모드 (Fast mode): $T_i=0$ 일 때 0이 아닌 해에 해당하는 파동 모드이다. 이 모드의 위상 속도 $v_s$ 는 일반적으로 모든 이온 종의 열 속도보다 크기 때문에 '빠른 모드'라고 불린다. $T_i \ll T_e$ 일 때, 빠른 모드의 위상 속도 제곱에 대한 근사 해는 다음과 같다.

:

v_s^2 \approx v_s^2(T_i=0) + { \langle Z_i^2 \gamma_i T_i / A_i^2 \rangle \over m_u\langle Z_i^2 / A_i \rangle }

느린 모드 (Slow mode): $T_i=0$ 일 때 $u^2=0$ 인 N-1개의 해에 해당하는 파동 모드들이다. 이 모드들의 위상 속도는 플라즈마 내 하나 이상의 이온 종의 열 속도와 비슷하거나 더 작을 수 있기 때문에 '느린 모드'라고 불린다.

다중 이온 종 플라즈마는 핵융합 연구 등 다양한 분야에서 중요하다.

중수소-삼중수소 플라즈마: 핵융합 발전에 사용되는 중수소(D)와 삼중수소(T) 이온이 동일한 비율( $f_D=f_T=1/2$ )로 섞여 있는 경우를 예로 들 수 있다. 모든 이온이 완전히 이온화되어 $Z_D=Z_T=1$ 이고, 전자와 이온의 온도가 같으며( $T_e=T_i$ ), 폴리트로프 지수가 $\gamma_e=1, \gamma_i=3$ 이라고 가정하자. 또한 파수와 관련된 디바이 길이의 영향( $(k\lambda_{De})^2$ 항)을 무시하면, 분산 관계는 $v_s^2$ 에 대한 2차 방정식이 된다 ( $u = v_s / \sqrt{T_e/m_u}$ ).

:

2A_DA_Tu^4 - 7(A_D+A_T)u^2 + 24=0

실제 질량수

(A_D,A_T)=(2.01,3.02)

를 사용하면,

u^2

에 대한 두 해는 약

1.10

과

1.81

로 계산된다. 이는 각각 느린 모드와 빠른 모드에 해당한다.

금-붕소 플라즈마: 질량 차이가 매우 큰 이온들이 섞여 있는 경우도 있다. 예를 들어 레이저를 이용한 관성 가둠 핵융합 연구에서 호르룸(hohlraum) 내부를 채우는 데 사용되는 금(Au, A=197)과 붕소(B, A=10.8) 혼합물이 있다. 특정 조건으로 $\gamma_e=1$ , 두 이온 종 모두 $\gamma_i=3, T_i=T_e/2$ 이며, 붕소의 전하 상태 Z=5, 금의 전하 상태 Z=50이라고 가정해보자. 붕소의 원자 분율 $f_B$ 에 따라 평균 전하 $\bar Z=Z_{Au} - (Z_{Au}-Z_B) f_B = 50-45 f_B$ 가 결정된다. 이온 종의 상대적 기여도를 나타내는 변수들은 $\tau_B=0.139, \tau_{Au}=0.00761$ (소스 값 사용), $F_B = f_B Z_B^2 / (A_B \bar{Z}) \approx 2.31 f_B/\bar Z$ , 그리고 $F_{Au} = (1-f_B) Z_{Au}^2 / (A_{Au} \bar{Z}) \approx 12.69(1-f_B)/\bar Z$ 등으로 표현될 수 있다. 이러한 플라즈마에서도 빠른 모드와 느린 모드가 존재하며, 그 특성은 이온들의 구성 비율과 상태에 따라 달라진다.

3. 3. 핵융합 플라즈마 예시

핵융합 연구에서 중요한 플라즈마에서의 이온 음향파 특성을 구체적인 예시를 통해 살펴볼 수 있다.

핵융합 연구에서 중요한 대상 중 하나는 중수소(D)와 삼중수소(T) 이온이 동일한 몰 분율(molar fraction)로 혼합된 플라즈마이다 (

f_D=f_T=1/2

). 이 플라즈마가 완전히 이온화되어 있고(

Z_D=Z_T=1

), 전자와 이온의 온도가 같으며(

T_e=T_i

), 폴리트로프 지수(polytropic index)가 각각

\gamma_e=1, \gamma_i=3

이라고 가정하자. 또한 파수 벡터

k

와 디바이 길이

\lambda_{De}

의 곱인

(k\lambda_{De})^2

항의 기여는 무시한다. 이러한 조건에서 이온 음향파의 분산 관계는 위상 속도

v_s

의 제곱(

v_s^2

) 또는 정규화된 속도

u^2

에 대한 이차 방정식으로 나타난다.

:

2A_DA_Tu^4 - 7(A_D+A_T)u^2 + 24=0

여기서

A_D

와

A_T

는 각각 중수소와 삼중수소의 원자 질량수이다. 실제 값

(A_D,A_T)=(2.01,3.02)

를 대입하여 풀면, 두 개의 해

u^2=(1.10,1.81)

를 얻는다. 이는 중수소-삼중수소 플라즈마에서 두 가지 모드의 이온 음향파가 존재할 수 있음을 의미한다.

또 다른 관심 사례는 질량 차이가 매우 큰 두 종류의 이온으로 구성된 플라즈마이다. 예를 들어, 금(Au, A=197)과 붕소(B, A=10.8)의 혼합물은 레이저를 이용한 관성 핵융합 연구에서 호울라움(hohlraum, 공동) 제작에 사용되어 주목받고 있다. 구체적인 예로,

\gamma_e=1

, 두 이온 종 모두에 대해

\gamma_i=3, T_i=T_e/2

이며, 붕소의 전하 상태는 Z=5, 금의 전하 상태는 Z=50이라고 가정한다. 붕소의 원자 분율

f_B

에 따라 플라즈마의 평균 전하

\bar Z=50-45 f_B

, 온도 비율

\tau_B=0.139, \tau_{Au}=0.00761

, 그리고 각 이온 종의 분율 관련 변수

F_B=2.31 f_B/\bar Z,

F_{Au}=12.69(1-f_B)/\bar Z

등이 결정되며, 이를 통해 해당 플라즈마에서의 이온 음향파 특성을 분석할 수 있다.

4. 감쇠 (Damping)

이온 음향파는 쿨롱 충돌과 충돌이 없는 란다우 감쇠라는 두 가지 주요 메커니즘에 의해 에너지를 잃고 약해진다.

4. 1. 쿨롱 충돌 감쇠

이온 음향파는 쿨롱 충돌에 의해 감쇠된다.

4. 2. 란다우 감쇠

이온 음향파는 쿨롱 충돌과 충돌이 없는 란다우 감쇠에 의해 감쇠된다. 란다우 감쇠는 전자와 이온 모두에서 발생하며, 상대적인 중요성은 플라즈마의 상태를 나타내는 매개변수에 따라 달라진다.

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