이중 잉여류

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1. 개요

이중 잉여류는 군 G의 두 부분군 H와 K 및 G의 원소 g에 대해 정의되는 집합으로, 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류를 일반화한 개념이다. 이중 잉여류는 군 G를 분할하며, 이중 잉여류의 수와 크기는 중요한 성질을 갖는다. 이중 잉여류는 대칭군, 일반 선형군과 같은 구체적인 군에서 예시를 찾을 수 있으며, 군환, 헤케 대수, 군 작용, 표현론, 함수 해석, 클리포드-클라인 형식, 수론 등 다양한 수학 분야에 응용된다.

이중 잉여류

분야	그룹 이론

정의

주어진 군	G
부분군	H, K ⊆ G
이중 잉여류	HgK = { hgk : h ∈ H, g ∈ G, k ∈ K }

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 자유 아벨 군에서의 곱
6. 응용

2. 정의

군 $G$ 의 두 부분군 $H, K \le G$ 및 군의 원소 $g \in G$ 에 대하여, $H$ 와 $K$ 에 대한 $g$ 의 이중 잉여류(double coset)는 다음과 같은 집합이다.
: $HgK = \{hgk \colon h \in H, k \in K\}$

이는 군 작용의 관점에서 볼 수도 있다. 부분군 $H$ 가 $G$ 에 왼쪽 곱셈으로 작용하고, 부분군 $K$ 가 $G$ 에 오른쪽 곱셈으로 작용한다고 할 때, $G$ 의 원소 $x$ 에 대한 $(H, K)$ -이중 잉여류는 위와 같이 정의된 집합 $HxK$ 이다. 만약 $H = K$ 인 경우, 이를 간단히 $H$ -이중 잉여류라고 부르기도 한다.

이중 잉여류는 다음과 같은 동치 관계에서 $x$ 의 동치류로도 정의할 수 있다.
: $x \sim y$ 인 것은 $h \in H$ 와 $k \in K$ 가 존재하여 $hxk = y$ 인 것과 동치이다.

이중 잉여류는 일반적인 잉여류 개념을 확장한 것이다.
* 만약 $H$ 가 자명 부분군 $\{e\}$ (여기서 $e$ 는 $G$ 의 항등원)이면, 이중 잉여류 $e g K = gK$ 는 $K$ 에 대한 $g$ 의 왼쪽 잉여류가 된다.
* 만약 $K$ 가 자명 부분군 $\{e\}$ 이면, 이중 잉여류 $H g e = Hg$ 는 $H$ 에 대한 $g$ 의 오른쪽 잉여류가 된다.

만약 $H$ 와 $K$ 가 모두 $G$ 의 정규 부분군이라면, $H$ 와 $K$ 에 대한 이중 잉여류 $HgK$ 는 $K$ 와 $H$ 에 대한 이중 잉여류 $KgH$ 와 일치한다. 즉, $HgK = KgH$ 이다.

군 $G$ 에서 두 부분군 $H$ 와 $K$ 에 대한 모든 이중 잉여류들의 집합은 $H \backslash G / K$ 로 표기한다. 즉,
: $H \backslash G / K = \{ HgK \colon g \in G \}$
이 집합은 $G$ 를 서로소인 이중 잉여류들로 분할한다.

3. 성질

군 $G$ 의 두 부분군 $H,K\le G$ 에 대하여, 이중 잉여류의 집합 $H\backslash G/K$ 는 $G$ 의 분할을 이룬다. 즉, 임의의 $g,g'\in G$ 에 대하여, $HgK=Hg'K$ 이거나 $HgK\cap Hg'K=\varnothing$ 이다.

군 $G$ 의 두 부분군 $H,K\le G$ 에 대하여, $|H\backslash G/K|=|K\backslash G/H|$ 이다. 즉, 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수와 순서를 교환한 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수는 같다. 이는 다음과 같은 함수가 전단사 함수임을 보임으로써 증명할 수 있다.
: $H\backslash G/K\to K\backslash G/H$
: $HgK\mapsto Kg^{-1}H$

군 $G$ 의 두 부분군 $H,K\le G$ 및 군의 원소 $g\in G$ 에 대하여, 이중 잉여류 $HgK$ 의 크기는 다음과 같이 계산된다.
: $|HgK|=\frac$

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이는

|HgK|=|H(gKg^{-1})|=\frac

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=\frac

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와 같이 증명된다.

G

를 군으로 하고,

H

와

K

를 부분군이라고 하자.

H

가

G

에 왼쪽 곱셈으로 작용하고,

K

가

G

에 오른쪽 곱셈으로 작용한다고 가정하자.

G

의 각 원소

x

에 대해, $(H, K)$ -이중 잉여류는 다음과 같은 집합이다.
:

HxK = \{ hxk \colon h \in H, k \in K \}.

만약

H = K

이면, 이를 $H$ -이중 잉여류라고 한다. 이는

x \sim y

를

hxk = y

인

h \in H

와

k \in K

가 존재하는 것으로 정의하는 동치 관계에서

x

의 동치류와 같다. 모든

(H,K)

-이중 잉여류의 집합은

H \,\backslash G / K

로 표기한다.

(H, K)

-이중 잉여류는

(h, k) \cdot x = hxk^{-1}

로

G

에 작용하는 곱군

H \times K

에 대한 궤도로 볼 수도 있다. 이 관점에서 이중 잉여류의 여러 기본 속성을 이해할 수 있다.

* 두 이중 잉여류

HxK

와

HyK

는 서로 상호소이거나 동일하다.
*

G

는 이중 잉여류들의 상호소 집합이다.
*

HxK

를

Kx^{-1}H

로 대응시키는 함수를 통해 두 이중 잉여류 공간

H \backslash G / K

와

K \backslash G / H

사이에 일대일 대응 관계가 존재한다.
* 만약

H = \{1\}

(항등원만 포함하는 자명 부분군)이면,

H \backslash G / K = G / K

(오른쪽 잉여류 공간)이다. 마찬가지로

K = \{1\}

이면,

H \backslash G / K = H \backslash G

(왼쪽 잉여류 공간)이다.
* 이중 잉여류

HxK

는

H

의 오른쪽 잉여류들의 합집합이자

K

의 왼쪽 잉여류들의 합집합이다. 구체적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
:

\begin{align}    HxK &= \bigcup_{k \in K} Hxk = \coprod_{Hxk \,\in\, H \backslash HxK} Hxk,    \\    HxK &= \bigcup_{h \in H} hxK = \coprod_{hxK \,\in\, HxK / K} hxK.    \end{align}

(H, K)

-이중 잉여류의 집합은 함수

HgK \to H(gK)

및

HgK \to (Hg)K

를 통해 궤도

H \backslash (G / K)

및

(H \backslash G) / K

와 각각 전단사 관계에 있다.
* 만약

H

가

G

의 정규 부분군이면

H \backslash G

는 군이 되며, 이 군에 대한

K

의 오른쪽 작용은

H \backslash HK

의 오른쪽 작용을 통해 인수분해된다. 따라서

H \backslash G / K = G / HK

이다. 비슷하게

K

가 정규 부분군이면

H \backslash G / K = HK \backslash G

이다.
* 만약

H

가

G

의 정규 부분군이면

H

-이중 잉여류는 왼쪽 (및 오른쪽)

H

-잉여류와 일대일 대응된다.
* 오른쪽

K

작용에 대한 오른쪽

H

-잉여류

Hxk \in H \backslash HxK

의 안정자(stabilizer)는

K \cap (xk)^{-1}Hxk

이다. 마찬가지로, 왼쪽

H

작용에 대한 왼쪽

K

-잉여류

hxK \in HxK / K

의 안정자는

H \cap hxK(hx)^{-1}

이다.
* 결과적으로

HxK

에 포함된

H

의 오른쪽 잉여류의 수는 지수

[K : K \cap x^{-1}Hx]

이고,

HxK

에 포함된

K

의 왼쪽 잉여류의 수는 지수

[H : H \cap xKx^{-1}]

이다. 따라서 다음 관계식이 성립한다.
:

\begin{align}    |HxK| &= [H : H \cap xKx^{-1}] |K| = |H| [K : K \cap x^{-1}Hx], \\    \left[G : H\right] &= \sum_{HxK \,\in\, H \backslash G / K} [K : K \cap x^{-1}Hx], \\    \left[G : K\right] &= \sum_{HxK \,\in\, H \backslash G / K} [H : H \cap xKx^{-1}].    \end{align}

* 만약

G

H

K

가 유한군이면, 위 식으로부터 다음이 성립한다.
:

\begin{align}    |HxK| &= \frac

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= \frac

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, \\ \left[G : H\right] &= \sum_{HxK \,\in\, H \backslash G / K} \frac

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, \\ \left[G : K\right] &= \sum_{HxK \,\in\, H \backslash G / K} \frac

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. \end{align}
*

G

에서

x

를 고정하고

(H \times K)_x = \{(h, k) : hxk = x \}

를 이중 안정자(double stabilizer)라고 하면, 이는

H \times K

의 부분군이다.
* 궤도-안정자 정리에 의해,

HxK

와

(H \times K) / (H \times K)_x

사이에는

hxk

를

(h, k^{-1})(H \times K)_x

에 대응시키는 전단사가 존재한다. 따라서

G

H

K

가 유한군이면 다음이 성립한다.
:

|HxK| = [H \times K : (H \times K)_x] = |H \times K| / |(H \times K)_x|.

* 코시-프로베니우스 보조 정리(번사이드 보조 정리)에 따르면,

G^{(h, k)}

를

(h, k)

의 작용에 의해 고정되는

G

의 원소 집합이라고 할 때, 이중 잉여류의 수는 다음과 같다.
:

|H \,\backslash G / K| = \frac{1}

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\sum_{(h, k) \in H \times K} |G^{(h, k)}|.
특히

G

H

K

가 유한군이면, 이중 잉여류의 수는 군 원소 쌍

(h, k)

에 대해 고정되는 점의 평균 개수와 같다.

이중 잉여류는 단일 잉여류 공간을 통해서도 설명될 수 있다.

G

가 잉여류 공간의 곱

G / H \times G / K

에 왼쪽 곱셈으로 작용한다고 하자. 이 작용의 궤도는

H \backslash G / K

와 일대일 대응 관계에 있으며,

(xH, yK)

는 이중 잉여류

Hx^{-1}yK

에 대응된다. 유사하게

G

가

H \backslash G \times K \backslash G

에 오른쪽 곱셈으로 작용할 때도 그 궤도는

H \backslash G / K

와 일대일 대응된다. 이는 이중 잉여류 공간을

H

-잉여류와

K

-잉여류의 상대적 구성을 나타내는 공간으로 이해할 수 있게 한다.

라그랑주 정리의 유사성은 이중 잉여류에 대해 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 이중 잉여류의 크기가 반드시 군

G

의 위수(크기)를 나누는 것은 아니다. 예를 들어,

G = S_3

(3개 문자에 대한 대칭군, 위수 6)이고,

H

와

K

를 각각 전치

(1 2)

와

(1 3)

으로 생성된 순환 부분군(크기 2)이라고 하자. 항등 순열을

e

라고 하면,
:

HeK = HK = \{ e, (1 2), (1 3), (1 3 2) \}

이다. 이 이중 잉여류의 크기는 4인데, 4는

S_3

의 위수인 6을 나누지 않는다. 또한, 다른 이중 잉여류가 반드시 같은 크기를 갖는 것도 아니다. 같은 예에서,
:

H(2 3)K = \{ (2 3), (1 2 3) \}

이며, 이 이중 잉여류의 크기는 2이다.

그러나

H

(또는

K

)가

G

의 정규 부분군인 경우에는 상황이 다르다. 앞서 언급했듯이

H

가 정규이면 이중 잉여류 공간은 왼쪽 잉여류 공간

G / HK

와 같고,

K

가 정규이면 오른쪽 잉여류 공간

HK \backslash G

와 같다. 이 경우 다음이 성립한다.

* 모든

x \in G

에 대해

|HxK| = |HK|

이다. 즉, 모든 이중 잉여류는 동일한 크기를 갖는다.
*

G

가 유한군이면

|G| = |HK| \cdot |H \backslash G / K|

이다. 특히,

|HK|

와

|H \backslash G / K|

는 모두

|G|

를 나눈다.

4. 예시

* G = S_n을 집합 {1, ..., n}의 순열로 간주되는 대칭군이라고 하자. n을 안정화시키는 부분군 H = S_n−1을 고려해 보자. 그러면 이중 잉여류 S_n−1 \ S_n / S_n−1는 두 개로 구성된다. 이 중 하나는 H = S_n−1이고, 다른 하나는 n을 고정하지 않는 임의의 순열 γ에 대해 S_n−1 γ S_n−1이다. 이는 S_n / S_n−1가 $n$ 개의 원소 $\gamma_1 S_{n-1}, \gamma_2 S_{n-1}, ..., \gamma_n S_{n-1}$ 를 가지는 것과 대조되는데, 여기서 각 $\gamma_i(n) = i$ 이다.

* G를 군 GL_n( $\mathbf{R}$ )이라고 하고, B를 상삼각 행렬의 부분군이라고 하자. 이중 잉여류 공간 B \ G / B는 G의 브뤼하 분해이다. 이중 잉여류는 정확히 BwB이며, 여기서 w는 모든 n × n 순열 행렬을 나타낸다. 예를 들어, n = 2이면,
$B \,\backslash\! \operatorname{GL}_2(\mathbf{R}) / B = \left\{ B\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}B,\ B\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}B \right\}.$

5. 자유 아벨 군에서의 곱

G가 군이고, H, K, L이 부분군이라고 하자. 특정 유한성 조건 하에서, (H, K)-이중 잉여류와 (K, L)-이중 잉여류 집합에 의해 생성된 자유 아벨 군 사이에 곱셈 연산을 정의할 수 있다. 이 곱의 결과는 (H, L)-이중 잉여류 집합에 의해 생성된 자유 아벨 군의 원소가 된다. 즉, 다음과 같은 쌍선형 사상이 존재한다.
: $\mathbf{Z}[H \backslash G / K] \times \mathbf{Z}[K \backslash G / L] \to \mathbf{Z}[H \backslash G / L]$

간단히 G가 유한하다고 가정해 보자. 이 곱을 정의하기 위해, 이러한 자유 아벨 군을 G의 군환을 이용하여 재해석한다. Z[H \ G / K]의 모든 원소는 다음과 같은 형태를 가진다.
: $\sum_{HxK \in H \backslash G / K} f_{HxK} \cdot [HxK]$
여기서 $\{ f_{HxK} \}$ 는 H \ G / K의 원소로 인덱싱된 정수 집합이다. 이 원소는 H \ G / K 상의 Z 값을 갖는 함수, 즉 $HxK \mapsto f_{HxK}$ 로 해석될 수 있다. 이 함수는 원소 x를 이중 잉여류 HxK로 보내는 사영 $G \to H \backslash G / K$ 를 통해 G 상의 함수로 끌어올릴 수 있다. 그 결과 함수는 $x \mapsto f_{HxK}$ 가 된다. 이 함수는 구성 방식에 따라 H에 대해 좌측 불변이고 K에 대해 우측 불변이다. 이에 대응하는 군환 Z[G]의 원소는 다음과 같다.
: $\sum_{x \in G} f_{HxK} \cdot [x]$
이 원소는 H에 의한 좌측 곱셈과 K에 의한 우측 곱셈에 대해 불변이다. 개념적으로 이 원소는 각 이중 잉여류 HxK를 그것이 포함하는 원소들의 합으로 대체하여 얻어지며, G의 유한성은 이 합이 유한함을 보장한다. 반대로, H에 대해 좌측 불변이고 K에 대해 우측 불변인 Z[G]의 모든 원소는 Z[H \ G / K]에 있는 어떤 원소(함수)를 끌어올린 것이다. 유사한 설명이 Z[K \ G / L]과 Z[H \ G / L]에도 적용된다.

Z[H \ G / K], Z[K \ G / L], Z[H \ G / L]의 원소를 Z[G]의 불변 원소로 해석할 때, 위에서 정의한 곱은 Z[G]에서의 곱셈과 정확히 일치한다. 실제로, H-좌측 불변 원소와 L-우측 불변 원소의 곱이 여전히 H-좌측 불변이고 L-우측 불변임을 확인하는 것은 간단하다. 곱의 쌍선형성은 Z[G]에서의 곱셈이 쌍선형이라는 점에서 바로 따라 나온다. 또한, 만약 M이 G의 네 번째 부분군이라면, (H, K)-, (K, L)-, (L, M)-이중 잉여류의 곱은 결합 법칙을 만족한다. Z[G]에서의 곱은 G 상의 함수의 컨볼루션에 해당하므로, 이 곱을 컨볼루션 곱(convolution product)이라고 부르기도 한다.

중요한 특수한 경우는 $H = K = L$ 일 때이다. 이 경우, 곱은 다음과 같은 쌍선형 함수가 된다.
: $\mathbf{Z}[H \backslash G / H] \times \mathbf{Z}[H \backslash G / H] \to \mathbf{Z}[H \backslash G / H]$
이 곱셈 연산은 Z[H \ G / H]를 결합 환으로 만든다. 이 환의 항등원은 자명한 이중 잉여류 [H]에 해당한다. 일반적으로 이 환은 비가환환이다. 예를 들어, 만약 $H = \{1\}$ (자명 부분군)이면, 이 환은 군환 Z[G]와 같으며, 군환은 기반 군 G가 아벨 군일 경우에만 가환환이다.

만약 H가 정규 부분군이라면, H-이중 잉여류는 몫군 G / H의 원소와 동일하므로, Z[H \ G / H] 상의 곱은 군환 Z[G / H]에서의 곱과 같다. 특히, 이는 G / H 상의 함수의 일반적인 컨볼루션이다. 이 경우, 환은 G / H가 아벨 군일 때, 즉 H가 G의 교환자 부분군을 포함할 때만 가환이다.

만약 H가 정규 부분군이 아니라면, Z[H \ G / H]는 G가 비아벨 군일 경우에도 가환일 수 있다. 고전적인 예는 두 헤케 연산자의 곱이다. 이는 헤케 대수에서의 곱셈 연산인데, 군 G가 비아벨 군인 모듈러 군이고 부분군 H가 산술 부분군이며 교환자 부분군을 포함하지 않더라도 가환성을 가진다. 컨볼루션 곱의 가환성은 겔판드 쌍의 개념과 밀접하게 관련되어 있다.

군 G가 위상군일 경우, 각 이중 잉여류에서 좌측 및 우측 잉여류의 수가 유한하다는 가정을 완화할 수 있다. 군환 Z[G]는 $L^2(G)$ 또는 $C^\infty(G)$ 와 같은 함수 공간의 대수로 대체되고, 합은 적분으로 대체된다. 곱셈 연산은 여전히 컨볼루션에 해당한다. 예를 들어, 이러한 구조는 국소 콤팩트 군의 헤케 대수에서 나타난다.

6. 응용

군 $G$ 가 집합 $S$ 에 대해 추이적 군 작용을 가질 때, $G$ 의 특정 이중 잉여류 분해를 계산하면 $G$ 가 $S$ 에 작용하는 구조에 대한 추가 정보를 얻을 수 있다. 특히, $H$ 가 어떤 원소 $s \in S$ 의 안정 부분군이면, $G$ 는 $(H, H)$ 이중 잉여류 정확히 두 개로 분해되며, 이는 $G$ 가 $S$ 의 서로 다른 원소 쌍들의 집합에 대해 추이적으로 작용하는 경우에만 해당한다. 이 작용에 대한 자세한 내용은 2-추이적 군 문서를 참조할 수 있다.

이중 잉여류는 $H$ 의 표현이 $G$ 의 유도 표현을 구성하는 데 사용된 다음, $K$ 로 제한될 때 표현론과 관련하여 중요하다. 해당 이중 잉여류 구조는 결과 표현이 어떻게 분해되는지에 대한 정보를 담고 있다. 유한군의 경우, 이는 매키의 분해 정리이다.

또한, 함수 해석에서도 중요한데, 어떤 중요한 경우에 부분군 $K$ 에 의해 좌변 및 우변 불변인 함수가 합성곱 하에서 가환환을 형성할 수 있다. 겔판트 쌍을 참조할 수 있다.

기하학에서 클리포드-클라인 형식은 이중 잉여류 공간 $\Gamma \backslash G / H$ 이며, 여기서 $G$ 는 환원적 리 군, $H$ 는 닫힌 부분군이고, $\Gamma$ 는 균질 공간 $G / H$ 에 제대로 불연속적으로 작용하는 ( $G$ 의) 이산 부분군이다.

수론에서, 모듈라 군의 합동 부분군 $\Gamma$ 에 해당하는 헤케 대수는 이중 잉여류 공간 $\Gamma \backslash \mathrm{GL}_2^+(\mathbb{Q}) / \Gamma$ 의 원소에 의해 생성된다. 대수 구조는 위에서 설명한 이중 잉여류의 곱셈에서 얻어진다. 특히 중요한 것은 이중 잉여류 $\Gamma_0(N) g \Gamma_0(N)$ 또는 $\Gamma_1(N) g \Gamma_1(N)$ 에 해당하는 헤케 연산자 $T_m$ 이며, 여기서 $g = \left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & m \end{smallmatrix} \right)$ (이들은 $m$ 과 $N$ 이 서로소인지 여부에 따라 다른 속성을 갖는다)와, 다이아몬드 연산자 $\langle d \rangle$ 는 이중 잉여류 $\Gamma_1(N) \left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right) \Gamma_1(N)$ 에 의해 주어지며, 여기서 $d \in (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ 이고 $\left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right) \in \Gamma_0(N)$ 을 필요로 한다 ( $a, b, c$ 의 선택은 답에 영향을 미치지 않는다).

분야	그룹 이론

정의

주어진 군	G
부분군	H, K ⊆ G
이중 잉여류	HgK = { hgk : h ∈ H, g ∈ G, k ∈ K }