다중극 전개

1. 개요

다중극 전개는 전하 분포나 질량 분포와 같이 공간에 분포된 물리량을, 특정 중심점으로부터의 거리에 대한 급수 전개로 나타내는 방법이다. 이는 퍼텐셜을 홀극, 쌍극자, 사중극자 등 다양한 다중극 항의 합으로 표현하며, 르장드르 다항식이나 구면 조화 함수를 사용하여 계산할 수 있다. 다중극 전개는 전자기학, 중력 이론, 수치 시뮬레이션 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 원자핵의 다중극 모멘트 계산, 고속 다중극 방법 개발 등에 기여한다. 또한 분자 간 상호작용 에너지 계산이나 분자 다중극 모멘트 분석에도 사용된다.

2. 정의

어떤 부피 $S\backslash subset\backslash mathbb\; R^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\backslash phi$가 거리에 반비례한다고 할 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.
:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash int\_S\backslash frac\{\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$

여기서 $S$ 안에 임의의 "중심" $\backslash mathbf\; y\_0$을 잡으면, $\backslash phi$는 다음과 같이 전개할 수 있다.
:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\{\backslash phi\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}+\backslash frac\{\backslash phi\_1\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^2\}+\backslash frac\{\backslash phi\_2\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^3\}+\backslash cdots+\backslash frac\{\backslash phi\_n\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^\{n+1\}\}+\backslash cdots$.
이때, $\backslash phi\_0$ 항은 홀극(-極, monopole^영어), $\backslash phi\_1$ 항은 쌍극(雙極, dipole^영어), $\backslash phi\_2$ 항은 사중극(四重極, quadrupole^영어), $\backslash phi\_3$ 항은 팔중극(八重極, octupole^영어)이라 하고, 일반적으로 $\backslash phi\_n$ 항을 $2^n$중극이라고 부른다. 이와 같이 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 항은 르장드르 다항식, 구면 조화 함수, 텐서 등을 이용하여 계산할 수 있다.

2.1. 르장드르 다항식을 이용한 전개

어떤 부피 $S\backslash subset\backslash mathbb\; R^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\backslash phi$가 거리에 반비례한다고 가정하면, 다음과 같다.
:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash int\_S\backslash frac\{\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$
이 경우, $S$ 안에 임의의 "중심" $\backslash mathbf\; y\_0$을 잡아, $\backslash phi$를 다음과 같이 전개할 수 있다.
:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\{\backslash phi\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}+\backslash frac\{\backslash phi\_1\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^2\}+\backslash frac\{\backslash phi\_2\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^3\}+\backslash cdots+\backslash frac\{\backslash phi\_n\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^\{n+1\}\}+\backslash cdots$.
여기서 $\backslash phi\_0$ 항을 홀극(monopole), $\backslash phi\_1$ 항을 쌍극(dipole), $\backslash phi\_2$ 항을 사중극(quadrupole), $\backslash phi\_3$ 항을 팔중극(octupole), 일반적으로 $\backslash phi\_n$ 항을 $2^n$중극이라고 부르며, 이렇게 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 각 항은 르장드르 다항식 $P\_n(x)$의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}=\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; P\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\backslash right)^n$.
여기서
:$\backslash theta=\backslash arccos\backslash frac\{(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)\backslash cdot(\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\backslash ,\backslash Vert\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}$
는 $\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0$와 $\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0$ 사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같이 주어진다.
:$\backslash phi\_n=\backslash int\backslash Vert\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^nP\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$.
일반적으로 $P\_n(\backslash cos\backslash theta)$는 $n$차 텐서로 표현할 수 있다.
:$P\_n(\backslash cos\backslash theta)=\backslash sum\_\{i\_1=1\}^3\backslash sum\_\{i\_2=1\}^3\backslash cdots\backslash sum\_\{i\_n=1\}^3\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash right)\_\{i\_1\}$
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}
\cdots
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}
C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0).
편의상
:$\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert=r$
:$(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)/r=\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}$
로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같이 표현된다.
:$\backslash phi=\backslash frac\{C^\{(0)\}\}r+\backslash frac\{\backslash hat\; r^iC^\{(1)\}\_i\}\{r^2\}+\backslash frac\{\backslash hat\; r^i\backslash hat\; r^jC^\{(1)\}\_\{ij\}\}\{r^2\}+\backslash dotsb$.
여기서 $n$차 텐서 $C^\{(n)\}$을 $\backslash phi$의 $2^n$중극자 모멘트라고 부른다.

2.2. 구면 조화 함수를 이용한 전개

어떤 부피 $S\backslash subset\backslash mathbb\; R^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\backslash phi$가 거리에 반비례한다고 할 때, 다중극 전개를 구면 조화 함수를 이용하여 표현할 수 있다.

함수 $f(\backslash theta,\backslash varphi)$는 다음과 같이 구면 조화 함수의 합으로 나타낼 수 있다.
$$f(\backslash theta,\backslash varphi)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\backslash ,\; \backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\backslash ,\; C^m\_\backslash ell\backslash ,\; Y^m\_\backslash ell(\backslash theta,\backslash varphi)$$
여기서 $Y^m\_\backslash ell(\backslash theta,\backslash varphi)$는 표준 구면 조화 함수이고, $C^m\_\backslash ell$는 함수에 따라 달라지는 상수 계수이다. $C^0\_0$ 항은 홀극(단극)을, $C^\{-1\}\_1,C^0\_1,C^1\_1$는 쌍극자를 나타낸다.

다른 표현으로는 다음과 같이 쓸 수도 있다.
$$f(\backslash theta,\backslash varphi)\; =\; C\; +\; C\_i\; n^i\; +\; C\_\{ij\}n^i\; n^j\; +\; C\_\{ijk\}n^i\; n^j\; n^k\; +\; C\_\{ijk\backslash ell\}n^i\; n^j\; n^k\; n^\backslash ell\; +\; \backslash cdots$$
여기서 $n^i$는 $\backslash theta$와 $\backslash varphi$ 각도로 주어진 방향의 단위 벡터의 구성 요소를 나타내며, 지수는 암시적으로 합산된다. $C$ 항은 홀극(단극)이고, $C\_i$는 쌍극자를 나타내는 세 개의 숫자 집합이다.

위의 전개에서 계수는 실수 또는 복소수일 수 있다. 다중극 전개로 표현되는 함수가 실수인 경우, 구면 조화 함수 전개에서는 다음이 성립해야 한다.
$$C\_\backslash ell^\{-m\}\; =\; (-1)^m\; C^\{m\backslash ast\}\_\backslash ell\; \backslash ,\; .$$
다중 벡터 전개에서는 각 계수가 실수여야 한다.
$$C\; =\; C^\backslash ast;\backslash \; C\_i\; =\; C\_i^\backslash ast;\backslash \; C\_\{ij\}\; =\; C\_\{ij\}^\backslash ast;\backslash \; C\_\{ijk\}\; =\; C\_\{ijk\}^\backslash ast;\backslash \; \backslash ldots$$

스칼라 함수의 전개는 다중극 전개의 가장 일반적인 응용 분야이지만, 임의의 순위의 텐서를 설명하도록 일반화할 수도 있다.

2.3. 텐서를 이용한 전개

어떤 부피 $S\backslash subset\backslash mathbb\; R^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\backslash phi$가 거리에 반비례한다고 하자.

:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash int\_S\backslash frac\{\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$

그렇다면 $S$ 안에 임의의 "중심" $\backslash mathbf\; y\_0$을 잡아, $\backslash phi$를 다중극으로 전개할 수 있다. 여기서 각 항은 텐서로 나타낼 수 있다.

:$P\_n(\backslash cos\backslash theta)=\backslash sum\_\{i\_1=1\}^3\backslash sum\_\{i\_2=1\}^3\backslash cdots\backslash sum\_\{i\_n=1\}^3\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash right)\_\{i\_1\}$
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}
\cdots
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}
C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0).

편의상

:$\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert=r$
:$(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)/r=\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}$

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

:$\backslash phi=\backslash frac\{C^\{(0)\}\}r+\backslash frac\{\backslash hat\; r^iC^\{(1)\}\_i\}\{r^2\}+\backslash frac\{\backslash hat\; r^i\backslash hat\; r^jC^\{(1)\}\_\{ij\}\}\{r^2\}+\backslash dotsb$.

여기서 $n$차 텐서 $C^\{(n)\}$을 $\backslash phi$의 $2^n$중극자 모멘트라고 부른다.

3. 다중극 전개의 응용

다중극 전개는 질량 시스템의 중력장, 전하 및 전류 분포의 전기장 및 자기장, 전자기파 전파 등 여러 분야에서 널리 활용된다.

또한, 다중극 전개는 수치 시뮬레이션에서 상호작용하는 입자 시스템의 에너지와 힘을 효율적으로 계산하는 데 사용되는 레슬리 그린가드와 로클린의 고속 다중극 방법의 기초가 된다. 이 방법은 입자를 그룹으로 나누어, 그룹 내 입자는 일반적인 방법으로 상호작용을 계산하고, 그룹 간에는 다중극 모멘트를 이용하여 계산하는 방식이다. 에왈드 합과 효율성이 유사하지만, 입자가 군집화되어 밀도 변동이 큰 경우에는 더 효율적이다.

3.1. 전자기학에서의 응용

다중극 전개는 질량 시스템의 중력장, 전하 및 전류 분포의 전기장 및 자기장, 전자기파의 전파와 관련된 문제에 널리 사용된다. 고전적인 예는 원자핵의 '내부' 다중극과 전자 궤도의 상호 작용 에너지로부터 원자핵의 외부 다중극 모멘트를 계산하는 것이다. 핵의 다중극 모멘트는 핵 내부의 전하 분포, 즉 핵의 모양에 대해 설명한다. 다중극 전개를 첫 번째 비영(non-zero) 항으로 잘라내는 것은 이론적 계산에 종종 유용하다.

3.2. 중력 이론에서의 응용

다중극 전개는 질량 시스템의 중력장, 전하 및 전류 분포의 전기장 및 자기장, 그리고 전자기파의 전파와 관련된 문제에 널리 사용된다. 고전적인 예는 원자핵의 '내부' 다중극과 전자 궤도의 상호 작용 에너지로부터 원자핵의 외부 다중극 모멘트를 계산하는 것이다. 핵의 다중극 모멘트는 핵 내부의 전하 분포, 즉 핵의 모양에 대해 보고한다. 다중극 전개를 첫 번째 비영(non-zero) 항으로 잘라내는 것은 이론적 계산에 종종 유용하다.

다중극 전개는 또한 수치 시뮬레이션에서도 유용하며, 상호 작용하는 입자 시스템에서 에너지와 힘을 효율적으로 계산하기 위한 일반적인 기술인 레슬리 그린가드와 로클린의 고속 다중극 방법의 기초를 형성한다. 기본적인 아이디어는 입자를 그룹으로 분해하는 것이다. 그룹 내의 입자는 정상적으로 상호 작용(즉, 전체 전위에 의해)하는 반면, 입자 그룹 간의 에너지와 힘은 다중극 모멘트로부터 계산된다. 고속 다중극 방법의 효율성은 일반적으로 에왈드 합의 효율성과 유사하지만, 입자가 클러스터화된 경우, 즉 시스템에 큰 밀도 변동이 있는 경우 더 우수하다.

3.3. 수치 시뮬레이션에서의 응용

다중극 전개는 수치 시뮬레이션에서도 유용하게 활용된다. 상호 작용하는 입자 시스템에서 에너지와 힘을 효율적으로 계산하기 위한 일반적인 기술인 레슬리 그린가드와 로클린의 고속 다중극 방법의 기반이 된다. 기본적인 아이디어는 입자를 그룹으로 분해하는 것이다. 그룹 내의 입자는 정상적으로 상호 작용(즉, 전체 전위에 의해)하는 반면, 입자 그룹 간의 에너지와 힘은 다중극 모멘트로부터 계산된다. 고속 다중극 방법의 효율성은 일반적으로 에왈드 합의 효율성과 유사하지만, 입자가 클러스터화된 경우, 즉 시스템에 큰 밀도 변동이 있는 경우 더 우수하다.

4. 전위의 다중극 전개

어떤 부피 $S\backslash subset\backslash mathbb\; R^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\backslash phi$가 거리에 반비례한다고 할 때,
:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash int\_S\backslash frac\{\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$
$S$ 안에 임의의 "중심" $\backslash mathbf\; y\_0$을 잡으면, $\backslash phi$를 다음과 같이 전개할 수 있다.
:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\{\backslash phi\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}+\backslash frac\{\backslash phi\_1\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^2\}+\backslash frac\{\backslash phi\_2\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^3\}+\backslash cdots+\backslash frac\{\backslash phi\_n\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^\{n+1\}\}+\backslash cdots$.
여기서 $\backslash phi\_0$ 항을 홀극(-極, monopole^영어), $\backslash phi\_1$ 항을 쌍극(雙極, dipole^영어), $\backslash phi\_2$ 항을 사중극(四重極, quadrupole^영어), $\backslash phi\_3$ 항을 팔중극(八重極, octupole^영어), 일반적으로 $\backslash phi\_n$ 항을 $2^n$중극이라고 부르며, 이렇게 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 각 항은 르장드르 다항식 $P\_n(x)$의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다.
:$\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}=\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; P\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\backslash right)^n$.
여기서 $\backslash theta$는 $\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0$와 $\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0$ 사이의 각이다.
:$\backslash theta=\backslash arccos\backslash frac\{(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)\backslash cdot(\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\backslash ,\backslash Vert\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}$.
따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.
:$\backslash phi\_n=\backslash int\backslash Vert\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^nP\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$.

일반적으로 $P\_n(\backslash cos\backslash theta)$는 $n$차 텐서로 쓸 수 있다.
:$P\_n(\backslash cos\backslash theta)=\backslash sum\_\{i\_1=1\}^3\backslash sum\_\{i\_2=1\}^3\backslash cdots\backslash sum\_\{i\_n=1\}^3\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash right)\_\{i\_1\}$
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}
\cdots
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}
C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0).

편의상 $\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert=r$, $(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)/r=\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}$로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.
:$\backslash phi=\backslash frac\{C^\{(0)\}\}r+\backslash frac\{\backslash hat\; r^iC^\{(1)\}\_i\}\{r^2\}+\backslash frac\{\backslash hat\; r^i\backslash hat\; r^jC^\{(1)\}\_\{ij\}\}\{r^2\}+\backslash dotsb$.
여기서 $n$차 텐서 $C^\{(n)\}$을 $\backslash phi$의 $2^n$중극자 모멘트라고 부른다.

다중극 전개는 구면 조화 함수를 이용하여 표현할 수도 있으며, 직교 좌표계를 이용한 전개와 구면 좌표계를 이용한 전개 두 가지 방법이 있다.

4.1. 직교 좌표계를 이용한 전개

어떤 부피 $S\backslash subset\backslash mathbb\; R^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\backslash phi$가 거리에 반비례하는 경우, 즉,
:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash int\_S\backslash frac\{\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$
인 경우를 생각해보자. $S$ 안에 임의의 "중심" $\backslash mathbf\; y\_0$을 잡아서 $\backslash phi$를 다음과 같이 전개할 수 있다.
:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\{\backslash phi\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}+\backslash frac\{\backslash phi\_1\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^2\}+\backslash frac\{\backslash phi\_2\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^3\}+\backslash cdots+\backslash frac\{\backslash phi\_n\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^\{n+1\}\}+\backslash cdots$.
이때, $\backslash phi\_0$ 항을 홀극(-極, monopole^영어), $\backslash phi\_1$ 항을 쌍극(雙極, dipole^영어), $\backslash phi\_2$ 항을 사중극(四重極, quadrupole^영어), $\backslash phi\_3$ 항을 팔중극(八重極, octupole^영어), 일반적으로 $\backslash phi\_n$ 항을 $2^n$중극이라고 부르며, 이와 같은 전개를 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 각 항은 르장드르 다항식 $P\_n(x)$의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다.
:$\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}=\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; P\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\backslash right)^n$.
여기서 $\backslash theta$는 $\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0$와 $\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0$ 사이의 각이다.
:$\backslash theta=\backslash arccos\backslash frac\{(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)\backslash cdot(\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\backslash ,\backslash Vert\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}$.
따라서 각 다중극 항은 다음과 같이 표현된다.
:$\backslash phi\_n=\backslash int\backslash Vert\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^nP\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$.
일반적으로 $P\_n(\backslash cos\backslash theta)$는 $n$차 텐서로 나타낼 수 있으며,
:$P\_n(\backslash cos\backslash theta)=\backslash sum\_\{i\_1=1\}^3\backslash sum\_\{i\_2=1\}^3\backslash cdots\backslash sum\_\{i\_n=1\}^3\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash right)\_\{i\_1\}$
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}
\cdots
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}
C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0).
편의상 $\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert=r$, $(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)/r=\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}$로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같이 간략하게 표현된다.
:$\backslash phi=\backslash frac\{C^\{(0)\}\}r+\backslash frac\{\backslash hat\; r^iC^\{(1)\}\_i\}\{r^2\}+\backslash frac\{\backslash hat\; r^i\backslash hat\; r^jC^\{(1)\}\_\{ij\}\}\{r^2\}+\backslash dotsb$.
여기서 $n$차 텐서 $C^\{(n)\}$을 $\backslash phi$의 $2^n$중극자 모멘트라고 부른다.

$N$개의 점전하 $q\_i$로 구성된 이산 전하 분포를 위치 벡터 $\backslash mathbf\{r\}\_i$로 고려해보자. 모든 $i$에 대해 가 되도록 전하가 원점을 중심으로 모여 있다고 가정하고, 전하 분포 외부의 점 $\backslash mathbf\{R\}$에서 전위 $V(\backslash mathbf\{R\})$를 $1/R$의 거듭제곱으로 전개할 수 있다. 이 전개는 직교 좌표 $x$, $y$, $z$의 테일러 급수를 이용하는 방법과, 구면 좌표계에 의존하는 구면 조화 함수를 이용하는 방법이 있다.

직교 좌표 접근 방식은 르장드르 함수, 구면 조화 함수 등에 대한 사전 지식이 필요하지 않다는 장점이 있지만, 유도 과정이 번거롭고 일반적인 항에 대한 닫힌 표현을 제공하기 어렵다.

$v(\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{R\})$의 테일러 전개는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
v(\mathbf{r}- \mathbf{R})
&=v(\mathbf{R}) - \sum_{\alpha=x,y,z} r_\alpha v_\alpha(\mathbf{R}) +\frac{1}{2} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} r_\alpha r_\beta v_{\alpha\beta}(\mathbf{R})
- \cdots + \cdots
\end{align}

여기서 테일러 계수는 다음과 같다.

:$v\_\backslash alpha(\backslash mathbf\{R\})\; \backslash equiv\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; v(\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{R\})\; \}\{\backslash partial\; r\_\backslash alpha\}\backslash right)\_\{\backslash mathbf\{r\}\; =\; \backslash mathbf\; 0\}\; \backslash quad\backslash text\{and\}\; \backslash quad$
v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) \equiv\left( \frac{\partial^2 v(\mathbf{r}-\mathbf{R}) }{\partial r_{\alpha}\partial r_{\beta}}\right)_{\mathbf{r}= \mathbf0} .

만약 $v(\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{R\})$이 라플라스 방정식을 만족하면,
:$\backslash left(\backslash nabla^2\; v(\backslash mathbf\{r\}-\; \backslash mathbf\{R\})\backslash right)\_\{\backslash mathbf\{r\}=\backslash mathbf0\}\; =\; \backslash sum\_\{\backslash alpha=x,y,z\}\; v\_\{\backslash alpha\backslash alpha\}(\backslash mathbf\{R\})\; =\; 0,$
을 얻고, 전개는 무자취 2차 텐서의 성분으로 다시 쓸 수 있다.

:$\backslash sum\_\{\backslash alpha=x,y,z\}\backslash sum\_\{\backslash beta=x,y,z\}\; r\_\backslash alpha\; r\_\backslash beta\; v\_\{\backslash alpha\backslash beta\}(\backslash mathbf\{R\})$
= \frac{1}{3} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} \left(3r_\alpha r_\beta - \delta_{\alpha\beta} r^2\right) v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) ,

여기서 $\backslash delta\_\{\backslash alpha\backslash beta\}$는 크로네커 델타이고 $r^2\; \backslash equiv\; |\backslash mathbf\{r\}|^2$이다.

$v(\backslash mathbf\{r\}-\; \backslash mathbf\{R\})\; \backslash equiv\; \backslash frac\{1\}$

7. 다중극 모멘트의 종류 및 예시

다중극 모멘트에는 여러 종류가 있으며, 이는 여러 종류의 전위가 있고, 좌표계 및 전하 분포의 대칭성에 따라 전위를 급수 전개로 근사하는 방법이 다양하기 때문이다.

* 전위의 축 다중극 모멘트
* 전위의 구면 다중극 모멘트
* 전위의 원통 다중극 모멘트

전위의 예로는 점 전하의 전기 전위, 자기 전위 및 중력 전위 등이 있다. 전위의 예로는 무한 선전하의 전기 전위가 있다.

7.1. 축 다중극 모멘트

어떤 부피 $S\backslash subset\backslash mathbb\; R^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\backslash phi$가 거리에 반비례한다고 하자.

:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash int\_S\backslash frac\{\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$

그렇다면 $S$ 안에 임의의 "중심" $\backslash mathbf\; y\_0$을 잡아, $\backslash phi$를 다음과 같이 전개할 수 있다.

:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\{\backslash phi\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}+\backslash frac\{\backslash phi\_1\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^2\}+\backslash frac\{\backslash phi\_2\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^3\}+\backslash cdots+\backslash frac\{\backslash phi\_n\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^\{n+1\}\}+\backslash cdots$

여기서 $\backslash phi\_0$ 항을 홀극(-極, monopole^영어), $\backslash phi\_1$ 항을 쌍극(雙極, dipole^영어), $\backslash phi\_2$ 항을 사중극(四重極, quadrupole^영어), $\backslash phi\_3$ 항을 팔중극(八重極, octupole^영어), 일반적으로 $\backslash phi\_n$ 항을 $2^n$중극이라고 부른다.

거리의 역수는 르장드르 다항식 $P\_n(x)$의 생성 함수이다.

:$\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}=\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; P\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\backslash right)^n$

여기서

:$\backslash theta=\backslash arccos\backslash frac\{(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)\backslash cdot(\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\backslash ,\backslash Vert\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}$

는 $\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0$와 $\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0$ 사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.

:$\backslash phi\_n=\backslash int\backslash Vert\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^nP\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$

일반적으로 $P\_n(\backslash cos\backslash theta)$는 다음과 같이 $n$차 텐서로 쓸 수 있다.

:$P\_n(\backslash cos\backslash theta)=\backslash sum\_\{i\_1=1\}^3\backslash sum\_\{i\_2=1\}^3\backslash cdots\backslash sum\_\{i\_n=1\}^3\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash right)\_\{i\_1\}$
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}
\cdots
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}
C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)

즉, 편의상

:$\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert=r$
:$(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)/r=\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}$

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

:$\backslash phi=\backslash frac\{C^\{(0)\}\}r+\backslash frac\{\backslash hat\; r^iC^\{(1)\}\_i\}\{r^2\}+\backslash frac\{\backslash hat\; r^i\backslash hat\; r^jC^\{(1)\}\_\{ij\}\}\{r^2\}+\backslash dotsb$

여기서 $n$차 텐서 $C^\{(n)\}$을 $\backslash phi$의 $2^n$중극자 모멘트라고 부른다.

7.2. 구면 다중극 모멘트

어떤 부피 $S\backslash subset\backslash mathbb\; R^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\backslash phi$가 거리의 역수에 비례한다고 가정하자.

:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash int\_S\backslash frac\{\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$

이때, $S$ 안에 임의의 "중심" $\backslash mathbf\; y\_0$를 잡아 $\backslash phi$를 다중극 전개하면 다음과 같다.

:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\{\backslash phi\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}+\backslash frac\{\backslash phi\_1\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^2\}+\backslash frac\{\backslash phi\_2\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^3\}+\backslash cdots+\backslash frac\{\backslash phi\_n\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^\{n+1\}\}+\backslash cdots$

여기서 $\backslash phi\_0$ 항은 홀극(monopole), $\backslash phi\_1$ 항은 쌍극(dipole), $\backslash phi\_2$ 항은 사중극(quadrupole), $\backslash phi\_3$ 항은 팔중극(octupole)이며, 일반적으로 $\backslash phi\_n$ 항을 $2^n$중극이라고 부른다.

다중극 전개의 각 항은 르장드르 다항식 $P\_n(x)$의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다.

:$\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert\}=\backslash frac1\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; P\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\backslash right)^n$

여기서 $\backslash theta$는 $\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0$와 $\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0$ 사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash phi\_n=\backslash int\backslash Vert\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert^nP\_n(\backslash cos\backslash theta)\backslash rho(\backslash mathbf\; y)\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$

일반적으로 $P\_n(\backslash cos\backslash theta)$는 $n$차 텐서로 표현 가능하다.

:$P\_n(\backslash cos\backslash theta)=\backslash sum\_\{i\_1=1\}^3\backslash sum\_\{i\_2=1\}^3\backslash cdots\backslash sum\_\{i\_n=1\}^3\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\}\{\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert\}\backslash right)\_\{i\_1\}$
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}
\cdots
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}
C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)

편의상 $\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0\backslash Vert=r$, $(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_0)/r=\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}$로 표기하면, 다중극 전개는 다음과 같다.

:$\backslash phi=\backslash frac\{C^\{(0)\}\}r+\backslash frac\{\backslash hat\; r^iC^\{(1)\}\_i\}\{r^2\}+\backslash frac\{\backslash hat\; r^i\backslash hat\; r^jC^\{(1)\}\_\{ij\}\}\{r^2\}+\backslash dotsb$

여기서 $n$차 텐서 $C^\{(n)\}$을 $\backslash phi$의 $2^n$중극자 모멘트라고 부른다.

이 급수는 구면 조화 함수의 합으로 표현 가능하다. 함수 $f(\backslash theta,\backslash varphi)$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$f(\backslash theta,\backslash varphi)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\backslash ,\; \backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\backslash ,\; C^m\_\backslash ell\backslash ,\; Y^m\_\backslash ell(\backslash theta,\backslash varphi)$$

여기서 $Y^m\_\backslash ell(\backslash theta,\backslash varphi)$는 표준 구면 조화 함수이고, $C^m\_\backslash ell$는 상수 계수이다. $C^0\_0$ 항은 단극자, $C^\{-1\}\_1,C^0\_1,C^1\_1$는 쌍극자를 나타낸다.

또는, 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$$f(\backslash theta,\backslash varphi)\; =\; C\; +\; C\_i\; n^i\; +\; C\_\{ij\}n^i\; n^j\; +\; C\_\{ijk\}n^i\; n^j\; n^k\; +\; C\_\{ijk\backslash ell\}n^i\; n^j\; n^k\; n^\backslash ell\; +\; \backslash cdots$$

여기서 $n^i$는 $\backslash theta$와 $\backslash varphi$ 각도로 주어진 방향의 단위 벡터의 구성 요소이며, 지수는 암시적으로 합산된다. $C$ 항은 단극자이고, $C\_i$는 쌍극자를 나타내는 세 개의 숫자 집합이다.

다중극 전개로 표현되는 함수가 실수인 경우, 구면 조화 함수 전개에서는 다음이 성립해야 한다.

:$$C\_\backslash ell^\{-m\}\; =\; (-1)^m\; C^\{m\backslash ast\}\_\backslash ell\; \backslash ,\; .$$

다중 벡터 전개에서는 각 계수가 실수여야 한다.

:$$C\; =\; C^\backslash ast;\backslash \; C\_i\; =\; C\_i^\backslash ast;\backslash \; C\_\{ij\}\; =\; C\_\{ij\}^\backslash ast;\backslash \; C\_\{ijk\}\; =\; C\_\{ijk\}^\backslash ast;\backslash \; \backslash ldots$$

스칼라 함수의 전개는 다중극 전개의 가장 일반적인 응용 분야이지만, 임의의 순위의 텐서를 설명하도록 일반화할 수도 있다.

좌표 원점에서 멀리 떨어진 3차원 함수를 설명하기 위해, 다중극 전개의 계수는 원점까지의 거리 $r$의 함수로, 가장 자주 $r$의 거듭제곱의 로랑 급수로 표현할 수 있다. 예를 들어, 원점 근처의 작은 영역에 있는 소스에서 나오는 전자기 포텐셜 $V$는 다음과 같이 표현 가능하다.

:$$V(r,\backslash theta,\backslash varphi)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\backslash ,\; \backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; C^m\_\backslash ell(r)\backslash ,\; Y^m\_\backslash ell(\backslash theta,\backslash varphi)=\; \backslash sum\_\{j=1\}^\backslash infty\backslash ,\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\backslash ,\; \backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; \backslash frac\{D^m\_\{\backslash ell,j\}\}\{r^j\}\backslash ,\; Y^m\_\backslash ell(\backslash theta,\backslash varphi)\; .$$

7.3. 원통 다중극 모멘트

주어진 원본 소스에는 원통 다중극 모멘트에 대한 직접적인 정의나 설명이 없습니다. 대신, 일반적인 다중극 전개에 대한 내용만 포함되어 있습니다. 따라서 주어진 `summary`에 해당하는 내용, 즉 "ln R 전위에 대한 원통 다중극 모멘트"를 설명하는 내용을 원본 소스에서 직접적으로 찾을 수 없습니다.

제공된 소스에는 거리의 역수에 대한 다중극 전개만 나와있고, ln R 전개는 없습니다. 따라서 이전 결과물은 주어진 소스를 기반으로 작성되었다고 보기 어렵습니다.

결론적으로, 주어진 원본 소스만으로는 '원통 다중극 모멘트' 섹션을 작성할 수 없습니다.

8. 일반적인 수학적 성질

일반적으로 다중극 급수는 구면 조화 함수의 합으로 나타낼 수 있다. 함수 $f(\backslash theta,\backslash varphi)$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$f(\backslash theta,\backslash varphi)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\backslash ,\; \backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\backslash ,\; C^m\_\backslash ell\backslash ,\; Y^m\_\backslash ell(\backslash theta,\backslash varphi)$$

여기서 $Y^m\_\backslash ell(\backslash theta,\backslash varphi)$는 표준 구면 조화 함수이고, $C^m\_\backslash ell$는 함수에 따라 달라지는 상수 계수이다. $C^0\_0$ 항은 단극자를 나타내고, $C^\{-1\}\_1,C^0\_1,C^1\_1$는 쌍극자를 나타낸다.

다른 표현으로는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:$$f(\backslash theta,\backslash varphi)\; =\; C\; +\; C\_i\; n^i\; +\; C\_\{ij\}n^i\; n^j\; +\; C\_\{ijk\}n^i\; n^j\; n^k\; +\; C\_\{ijk\backslash ell\}n^i\; n^j\; n^k\; n^\backslash ell\; +\; \backslash cdots$$

여기서 $n^i$는 $\backslash theta$와 $\backslash varphi$ 각도로 주어진 방향의 단위 벡터의 구성 요소를 나타내며, 지수는 암시적으로 합산된다. $C$ 항은 단극자이고, $C\_i$는 쌍극자를 나타내는 세 개의 숫자 집합이다.

위의 전개에서 계수는 실수 또는 복소수일 수 있다. 다중극 전개로 표현되는 함수가 실수인 경우, 구면 조화 함수 전개에서는 다음이 성립해야 한다.

:$$C\_\backslash ell^\{-m\}\; =\; (-1)^m\; C^\{m\backslash ast\}\_\backslash ell\; \backslash ,\; .$$

다중 벡터 전개에서는 각 계수가 실수여야 한다.

:$$C\; =\; C^\backslash ast;\backslash \; C\_i\; =\; C\_i^\backslash ast;\backslash \; C\_\{ij\}\; =\; C\_\{ij\}^\backslash ast;\backslash \; C\_\{ijk\}\; =\; C\_\{ijk\}^\backslash ast;\backslash \; \backslash ldots$$

다중극 모멘트는 직교 기저를 형성하며, 이는 서로 무한히 가까워지는 점 전하에 대한 장의 응답을 기반으로 하는 함수의 분해에 사용된다. 이들은 다양한 기하학적 형태로 배열되거나, 분포 이론의 의미에서 방향 미분으로 생각할 수 있다.

다중극 전개는 물리 법칙의 기본 회전 대칭성과 관련된 미분 방정식과 관련이 있다. 회전 대칭군의 기약 표현을 사용하여 확장할 수 있으며, 이는 구면 조화 함수 및 관련 직교 함수 집합으로 이어진다. 변수 분리 기법을 사용하여 방사형 종속성에 대한 해당 해를 추출한다.

실제로, 많은 필드는 유한한 수의 다중극 모멘트로 잘 근사될 수 있다. 일반적인 적용 분야는 국소화된 전하 분포의 장을 단극자 및 쌍극자 항으로 근사하는 것이다.