다중극 전개

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1. 개요

다중극 전개는 전하 분포나 질량 분포와 같이 공간에 분포된 물리량을, 특정 중심점으로부터의 거리에 대한 급수 전개로 나타내는 방법이다. 이는 퍼텐셜을 홀극, 쌍극자, 사중극자 등 다양한 다중극 항의 합으로 표현하며, 르장드르 다항식이나 구면 조화 함수를 사용하여 계산할 수 있다. 다중극 전개는 전자기학, 중력 이론, 수치 시뮬레이션 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 원자핵의 다중극 모멘트 계산, 고속 다중극 방법 개발 등에 기여한다. 또한 분자 간 상호작용 에너지 계산이나 분자 다중극 모멘트 분석에도 사용된다.

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다중극 전개

2. 정의

어떤 부피 $S\subset\mathbb R^3$ 가 생성하는 퍼텐셜 $\phi$ 가 거리에 반비례한다고 할 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y$

여기서 $S$ 안에 임의의 "중심" $\mathbf y_0$ 을 잡으면, $\phi$ 는 다음과 같이 전개할 수 있다.

: $\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots$ .

이때, $\phi_0$ 항은 '''홀극'''(-極, monopole^영어), $\phi_1$ 항은 '''쌍극'''(雙極, dipole^영어), $\phi_2$ 항은 '''사중극'''(四重極, quadrupole^영어), $\phi_3$ 항은 '''팔중극'''(八重極, octupole^영어)이라 하고, 일반적으로 $\phi_n$ 항을 $2^n$ 중극이라고 부른다. 이와 같이 전개하는 것을 '''다중극 전개'''라고 한다.

다중극 전개의 항은 르장드르 다항식, 구면 조화 함수, 텐서 등을 이용하여 계산할 수 있다.^[5]^[6]

2. 1. 르장드르 다항식을 이용한 전개

어떤 부피

S\subset\mathbb R^3

가 생성하는 퍼텐셜

\phi

가 거리에 반비례한다고 가정하면, 다음과 같다.

:

\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y

이 경우,

S

안에 임의의 "중심"

\mathbf y_0

을 잡아,

\phi

를 다음과 같이 전개할 수 있다.

:

\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots

.

여기서

\phi_0

항을 '''홀극'''(monopole),

\phi_1

항을 '''쌍극'''(dipole),

\phi_2

항을 '''사중극'''(quadrupole),

\phi_3

항을 '''팔중극'''(octupole), 일반적으로

\phi_n

항을

2^n

중극이라고 부르며, 이렇게 전개하는 것을 '''다중극 전개'''라고 한다.

다중극 전개의 각 항은 르장드르 다항식

P_n(x)

의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}=\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{\mathbf y-\mathbf y_0}{\mathbf x-\mathbf y_0}\right)^n

.

여기서

:

\theta=\arccos\frac{(\mathbf x-\mathbf y_0)\cdot(\mathbf y-\mathbf y_0)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert\,\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert}

는

\mathbf x-\mathbf y_0

와

\mathbf y-\mathbf y_0

사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같이 주어진다.

:

\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y

.

일반적으로

P_n(\cos\theta)

는

n

차 텐서로 표현할 수 있다.

:

P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1}\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}\cdots\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)

.

편의상

:

\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r

:

(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같이 표현된다.

:

\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb

.

여기서

n

차 텐서

C^{(n)}

을

\phi

의 '''

2^n

중극자 모멘트'''라고 부른다.

2. 2. 구면 조화 함수를 이용한 전개

어떤 부피

S\subset\mathbb R^3

가 생성하는 퍼텐셜

\phi

가 거리에 반비례한다고 할 때, 다중극 전개를 구면 조화 함수를 이용하여 표현할 수 있다.

함수

f(\theta,\varphi)

는 다음과 같이 구면 조화 함수의 합으로 나타낼 수 있다.

f(\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell\, C^m_\ell\, Y^m_\ell(\theta,\varphi)

여기서

Y^m_\ell(\theta,\varphi)

는 표준 구면 조화 함수이고,

C^m_\ell

는 함수에 따라 달라지는 상수 계수이다.

C^0_0

항은 홀극(단극)을,

C^{-1}_1,C^0_1,C^1_1

는 쌍극자를 나타낸다.

다른 표현으로는 다음과 같이 쓸 수도 있다.^[5]

f(\theta,\varphi) = C + C_i n^i + C_{ij}n^i n^j + C_{ijk}n^i n^j n^k + C_{ijk\ell}n^i n^j n^k n^\ell + \cdots

여기서

n^i

는

\theta

와

\varphi

각도로 주어진 방향의 단위 벡터의 구성 요소를 나타내며, 지수는 암시적으로 합산된다.

C

항은 홀극(단극)이고,

C_i

는 쌍극자를 나타내는 세 개의 숫자 집합이다.

위의 전개에서 계수는 실수 또는 복소수일 수 있다. 다중극 전개로 표현되는 함수가 실수인 경우, 구면 조화 함수 전개에서는 다음이 성립해야 한다.

C_\ell^{-m} = (-1)^m C^{m\ast}_\ell \, .

다중 벡터 전개에서는 각 계수가 실수여야 한다.

C = C^\ast;\ C_i = C_i^\ast;\ C_{ij} = C_{ij}^\ast;\ C_{ijk} = C_{ijk}^\ast;\ \ldots

스칼라 함수의 전개는 다중극 전개의 가장 일반적인 응용 분야이지만, 임의의 순위의 텐서를 설명하도록 일반화할 수도 있다.^[6]

2. 3. 텐서를 이용한 전개

어떤 부피

S\subset\mathbb R^3

가 생성하는 퍼텐셜

\phi

가 거리에 반비례한다고 하자.

:

\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y

그렇다면

S

안에 임의의 "중심"

\mathbf y_0

을 잡아,

\phi

를 다중극으로 전개할 수 있다. 여기서 각 항은 텐서로 나타낼 수 있다.

:

P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1}\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}\cdots\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)

.

편의상

:

\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r

:

(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

:

\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb

.

여기서

n

차 텐서

C^{(n)}

을

\phi

의 '''

2^n

중극자 모멘트'''라고 부른다.

3. 다중극 전개의 응용

다중극 전개는 질량 시스템의 중력장, 전하 및 전류 분포의 전기장 및 자기장, 전자기파 전파 등 여러 분야에서 널리 활용된다.

또한, 다중극 전개는 수치 시뮬레이션에서 상호작용하는 입자 시스템의 에너지와 힘을 효율적으로 계산하는 데 사용되는 레슬리 그린가드와 로클린의 고속 다중극 방법의 기초가 된다. 이 방법은 입자를 그룹으로 나누어, 그룹 내 입자는 일반적인 방법으로 상호작용을 계산하고, 그룹 간에는 다중극 모멘트를 이용하여 계산하는 방식이다. 에왈드 합과 효율성이 유사하지만, 입자가 군집화되어 밀도 변동이 큰 경우에는 더 효율적이다.^[1]

3. 1. 전자기학에서의 응용

다중극 전개는 질량 시스템의 중력장, 전하 및 전류 분포의 전기장 및 자기장, 전자기파의 전파와 관련된 문제에 널리 사용된다. 고전적인 예는 원자핵의 '내부' 다중극과 전자 궤도의 상호 작용 에너지로부터 원자핵의 ''외부'' 다중극 모멘트를 계산하는 것이다. 핵의 다중극 모멘트는 핵 내부의 전하 분포, 즉 핵의 모양에 대해 설명한다. 다중극 전개를 첫 번째 비영(non-zero) 항으로 잘라내는 것은 이론적 계산에 종종 유용하다.

3. 2. 중력 이론에서의 응용

다중극 전개는 질량 시스템의 중력장, 전하 및 전류 분포의 전기장 및 자기장, 그리고 전자기파의 전파와 관련된 문제에 널리 사용된다. 고전적인 예는 원자핵의 '내부' 다중극과 전자 궤도의 상호 작용 에너지로부터 원자핵의 ''외부'' 다중극 모멘트를 계산하는 것이다. 핵의 다중극 모멘트는 핵 내부의 전하 분포, 즉 핵의 모양에 대해 보고한다. 다중극 전개를 첫 번째 비영(non-zero) 항으로 잘라내는 것은 이론적 계산에 종종 유용하다.

다중극 전개는 또한 수치 시뮬레이션에서도 유용하며, 상호 작용하는 입자 시스템에서 에너지와 힘을 효율적으로 계산하기 위한 일반적인 기술인 레슬리 그린가드와 로클린의 고속 다중극 방법의 기초를 형성한다. 기본적인 아이디어는 입자를 그룹으로 분해하는 것이다. 그룹 내의 입자는 정상적으로 상호 작용(즉, 전체 전위에 의해)하는 반면, 입자 그룹 간의 에너지와 힘은 다중극 모멘트로부터 계산된다. 고속 다중극 방법의 효율성은 일반적으로 에왈드 합의 효율성과 유사하지만, 입자가 클러스터화된 경우, 즉 시스템에 큰 밀도 변동이 있는 경우 더 우수하다.

3. 3. 수치 시뮬레이션에서의 응용

다중극 전개는 수치 시뮬레이션에서도 유용하게 활용된다. 상호 작용하는 입자 시스템에서 에너지와 힘을 효율적으로 계산하기 위한 일반적인 기술인 레슬리 그린가드와 로클린의 고속 다중극 방법의 기반이 된다.^[1] 기본적인 아이디어는 입자를 그룹으로 분해하는 것이다.^[1] 그룹 내의 입자는 정상적으로 상호 작용(즉, 전체 전위에 의해)하는 반면, 입자 그룹 간의 에너지와 힘은 다중극 모멘트로부터 계산된다.^[1] 고속 다중극 방법의 효율성은 일반적으로 에왈드 합의 효율성과 유사하지만, 입자가 클러스터화된 경우, 즉 시스템에 큰 밀도 변동이 있는 경우 더 우수하다.^[1]

4. 전위의 다중극 전개

어떤 부피 $S\subset\mathbb R^3$ 가 생성하는 퍼텐셜 $\phi$ 가 거리에 반비례한다고 할 때,

: $\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y$

$S$ 안에 임의의 "중심" $\mathbf y_0$ 을 잡으면, $\phi$ 를 다음과 같이 전개할 수 있다.

: $\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots$ .

여기서 $\phi_0$ 항을 '''홀극'''(-極, monopole^영어), $\phi_1$ 항을 '''쌍극'''(雙極, dipole^영어), $\phi_2$ 항을 '''사중극'''(四重極, quadrupole^영어), $\phi_3$ 항을 '''팔중극'''(八重極, octupole^영어), 일반적으로 $\phi_n$ 항을 $2^n$ 중극이라고 부르며, 이렇게 전개하는 것을 '''다중극 전개'''라고 한다.

다중극 전개의 각 항은 르장드르 다항식 $P_n(x)$ 의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다.

: $\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}=\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{\mathbf y-\mathbf y_0}{\mathbf x-\mathbf y_0}\right)^n$ .

여기서 $\theta$ 는 $\mathbf x-\mathbf y_0$ 와 $\mathbf y-\mathbf y_0$ 사이의 각이다.

: $\theta=\arccos\frac{(\mathbf x-\mathbf y_0)\cdot(\mathbf y-\mathbf y_0)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert\,\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert}$ .

따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.

: $\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y$ .

일반적으로 $P_n(\cos\theta)$ 는 $n$ 차 텐서로 쓸 수 있다.

: $P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1}\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}\cdots\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)$ .

편의상 $\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r$ , $(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}$ 로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

: $\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb$ .

여기서 $n$ 차 텐서 $C^{(n)}$ 을 $\phi$ 의 ''' $2^n$ 중극자 모멘트'''라고 부른다.

다중극 전개는 구면 조화 함수를 이용하여 표현할 수도 있으며, 직교 좌표계를 이용한 전개와 구면 좌표계를 이용한 전개 두 가지 방법이 있다.

4. 1. 직교 좌표계를 이용한 전개

어떤 부피

S\subset\mathbb R^3

가 생성하는 퍼텐셜

\phi

가 거리에 반비례하는 경우, 즉,

:

\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y

인 경우를 생각해보자.

S

안에 임의의 "중심"

\mathbf y_0

을 잡아서

\phi

를 다음과 같이 전개할 수 있다.

:

\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots

.

이때,

\phi_0

항을 '''홀극'''(-極, monopole^영어),

\phi_1

항을 '''쌍극'''(雙極, dipole^영어),

\phi_2

항을 '''사중극'''(四重極, quadrupole^영어),

\phi_3

항을 '''팔중극'''(八重極, octupole^영어), 일반적으로

\phi_n

항을

2^n

중극이라고 부르며, 이와 같은 전개를 '''다중극 전개'''라고 한다.

다중극 전개의 각 항은 르장드르 다항식

P_n(x)

의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다.

:

\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}=\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{\mathbf y-\mathbf y_0}{\mathbf x-\mathbf y_0}\right)^n

.

여기서

\theta

는

\mathbf x-\mathbf y_0

와

\mathbf y-\mathbf y_0

사이의 각이다.

:

\theta=\arccos\frac{(\mathbf x-\mathbf y_0)\cdot(\mathbf y-\mathbf y_0)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert\,\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert}

.

따라서 각 다중극 항은 다음과 같이 표현된다.

:

\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y

.

일반적으로

P_n(\cos\theta)

는

n

차 텐서로 나타낼 수 있으며,

:

P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1}\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}\cdots\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)

.

편의상

\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r

,

(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같이 간략하게 표현된다.

:

\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb

.

여기서

n

차 텐서

C^{(n)}

을

\phi

의 '''

2^n

중극자 모멘트'''라고 부른다.

N

개의 점전하

q_i

로 구성된 이산 전하 분포를 위치 벡터

\mathbf{r}_i

로 고려해보자. 모든

i

에 대해

r_i < r_{max}

가 되도록 전하가 원점을 중심으로 모여 있다고 가정하고, 전하 분포 외부의 점

\mathbf{R}

에서 전위

V(\mathbf{R})

를

1/R

의 거듭제곱으로 전개할 수 있다. 이 전개는 직교 좌표

x

,

y

,

z

의 테일러 급수를 이용하는 방법과, 구면 좌표계에 의존하는 구면 조화 함수를 이용하는 방법이 있다.

직교 좌표 접근 방식은 르장드르 함수, 구면 조화 함수 등에 대한 사전 지식이 필요하지 않다는 장점이 있지만, 유도 과정이 번거롭고 일반적인 항에 대한 닫힌 표현을 제공하기 어렵다.

v(\mathbf{r}-\mathbf{R})

의 테일러 전개는 다음과 같다.

:

\begin{align}v(\mathbf{r}- \mathbf{R})&=v(\mathbf{R}) - \sum_{\alpha=x,y,z} r_\alpha v_\alpha(\mathbf{R}) +\frac{1}{2} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} r_\alpha r_\beta v_{\alpha\beta}(\mathbf{R})

\cdots + \cdots

\end{align}

여기서 테일러 계수는 다음과 같다.

:

v_\alpha(\mathbf{R}) \equiv\left( \frac{\partial v(\mathbf{r}-\mathbf{R}) }{\partial r_\alpha}\right)_{\mathbf{r} = \mathbf 0} \quad\text{and} \quadv_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) \equiv\left( \frac{\partial^2 v(\mathbf{r}-\mathbf{R}) }{\partial r_{\alpha}\partial r_{\beta}}\right)_{\mathbf{r}= \mathbf0} .

만약

v(\mathbf{r}-\mathbf{R})

이 라플라스 방정식을 만족하면,

:

\left(\nabla^2 v(\mathbf{r}- \mathbf{R})\right)_{\mathbf{r}=\mathbf0} = \sum_{\alpha=x,y,z} v_{\alpha\alpha}(\mathbf{R}) = 0,

을 얻고, 전개는 무자취 2차 텐서의 성분으로 다시 쓸 수 있다.

:

\sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} r_\alpha r_\beta v_{\alpha\beta}(\mathbf{R})= \frac{1}{3} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} \left(3r_\alpha r_\beta - \delta_{\alpha\beta} r^2\right) v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) ,

여기서

\delta_{\alpha\beta}

는 크로네커 델타이고

r^2 \equiv |\mathbf{r}|^2

이다.

v(\mathbf{r}- \mathbf{R}) \equiv \frac{1}

을 다음과 같이 정의하고,

미분을 통해 다음을 얻는다.

:

v(\mathbf{R}) = \frac{1}{R},\quad v_\alpha(\mathbf{R})= -\frac{R_\alpha}{R^3},\quad \hbox{and}\quad v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) = \frac{3R_\alpha R_\beta- \delta_{\alpha\beta}R^2}{R^5} .

단극자, 쌍극자 및 무자취 사중극자를 다음과 같이 정의하면,

:

q_\mathrm{tot} \equiv \sum_{i=1}^N q_i , \quad P_\alpha \equiv\sum_{i=1}^N q_i r_{i\alpha} , \quad \text{and}\quad Q_{\alpha\beta} \equiv \sum_{i=1}^N q_i (3r_{i\alpha} r_{i\beta} - \delta_{\alpha\beta} r_i^2) ,

총 전위의 다중극 전개의 처음 몇 항을 얻을 수 있다.

:

\begin{align}4\pi\varepsilon_0 V(\mathbf{R}) &\equiv \sum_{i=1}^N q_i v(\mathbf{r}_i-\mathbf{R}) \\&= \frac{q_\mathrm{tot}}{R} + \frac{1}{R^3}\sum_{\alpha=x,y,z} P_\alpha R_\alpha +\frac{1}{2 R^5}\sum_{\alpha,\beta=x,y,z} Q_{\alpha\beta} R_\alpha R_\beta + \cdots\end{align}

이 전개는 실제 고체 조화 함수와 유사하지만, 선형적으로 종속적인 양으로 표현된다는 차이점이 있다.

:

\sum_{\alpha} v_{\alpha\alpha} = 0 \quad \hbox{and} \quad \sum_{\alpha} Q_{\alpha\alpha} = 0 .

만약 전하 분포가 무한히 작은 거리

d

만큼 떨어진 반대 부호의 두 전하로 구성되어 있고,

d/R \gg (d/R)^2

인 경우, 전개에서 지배적인 항은 다음과 같다.

:

V(\mathbf{R}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R^3} (\mathbf{P}\cdot\mathbf{R}) ,

이는 쌍극자 전위장과 같다.

4. 2. 구면 좌표계를 이용한 전개

어떤 부피

S\subset\mathbb R^3

가 생성하는 퍼텐셜

\phi

가 거리의 역수에 비례한다고 할 때,

:

\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y

S

안에 임의의 "중심"

\mathbf y_0

을 잡아,

\phi

를 다중극 전개로 나타낼 수 있다.

다중극 전개의 항은 르장드르 다항식

P_n(x)

의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다.

:

\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}=\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{\mathbf y-\mathbf y_0}{\mathbf x-\mathbf y_0}\right)^n

.

여기서

\theta

는

\mathbf x-\mathbf y_0

와

\mathbf y-\mathbf y_0

사이의 각이다.

각 다중극 항은 다음과 같이 주어진다.

:

\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y

.

일반적으로

P_n(\cos\theta)

는

n

차 텐서로 표현 가능하다.

:

P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1}\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}\cdots\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)

.

이를 통해 다중극 전개는 다음과 같이 표현된다.

:

\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb

.

여기서

n

차 텐서

C^{(n)}

을

\phi

의 '''

2^n

중극자 모멘트'''라고 부른다.

가장 일반적인 전개는 구면 조화 함수의 합으로 작성된다.

:

f(\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell\, C^m_\ell\, Y^m_\ell(\theta,\varphi)

여기서

Y^m_\ell(\theta,\varphi)

는 표준 구면 조화 함수이고,

C^m_\ell

는 상수 계수이다.

전하 분포 외부의 점

\mathbf{R}

에서 전위

V(\mathbf{R})

는 라플라스 전개를 통해 다음과 같이 전개할 수 있다.

:

V(\mathbf{R}) \equiv \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{4\pi \varepsilon_0 |\mathbf{r}_i - \mathbf{R}|}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^{\ell}(-1)^m I^{-m}_\ell(\mathbf{R}) \sum_{i=1}^N q_i R^m_\ell(\mathbf{r}_i),

여기서

I^{-m}_{\ell}(\mathbf{R})

는 불규칙한 솔리드 하모닉스이고,

R^m_{\ell}(\mathbf{r})

는 규칙적인 솔리드 하모닉스이다.

전하 분포의 ''구면 다중극 모멘트''는 다음과 같이 정의된다.

:

Q^m_\ell \equiv \sum_{i=1}^N q_i R^m_\ell(\mathbf{r}_i),\quad\ -\ell \le m \le \ell.

불규칙한 솔리드 하모닉스는 다음과 같이 표현된다.

:

I^m_{\ell}(\mathbf{R}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \frac{Y^m_{\ell}(\hat{R})}{R^{\ell+1}}

따라서 전하 분포 외부의 점

\mathbf{R}

에서 필드

V(\mathbf{R})

의 ''다중극 전개''는 다음과 같다.

:

\begin{align}V(\mathbf{R})& = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell}(-1)^{m} I^{-m}_{\ell}(\mathbf{R}) Q^{m}_{\ell}\\& = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{\ell=0}^{\infty}\left[\frac{4\pi}{2\ell + 1}\right]^{1/2}\;\frac{1}{R^{\ell + 1}}\sum_{m=-\ell}^{\ell}(-1)^{m} Y^{-m}_{\ell}(\hat{R}) Q^{m}_{\ell}, \qquad R > r_{\mathrm{max}}\end{align}

이 전개는 구면 다중극 모멘트가 전위의

1/R

전개에서 계수로 나타난다는 것을 보여준다.

실제 형태의 처음 몇 항을 고려하면,

\ell=0

항은 쿨롱의 법칙과 같다.

:

V_{\ell=0}(\mathbf{R}) =\frac{q_\mathrm{tot}}{4\pi \varepsilon_0 R} \quad\hbox{with}\quad q_\mathrm{tot}\equiv\sum_{i=1}^N q_i.

\ell=1

항은 다음과 같다.

:

V_{\ell=1}(\mathbf{R}) =\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R^3} (R_x P_x +R_y P_y + R_z P_z) = \frac{\mathbf{R} \cdot \mathbf{P} }{4\pi \varepsilon_0 R^3} =\frac{\hat\mathbf{R} \cdot \mathbf{P} }{4\pi \varepsilon_0 R^2}.

여기서,

:

\mathbf{R} = (R_x, R_y, R_z),\quad \mathbf{P} = (P_x, P_y, P_z)\quad\hbox{with}\quad P_\alpha \equiv \sum_{i=1}^N q_i r_{i\alpha}, \quad \alpha=x,y,z.

5. 겹치지 않는 두 전하 분포의 상호작용

두 개의 점전하 집합 와 가 있을 때, 이들 사이의 정전기적 상호작용 에너지는 다중극 전개를 통해 나타낼 수 있다. 는 점 주위에 전하들로, 는 점 주위에 전하들로 구성된다고 가정한다. 이 두 전하 분포가 서로 겹치지 않는 경우, 즉 모든 , 에 대해 조건을 만족할 때, 상호작용 에너지 는 와 사이의 거리 역수의 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다.^[1]

이러한 전개는 의 '''다중극 전개'''로 알려져 있으며, 분자 간 상호작용 에너지를 계산하는 데 유용하게 활용된다.

5. 1. 분자간 상호작용 에너지 계산

두 점전하 집합 A와 B를 생각하자. A에는 전하들이, B에는 전하들이 모여 있다. 예를 들어, 전자(음전하)와 원자핵(양전하)으로 구성된 두 분자를 생각해 볼 수 있다. 이 두 점전하 분포 사이의 정전기적 상호작용 에너지 는 다음과 같다.

U_{AB} = \sum_{i\in A} \sum_{j\in B} \frac{q_i q_j}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}.

이 에너지는 A와 B 사이의 거리의 역수(1/r)를 거듭제곱하여 급수로 전개할 수 있다. 이를 '''다중극 전개'''라고 한다.

다중극 전개를 유도하기 위해, 를 사용한다. 이는 X에서 Y를 가리키는 벡터이다. 다음 식을 고려한다.

\mathbf{R}_{AB}+\mathbf{r}_{Bj}+\mathbf{r}_{ji}+\mathbf{r}_{iA} = 0\quad \iff \quad\mathbf{r}_{ij} = \mathbf{R}_{AB}-\mathbf{r}_{Ai}+\mathbf{r}_{Bj} .

두 분포가 겹치지 않는다고 가정하면, 즉

|\mathbf{R}_{AB}| > |\mathbf{r}_{Bj}-\mathbf{r}_{Ai}| \text{ for all } i,j.

이 조건에서 라플라스 전개를 적용할 수 있다.

\frac{1}

= \frac{1}{|\mathbf{R}_{AB} - (\mathbf{r}_{Ai}- \mathbf{r}_{Bj})| } =\sum_{L=0}^\infty \sum_{M=-L}^L \, (-1)^M I_L^{-M}(\mathbf{R}_{AB})\;R^M_L( \mathbf{r}_{Ai} - \mathbf{r}_{Bj}),

여기서

I^M_L

과

R^M_L

은 각각 불규칙 및 규칙 구면 조화 함수이다. 규칙 구면 조화 함수의 변환을 통해 다음 식을 얻는다.

R^M_L(\mathbf{r}_{Ai}-\mathbf{r}_{Bj}) = \sum_{\ell_A=0}^L (-1)^{L-\ell_A} \binom{2L}{2\ell_A}^{1/2}\times \sum_{m_A=-\ell_A}^{\ell_A} R^{m_A}_{\ell_A}(\mathbf{r}_{Ai})R^{M-m_A}_{L-\ell_A}(\mathbf{r}_{Bj})\;\langle \ell_A, m_A; L-\ell_A, M-m_A\mid L M \rangle,

여기서 괄호 안의 양은 클레브슈-고르단 계수이다. 또한 다음을 사용했다.

R^{m}_{\ell}(-\mathbf{r}) = (-1)^{\ell} R^{m}_{\ell}(\mathbf{r}) .

구면 다중극 의 정의를 사용하여 최종적으로 다음과 같은 다중극 전개 표현을 얻는다.

\begin{align}U_{AB} = {} & \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{\ell_A=0}^\infty \sum_{\ell_B=0}^\infty (-1)^{\ell_B} \binom{2\ell_A+2\ell_B}{2\ell_A}^{1/2} \\[5pt]& \times \sum_{m_A=-\ell_A}^{\ell_A} \sum_{m_B=-\ell_B}^{\ell_B}(-1)^{m_A+m_B} I_{\ell_A+\ell_B}^{-m_A-m_B}(\mathbf{R}_{AB})\;Q^{m_A}_{\ell_A} Q^{m_B}_{\ell_B}\;\langle \ell_A, m_A; \ell_B, m_B\mid \ell_A+\ell_B, m_A+m_B \rangle.\end{align}

이것은 서로 만큼 떨어진 두 겹치지 않는 전하 분포의 상호작용 에너지에 대한 다중극 전개이다.

I_{\ell_A+\ell_B}^{-(m_A+m_B)}(\mathbf{R}_{AB}) \equiv \left[\frac{4\pi}{2\ell_A+2\ell_B+1}\right]^{1/2}\;\frac{Y^{-(m_A+m_B)}_{\ell_A+\ell_B}\left(\widehat{\mathbf{R}}_{AB}\right)}{R^{\ell_A+\ell_B+1}_{AB}},

위 식은 의 거듭제곱으로 표현되며, 은 정규화된 구면 조화 함수이다.

6. 분자 다중극 모멘트

어떤 부피 $S\subset\mathbb R^3$ 가 생성하는 퍼텐셜 $\phi$ 가 거리의 역수에 비례한다고 할 때, 이 퍼텐셜을 다중극 항들의 합으로 전개할 수 있다. $S$ 안에 임의의 "중심" $\mathbf y_0$ 을 잡으면, 퍼텐셜 $\phi$ 는 다음과 같이 전개된다.^[1]

: $\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots$ .

여기서 $\phi_0$ 항은 홀극(-極, monopole^영어), $\phi_1$ 항은 쌍극(雙極, dipole^영어), $\phi_2$ 항은 사중극(四重極, quadrupole^영어), $\phi_3$ 항은 팔중극(八重極, octupole^영어)이라 부르며, 일반적으로 $\phi_n$ 항을 $2^n$ 중극이라고 한다. 이와 같이 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 각 항은 르장드르 다항식의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다. $n$ 차 다중극 항은 다음과 같이 $n$ 차 텐서로 표현할 수 있다.^[1]

: $\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y$ .

여기서 $P_n(\cos\theta)$ 는 $n$ 차 텐서로, $\theta$ 는 $\mathbf x-\mathbf y_0$ 와 $\mathbf y-\mathbf y_0$ 사이의 각이다.

편의상 $\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r$ , $(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}$ 로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb$ .

여기서 $n$ 차 텐서 $C^{(n)}$ 을 $\phi$ 의 ''' $2^n$ 중극자 모멘트'''라고 부른다.

모든 원자와 분자(단, ''S'' 상태 원자 제외)는 0이 아닌 하나 이상의 영구적인 다중극 모멘트를 갖는다.

6. 1. 복소수 및 실수 다중극 연산자

어떤 분자가 전하 ''eZ''_''i''인 ''N''개의 입자(전자 및 핵)로 구성되어 있다고 가정하자. (전자는 ''Z'' 값이 −1이고, 핵은 원자 번호를 갖는다). 입자 ''i''는 구면 극좌표 ''r''_''i'', ''θ''_''i'', φ_''i'' 및 직교 좌표 ''x''_''i'', ''y''_''i'', ''z''_''i''를 갖는다. 이때, 복소수 형태의 정전기 다중극 연산자는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

Q^m_\ell \equiv \sum_{i=1}^N e Z_i \; R^m_{\ell}(\mathbf{r}_i),

여기서

R^m_{\ell}(\mathbf{r}_i)

는 고체 조화 함수로, Racah의 정규화(슈미트의 준정규화라고도 함)를 사용한다.

분자가 총 정규화된 파동 함수 Ψ (전자 및 핵의 좌표에 의존)를 갖는 경우, 분자의

\ell

차 다중극 모멘트는 기댓값으로 주어진다.^[1]

:

M^m_\ell \equiv \langle \Psi \mid Q^m_\ell \mid \Psi \rangle.

분자가 특정 점군 대칭을 갖는 경우, 이는 파동 함수에 반영된다. Ψ는 기약 표현 λ에 따라 변환된다. (''Ψ는 대칭 유형 λ를 갖습니다''). 이는 다중극 연산자의 기댓값에 대해 선택 규칙이 적용된다는 결과로 이어지며, 즉, 대칭 때문에 기댓값이 사라질 수 있다. 예를 들어 반전 중심을 가진 분자는 쌍극자를 갖지 않는다(

Q^m_1

의 기댓값은

m

= −1, 0, 1에 대해 사라진다).^[1] 대칭이 없는 분자의 경우, 선택 규칙이 적용되지 않으며, 그러한 분자는 임의의 차수의 0이 아닌 다중극(쌍극자, 사중극자, 팔중극자, 십육중극자 등)을 동시에 가질 수 있다.^[1]

( Condon-Shortley 위상을 갖는) 정규 고체 조화의 가장 낮은 명시적 형태는 다음과 같다.^[1]

:

M^0_0 = \sum_{i=1}^N e Z_i,

(분자의 총 전하)

복소수 쌍극자 성분은 다음과 같다.^[1]

:

M^1_1 = - \tfrac{1}{\sqrt 2} \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | x_i+iy_i | \Psi \rangle

:

M^{-1}_{1} = \tfrac{1}{\sqrt 2} \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | x_i - iy_i | \Psi \rangle

:

M^0_1 = \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | z_i | \Psi \rangle.

복소수 다중극 연산자는 단순한 선형 결합을 통해 실수 연산자로 변환할 수 있다. 실수 다중극 연산자는 코사인 유형

C^m_\ell

또는 사인 유형

S^m_\ell

이다. 가장 낮은 몇 가지는 다음과 같다.^[1]

:

\begin{align}C^0_1 &= \sum_{i=1}^N eZ_i \; z_i \\C^1_1 &= \sum_{i=1}^N eZ_i \;x_i \\S^1_1 &= \sum_{i=1}^N eZ_i \;y_i \\C^0_2 &= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N eZ_i\; (3z_i^2-r_i^2)\\C^1_2 &= \sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; z_i x_i \\C^2_2 &= \frac{1}{3}\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; (x_i^2-y_i^2) \\S^1_2 &= \sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; z_i y_i \\S^2_2 &= \frac{2}{3}\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; x_iy_i\end{align}

6. 2. 다양한 표기법 및 정의 비교

문헌에 따라 다중극 모멘트의 정의가 다를 수 있다. 이 문서에서는 잭슨(Jackson)의 고전 전자기학 교과서에 나오는 정의를 따르지만, 정규화 방식은 다르다.^[7] 이 정의는 파노(Fano)와 라카(Racah),^[8] 브링크(Brink)와 새칠러(Satchler)의 정의와 일치한다.^[9]

(복소수) 정전기 다중극 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

Q^m_\ell \equiv \sum_{i=1}^N e Z_i \; R^m_{\ell}(\mathbf{r}_i)

여기서

R^m_{\ell}(\mathbf{r}_i)

는 라카의 정규화를 사용한 고체 조화 함수이다. ''N''개의 입자(전자 및 핵)로 구성된 분자에서 전하는 ''eZ''_''i''이며, 입자 ''i''는 구면 극좌표 ''r''_''i'', ''θ''_''i'', φ_''i'' 및 직교 좌표 ''x''_''i'', ''y''_''i'', ''z''_''i''를 갖는다. (전자는 ''Z'' 값이 −1인 반면, 핵의 경우 원자 번호이다).

분자의

\ell

차 다중극 모멘트는 연산자

Q^m_\ell

의 기댓값으로 주어진다.

:

M^m_\ell \equiv \langle \Psi \mid Q^m_\ell \mid \Psi \rangle

여기서 Ψ는 분자의 총 정규화된 파동 함수이다.

몇 가지 낮은 차수의 다중극 모멘트는 다음과 같다.

$M^0_0 = \sum_{i=1}^N e Z_i$ (분자의 총 전하)
(복소수) 쌍극자 성분
$M^1_1 = - \tfrac{1}{\sqrt 2} \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | x_i+iy_i | \Psi \rangle$
$M^{-1}_{1} = \tfrac{1}{\sqrt 2} \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | x_i - iy_i | \Psi \rangle$
$M^0_1 = \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | z_i | \Psi \rangle$

복소수 다중극 연산자를 실수 연산자로 변환하면, 코사인 유형(

C^m_\ell

) 또는 사인 유형(

S^m_\ell

)의 실수 다중극 연산자를 얻을 수 있다. 낮은 몇 가지 실수 다중극 연산자는 다음과 같다.

연산자	표현
$C^0_1$	$\sum_{i=1}^N eZ_i \; z_i$
$C^1_1$	$\sum_{i=1}^N eZ_i \;x_i$
$S^1_1$	$\sum_{i=1}^N eZ_i \;y_i$
$C^0_2$	$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N eZ_i\; (3z_i^2-r_i^2)$
$C^1_2$	$\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; z_i x_i$
$C^2_2$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; (x_i^2-y_i^2)$
$S^1_2$	$\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; z_i y_i$
$S^2_2$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; x_iy_i$

7. 다중극 모멘트의 종류 및 예시

다중극 모멘트에는 여러 종류가 있으며, 이는 여러 종류의 전위가 있고, 좌표계 및 전하 분포의 대칭성에 따라 전위를 급수 전개로 근사하는 방법이 다양하기 때문이다.

전위의 축 다중극 모멘트
전위의 구면 다중극 모멘트
전위의 원통 다중극 모멘트

전위의 예로는 점 전하의 전기 전위, 자기 전위 및 중력 전위 등이 있다. 전위의 예로는 무한 선전하의 전기 전위가 있다.

7. 1. 축 다중극 모멘트

어떤 부피

S\subset\mathbb R^3

가 생성하는 퍼텐셜

\phi

가 거리에 반비례한다고 하자.

:

\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y

그렇다면

S

안에 임의의 "중심"

\mathbf y_0

을 잡아,

\phi

를 다음과 같이 전개할 수 있다.

:

\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots

여기서

\phi_0

항을 '''홀극'''(-極, monopole^영어),

\phi_1

항을 '''쌍극'''(雙極, dipole^영어),

\phi_2

항을 '''사중극'''(四重極, quadrupole^영어),

\phi_3

항을 '''팔중극'''(八重極, octupole^영어), 일반적으로

\phi_n

항을

2^n

중극이라고 부른다.

거리의 역수는 르장드르 다항식

P_n(x)

의 생성 함수이다.

:

\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}=\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{\mathbf y-\mathbf y_0}{\mathbf x-\mathbf y_0}\right)^n

여기서

:

\theta=\arccos\frac{(\mathbf x-\mathbf y_0)\cdot(\mathbf y-\mathbf y_0)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert\,\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert}

는

\mathbf x-\mathbf y_0

와

\mathbf y-\mathbf y_0

사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.

:

\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y

일반적으로

P_n(\cos\theta)

는 다음과 같이

n

차 텐서로 쓸 수 있다.

:

P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1}\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}\cdots\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)

즉, 편의상

:

\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r

:

(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

:

\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb

여기서

n

차 텐서

C^{(n)}

을

\phi

의 '''

2^n

중극자 모멘트'''라고 부른다.

7. 2. 구면 다중극 모멘트

어떤 부피

S\subset\mathbb R^3

가 생성하는 퍼텐셜

\phi

가 거리의 역수에 비례한다고 가정하자.

:

\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y

이때,

S

안에 임의의 "중심"

\mathbf y_0

를 잡아

\phi

를 다중극 전개하면 다음과 같다.

:

\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots

여기서

\phi_0

항은 '''홀극'''(monopole),

\phi_1

항은 '''쌍극'''(dipole),

\phi_2

항은 '''사중극'''(quadrupole),

\phi_3

항은 '''팔중극'''(octupole)이며, 일반적으로

\phi_n

항을

2^n

중극이라고 부른다.

다중극 전개의 각 항은 르장드르 다항식

P_n(x)

의 생성 함수를 이용하여 계산할 수 있다.

:

\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}=\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{\mathbf y-\mathbf y_0}{\mathbf x-\mathbf y_0}\right)^n

여기서

\theta

는

\mathbf x-\mathbf y_0

와

\mathbf y-\mathbf y_0

사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같이 주어진다.

:

\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y

일반적으로

P_n(\cos\theta)

는

n

차 텐서로 표현 가능하다.

:

P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1}\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}\cdots\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)

편의상

\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r

,

(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}

로 표기하면, 다중극 전개는 다음과 같다.

:

\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb

여기서

n

차 텐서

C^{(n)}

을

\phi

의 '''

2^n

중극자 모멘트'''라고 부른다.

이 급수는 구면 조화 함수의 합으로 표현 가능하다. 함수

f(\theta,\varphi)

는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

f(\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell\, C^m_\ell\, Y^m_\ell(\theta,\varphi)

여기서

Y^m_\ell(\theta,\varphi)

는 표준 구면 조화 함수이고,

C^m_\ell

는 상수 계수이다.

C^0_0

항은 단극자,

C^{-1}_1,C^0_1,C^1_1

는 쌍극자를 나타낸다.

또는, 다음과 같이 표현할 수도 있다.^[5]

:

f(\theta,\varphi) = C + C_i n^i + C_{ij}n^i n^j + C_{ijk}n^i n^j n^k + C_{ijk\ell}n^i n^j n^k n^\ell + \cdots

여기서

n^i

는

\theta

와

\varphi

각도로 주어진 방향의 단위 벡터의 구성 요소이며, 지수는 암시적으로 합산된다.

C

항은 단극자이고,

C_i

는 쌍극자를 나타내는 세 개의 숫자 집합이다.

다중극 전개로 표현되는 함수가 실수인 경우, 구면 조화 함수 전개에서는 다음이 성립해야 한다.

:

C_\ell^{-m} = (-1)^m C^{m\ast}_\ell \, .

다중 벡터 전개에서는 각 계수가 실수여야 한다.

:

C = C^\ast;\ C_i = C_i^\ast;\ C_{ij} = C_{ij}^\ast;\ C_{ijk} = C_{ijk}^\ast;\ \ldots

스칼라 함수의 전개는 다중극 전개의 가장 일반적인 응용 분야이지만, 임의의 순위의 텐서를 설명하도록 일반화할 수도 있다.^[6]

좌표 원점에서 멀리 떨어진 3차원 함수를 설명하기 위해, 다중극 전개의 계수는 원점까지의 거리

r

의 함수로, 가장 자주

r

의 거듭제곱의 로랑 급수로 표현할 수 있다. 예를 들어, 원점 근처의 작은 영역에 있는 소스에서 나오는 전자기 포텐셜

V

는 다음과 같이 표현 가능하다.

:

V(r,\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell C^m_\ell(r)\, Y^m_\ell(\theta,\varphi)= \sum_{j=1}^\infty\, \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell \frac{D^m_{\ell,j}}{r^j}\, Y^m_\ell(\theta,\varphi) .

7. 3. 원통 다중극 모멘트

주어진 원본 소스에는 원통 다중극 모멘트에 대한 직접적인 정의나 설명이 없습니다. 대신, 일반적인 다중극 전개에 대한 내용만 포함되어 있습니다. 따라서 주어진 `summary`에 해당하는 내용, 즉 "ln R 전위에 대한 원통 다중극 모멘트"를 설명하는 내용을 원본 소스에서 직접적으로 찾을 수 없습니다.

제공된 소스에는 거리의 역수에 대한 다중극 전개만 나와있고, ln R 전개는 없습니다. 따라서 이전 결과물은 주어진 소스를 기반으로 작성되었다고 보기 어렵습니다.
결론적으로, 주어진 원본 소스만으로는 '원통 다중극 모멘트' 섹션을 작성할 수 없습니다.

8. 일반적인 수학적 성질

일반적으로 다중극 급수는 구면 조화 함수의 합으로 나타낼 수 있다. 함수 $f(\theta,\varphi)$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $f(\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell\, C^m_\ell\, Y^m_\ell(\theta,\varphi)$

여기서 $Y^m_\ell(\theta,\varphi)$ 는 표준 구면 조화 함수이고, $C^m_\ell$ 는 함수에 따라 달라지는 상수 계수이다. $C^0_0$ 항은 단극자를 나타내고, $C^{-1}_1,C^0_1,C^1_1$ 는 쌍극자를 나타낸다.^[5]

다른 표현으로는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.^[5]

: $f(\theta,\varphi) = C + C_i n^i + C_{ij}n^i n^j + C_{ijk}n^i n^j n^k + C_{ijk\ell}n^i n^j n^k n^\ell + \cdots$

여기서 $n^i$ 는 $\theta$ 와 $\varphi$ 각도로 주어진 방향의 단위 벡터의 구성 요소를 나타내며, 지수는 암시적으로 합산된다. $C$ 항은 단극자이고, $C_i$ 는 쌍극자를 나타내는 세 개의 숫자 집합이다.

위의 전개에서 계수는 실수 또는 복소수일 수 있다. 다중극 전개로 표현되는 함수가 실수인 경우, 구면 조화 함수 전개에서는 다음이 성립해야 한다.

: $C_\ell^{-m} = (-1)^m C^{m\ast}_\ell \, .$

다중 벡터 전개에서는 각 계수가 실수여야 한다.

: $C = C^\ast;\ C_i = C_i^\ast;\ C_{ij} = C_{ij}^\ast;\ C_{ijk} = C_{ijk}^\ast;\ \ldots$

다중극 모멘트는 직교 기저를 형성하며, 이는 서로 무한히 가까워지는 점 전하에 대한 장의 응답을 기반으로 하는 함수의 분해에 사용된다. 이들은 다양한 기하학적 형태로 배열되거나, 분포 이론의 의미에서 방향 미분으로 생각할 수 있다.

다중극 전개는 물리 법칙의 기본 회전 대칭성과 관련된 미분 방정식과 관련이 있다. 회전 대칭군의 기약 표현을 사용하여 확장할 수 있으며, 이는 구면 조화 함수 및 관련 직교 함수 집합으로 이어진다. 변수 분리 기법을 사용하여 방사형 종속성에 대한 해당 해를 추출한다.

실제로, 많은 필드는 유한한 수의 다중극 모멘트로 잘 근사될 수 있다. 일반적인 적용 분야는 국소화된 전하 분포의 장을 단극자 및 쌍극자 항으로 근사하는 것이다.

참조

_[1] 서적 Angular Momentum in Quantum Mechanics https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[2] 서적 Optically polarized atoms : understanding light-atom interactions New York 2010
_[3] 논문 High-resolution infrared spectroscopy of solid hydrogen: The tetrahexacontapole-induced transitions https://authors.libr[...] 1989-01-02
_[4] 논문 Emergent rank-5 nematic order in URu2Si2 2012-06-03
_[5] 서적 Angular Momentum John Wiley & Sons, Inc.
_[6] 논문 Multipole Expansions of Gravitational Radiation https://authors.libr[...] 1980-04
_[7] 서적 Classical electrodynamics https://archive.org/[...] Wiley 1975
_[8] 간행물 Irreducible Tensorial Sets Academic Press, New York 1959
_[9] 간행물 Angular Momentum Clarendon Press, Oxford, UK 1968

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