전사 사상

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 요네다 매장
- 3.2. 반대 범주
4. 범주론적 반순서
5. 예
- 5.1. 전사 사상이 전사 함수인 범주
- 5.2. 전사 사상이 전사 함수가 아닌 범주
6. 관련 개념
참조

1. 개요

전사 사상은 범주 $\mathcal C$ 의 사상 $f\colon X\to Y$ 로, 임의의 대상 $Z$ 와 사상 $g_1,g_2\colon Y\to Z$ 에 대해 $g_1\circ f=g_2\circ f$ 이면 $g_1=g_2$ 를 만족한다. 전사 사상은 정규, 강한, 극단 전사 사상 등으로 분류되며, 요네다 매장을 통해 준층 범주에서 해석될 수 있다. 전사 사상은 여러 범주에서 전사 함수와 일치하지만, 그렇지 않은 경우도 존재한다. 또한, 에피 사상의 오른쪽 약분 가능성을 사용하여 범주 상에 반순서를 정의할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

범주론 - 작은 범주
그로텐디크 전체 $\mathcal{U}$ 가 주어졌을 때, $\mathcal{U}$ -작은 범주는 대상과 사상의 모임이 모두 $\mathcal{U}$ 의 원소인 범주를 의미하며, 이는 함자와 자연 변환과 함께 완비 범주이자 쌍대 완비 범주인 2-범주를 이룬다.
범주론 - 토포스
토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.

전사 사상

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 의 사상 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, '''전사 사상'''이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g_1,g_2\colon Y\to Z$ 에 대하여, 만약 $g_1\circ f=g_2\circ f$ 라면 $g_1=g_2$ 이다.
: $X\xrightarrow fY\overset{g_1}{\underset{g_2}{\rightrightarrows}}Z$

이 성질을 오른쪽 약분 가능성(right cancelable)이라고 한다. 즉, 에피 사상이란 오른쪽 약분 가능성을 갖는 사상을 말한다.

모든 동형사상은 전사 사상이며, 오른쪽 역만 존재해도 전사 사상임을 알 수 있다. 즉, ''fj'' = id_''Y''가 되도록 하는 사상 ''j'' : ''Y'' → ''X''가 존재하면 ''f'': ''X'' → ''Y''는 전사 사상이다. 이러한 오른쪽 역을 가진 사상을 '''분할 전사'''라고 한다.

에피 사상과 모노 사상의 용어는 니콜라 부르바키에 의해 처음 도입되었다. 부르바키는 에피 사상을 전사 함수(surjective function)의 약어로 사용했다. 초기 범주론 학자들은 모노 사상이 단사의 유추와 매우 유사한 것처럼, 임의의 범주에서 에피 사상은 전사의 올바른 유추라고 믿었으나, 이는 오해였다. 소더스 매클레인은 에피 사상과 에픽 사상(epic morphism)을 구분하려 했지만, 이 구분은 널리 퍼지지 않았다.

에피 사상이 전사와 동일하거나 더 나은 개념이라고 믿는 것은 흔한 실수이다.

2. 1. 정규 전사 사상

영 사상을 갖는 범주

\mathcal C

에서, 어떤 사상

f\colon X\to Y

의 여핵

\operatorname{coker} f\colon K\to X

으로 나타낼 수 있는 사상을 '''정규 전사 사상'''(normal epimorphism^영어)이라고 한다. 정규 전사 사상은 (쌍대극한이므로) 항상 전사 사상이다.

2. 2. 강한 전사 사상

범주

\mathcal C

에서, '''강한 전사 사상'''은 모든 단사 사상에 대하여 왼쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 전사 사상이다. 즉, 전사 사상

\pi\colon X\to Y

가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 전사 사상이라고 한다.

:임의의 가환 사각형

::

\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\\downarrow & &\downarrow\\A&\xrightarrow[i]{}&B\end{matrix}

:에서

i

가 단사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상

Y\to A

가 존재한다.

::

\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\\downarrow &{\scriptstyle\exists!}\swarrow &\downarrow\\A&\xrightarrow[i]{}&B\end{matrix}

2. 3. 극단 전사 사상

범주

\mathcal C

의 전사 사상

f\colon X\to Y

가 다음 조건을 만족시키면, '''극단 전사 사상'''(extremal epimorphism^영어)이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g\colon X\to Z$ 및 단사 사상 $h\colon Z\to Y$ 에 대하여, 만약 $f=h\circ g$ 라면 $h$ 는 동형 사상이다.

:

\begin{matrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow&\searrow\scriptstyle f\\Z&\xrightarrow[h]{}&Y\end{matrix}

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[1]

동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상

분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상

f\colon X\to Y

및 그 오른쪽 역사상

s\colon Y\to X

이 주어졌을 때

f=\operatorname{eq}\{s\circ f,\operatorname{id}_X\}

이기 때문이다.^[1]

모든 동형사상은 전사 사상이며, 오른쪽 역만 존재하면 ''f'': ''X'' → ''Y''는 전사 사상임을 쉽게 알 수 있다. 이러한 오른쪽 역을 가진 사상을 '''분할 전사'''라고 한다. 토포스에서 단사 사상이면서 전사 사상인 사상은 동형사상이다.^[1]

두 전사 사상의 합성은 다시 전사 사상이다. 두 사상의 합성 ''fg''가 전사 사상이라면, ''f''는 전사 사상이어야 한다.^[1]

전사 사상이라는 속성은 사상 자체뿐만 아니라 문맥의 범주에 의해서도 결정된다. ''D''가 ''C''의 부분 범주인 경우, ''C''의 사상으로 간주될 때 전사 사상인 ''D''의 모든 사상도 ''D''에서 전사 사상이다. 그러나 그 반대가 항상 성립하는 것은 아니다. 더 작은 범주는 더 많은 전사 사상을 가질 수 있다.^[1]

범주론의 개념과 마찬가지로 전사 사상은 범주의 동치 아래에서 보존된다. 동치 ''F'' : ''C'' → ''D''가 주어지면, 사상 ''f''가 범주 ''C''에서 전사 사상일 필요충분조건은 ''F''(''f'')가 ''D''에서 전사 사상인 것이다. 두 범주 간의 쌍대성은 전사 사상을 단사 사상으로, 단사 사상을 전사 사상으로 바꾼다.^[1]

전사 사상의 정의는 ''f'' : ''X'' → ''Y''는 유도된 사상이 모든 ''Z''의 선택에 대해 단사인 경우에만 전사 사상이다 와 같이 재구성 할 수 있다. 이는 다시 유도된 자연 변환이 함자 범주 '''Set'''^''C''에서 단사 사상인 것과 동등하다.^[1]

모든 공형사상은 전사 사상이며, 이는 공형사상의 정의에서 고유성 요구 사항의 결과이다. 특히, 모든 코커널은 전사 사상이다. 그 반대, 즉 모든 전사 사상이 공형사상이라는 것은 모든 범주에서 참이 아니다.^[1]

많은 범주에서 모든 사상을 전사 사상과 단사 사상의 합성으로 쓸 수 있다. 예를 들어, 군 준동형 사상 ''f'' : ''G'' → ''H''가 주어지면, 군 ''K'' = im(''f'')를 정의한 다음, ''f''와 같이 정의된 전사 준동형 사상 ''G'' → ''K''와 각 요소를 자체로 보내는 단사 준동형 사상 ''K'' → ''H''의 합성으로 ''f''를 쓸 수 있다. 임의의 사상을 전사 사상과 단사 사상의 합성으로 분해하는 이러한 분해는 모든 아벨 범주와 구체 범주에서 수행할 수 있다.^[1]

3. 1. 요네다 매장

요네다 매장을 통해 전사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주

\mathcal C

속의 사상

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.

$f$ 는 전사 사상이다.
임의의 대상 $Z$ 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 $(\circ f)\colon\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\to\hom_{\mathcal C}(X,Z)$ 는 단사 함수이다.
쌍대 준층 토포스의 반대 범주 $\operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op}})^{\operatorname{op}}$ 로 가는 요네다 매장 함자 $\hom_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op}})^{\operatorname{op}}$ 아래서, $f$ 의 상 $(f\circ)\colon\hom_{\mathcal C}(-,X)\to \hom_{\mathcal C}(-,Y)$ 은 쌍대 준층 토포스 $\operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op}})$ 에서의 단사 사상 (즉, 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 $\operatorname{PSh}(\mathcal C^{\operatorname{op}})^{\operatorname{op}}$ 에서의 전사 사상)이다.

3. 2. 반대 범주

범주

\mathcal C

의 전사 사상은 그 반대 범주

\mathcal C^{\operatorname{op}}

의 단사 사상이다.

4. 범주론적 반순서

범주론에서 에피 사상의 오른쪽 약분 가능성을 사용하여 범주 상에서 반순서를 정의할 수 있다.

β₁ : B → B₁, β₂ : B → B₂를 각각 에피 사상이라고 한다. 에피 사상 간의 반순서 관계 β₂ ≼ β₁이 성립한다는 것은, 에피 사상 γ : B₂ → B₁이 존재하여 γ・β₂ = β₁을 만족하는 것을 말한다.

반순서 관계는 반사적(reflexive)이고 추이적(transitive)이며 반대칭적(anti-symmetric)인 관계를 말하는데, 에피 사상 간의 관계 ≼는 실제로 그것들을 만족한다.

(반사율)
β₁ : B → B₁이 에피 사상이면, β₁ ≼ β₁이다.
(추이율)
β₁ : B → B₁, β₂ : B → B₂, β₃ : B → B₃를 에피 사상으로 하고, β₂ ≼ β₁이고 β₃ ≼ β₂이면, β₃ ≼ β₁이다.
(반대칭율)
β₁ : B → B₁, β₂ : B → B₂를 에피 사상으로 하고, β₂ ≼ β₁이고 β₁ ≼ β₂이면, β₁ ≅ β₂이다.

5. 예

구체적 범주에서 전사 함수인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 집합과 함수의 범주, 군과 군 준동형의 범주 등에서는 전사 사상이 전사 함수이지만, 모노이드 범주, 환 범주, 하우스도르프 공간 범주 등에서는 전사 사상이 전사 함수가 아닌 경우가 존재한다.

5. 1. 전사 사상이 전사 함수인 범주

구체적 범주에서, 함수로서 전사 함수인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 전사 사상이 전사 함수인 구체적 범주는 다음과 같다.

범주	설명
집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$	전사 사상은 전사 함수이다.
군과 군 준동형의 범주 $\operatorname{Grp}$	전사 사상은 전사 군 준동형이다.
체 $K$ 에 대하여, $K$ 위의 벡터 공간과 선형 변환들의 범주 $K\text{-Vect}$	전사 사상은 전사 선형 변환이다.
위상 공간과 연속 함수의 범주	전사 사상은 전사 연속 함수이다.

5. 2. 전사 사상이 전사 함수가 아닌 범주

모노이드 범주

\operatorname{Mon}

에서, 자연수의 덧셈 모노이드에서 정수의 덧셈 모노이드로 가는 포함 함수

\mathbb N\to\mathbb Z

는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 모노이드

M

의 군화 (망각 함자의 왼쪽 수반 함자)

G

가 주어졌을 때, 포함 모노이드 준동형

M\to G

는 항상 전사 사상이자 단사 사상이자 단사 함수이지만, (

M

이 군이 아니라면) 전사 함수가 아니다.

환 범주

\operatorname{Ring}

에서, 포함 함수

\mathbb Z\to\mathbb Q

는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.

하우스도르프 공간 범주

\operatorname{Haus}

에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다. 예를 들어, 포함 함수

\mathbb Q\to\mathbb R

는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.

6. 관련 개념

사상과 관련된 여러 개념은 다음과 같다.

정칙 에피모피즘: 어떤 쌍의 평행한 사상의 공형자인 에피모피즘이다.
극 에피모피즘: 에피모피즘 $\varepsilon$ 가 각 표현 $\varepsilon=\mu\circ\varphi$ 에서 $\mu$ 가 단사 사상이고 사상 $\mu$ 가 자동으로 동형 사상인 경우를 말한다.
즉시 에피모피즘: 에피모피즘 $\varepsilon$ 가 각 표현 $\varepsilon=\mu\circ\varepsilon'$ 에서 $\mu$ 가 단사 사상이고 $\varepsilon'$ 가 에피모피즘일 때 사상 $\mu$ 가 자동으로 동형 사상인 경우를 말한다.
강 에피모피즘: 에피모피즘 $\varepsilon:A\to B$ 가 임의의 단사 사상 $\mu:C\to D$ 와 $\beta\circ\varepsilon=\mu\circ\alpha$ 를 만족하는 임의의 사상 $\alpha:A\to C$ 및 $\beta:B\to D$ 에 대해 $\delta\circ\varepsilon=\alpha$ 및 $\mu\circ\delta=\beta$ 를 만족하는 사상 $\delta:B\to C$ 가 존재하는 경우를 말한다.
분할 에피모피즘: 에피모피즘 $\varepsilon$ 에 대해 $\varepsilon\circ\mu=1$ 을 만족하는 사상 $\mu$ 가 존재하는 경우이다. (이때 $\mu$ 는 $\varepsilon$ 의 우측 역이라고 한다).
호몰로지 에피모피즘: 환의 사상 ''f'': ''A'' → ''B''가 에피모피즘이고 유도 범주에서 전사적이고 충실한 함자를 유도하는 경우이다.
쌍사상: 단사 사상이면서 동시에 에피모피즘인 사상이다. 모든 동형 사상은 쌍사상이지만, 일반적으로 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 반개구간 [0,1)에서 단위 원 S¹으로 ''x''를 exp(2πi''x'')로 보내는 사상 (오일러 공식 참조)은 연속적이고 전단사이지만, 역 사상이 1에서 연속적이지 않으므로 위상 동형 사상은 아니다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com