접촉기하학

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1. 개요
2. 정의
3. 접촉 다양체의 예시
4. 접촉 다양체의 심플렉틱화
5. 해밀턴 역학과의 관계
6. 응용
- 6.1. 물리학
- 6.2. 기타 응용
7. 역사
참조

1. 개요

접촉 기하학은 홀수 차원 매끄러운 다양체에서 정의되는 기하학으로, 1차 미분 형식인 접촉 형식을 통해 접촉 구조를 정의한다. 접촉 기하학은 심플렉틱 기하학처럼 물리학, 특히 기하 광학, 고전역학, 열역학, 저차원 위상수학 등 다양한 분야에 응용된다. 또한 해밀턴 역학을 다루는 데 사용되며, 르장드르 부분 다양체와 레브 벡터장과 같은 개념을 포함한다. 접촉 기하학의 역사는 17세기로 거슬러 올라가며, 소푸스 리에 의해 접촉 변환 이론이 개발되었다.

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접촉기하학
개요
분야	미분 기하학, 미분 위상수학
관련 항목	심플렉틱 기하학, CR 다양체, 르장드르 부분다양체
정의 및 기본 개념
접촉 구조	다양체 M 위의 접촉 구조는 접촉 형식 α에 의해 정의되는 최대 non-integrable hyperplane 분포 H이다. 접촉 형식은 M의 모든 점에서 α ∧ (dα)^(n)이 0이 아닌 n 형식인 1-형식이다(여기서 M은 (2n+1)차원이다).
접촉 형식의 예	R^3에서 표준 접촉 형식은 dz − y dx이다.
다르부 정리	모든 접촉 구조는 국소적으로 표준 형식 dz − y dx와 동형이다.
르장드르 부분다양체	접촉 다양체 (M, α)에서 르장드르 부분다양체는 α를 제한하면 0이 되는 부분다양체이다.
접촉 변환	접촉 구조를 보존하는 다양체 M의 미분동형사상이다.
응용
해밀턴 역학	접촉 기하학은 해밀턴 역학의 기하학적 구조를 연구하는 데 사용된다.
광학	접촉 기하학은 광선 추적과 광학 시스템 설계에 응용된다.
열역학	접촉 기하학은 열역학적 시스템의 상태 공간을 연구하는 데 사용된다.
편미분 방정식	접촉 기하학은 1차 편미분 방정식의 해를 구하는 데 사용된다.
추가 개념
CR 다양체	접촉 다양체의 일반화된 개념이다.
심플렉틱 기하학	접촉 기하학과 밀접하게 관련된 분야이다.

2. 정의

contact manifold^영어인 접촉 다양체는 홀수 차원 다양체 위에 정의되는 특별한 기하학적 구조이다. 이 구조는 다양체의 각 점에 접하는, 코차원 1인 부분 공간들의 매끄럽게 변하는 모임으로 생각할 수 있으며, 이들은 '비적분 가능성'이라는 조건을 만족시킨다.

'''접촉 원소'''는 어떤 점에서의 접선 공간의 (n-1차원) 부분 공간이다.^[2]^[3] 이는 선형 함수로 표현될 수 있는데, 0이 아닌 상수를 곱해도 같은 부분 공간을 나타내므로, 접촉 원소들의 공간은 여접선 다발에서 영 단면을 제거한 후 몫공간을 취하여 얻어진다.^[2]

이러한 접촉 원소들이 매끄럽게 변하면서, 동시에 비적분 가능하다는 조건을 만족할 때, 이를 '''접촉 구조'''라고 한다. 비적분 가능 조건은 미분 형식을 사용하여 표현할 수 있다.^[2]

이러한 방식으로 접촉 구조가 주어진 매끄러운 다양체를 접촉 다양체라고 부른다.

2. 1. 접촉 형식과 접촉 구조

M

이

2n+1

차원의 매끄러운 다양체라고 하자.

M

위의 '''접촉 형식'''(接觸形式, contact form^영어)은 다음과 같은 조건을 만족하는 1차 미분 형식

\alpha

이다.

$\alpha\wedge(d\alpha)^n\ne0$ .

접촉 형식들의 집합에 다음과 같은 동치관계를 정의하자.

\lambda\colon M\to\mathbb R

가 어디서나 0이 아닌 연속함수라면,

:

\alpha\sim\lambda\alpha

.

이 동치관계에 대한 동치류

[\alpha]

를 '''접촉 구조'''(接觸構造, contact structure^영어)라고 한다. 즉, 같은 동치류에 속하는 서로 다른 두 접촉 형식은 같은 접촉 구조를 정의한다. 또한, 접촉 형식이 국소적으로만 존재하는 경우도 있는데, 이 경우 접촉 형식들이 국소적으로 존재하여, 그 이어붙이는 구간에 서로 동치여야 한다. 이는 심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 퍼텐셜이 국소적으로만 존재하는 것과 마찬가지다.

2k+1

차원의 홀수 차원 다양체

M

위의 '''접촉 구조'''는 각 점에서 일반적인 접촉 원소의 매끄러운 분포

\xi

로 표시된다.^[2]^[3] 일반성 조건은

\xi

가 비적분 가능하다는 것이다.

접촉 원소의 매끄러운 분포

\xi

가 미분 1-형식

\alpha

로 국소적으로 주어졌다고 가정하자. 즉, 여접선 다발의 매끄러운 단면이다. 비적분 가능 조건은 다음과 같이 명시적으로 주어질 수 있다.^[2]

:

\alpha \wedge (\text{d}\alpha)^k \neq 0 \ \text{where} \ (\text{d}\alpha)^k = \underbrace {\text{d}\alpha \wedge \ldots \wedge \text{d}\alpha}_{k\text{-times}}.

\xi

가 미분 1-형식

\alpha

로 주어지면, 동일한 분포는

f

가 0이 아닌 매끄러운 함수인

\beta = f \cdot \alpha

로 국소적으로 주어진다는 점에 유의하라.

\xi

가 공동향 가능하면

\alpha

는 전역적으로 정의된다.

정의의 결과는 2-형식

\omega = d\alpha

의

\xi

의 초평면에 대한 제한이 비퇴화 2-형식이 된다는 것이다. 이 구성을 통해 모든 접촉 다양체

M

은

M

의 차원보다 1 작은 자연스러운 심플렉틱 다발을 갖게 된다. 심플렉틱 벡터 공간은 항상 짝수 차원인 반면, 접촉 다양체는 홀수 차원이어야 한다.

2. 2. 레브 벡터장

접촉 형식

\alpha

가 주어지면, '''레브 벡터장'''(Reeb vector場, Reeb vector field^영어)은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 벡터장

X

이다.

$X\lrcorner d\alpha=0$ ( $\lrcorner$ 는 내부적(interior product^영어)
$X\lrcorner\alpha=1$ .

이 벡터장은 접촉 형식에 의존한다. 즉, 같은 접촉 구조를 나타내는 접촉 형식도 다른 레브 벡터장을 가질 수 있다.

어떤 ''n''차원 다양체 ''N''의 코탄젠트 다발 ''T''*''N''은 그 자체로 (차원이 2''n''인) 다양체이며, 자연스럽게 정확한 심플렉틱 구조 ω = ''dλ''를 지원한다. (이 1-형식 ''λ''는 때때로 리우빌 형식이라고도 한다). 관련된 접촉 다양체를 구성하는 몇 가지 방법이 있으며, 일부는 차원이 2''n'' − 1이고, 일부는 차원이 2''n'' + 1이다.

다양체 ''N''에 리만 계량을 선택하고, ''H''를 관련된 운동 에너지로 두었을 때, 레벨 집합 ''H'' = 1/2는 ''N''의 ''단위 코탄젠트 다발''이며, 올이 구인 ''N'' 위에 놓인 차원 2''n'' − 1의 매끄러운 다양체이다. 그러면 단위 코탄젠트 다발로 제한된 리우빌 형식은 접촉 구조이다. 이는 오일러 벡터장 ''Y''의 흐름이 운동량 p''s''의 선형 스케일링에 해당하고 ''q''는 고정된 두 번째 구성의 특별한 경우에 해당한다. 다음 등식으로 정의된 벡터장 ''R''은 '''Reeb 벡터장'''이라고 불리며, 리만 계량의 측지 흐름을 생성한다.

: ''λ''(''R'') = 1 및 모든 벡터장 ''A''에 대해 ''dλ''(''R'', ''A'') = 0,

더 정확하게는 리만 계량을 사용하여 ''N''의 코탄젠트 다발의 각 점을 ''N''의 접선 다발의 한 점과 식별할 수 있으며, (단위) 코탄젠트 다발의 해당 점에서의 ''R''의 값은 ''N''에 평행한 해당 (단위) 벡터이다.

α가 주어진 접촉 구조에 대한 접촉 형식인 경우, Reeb 벡터장 R은 α(''R'') = 1을 만족하는 dα의 (1차원) 커널의 고유한 원소로 정의될 수 있다. 접촉 다양체가 심플렉틱 다양체 내의 일정 에너지 초곡면으로 나타나는 경우, Reeb 벡터장은 에너지 함수와 관련된 해밀턴 벡터장을 부분 다양체로 제한한 것이다. (해밀턴 벡터장이 에너지 레벨을 보존하므로 제한은 접촉 초곡면에서 벡터장을 생성한다.)

Reeb 장은 조르주 리의 이름을 따서 명명되었다.

2. 3. 르장드르 부분 다양체

심플렉틱 다양체에는 자연스럽게 라그랑주 부분 다양체를 정의할 수 있다. 마찬가지로 접촉다양체에도 자연스러운 부분 다양체의 개념이 존재하는데, 이를 '''르장드르 부분 다양체'''(Legendrian submanifold^영어)라고 한다.

M

이 접촉다양체이고,

\alpha

가 그 (국소적) 접촉 형식이라면, 다음을 만족하는 부분다양체

N\subset M

을

M

의 '''르장드르 부분 다양체'''라고 한다.

모든 $x\in N$ 에서, $T_xN\lrcorner\alpha=0$ .

이 조건은 접촉 형식의 선택에 의존하지 않는다. 즉, 서로 동치인 두 접촉 형식은 같은 르장드르 부분다양체를 정의한다.

접촉다양체의 가장 흥미로운 부분 공간은 그 르장드르 부분다양체이다. (2''n'' + 1)차원 다양체에서 접촉 초평면장의 비적분성은 어떤 2''n''차원 부분다양체도 접촉 초평면장을 접선 다발로 가질 수 없다는 것을 의미한다(지역적으로도). 그러나 일반적으로 접선 공간이 접촉장에 속하는 n차원 부분다양체(매입 또는 함몰)를 찾을 수 있다. 이를 '''르장드르 부분다양체'''라고 한다.

르장드르 부분다양체는 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분다양체와 유사하다. 정확한 관계가 있는데, 접촉 다양체의 심플렉티화에서 르장드르 부분다양체의 올림은 라그랑주 부분다양체이다.

르장드르 부분다양체의 가장 간단한 예는 3차원 접촉다양체 내부의 르장드르 매듭이다. 비동치 르장드르 매듭은 매끄러운 매듭으로 동치일 수 있다. 즉, 매끄럽게 동위인 매듭이 있지만, 동위성을 르장드르 매듭의 경로로 선택할 수 없는 경우가 있다.

르장드르 부분다양체는 매우 강성적인 객체이다. 일반적으로, 모두 매끄럽게 동위인 무한히 많은 르장드르 동위류 매입이 존재한다. 심플렉틱 장론은 상대적 접촉 호몰로지라고 불리는 르장드르 부분다양체의 불변량을 제공하며, 이는 위상적으로 동일한(즉, 매끄럽게 동위인) 서로 다른 르장드르 부분다양체를 구별할 수 있다.

3. 접촉 다양체의 예시

좌표 (''x'',''y'',''z'')를 갖는 '''R'''³와 1-형식 ''dz'' − ''y'' ''dx''를 생각해보자. '''R'''³에서 점 (''x'',''y'',''z'')에서의 접촉 평면은 특정 벡터들에 의해 생성된다. 이 예시는 다변수 변수를 이용하여 임의의 '''R'''^2''n''+1로 일반화할 수 있다. 다르부 정리에 따르면, 다양체 상의 모든 접촉 구조는 (2''n'' + 1)차원 벡터 공간에서의 이 특정 접촉 구조와 국소적으로 동일하게 보인다.

사사키 다양체는 중요한 접촉 다양체의 한 예시이다.^[4]

모든 연결된 콤팩트 가향 3차원 다양체는 접촉 구조를 허용한다.^[4] 이 결과는 모든 콤팩트 준접촉 다양체로 일반화된다.^[5]

3. 1. R²ⁿ⁺¹

좌표 (x, y, z)를 갖는 '''R'''³와 1-형식 dz - y dx^영어를 고려해 보자. 점 (x, y, z)에서의 접촉 평면 ξ는 벡터 X₁|∂_y^영어와 X₂|∂_x + y ∂_z^영어에 의해 생성된다.

단일 변수 x와 y를 다변수 x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n으로 대체함으로써, 이 예시를 임의의 '''R'''²ⁿ⁺¹로 일반화할 수 있다. 다르부 정리에 따르면, 다양체 상의 모든 접촉 구조는 (2n + 1)차원 벡터 공간에서의 이 특정 접촉 구조와 국소적으로 동일하게 보인다.^[4]

3. 2. 사사키 다양체

사사키 다양체는 중요한 접촉 다양체의 한 예시이다.^[4]

3. 3. 3차원 다양체

좌표 (''x'',''y'',''z'')를 갖는 '''R'''³와 1-형식을 고려해 보자. 점 (''x'',''y'',''z'')에서의 접촉 평면 ''ξ''는 벡터와에 의해 생성된다.

단일 변수 ''x''와 ''y''를 다변수 ''x''₁, ..., ''x''_''n'', ''y''₁, ..., ''y''_''n''으로 대체함으로써, 이 예시를 임의의 '''R'''^2''n''+1로 일반화할 수 있다. 다르부 정리에 따르면, 다양체 상의 모든 접촉 구조는 (2''n'' + 1)차원 벡터 공간에서의 이 특정 접촉 구조와 국소적으로 동일하게 보인다.

모든 연결된 콤팩트 가향 3차원 다양체는 접촉 구조를 허용한다.^[4] 이 결과는 모든 콤팩트 준접촉 다양체로 일반화된다.^[5]

4. 접촉 다양체의 심플렉틱화

$2n+1$ 차원 접촉다양체 $M$ 이 주어지면, $M$ 을 부분 다양체로 갖는 $2n+2$ 차원 심플렉틱 다양체 $(\hat M,\omega)$ 를 정의할 수 있는데, 이를 '''심플렉틱화'''(symplectization^영어)라고 한다.

다양체로서, $\hat M=M\times(0,\infty)$ 이다. $M$ 의 국소좌표계 $x^i$ 를 잡고, $0<\lambda<\infty$ 가 벡터 다발의 좌표라고 하자. $\alpha$ 가 $M$ 의 접촉 형식이라고 하면, $(x^i,\lambda)$ 에 다음과 같이 심플렉틱 형식 $\omega$ 를 정의할 수 있다.

: $\omega=d(\lambda\alpha)=d\lambda\wedge\alpha+\lambda d\alpha$ .

이 구성을 통해 모든 접촉 다양체 ''M''은 ''M''의 차원보다 1 작은 자연스러운 심플렉틱 다발을 갖게 된다.

어떤 접촉 다양체 ''M''이 주어지면 곱 $M\times\mathbb{R}$ 은 심플렉틱 다양체의 자연스러운 구조를 갖는다. α가 ''M'' 위의 접촉 형식인 경우,

: $\omega=d(e^t\alpha)$

는 $M\times\mathbb{R}$ 위의 심플렉틱 형식이며, 여기서 ''t''는 '''R''' 방향의 변수를 나타낸다. 이 새로운 다양체는 ''M''의 접촉 다양체의 심플렉틱화라고 불린다.

5. 해밀턴 역학과의 관계

해밀토니언이 시간에 의존하는 경우, 해밀턴 역학은 접촉기하학으로 자연스럽게 다룰 수 있다.

일반화 위치 $q^i$ 와 일반화 운동량 $p_i$ , 시간 $t$ 를 좌표로 하는 $2n+1$ 차원 공간 $M$ 을 생각할 수 있다. 이를 '''확장 위상 공간'''(extended phase space^영어)이라고 한다. 해밀토니언 $H\colon M\to\mathbb R$ 는 확장 위상 공간 위에 정의된 함수이다. 여기에 다음과 같은 접촉 형식 $\alpha$ 를 정의할 수 있다.

: $\alpha=\sum_ip_idq^i-H(q,p,t)dt$ .

이로써 확장 위상 공간은 접촉다양체의 구조를 가진다. 이 접촉 형식의 레브 벡터장은 다음과 같다.

: $X=\frac1L\left(\frac{\partial}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q^i}$

\sum_i\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p^i}\right).

여기서

L=\frac{\partial H}{\partial q_i}p^i-H

는 라그랑지언이다.

물리량

F(q,p,t)

의 시간 변화는 다음과 같다.

:

\frac{dF}{dt}=LX^I\frac{\partial F}{\partial x^I}

.

(여기서

x^I=(q^1,\dots,q^i,\dots,q^n,p_1,\dots,p_i,\dots,p_n,t)

이다.) 시간 대신 작용

dS=Ldt

를 변수로 하면 다음과 같다.

:

\frac{dF}{dS}=X^I\frac{\partial F}{\partial x^I}

.

정의의 결과는 2-형식 ''ω'' = ''dα''의 ''ξ''의 초평면에 대한 제한이 비퇴화 2-형식이 된다는 것이다. 이 구성을 통해 모든 접촉 다양체 ''M''은 ''M''의 차원보다 1 작은 자연스러운 심플렉틱 다발을 갖게 된다. 심플렉틱 벡터 공간은 항상 짝수 차원인 반면, 접촉 다양체는 홀수 차원이어야 한다.

어떤 ''n''차원 다양체 ''N''의 코탄젠트 다발 ''T''*''N''은 그 자체로 (차원이 2''n''인) 다양체이며, 자연스럽게 정확한 심플렉틱 구조 ω = ''dλ''를 지원한다. (이 1-형식 ''λ''는 때때로 리우빌 형식이라고도 한다). 관련된 접촉 다양체를 구성하는 몇 가지 방법이 있으며, 일부는 차원이 2''n'' − 1이고, 일부는 차원이 2''n'' + 1이다.

;사영화

''M''을 ''N''의 코탄젠트 다발의 사영 공간으로 둔다. 따라서 ''M''은 ''N'' 위의 올다발이며, 한 점 ''x''에서의 올은 T*''N''의 선들의 공간, 또는 동등하게 T''N''의 초평면들의 공간이다. 1-형식 ''λ''는 ''M''에 대한 진정한 1-형식으로 내려가지 않는다. 그러나 차수 1의 동차이므로, ''M''의 섬유 방향 자명한 선다발의 이중 공간인 선다발 O(1)의 값을 갖는 1-형식을 정의한다. 이 1-형식의 커널은 접촉 분포를 정의한다.

;에너지 곡면

''H''가 T*''N'' 위의 매끄러운 함수이고, ''E''가 ''H''의 정규값이라고 가정한다. 따라서 레벨 집합

L=\{(q,p)\in T^*N\mid H(q,p)=E\}

는 코드차원이 1인 매끄러운 부분 다양체이다. 벡터장 ''Y''는 ''L''에 가로지르고, ''dλ''의 리 미분과 ''L''의 이웃에서 ''dλ''의 배수와 같은 의미에서, 컨포멀 심플렉틱인 오일러(또는 리우빌) 벡터장이라고 한다.

그러면

i_Y \,d\lambda

의 ''L''에 대한 제한은 ''L''에서 접촉 형식이다.

이 구성은 구성 공간이 ''N''이고 위상 공간이 ''T''*''N''이며, ''E''가 에너지의 값인 기계적 시스템의 해밀토니안인 해밀턴 역학에서 시작된다.

;단위 코탄젠트 다발

다양체 ''N''에 리만 계량을 선택하고, ''H''를 관련된 운동 에너지로 둔다. 그러면 레벨 집합 ''H'' = 1/2는 ''N''의 ''단위 코탄젠트 다발''이며, 올이 구인 ''N'' 위에 놓인 차원 2''n'' − 1의 매끄러운 다양체이다. 그러면 단위 코탄젠트 다발로 제한된 리우빌 형식은 접촉 구조이다. 이는 오일러 벡터장 ''Y''의 흐름이 운동량 p''s''의 선형 스케일링에 해당하고 ''q''는 고정된 두 번째 구성의 특별한 경우에 해당한다. 다음 등식으로 정의된 벡터장 ''R''은

: ''λ''(''R'') = 1 및 모든 벡터장 ''A''에 대해 ''dλ''(''R'', ''A'') = 0,

'''Reeb 벡터장'''이라고 불리며, 리만 계량의 측지 흐름을 생성한다. 더 정확하게는 리만 계량을 사용하여 ''N''의 코탄젠트 다발의 각 점을 ''N''의 접선 다발의 한 점과 식별할 수 있으며, (단위) 코탄젠트 다발의 해당 점에서의 ''R''의 값은 ''N''에 평행한 해당 (단위) 벡터이다.

;첫 번째 제트 다발

다른 한편으로, ''N'' 위의 실수 값 함수의 첫 번째 제트 다발을 고려하여 차원이 2''n'' + 1인 접촉 다양체 ''M''을 구축할 수 있다. 이 다발은 함수의 외미분을 사용하여 ''T''*''N''×'''R'''과 동형이다. 좌표(''x'', ''t'')를 사용하여 ''M''은 접촉 구조를 갖는다.

:α = ''dt'' + ''λ''.

반대로, 어떤 접촉 다양체 ''M''이 주어지면 곱 ''M''×'''R'''은 심플렉틱 다양체의 자연스러운 구조를 갖는다. α가 ''M'' 위의 접촉 형식인 경우,

:''ω'' = ''d''(''e''^''t''α)

는 ''M''×'''R''' 위의 심플렉틱 형식이며, 여기서 ''t''는 '''R''' 방향의 변수를 나타낸다. 이 새로운 다양체는 ''M''의 접촉 다양체의 심플렉틱화(문헌에서는 때때로 심플렉틱피케이션)라고 불린다. α가 주어진 접촉 구조에 대한 접촉 형식인 경우, Reeb 벡터장 R은 α(''R'') = 1을 만족하는 dα의 (1차원) 커널의 고유한 원소로 정의될 수 있다. 접촉 다양체가 심플렉틱 다양체 내의 일정 에너지 초곡면으로 나타나는 경우, Reeb 벡터장은 에너지 함수와 관련된 해밀턴 벡터장을 부분 다양체로 제한한 것이다. (해밀턴 벡터장이 에너지 레벨을 보존하므로 제한은 접촉 초곡면에서 벡터장을 생성한다.)

6. 응용

심플렉틱 기하학처럼, 접촉 기하학은 물리학에서 광범위하게 응용되며, 기하 광학, 고전역학, 열역학, 기하 양자화, 적분 가능한 시스템, 제어 이론 등에 활용된다.^[1] 접촉 기하학은 저차원 위상수학과 시각 피질을 설명하는 데에도 사용되었다.^[1]

6. 1. 물리학

해밀턴 역학은 해밀토니언이 시간에 의존하는 경우 자연스럽게 접촉기하학으로 다루어진다.

일반화 위치

q^i

와 일반화 운동량

p_i

, 시간

t

를 좌표로 하는

2n+1

차원 공간

M

('''확장 위상 공간'''(extended phase space^영어))에서, 해밀토니언

H\colon M\to\mathbb R

는 확장 위상 공간 위에 정의된 함수이다. 다음과 같은 접촉 형식

\alpha

를 정의할 수 있다.

:

\alpha=\sum_ip_idq^i-H(q,p,t)dt

.

이로써 확장 위상 공간은 접촉다양체의 구조를 가진다.

이 접촉 형식의 레브 벡터장은 다음과 같다.

:

X=\frac1L\left(\frac{\partial}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q^i}

\sum_i\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p_i}\right).

여기서

L=\frac{\partial H}{\partial q_i}p^i-H

는 라그랑지언이다.

물리량

F(q,p,t)

의 시간 변화는 다음과 같다.

:

\frac{dF}{dt}=LX^I\frac{\partial F}{\partial x^I}

.

(

x^I=(q^1,\dots,q^i,\dots,q^n,p_1,\dots,p_i,\dots,p_n,t)

.) 작용

dS=Ldt

를 시간 대신 변수로 하면 다음과 같다.

:

\frac{dF}{dS}=X^I\frac{\partial F}{\partial x^I}

.

접촉 기하학은 기하 광학, 고전역학, 열역학, 기하 양자화 등 물리학의 여러 분야에 응용된다.^[1]

6. 2. 기타 응용

심플렉틱 기하학처럼, 접촉 기하학은 물리학에서 광범위하게 응용되며, 예를 들어 기하 광학, 고전역학, 열역학, 기하 양자화, 적분 가능한 시스템, 제어 이론 등에 활용된다. 접촉 기하학은 저차원 위상수학에도 응용된다. 예를 들어 Kronheimer와 Mrowka는 성질 P 추측을 증명하는 데 사용했으며, Michael Hutchings는 매끄러운 3차원 다양체의 불변량을 정의하는 데 사용했고, Lenhard Ng는 매듭의 불변량을 정의하는 데 사용했다. 또한 Yakov Eliashberg는 6차원 이상의 슈타인 다양체에 대한 위상학적 특징을 도출하는 데 사용했다.

접촉 기하학은 시각 피질을 설명하는 데 사용되었다.^[1]

7. 역사

크리스티안 호이겐스, 아이작 배로, 아이작 뉴턴의 연구에서 접촉 기하학의 뿌리가 나타난다. 소푸스 리는 접촉 구조를 보존하는 변환인 '''접촉 변환''' 이론을 개발했는데, 이는 미분 방정식을 연구하고 (르장드르 변환 또는 정준 변환), 사영 쌍대성에서 익숙한 '공간 요소의 변화'를 설명하려는 이중적인 목표를 가지고 있었다.

"접촉 다양체"라는 용어는 1958년 논문에서 처음 사용되었다.^[6]^[7]^[8]

참조

_[1] 논문 The visual cortex is a contact bundle https://www.scienced[...] 1989-08-01
_[2] 서적 Mathematical Methods of Classical Mechanics Springer
_[3] 논문 Contact Geometry and Wave Propagation Université de Genève
_[4] 논문 Formes de Contact sur les Variétés de Dimension 3 https://link.springe[...] Springer 1971
_[5] 논문 Existence and classification of overtwisted contact structures in all dimensions https://projecteucli[...] 2015
_[6] 논문 On Contact Manifolds https://www.jstor.or[...] 1958
_[7] 논문 A brief history of contact geometry and topology https://www.scienced[...] 2001-01-01
_[8] 웹사이트 In the ‘Wild West’ of Geometry, Mathematicians Redefine the Sphere https://www.quantama[...] 2023-11-07

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