라그랑주 부분 다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

라그랑주 부분 다양체는 심플렉틱 다양체의 특별한 부분 다양체로, 등방성 부분 다양체 중 최대 차원을 갖는 것을 의미한다. 등방성 부분 다양체는 심플렉틱 형식을 국한했을 때 0이 되는 부분 다양체를 말하며, 라그랑주 부분 다양체는 2n차원 심플렉틱 다양체의 n차원 등방성 부분 다양체이다. 라그랑주 올뭉치, 특수 라그랑주 부분 다양체 등 관련 개념들이 존재하며, 심플렉틱 사상과 라그랑주 부분 다양체의 관계, 심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간, 2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체, 공변접다발 등 다양한 예시가 존재한다.

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라그랑주 부분 다양체

2. 정의

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 안에는 특별한 성질을 만족하는 부분 다양체들을 정의할 수 있다.

부분 다양체 $N$ 위에서 심플렉틱 형식 $\omega$ 가 사라질 때, 즉 $\omega$ 를 $N$ 으로 제한했을 때 0이 될 경우, 이를 '''등방성 부분 다양체'''(isotropic submanifold^영어)라고 부른다.

만약 $M$ 의 차원이 $2n$ 일 때, 차원이 $n$ 인 등방성 부분 다양체를 특별히 '''라그랑주 부분 다양체'''(Lagrangian submanifold^영어)라고 한다. 이는 가능한 등방성 부분 다양체 중에서 가장 큰 차원을 가지는 경우에 해당한다.

이러한 정의는 부분 다양체가 매끄러운 매장이 아닌 매끄러운 몰입인 경우에도 확장될 수 있으며, 이때는 각각 '''등방성 몰입'''(isotropic immersion^영어)과 '''라그랑주 몰입'''(Lagrangian immersion^영어)이라고 부른다.

2. 1. 라그랑주 부분 다양체

2n

차원 심플렉틱 다양체

(M,\omega)

속의 매끄러운 부분 다양체

\iota\colon N\hookrightarrow M

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''등방성 부분 다양체'''(isotropic submanifold^영어)라고 한다.

:

\iota^*\omega=0

이는 심플렉틱 형식

\omega

를 부분 다양체

N

으로 가져왔을 때 0이 된다는 의미이다.

2n

차원 심플렉틱 다양체에서 차원이

n

인 등방성 부분 다양체를 '''라그랑주 부분 다양체'''(Lagrangian submanifold^영어)라고 부른다. 즉, 라그랑주 부분 다양체는 가능한 등방성 부분 다양체 중에서 가장 큰 차원을 가진다.

만약

\iota

가 매끄러운 매장이 아니라 매끄러운 몰입일 경우에도 유사하게 정의할 수 있다. 이 경우 '''등방성 몰입'''(isotropic immersion^영어) 및 '''라그랑주 몰입'''(Lagrangian immersion^영어)이라고 한다.

2. 2. 라그랑주 올뭉치

'''라그랑주 올뭉치'''(Lagrangian fibration^eng)는 다음과 같이 정의된다.

:

L\stackrel\iota\hookrightarrow M\stackrel\pi\twoheadrightarrow B

위 식은 일반적인 올

L

이 전체 공간

(M,\omega)

의 라그랑주 부분 다양체를 이루는 올뭉치를 나타낸다. 이 경우, 합성 함수

\pi\circ\iota\colon L\to B

를 생각할 수 있다. 이때, 함수

\pi

가 국소 미분 동형이 되지 않는 점, 즉

n\times n

행렬

D(\pi\circ\iota)

의 계수가

n

보다 작은 점들의 집합

:

\{b\in B\colon \operatorname{rank}D(\pi\circ\iota)|_b

을 라그랑주 올뭉치의 '''초점면'''(焦點面, caustic^eng)이라고 한다.

2. 3. 특수 라그랑주 부분 다양체

차원이

2n

인 켈러 다양체

M

이 주어졌다고 하자. 이 다양체 위의 부피 형식이

\omega^n/n!

라고 가정한다. 또한,

(n,0)

형태의 복소수 미분 형식

\Omega

가 다음 조건을 만족한다고 하자:

:

\Omega\wedge\bar\Omega=\omega^n/n!

이 복소수 미분 형식

\Omega

를 실수 성분

\Omega_1

과 허수 성분

\Omega_2

로 다음과 같이 분해할 수 있다:

:

\Omega=\Omega_1+i\Omega_2,\qquad\Omega_1,\Omega_2\in H^n(M;\mathbb R)

여기서

\Omega_1

과

\Omega_2

는 실수 계수를 가지는

n

차 코호몰로지 원소이다.

이러한 설정에서,

(M,\Omega)

안의 '''특수 라그랑주 부분 다양체'''(special Lagrangian submanifold^영어)는 다음 조건을 만족하는 라그랑주 부분 다양체

\iota\colon L\hookrightarrow M

를 말한다:

:

\iota^*\Omega_2=0

즉, 부분 다양체

L

위에서 복소수 미분 형식

\Omega

의 허수 성분이 0이 되어야 한다.

칼라비-야우 다양체 안의 특수 라그랑주 부분 다양체라는 개념은 끈 이론, 특히 거울 대칭 이론에서 중요한 역할을 한다.

3. 성질

임의의 두 심플렉틱 다양체 $(M_1, \omega_1)$ 와 $(M_2, \omega_2)$ 사이의 미분 동형 사상 $f \colon M_1 \to M_2$ 가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[1]

$f$ 는 심플렉틱 사상이다. 즉, $f^* \omega_2 = \omega_1$ 을 만족한다.
$f$ 의 그래프 $\{(x, f(x)) \colon x \in M_1\} \subset M_1 \times M_2$ 는 곱공간 $(M_1 \times M_2, \omega_1 \oplus (-\omega_2))$ 의 라그랑주 부분 다양체이다.

4. 예

라그랑주 부분 다양체는 다양한 수학적, 물리적 맥락에서 중요한 역할을 한다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

심플렉틱 벡터 공간에서의 '''라그랑주 부분 벡터 공간'''과 그 모듈라이 공간인 '''라그랑주 그라스만 다양체'''가 있다.
2차원 심플렉틱 다양체에서는 모든 매끄러운 곡선이 라그랑주 부분 다양체가 된다. 예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 가진 2차원 유클리드 공간 $\mathbb R^2$ 에서 해밀토니언의 준위 집합으로 정의되는 타원은 라그랑주 부분 다양체의 구체적인 예시이다.
임의의 매끄러운 다양체 $M$ 의 공변접다발 $T^*M$ 은 자연스러운 심플렉틱 구조를 가지는데, 여기서 특정 함수 $S$ 의 미분으로 정의되는 부분 다양체는 라그랑주 부분 다양체가 된다. 특히, $M$ 의 0-단면은 중요한 라그랑주 부분 다양체의 예시이다.

이러한 예시들은 라그랑주 부분 다양체의 기하학적, 위상학적 특성을 이해하는 데 도움을 준다.

4. 1. 심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간

2n

차원 심플렉틱 벡터 공간의 부분 벡터 공간 가운데 라그랑주 부분 다양체를 이루는 것을 '''라그랑주 부분 벡터 공간'''(Lagrangian linear subspace^영어)이라고 하며, 그 모듈라이 공간을 '''라그랑주 그라스만 다양체'''(Lagrangian Grassmannian^영어)라고 한다.

심플렉틱 벡터 공간에 심플렉틱 구조와 호환되는 내적을 주면 (이는 표준적이지 않다), 내적의 선택에 따라 라그랑주 그라스만 다양체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\operatorname{LagGrass}(n)\cong\operatorname U(n)/\operatorname O(n)

그러나 이 동형은 내적의 선택에 의존하므로 표준적이지 않다. 라그랑주 그라스만 다양체는 단일 연결 공간이 아니며, 그 기본군은 무한 순환군이다.

:

\pi_1\left(\operatorname{LagGrass}(n)\right)\cong\mathbb Z

이로부터 '''마슬로프 지표'''를 정의할 수 있다.

4. 2. 2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체

2차원 심플렉틱 다양체

(\Sigma,\omega)

안의 매끄러운 곡선

\gamma\subset\Sigma

은 항상 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이는 곡선 위에는 0이 아닌 2차 미분 형식이 존재할 수 없기 때문이다.

예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 가진 2차원 유클리드 공간

\mathbb R^2=T^*\mathbb R

을 생각해 보자. 이 공간에서 임의의 곡선

\gamma\subset\mathbb R^2

은 라그랑주 부분 다양체가 된다. 이때,

x

축으로의 사영(projection)

:

\pi\colon\mathbb R^2\to\mathbb R

:

\pi\colon(x,p)\mapsto x

을 정의할 수 있다. 이 사영에 대한 곡선의 초점면(focal surface)은 곡선의 기울기가 무한대가 되는 점, 즉 접선이

p

축과 평행한 점들을 의미한다.

구체적인 예로 타원

:

\frac12kx^2+\frac1{2m}p^2=E

을 들 수 있다. 이 타원은 해밀토니언

H(x,p)=kx^2/2+p^2/2m

의 값이

E

로 일정한 점들의 집합, 즉 준위 부분 집합

\{(x,p)\colon H(x,p)=E\}

이며, 라그랑주 부분 다양체이다. 이 타원의 초점면은 운동량

p

가 0이 되는 두 점

:

\{\sqrt{2E/k},-\sqrt{2E/k}\}

이다.

4. 3. 공변접다발

매끄러운 다양체

M

위의 공변접다발

T^*M

은 자연스럽게 심플렉틱 다양체의 구조를 가진다. 임의의 매끄러운 함수

S

가

M

에서 실수

\mathbb R

로 가는 함수라고 할 때 (

S\colon M\to\mathbb R

), 공변접다발

T^*M

안에 다음과 같은 부분 다양체를 생각할 수 있다.

:

\left\{(x,\partial_\mu S(x))\colon x\in M\right\}\subset T^*M

여기서

\partial_\mu S(x)

는 점

x

에서 함수

S

의 미분 (또는 기울기)을 나타낸다. 이렇게 정의된 부분 다양체는

T^*M

의 라그랑주 부분 다양체가 된다.

특히, 함수

S

가 상수 함수

S=0

인 경우를 생각해보자. 이때 미분은

\partial_\mu S(x) = 0

이 되므로, 위에서 정의한 부분 다양체는

M

의 0-단면(zero section), 즉

:

\left\{(x, 0)\colon x\in M\right\}\subset T^*M

이 된다. 이 0-단면 역시 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이는 종종 원래의 다양체

M

자체를 공변접다발

T^*M

안의 라그랑주 부분 다양체로 간주하는 것과 같다.

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