라그랑주 부분 다양체

1. 개요

라그랑주 부분 다양체는 심플렉틱 다양체의 특별한 부분 다양체로, 등방성 부분 다양체 중 최대 차원을 갖는 것을 의미한다. 등방성 부분 다양체는 심플렉틱 형식을 국한했을 때 0이 되는 부분 다양체를 말하며, 라그랑주 부분 다양체는 2n차원 심플렉틱 다양체의 n차원 등방성 부분 다양체이다. 라그랑주 올뭉치, 특수 라그랑주 부분 다양체 등 관련 개념들이 존재하며, 심플렉틱 사상과 라그랑주 부분 다양체의 관계, 심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간, 2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체, 공변접다발 등 다양한 예시가 존재한다.

2. 정의

심플렉틱 다양체 $(M,\backslash omega)$ 안에는 특별한 성질을 만족하는 부분 다양체들을 정의할 수 있다.

부분 다양체 $N$ 위에서 심플렉틱 형식 $\backslash omega$가 사라질 때, 즉 $\backslash omega$를 $N$으로 제한했을 때 0이 될 경우, 이를 등방성 부분 다양체(isotropic submanifold^영어)라고 부른다.

만약 $M$의 차원이 $2n$일 때, 차원이 $n$인 등방성 부분 다양체를 특별히 라그랑주 부분 다양체(Lagrangian submanifold^영어)라고 한다. 이는 가능한 등방성 부분 다양체 중에서 가장 큰 차원을 가지는 경우에 해당한다.

이러한 정의는 부분 다양체가 매끄러운 매장이 아닌 매끄러운 몰입인 경우에도 확장될 수 있으며, 이때는 각각 등방성 몰입(isotropic immersion^영어)과 라그랑주 몰입(Lagrangian immersion^영어)이라고 부른다.

2.1. 라그랑주 부분 다양체

$2n$차원 심플렉틱 다양체 $(M,\backslash omega)$ 속의 매끄러운 부분 다양체 $\backslash iota\backslash colon\; N\backslash hookrightarrow\; M$가 다음 조건을 만족시킨다면, 등방성 부분 다양체(isotropic submanifold^영어)라고 한다.
:$\backslash iota^*\backslash omega=0$
이는 심플렉틱 형식 $\backslash omega$를 부분 다양체 $N$으로 가져왔을 때 0이 된다는 의미이다.

$2n$차원 심플렉틱 다양체에서 차원이 $n$인 등방성 부분 다양체를 라그랑주 부분 다양체(Lagrangian submanifold^영어)라고 부른다. 즉, 라그랑주 부분 다양체는 가능한 등방성 부분 다양체 중에서 가장 큰 차원을 가진다.

만약 $\backslash iota$가 매끄러운 매장이 아니라 매끄러운 몰입일 경우에도 유사하게 정의할 수 있다. 이 경우 등방성 몰입(isotropic immersion^영어) 및 라그랑주 몰입(Lagrangian immersion^영어)이라고 한다.

2.2. 라그랑주 올뭉치

라그랑주 올뭉치(Lagrangian fibration^영어)는 다음과 같이 정의된다.
:$L\backslash stackrel\backslash iota\backslash hookrightarrow\; M\backslash stackrel\backslash pi\backslash twoheadrightarrow\; B$
위 식은 일반적인 올 $L$이 전체 공간 $(M,\backslash omega)$의 라그랑주 부분 다양체를 이루는 올뭉치를 나타낸다. 이 경우, 합성 함수 $\backslash pi\backslash circ\backslash iota\backslash colon\; L\backslash to\; B$를 생각할 수 있다. 이때, 함수 $\backslash pi$가 국소 미분 동형이 되지 않는 점, 즉 $n\backslash times\; n$ 행렬 $D(\backslash pi\backslash circ\backslash iota)$의 계수가 $n$보다 작은 점들의 집합
:
을 라그랑주 올뭉치의 초점면(焦點面, caustic^영어)이라고 한다.

2.3. 특수 라그랑주 부분 다양체

차원이 $2n$인 켈러 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. 이 다양체 위의 부피 형식이 $\backslash omega^n/n!$라고 가정한다. 또한, $(n,0)$ 형태의 복소수 미분 형식 $\backslash Omega$가 다음 조건을 만족한다고 하자:
:$\backslash Omega\backslash wedge\backslash bar\backslash Omega=\backslash omega^n/n!$
이 복소수 미분 형식 $\backslash Omega$를 실수 성분 $\backslash Omega\_1$과 허수 성분 $\backslash Omega\_2$로 다음과 같이 분해할 수 있다:
:$\backslash Omega=\backslash Omega\_1+i\backslash Omega\_2,\backslash qquad\backslash Omega\_1,\backslash Omega\_2\backslash in\; H^n(M;\backslash mathbb\; R)$
여기서 $\backslash Omega\_1$과 $\backslash Omega\_2$는 실수 계수를 가지는 $n$차 코호몰로지 원소이다.

이러한 설정에서, $(M,\backslash Omega)$ 안의 특수 라그랑주 부분 다양체(special Lagrangian submanifold^영어)는 다음 조건을 만족하는 라그랑주 부분 다양체 $\backslash iota\backslash colon\; L\backslash hookrightarrow\; M$를 말한다:
:$\backslash iota^*\backslash Omega\_2=0$
즉, 부분 다양체 $L$ 위에서 복소수 미분 형식 $\backslash Omega$의 허수 성분이 0이 되어야 한다.

칼라비-야우 다양체 안의 특수 라그랑주 부분 다양체라는 개념은 끈 이론, 특히 거울 대칭 이론에서 중요한 역할을 한다.

3. 성질

임의의 두 심플렉틱 다양체 $(M\_1,\; \backslash omega\_1)$와 $(M\_2,\; \backslash omega\_2)$ 사이의 미분 동형 사상 $f\; \backslash colon\; M\_1\; \backslash to\; M\_2$가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $f$는 심플렉틱 사상이다. 즉, $f^*\; \backslash omega\_2\; =\; \backslash omega\_1$을 만족한다.
* $f$의 그래프 $\backslash \{(x,\; f(x))\; \backslash colon\; x\; \backslash in\; M\_1\backslash \}\; \backslash subset\; M\_1\; \backslash times\; M\_2$는 곱공간 $(M\_1\; \backslash times\; M\_2,\; \backslash omega\_1\; \backslash oplus\; (-\backslash omega\_2))$의 라그랑주 부분 다양체이다.

4. 예

라그랑주 부분 다양체는 다양한 수학적, 물리적 맥락에서 중요한 역할을 한다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

* 심플렉틱 벡터 공간에서의 라그랑주 부분 벡터 공간과 그 모듈라이 공간인 라그랑주 그라스만 다양체가 있다.
* 2차원 심플렉틱 다양체에서는 모든 매끄러운 곡선이 라그랑주 부분 다양체가 된다. 예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 가진 2차원 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^2$에서 해밀토니언의 준위 집합으로 정의되는 타원은 라그랑주 부분 다양체의 구체적인 예시이다.
* 임의의 매끄러운 다양체 $M$의 공변접다발 $T^*M$은 자연스러운 심플렉틱 구조를 가지는데, 여기서 특정 함수 $S$의 미분으로 정의되는 부분 다양체는 라그랑주 부분 다양체가 된다. 특히, $M$의 0-단면은 중요한 라그랑주 부분 다양체의 예시이다.

이러한 예시들은 라그랑주 부분 다양체의 기하학적, 위상학적 특성을 이해하는 데 도움을 준다.

4.1. 심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간

$2n$차원 심플렉틱 벡터 공간의 부분 벡터 공간 가운데 라그랑주 부분 다양체를 이루는 것을 라그랑주 부분 벡터 공간(Lagrangian linear subspace^영어)이라고 하며, 그 모듈라이 공간을 라그랑주 그라스만 다양체(Lagrangian Grassmannian^영어)라고 한다.

심플렉틱 벡터 공간에 심플렉틱 구조와 호환되는 내적을 주면 (이는 표준적이지 않다), 내적의 선택에 따라 라그랑주 그라스만 다양체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$\backslash operatorname\{LagGrass\}(n)\backslash cong\backslash operatorname\; U(n)/\backslash operatorname\; O(n)$
그러나 이 동형은 내적의 선택에 의존하므로 표준적이지 않다. 라그랑주 그라스만 다양체는 단일 연결 공간이 아니며, 그 기본군은 무한 순환군이다.
:$\backslash pi\_1\backslash left(\backslash operatorname\{LagGrass\}(n)\backslash right)\backslash cong\backslash mathbb\; Z$
이로부터 마슬로프 지표를 정의할 수 있다.

4.2. 2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체

2차원 심플렉틱 다양체 $(\backslash Sigma,\backslash omega)$ 안의 매끄러운 곡선 $\backslash gamma\backslash subset\backslash Sigma$은 항상 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이는 곡선 위에는 0이 아닌 2차 미분 형식이 존재할 수 없기 때문이다.

예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 가진 2차원 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^2=T^*\backslash mathbb\; R$을 생각해 보자. 이 공간에서 임의의 곡선 $\backslash gamma\backslash subset\backslash mathbb\; R^2$은 라그랑주 부분 다양체가 된다. 이때, $x$축으로의 사영(projection)
:$\backslash pi\backslash colon\backslash mathbb\; R^2\backslash to\backslash mathbb\; R$
:$\backslash pi\backslash colon(x,p)\backslash mapsto\; x$
을 정의할 수 있다. 이 사영에 대한 곡선의 초점면(focal surface)은 곡선의 기울기가 무한대가 되는 점, 즉 접선이 $p$축과 평행한 점들을 의미한다.

구체적인 예로 타원
:$\backslash frac12kx^2+\backslash frac1\{2m\}p^2=E$
을 들 수 있다. 이 타원은 해밀토니언 $H(x,p)=kx^2/2+p^2/2m$의 값이 $E$로 일정한 점들의 집합, 즉 준위 부분 집합 $\backslash \{(x,p)\backslash colon\; H(x,p)=E\backslash \}$이며, 라그랑주 부분 다양체이다. 이 타원의 초점면은 운동량 $p$가 0이 되는 두 점
:$\backslash \{\backslash sqrt\{2E/k\},-\backslash sqrt\{2E/k\}\backslash \}$
이다.

4.3. 공변접다발

매끄러운 다양체 $M$ 위의 공변접다발 $T^*M$은 자연스럽게 심플렉틱 다양체의 구조를 가진다. 임의의 매끄러운 함수 $S$가 $M$에서 실수 $\backslash mathbb\; R$로 가는 함수라고 할 때 ($S\backslash colon\; M\backslash to\backslash mathbb\; R$), 공변접다발 $T^*M$ 안에 다음과 같은 부분 다양체를 생각할 수 있다.
:$\backslash left\backslash \{(x,\backslash partial\_\backslash mu\; S(x))\backslash colon\; x\backslash in\; M\backslash right\backslash \}\backslash subset\; T^*M$
여기서 $\backslash partial\_\backslash mu\; S(x)$는 점 $x$에서 함수 $S$의 미분 (또는 기울기)을 나타낸다. 이렇게 정의된 부분 다양체는 $T^*M$의 라그랑주 부분 다양체가 된다.

특히, 함수 $S$가 상수 함수 $S=0$인 경우를 생각해보자. 이때 미분은 $\backslash partial\_\backslash mu\; S(x)\; =\; 0$이 되므로, 위에서 정의한 부분 다양체는 $M$의 0-단면(zero section), 즉
:$\backslash left\backslash \{(x,\; 0)\backslash colon\; x\backslash in\; M\backslash right\backslash \}\backslash subset\; T^*M$
이 된다. 이 0-단면 역시 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이는 종종 원래의 다양체 $M$ 자체를 공변접다발 $T^*M$ 안의 라그랑주 부분 다양체로 간주하는 것과 같다.