정오포체
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1. 개요
정오포체는 4차원 단순체이자 가장 간단한 4-다포체로, 5개의 정점을 가지며 자기 쌍대 다포체이다. 이 도형은 5개의 정사면체로 구성되며, 10개의 면과 10개의 모서리를 갖는다. 정오포체의 구성 행렬은 꼭짓점, 모서리, 면, 세포의 관계를 나타내며, 4차원 유클리드 공간에서 다양한 회전이 가능하다. 정오포체는 3차원으로 투영될 수 있으며, 다양한 불규칙 형태와 등변 형태를 가진다. 또한, 콕서터 군에 의해 구성된 균일 다포체 중 하나이며, 정다포체와 밀접한 관련이 있다.
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| 정오포체 | |
|---|---|
| 명칭 | |
| 이름 | 5-세포 (오포체) |
| 종류 | 볼록 정사포체 |
| 패밀리 | 단순체 |
| 기하학적 속성 | |
| 슐레플리 기호 | {3,3,3} |
| 세포 | 5개 {3,3} 20px |
| 면 | 10개 {3} 20px |
| 모서리 개수 | 10 |
| 꼭짓점 개수 | 5 |
| 꼭짓점 도형 | 80px (정사면체) |
| 페트리 다각형 | 오각형 |
| 대칭군 | A4, [3,3,3] |
| 쌍대 | 자기 쌍대 |
| 속성 | 볼록, 등각, 등변, 등면 |
| 번호 | |
| 색인 | 1 |
| 다음 | 2 |
2. 성질
5-세포는 4차원 단순체이며, 가능한 가장 간단한 4-다포체이다. 고차원에서 사면체와 유사한 다포체이다. 같은 초평면에 있지 않은 다섯 개의 점으로 형성된다(사면체가 같은 평면에 있지 않은 네 개의 점으로, 삼각형이 같은 선에 있지 않은 세 개의 점으로 형성되는 것과 유사하다).
5-세포는 자기 쌍대 다포체로, 그 쌍대 다포체는 자기 자신이다. 3차원 공간과의 최대 교차는 삼각 기둥이다. 이면각은 이다.
5-세포는 주어진 반지름 또는 꼭짓점 수에서 부피 순으로 6개의 볼록 정규 4-다포체 시퀀스에서 첫 번째이다. 이중 구성에서 두 개의 5-세포의 볼록 껍질은 쌍절단 5-세포의 이중인 이축형 30-세포이다.
2. 1. 구성 (Configuration)
구성 행렬은 5-세포를 나타낸다. 행과 열은 꼭짓점, 모서리, 면, 세포에 해당한다. 대각선 숫자는 전체 5-세포에서 각 요소가 몇 개나 발생하는지 나타낸다. 비대각선 숫자는 열의 요소가 행의 요소 내 또는 요소에 몇 개나 발생하는지 나타낸다. 이 자기 쌍대 다포체의 행렬은 180도 회전과 동일하다.[1]
''n''차원 면의 수는 이다(0≦n≦3). 즉, 꼭짓점과 4차원 세포는 각각 5개, 변과 면은 각각 10개이다.
- 4차원 세포는 사면체, 면은 삼각형이다.
- 꼭짓점 모양은 사면체이다. 꼭짓점에는 4개의 변, 6개의 면, 4개의 4차원 세포가 모인다.
- 변 모양은 삼각형이다. 변에는 면과 4차원 세포가 3개씩 모인다.
- 면 모양은 선분이다. 면에는 4차원 세포가 2개씩 모인다.
2. 2. 기하학적 성질
5-세포는 정점을 통과하는 이변형 중심 평면만 존재한다. 10개의 이변형 중심 평면이 있으며, 여기서 각 정점 쌍은 5-세포의 축이 아닌 모서리이다. 각 이변형 평면은 다른 3개와 직교하지만, 그 어떤 것과도 완전히 직교하지 않는다. 5-세포의 특징적인 이소클라인 회전은 불변 평면의 쌍으로, 10개의 이변형 평면과 완전히 직교하는 중심 평면을 가지며, 이는 5-세포 정점과 교차하지 않는 0-각형 평면이다.
5개의 모서리를 따라 5개의 모든 정점을 통과하는 5-세포의 회로를 만드는 방법은 단 두 가지뿐이므로, 5-세포의 큰 이변형의 두 개의 이산 올김이 있다. 두 개의 올김 각각은 5개의 모든 정점을 주기가 5인 회로로 회전시키는 좌우 쌍의 이소클라인 회전에 해당한다. 5-세포에는 두 개의 서로 다른 주기 5 ''이소클라인''(5개의 모든 정점을 통과하는 원)이 있으며, 각각은 두 개의 다른 올김에서 오른쪽 회전의 단일 이소클라인 및 왼쪽 회전의 단일 이소클라인 역할을 한다.
아래에서 회전하는 5-세포는 네 번째 차원을 압축하고 색상으로 표시하여 시각화된다. 클리포드 토러스는 직사각형(래핑) 형태로 묘사된다.
3. 투영 (Projections)
A4 코세터 평면은 5-세포를 정오각형과 오각별로 투영한다. 5-세포의 A3 코세터 평면 투영은 정사각뿔의 투영이다. 정 5-세포의 A2 코세터 평면 투영은 중심에 두 개의 반대쪽 꼭짓점이 있는 삼각 쌍뿔(두 개의 정사면체가 면 대 면으로 연결됨)의 투영이다.
| 3차원으로의 투영 | |
|---|---|
 5-세포의 정점 우선 투영은 정사면체 투영 덮개를 갖는다. 5-세포의 가장 가까운 정점은 정사면체의 중심에 투영되며, 여기서는 빨간색으로 표시된다. 가장 먼 세포는 정사면체 덮개 자체에 투영되는 반면, 나머지 4개의 세포는 중심 정점을 둘러싼 4개의 평평한 정사면체 영역에 투영된다. |  5-세포의 가장자리 우선 투영은 삼각 쌍뿔 덮개를 갖는다. 가장 가까운 가장자리(여기 빨간색으로 표시됨)는 쌍뿔의 축에 투영되며, 이를 둘러싼 세 개의 세포는 서로 120도 각도로 이 축을 중심으로 배열된 3개의 정사면체 부피에 투영된다. 나머지 2개의 세포는 쌍뿔의 두 반쪽에 투영되며 5-세포의 반대쪽에 있다. |
 5-세포의 면 우선 투영도 삼각 쌍뿔 덮개를 갖는다. 가장 가까운 면은 여기 빨간색으로 표시된다. 이 면에서 만나는 두 개의 세포는 쌍뿔의 두 반쪽에 투영된다. 나머지 세 개의 세포는 4D 관점에서 5-세포의 반대쪽에 있으며, 명확성을 위해 이미지에서 제거되었다. 가장자리 우선 투영과 마찬가지로 쌍뿔의 중심 축을 중심으로 배열된다. |  5-세포의 세포 우선 투영은 정사면체 덮개를 갖는다. 가장 가까운 세포는 전체 덮개에 투영되며, 4D 관점에서 다른 4개의 세포를 가린다. 따라서 여기서는 렌더링되지 않는다. |
4. 불규칙 5-세포 (Irregular 5-cells)
5-세포체는 단순체의 일종으로, 특정 불규칙 형태가 정규 형태보다 더 기본적인 경우가 있다. 정규 5-세포체는 4차원 공간이나 정규 4-다포체를 채울 수 없지만, 이를 채울 수 있는 불규칙 5-세포체가 존재한다. 이러한 특성 5-세포체는 다양한 4-다포체를 생성하는 여러 콕서터 군의 기본 영역이 된다.
4. 1. 직교 도식 (Orthoschemes)
4차 정규 직교 도식은 10개의 면이 모두 직각 삼각형인 5-포체이다. 정규 직교 도식은 모든 모서리가 서로 수직인 나무의 볼록 껍질인 불규칙한 단순체이다. 정규 직교 도식은 정규 다포체의 특성 단순체이다.[1] 예를 들어 4-입방체(테서랙트)는 24개의 4-정규 직교 도식으로 분할될 수 있다.
4-입방체는 24개의 4-정규 직교 도식으로 8가지 방법으로 분할할 수 있으며, 6개의 4-정규 직교 도식이 4개의 직교 테서랙트 긴 지름 각각을 둘러싼다.
더 일반적으로, 모든 정규 다포체는 정규 다포체의 중심에서 모두 만나는 ''g''개의 특성 정규 직교 도식 인스턴스로 분할할 수 있다. 숫자 ''g''는 다포체의 ''차수''이다. 더욱 일반적으로, 특성 단순체는 정규 다포체의 모든 필수 원소를 가지고 있기 때문에 균일 다포체를 채울 수 있다. 또한 원소 사이의 모든 필수 각도(90도에서 아래로)를 가지고 있다. 특성 단순체는 다포체의 유전자 암호이다. 스위스 아미 나이프처럼 복제하여 다포체를 구성하는 데 필요한 모든 것을 하나씩 포함한다.
정규 5-포체를 포함한 모든 정규 다포체는 고유한 특성 정규 직교 도식을 가지고 있다. '''정규 5-포체의 특성 5-포체'''인 4-정규 직교 도식이 있다. 이는 정규 사면체의 특성 사면체를 기반으로 하는 사면체 피라미드이다. 정규 5-포체는 이 특성 4-정규 직교 도식의 120개의 인스턴스로 한 번에 모든 대칭 초평면으로 분할하여 정규 5-포체의 중심에서 모두 만나는 120개의 4-정규 직교 도식으로 나눌 수 있다.
4. 2. 등변 (Isometries)
5-포체는 다양한 낮은 대칭 형태를 가질 수 있다. 그 중 하나인 사면체 피라미드는 3차원 초평면에 정사면체를 밑면으로 하고, 초평면 위에 꼭짓점을 갖는 다면체 피라미드인 5-포체의 특수한 경우이다. 이 피라미드의 네 개 면은 삼각뿔로 이루어져 있다.다음은 정다포체 꼭짓점 도형에서 발견되는 5-포체의 낮은 대칭 형태들이다.
| 대칭 | 이름 | 슐래플리 | 예시 꼭짓점 도형 |
|---|---|---|---|
| [3,3,3] 차수 120 | 정5-포체 | {3,3,3} |  5-단순체 |
| [3,3,1] 차수 24 | 사면체 피라미드 | {3,3}∨( ) |  깎은 5-단순체 |
| [3,2,1] 차수 12 | {3}∨{ } |  이중 깎은 5-단순체 | |
| [3,1,1] 차수 6 | 삼각뿔 피라미드 | {3}∨( )∨( ) |  칸티깎은 5-단순체 |
| ~[5,2]+ 차수 10 |  전깎은 4-단순체 벌집 |
많은 균일 5-폴리토프는 ( )∨{3,3}의 슐래플리 기호를 갖는 사면체 피라미드 꼭짓점 도형을 가진다.
| 슐레겔 도형 | 이름 콕서터 |
|---|---|
 | { }×{3,3,3} |
 | { }×{4,3,3} |
 | { }×{5,3,3} |
| -- | t{3,3,3,3} |
 | t{4,3,3,3} |
 | t{3,4,3,3} |
다른 균일 5-폴리토프는 불규칙적인 5-포체 꼭짓점 도형을 갖는다. 균일 폴리토프의 꼭짓점 도형의 대칭은 콕서터 다이어그램의 링 처리된 노드를 제거하여 나타낸다.
| 대칭 | [3,2,1], 차수 12 | [3,1,1], 차수 6 | [2+,4,1], 차수 8 | [2,1,1], 차수 4 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 슐래플리 | {3}∨{ } | {3}∨( )∨( ) | { }∨{ }∨( ) | |||
| 슐레겔 도형 | -- |  | -- |  |  |  |
| 이름 콕서터 | t12α5 | t12γ5 | t012α5 | t012γ5 | t123α5 | t123γ5 |
| 대칭 | [2,1,1], 차수 2 | [2+,1,1], 차수 2 | [ ]+, 차수 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 슐래플리 | { }∨{ }∨{ }∨( ) | ( )∨( )∨( )∨( )∨( ) | |||
| 슐레겔 도형 |  |  |  |  |  |
| 이름 콕서터 | t0123α5 | t0123γ5 | t0123β5 | t01234α5 | t01234γ5 |
5. 구성 (Construction)
5-세포는 5개의 사면체가 사슬 모양으로 연결되어 4차원 고리로 접힌 보어다이크-콕세터 헬릭스로 구성될 수 있다. 10개의 삼각형 면은 삼각형 타일링 내의 2D 전개도로 볼 수 있는데, 각 꼭짓점 주변에 6개의 삼각형이 있지만 4차원으로 접으면 모서리가 일치하게 된다. 보라색 모서리는 5-세포의 정오각형을, 파란색 모서리는 두 번째 꼭짓점마다 연결되어 5-세포의 ''클리포드 다각형''인 별 모양 오각형을 형성한다. 별 모양 오각형의 파란색 모서리는 5-세포의 ''등경사''의 현으로, 이소클라인 회전이라고도 알려진 클리포드 변위 동안 꼭짓점이 취하는 원형 회전 경로이다.
5-세포는 정점을 통과하는 이변형 중심 평면만 가지고 있다. 5-세포에는 10개의 이변형 중심 평면이 있으며, 여기서 각 정점 쌍은 5-세포의 축이 아닌 모서리이다. 5-세포의 특징적인 이소클라인 회전은 불변 평면의 쌍으로, 10개의 이변형 평면과 완전히 직교하는 중심 평면을 가지며, 이는 5-세포 정점과 교차하지 않는 0-각형 평면이다.
5개의 모서리를 따라 5개의 모든 정점을 통과하는 5-세포의 회로를 만드는 방법은 단 두 가지뿐이므로, 5-세포의 큰 이변형에는 두 개의 이산 올김이 있다. 두 개의 올김 각각은 5개의 모든 정점을 주기가 5인 회로로 회전시키는 좌우 쌍의 이소클라인 회전에 해당한다. 5-세포에는 두 개의 서로 다른 주기 5 ''이소클라인''(5개의 모든 정점을 통과하는 원)이 있으며, 각각은 두 개의 다른 올김에서 오른쪽 회전의 단일 이소클라인 및 왼쪽 회전의 단일 이소클라인 역할을 한다.
5. 1. 전개도 (Net)
다섯 개의 사면체 전개도를 4차원 공간에서 접어 각 사면체가 다른 네 개와 면으로 결합하면, 결과적인 정오포체는 총 5개의 꼭짓점, 10개의 모서리, 10개의 면을 갖는다. 각 꼭짓점에는 네 개의 모서리가 만나고, 각 모서리에는 세 개의 사면체 셀이 만난다.
5. 2. 좌표 (Coordinates)
가장 간단한 데카르트 좌표계는 다음과 같다: (2,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2), (𝜙,𝜙,𝜙,𝜙). 여기서 𝜙는 황금비이다. 이 좌표는 모서리 길이가 2이다. 3차원 공간의 정사면체를 기저로 하는 초피라미드로 볼 수 있다.6. 관련 다포체 및 벌집 (Related polytopes and honeycombs)
오포체는 [3,3,3] 콕서터 군에서 구성된 9개의 균일 다포체 중 가장 간단한 형태이다.
이는 정다포체의 {p,3,3} 수열에 속하며, 사면체 꼭짓점 도형을 갖는다. 4차원 유클리드 공간의 정팔포체 {4,3,3}과 120-포체 {5,3,3}, 그리고 쌍곡 공간의 육각형 타일 벌집 {6,3,3}이 이에 해당한다.
사면체 세포를 가진 세 개의 {3,3,p} 정규 4-다포체 중 하나이며, 16-포체 {3,3,4} 및 600-포체 {3,3,5}와 함께 존재한다. 쌍곡 공간의 6차 정사면체 벌집 {3,3,6} 역시 사면체 세포를 갖는다.
24-포체 {3,4,3}처럼 자기 쌍대이며, 회문 {3,p,3} 슐래플리 기호를 갖는다.
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