정팔포체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 기하학
3. 투영
- 3.1. 2차원 투영
- 3.2. 3차원 투영
4. 테셀레이션
5. 관련 다포체 및 벌집
6. 대중문화 속 정팔포체
7. 갤러리
참조

1. 개요

정팔포체는 4차원 정다포체로, 3개의 정육면체가 각 모서리에서 만나는 형태를 가지며, 슐레플리 기호는 {4,3,3}이다. 이는 8개의 정육면체, 24개의 정사각형, 32개의 모서리, 16개의 꼭짓점으로 구성된다. 정팔포체의 꼭짓점 도형은 사면체이며, 이중 다포체는 정십육포체이다. 정팔포체는 8개의 초평면으로 둘러싸여 있으며, 다양한 투영 방법을 통해 3차원 및 2차원으로 시각화될 수 있다. 정팔포체는 4차원 공간에서 단위 정육면체로 사용되며, 병렬 컴퓨팅 네트워크 토폴로지에도 활용된다. 정팔포체는 로버트 A. 하인라인의 소설, 살바도르 달리의 그림, 그랑 아르슈 건축물, 비디오 게임 등 대중문화에서도 등장한다.

더 읽어볼만한 페이지

4차원 기하학 - 별난 4차원 유클리드 다양체
별난 4차원 유클리드 다양체는 유클리드 공간과 위상동형이지만 매끄러운 구조가 다른 4차원 다양체로, "작은" 별난 R⁴와 "큰" 별난 R⁴로 구분되며, 극대 별난 R⁴의 존재 증명은 4차원 다양체 연구에 큰 영향을 미쳤고, 4차원 구에 대한 별난 구조의 존재 여부는 미해결 문제이다.
4차원 기하학 - 4차원 다포체
4차원 다포체는 4차원 공간에서 꼭짓점, 모서리, 면, 다면체 셀로 구성된 닫힌 도형으로, 각 면은 두 개의 셀에 연결되고 소수의 성질을 가지며, 테서랙트와 같은 예시가 있고, 직교 투영 등의 시각화 방법으로 연구되며, 위상적 특징은 베티 수 등으로 정의되고, 다양한 종류가 존재하며 여러 분야에 응용된다.
4차원 다포체 - 정십육포체
정십육포체는 4차원 공간에서 16개의 정사면체 세포, 32개의 삼각형 면, 24개의 모서리, 8개의 꼭짓점을 가지는 정규 볼록 4-다포체이다.
4차원 다포체 - 슐레플리-헤스 다포체
기하학 - 밀러 지수
밀러 지수는 결정학에서 결정 면과 방향을 나타내기 위해 사용되는 지수이며, 역격자 벡터 또는 격자 벡터 절편의 역수를 통해 정의되며, 물질의 물리적, 화학적 성질 및 기술적 응용에 중요한 역할을 한다.
기하학 - 반지름
반지름은 원의 중심에서 원 위의 점까지의 거리로, 원의 지름과 둘레, 넓이 계산에 사용될 뿐 아니라 정다각형 외접원, 그래프 이론, 극좌표계 등 다양한 분야에서 활용되며, 여러 도형의 반지름을 구하는 공식이 존재하고 한국의 교육, 건축, 디자인 분야에서도 널리 쓰인다.

정팔포체
개요
8-cell-simple.gif
명칭	초입방체
다른 이름	8-세포 4-큐브
종류	볼록 정다포체
속성	볼록 아이소고널 아이소톡설 아이소헤드럴 해너 다포체
패밀리	초입방체
쌍대	정십육포체
기하학적 구성
슐레플리 기호	{4,3,3}
세포	8개 {4,3} [[파일:Hexahedron.png\|20px]]
면	24개 {4}
모서리 개수	32
꼭짓점 개수	16
꼭짓점 도형	[[파일:8-cell verf.svg\|80px]] 사면체
페트리 다각형	팔각형
콕서터 그룹	B₄, [3,3,4]
계열
이전	9
다음	11
영어 명칭
영어	Tesseract

2. 기하학

정팔포체는 4차원 도형으로, 3차원 정육면체를 4차원으로 확장한 것이다. 각 모서리에서 세 개의 정육면체가 만나고, 슐레플리 기호로는 {4, 3, 3}으로 나타낸다. 정팔포체는 384차의 초팔면체 대칭을 갖는다.^[6]

정팔포체의 각 꼭짓점은 네 개의 모서리에 인접해 있으며, 이로 인해 꼭짓점 도형은 사면체가 된다. 정팔포체의 쌍대 다포체는 정십육포체이다.

정팔포체는 8개의 초평면으로 경계가 이루어지며, 서로 평행하지 않은 초평면들이 교차하여 24개의 정사각형 면을 만든다. 각 모서리에서는 3개의 정육면체와 3개의 정사각형이 만나고, 각 꼭짓점에서는 4개의 정육면체, 6개의 정사각형, 4개의 모서리가 만난다. 따라서 정팔포체는 총 8개의 정육면체, 24개의 정사각형, 32개의 모서리, 16개의 꼭짓점으로 구성된다.

정팔포체의 모든 모서리 길이는 같으며, 이는 병렬 컴퓨팅에서 여러 프로세서를 연결하는 네트워크 토폴로지의 기반으로 활용될 때 유용하다. 두 노드 사이의 거리는 최대 4이며, 무게 균형을 위한 다양한 경로가 존재한다.

마름모꼴의 12면체는 정팔포체의 꼭짓점 - 1번째 평행 투영의 볼록한 선체를 형성한다. 이 투영법의 레이어에 있는 꼭짓점의 수는 1, 4, 6, 4, 1로 파스칼의 삼각형의 4번째 행과 같다.

정팔포체의 평행 투영 엔벨로프 (각 포는 다른 색상면으로 그려져 있고 반전된 포는 비연전).

정팔포체의 3차원 공간으로의 첫 번째 포 평행 투영은 정육면체 모양의 엔벨로프를 갖는다. 가장 가까운 포와 가장 먼 포가 정육면체로 투영되고 나머지 6개의 포가 6개의 정사각형 모양의 면에 투영된다.

정팔포체의 3차원 공간으로의 첫 번째 면 평행 투영은 직육면체 모양의 엔벨로프를 갖는다. 이 엔벨로프의 상반부와 하반부에 2쌍의 포가 돌출되어 있으며 나머지 4개의 포는 측면에 투사된다.

정팔포체의 3차원 공간으로의 첫 번째 모서리 평행 투영은 육각기둥 모양의 엔벨로프를 갖는다. 6개의 포는 3차원 입방체의 면이 육각형 엔벨로프로 6개의 마름모에 투영되는 것과 유사한 방식으로 육각기둥에 배치된 마름모꼴 프리즘에 투영되고, 나머지 2개의 포는 각기둥의 밑면에 투영된다.

2. 1. 구성

정팔포체는 슐레플리 기호 {4, 3, 3}으로 표현되며, 384개의 사면체 대칭을 갖는다. 정팔포체는 두 개의 평행한 정육면체를 4차원 공간에서 연결하여 만들 수 있으며, 이는 {4, 3} × { } 형태의 합성 슐레플리 기호로 나타낼 수 있고, 대칭성 순서 96을 갖는다. 또한, 두 개의 정사각형의 곱집합으로 구성된 4-4 듀오프리즘({4}×{4})으로 볼 수도 있으며, 이때는 대칭성 순서 64를 갖는다. 하이퍼래탱글로써는 { } × { } × { } × { } 또는 { }⁴로 나타낼 수 있으며, 대칭성 순서는 16을 갖는다.

정팔포체의 각 꼭짓점은 4개의 모서리와 연결되어 사면체 모양을 이룬다. 정팔포체의 이중 폴리토프는 정십육포체이며, 슐레플리 기호 {3,3,4}를 갖는다.

4차원 유클리드 공간에서 표준 정팔포체는 점 (±1, ±1, ±1, ±1)의 볼록 껍질로 정의된다. 이는 다음 조건을 만족하는 점들로 구성된다.

:

\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb R^4 \,:\, -1 \leq x_i \leq 1 \}

정팔포체는 8개의 초평면(x_i = ±1)으로 둘러싸여 있다. 서로 평행하지 않은 초평면 쌍은 교차하여 24개의 정사각형 면을 만든다. 각 모서리에서는 3개의 정육면체와 3개의 정사각형이 만나고, 각 꼭짓점에서는 4개의 정육면체, 6개의 정사각형, 4개의 모서리가 만난다. 따라서 정팔포체는 총 8개의 정육면체, 24개의 정사각형, 32개의 모서리, 16개의 꼭짓점으로 구성된다.

초입방체의 구성 단계는 다음과 같다.

'''1차원:''' 두 점 A와 B를 연결하여 선분 AB를 만든다.
'''2차원:''' 두 개의 평행한 선분 AB와 CD를 연결하여 정사각형 ABCD를 만든다.
'''3차원:''' 두 개의 평행한 정사각형 ABCD와 EFGH를 연결하여 정육면체 ABCDEFGH를 만든다.
'''4차원:''' 두 개의 평행한 정육면체 ABCDEFGH와 IJKLMNOP를 연결하여 초입방체 ABCDEFGHIJKLMNOP를 만든다.

정팔포체는 2차원 또는 3차원으로 투영할 수 있다. 2차원 평면에 투영된 꼭짓점들의 위치를 조정하면, 정팔포체 내부의 공간 관계는 나타나지 않지만 꼭짓점 연결 구조를 파악할 수 있는 그림을 얻을 수 있다.

정팔포체는 두 개의 정육면체를 결합하여 만들 수 있으며, 이는 정사각형 두 개로 정육면체를 만드는 것과 유사하다. 정팔포체의 모든 모서리는 길이가 같으며, 이는 병렬 컴퓨팅에서 여러 프로세서를 연결하는 네트워크 토폴로지의 기반으로 활용될 수 있다. 두 노드 사이의 거리는 최대 4이며, 무게 균형을 위한 다양한 경로가 존재한다.^[6]

2. 2. 좌표

유클리드 4차원 공간의 표준인 정팔포체는 점 (±1, ±1, ±1, ±1)의 볼록한 선체로 주어진다. 즉, 아래와 같은 점으로 구성된다.

:

\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb R^4 \,:\, -1 \leq x_i \leq 1 \}

단위 정팔포체는 변의 길이가 1이며, 일반적으로 4차원 공간에서 초부피의 기본 단위로 사용된다. 4차원 공간의 데카르트 좌표계에서 단위 정팔포체는 (0, 0, 0, 0)과 (1, 1, 1, 1)의 두 반대 꼭짓점을 가지며, 0과 1의 모든 가능한 조합으로 좌표를 갖는 다른 꼭짓점을 갖는다. 이는 각 축에서 닫힌 단위 구간 [0, 1]의 데카르트 곱이다.

때때로 단위 정팔포체는 원점에 중심을 두고 있어 좌표가

\bigl({\pm\tfrac12}, \pm\tfrac12, \pm\tfrac12, \pm\tfrac12 \bigr)

와 같이 더 대칭적이다. 이는 각 축에서 닫힌 구간

\bigl[{-\tfrac12}, \tfrac12\bigr]

의 데카르트 곱이다.

또 다른 일반적으로 편리한 정팔포체는 각 축에서 닫힌 구간 [-1, 1]의 데카르트 곱이며, 좌표 (±1, ±1, ±1, ±1)에 꼭짓점이 있다. 이 정팔포체는 변의 길이가 2이고 초부피가 16이다.

2. 3. 전개도

정팔포체의 펼침은 전개도라고 불린다. 정팔포체의 전개도는 261개가 있다.^[4] 정팔포체의 펼침은 전개도를 ''쌍을 이룬 트리'' (그래프 이론의 트리와 그 여 그래프의 완전 매칭)에 매핑하여 셀 수 있다.

2. 4. 구성 원리

정팔포체는 여러 가지 방법으로 만들 수 있다. 모든 모서리에 3개의 정육면체가 접혀 있는 정다포체로, 384차의 초팔면체 대칭을 가지는 슐레플리 기호 {4, 3, 3}으로 표현된다. 두 개의 평행한 정육면체로 구성된 4차원 초각기둥으로 만들 수 있으며, 대칭 차수가 96인 복합 슐레플리 기호 {4, 3} × { }로 나타낼 수 있다. 또한 두 개의 정사각형의 데카르트 곱인 4-4 이중각기둥으로 볼 수 있으며, 대칭 차수가 64인 복합 슐레플리 기호 {4} × {4}로 표현할 수 있다. 직교다면체로서는 대칭 차수가 16인 복합 슐레플리 기호 { } × { } × { } × { } 또는 { }⁴로 나타낼 수 있다.

정팔포체의 각 꼭짓점은 네 개의 모서리에 인접해 있으며, 따라서 정팔포체의 꼭짓점 도형은 사면체이다. 정팔포체의 쌍대 다포체는 슐레플리 기호 {3, 3, 4}를 갖는 정십육포체(hexadecachoron^영어 또는 16-cell^영어)이다.

정팔포체는 8개의 3차원 초평면으로 경계가 이루어진다. 평행하지 않은 각 초평면 쌍은 교차하여 24개의 정사각형 면을 형성한다. 각 모서리에서 세 개의 정육면체와 세 개의 정사각형이 교차한다. 각 꼭짓점에는 네 개의 정육면체, 여섯 개의 정사각형 및 네 개의 모서리가 만난다. 전체적으로 정팔포체는 8개의 정육면체, 24개의 정사각형, 32개의 모서리 및 16개의 꼭짓점으로 구성된다.

하이퍼큐브의 구성은 다음과 같이 단계별로 생각할 수 있다.

'''1차원:''' 두 점 A와 B를 연결하여 선분 AB를 만든다.
'''2차원:''' 두 개의 평행한 선분 AB와 CD를 연결하여 정사각형 ABCD를 만든다.
'''3차원:''' 두 개의 평행한 정사각형 ABCD와 EFGH를 연결하여 정육면체 ABCDEFGH를 만든다.
'''4차원:''' 두 개의 평행한 정육면체 ABCDEFGH와 IJKLMNOP를 연결하여 정팔포체 ABCDEFGHIJKLMNOP를 만든다. (단, 두 정육면체의 평행 배치는 4차원 이상의 공간에서만 가능하다.)

정팔포체는 원칙적으로 두 개의 정육면체를 결합하여 얻는다. 각 모서리의 길이는 같으며, 이는 병렬 컴퓨팅에서 여러 프로세서를 연결하는 네트워크 토폴로지의 기반으로 정팔포체를 사용할 때 유용하다. 두 노드 사이의 거리는 최대 4이고, 가중치 균형을 맞출 수 있는 다양한 경로가 존재한다.^[6]

2. 5. 방사형 등변 대칭

정팔포체에 외접하는 초구의 반지름은 정다포체의 중심에서 꼭짓점까지의 거리이며, 정사각뿔대의 경우 이 반지름은 모서리의 길이와 같다. 구의 지름, 즉 정사각뿔대의 반대편 꼭짓점 사이의 대각선 길이는 모서리 길이의 두 배이다. 이러한 속성을 가진 균일 정다포체는 몇 개 없으며, 4차원 정사각뿔대, 24포체, 3차원 깎은 정육면체, 2차원 정육각형 등이 있다. 특히 정사각뿔대는 (0차원 점을 제외하고) ''방사상 등변''인 유일한 초입방체이다. 길이가 1인

n

차원 초입방체의 가장 긴 꼭짓점 간 대각선은

\sqrt{n\vphantom{t}}

이며, 정사각형의 경우

\sqrt2,

정육면체의 경우

\sqrt3,

정사각뿔대의 경우에만

\sqrt4 = 2

모서리 길이이다.

2. 6. 성질

정팔포체는 모든 모서리에 3개의 정육면체가 접혀진 정다포체로, 384개의 사면체 대칭을 가지며 슐레플리 기호는 {4, 3, 3}이다. 정팔포체는 두 개의 평행한 정육면체로 구성된 4차원 하이프리즘으로 만들 수 있으며, 이 경우 대칭성 순서 96을 갖는 합성 슐레플리 기호 {4, 3} × { }로 나타낼 수 있다. 또한 4-4 듀오프리즘으로 볼 때, 2개의 사각형의 곱집합으로 표현되며, 합성 슐레플리 기호는 {4}×{4}이다. 대칭성 순서 16을 갖는 하이퍼래탱글로서는 합성 슐레플리 기호 { } × { } × { } × { } 또는 { }⁴로 나타낼 수 있다.

정팔포체의 각 꼭짓점에는 4개의 모서리가 인접해 있으므로, 정팔포체의 정점도는 사면체이다. 정팔포체의 이중 폴리토프는 정십육포체이며, 슐레플리 기호는 {3,3,4}이다.

정팔포체는 8개의 초평면(x_i = ±1)으로 둘러싸여 있다. 서로 평행하지 않은 초평면 쌍은 교차하여 정팔포체에 24개의 정사각형 면을 만든다. 각 모서리에는 3개의 정육면체와 3개의 정사각형이 교차한다. 모든 꼭짓점에는 4개의 정육면체, 6개의 정사각형, 4개의 모서리가 있다. 따라서 정팔포체는 8개의 정육면체, 24개의 정사각형, 32개의 모서리, 16개의 꼭짓점으로 구성된다.

정팔포체는 기본적으로 두 개의 정육면체를 결합하여 얻을 수 있다. 정팔포체의 각 모서리는 길이가 같다. 이러한 성질은 네트워크 토폴로지에서 여러 프로세서를 병렬 컴퓨팅으로 연결하기 위한 기초로 정팔포체를 사용할 때 유용하다. 두 노드 사이의 거리는 최대 4이며, 무게 균형을 맞출 수 있는 다양한 경로가 존재한다.

단위 정팔포체는 변의 길이가 1이며, 4차원 공간에서 초부피의 기본 단위로 사용된다. 때로는 단위 정팔포체를 원점에 중심을 두어 좌표를

\bigl({\pm\tfrac12}, \pm\tfrac12, \pm\tfrac12, \pm\tfrac12 \bigr)

와 같이 대칭적으로 표현하기도 한다.

정팔포체에 외접하는 초구의 반지름은 정다포체의 중심에서 꼭짓점까지의 거리와 같으며, 정팔포체의 경우 이 반지름은 모서리의 길이와 같다. 초구의 지름, 즉 정팔포체의 반대편 꼭짓점을 잇는 대각선의 길이는 모서리 길이의 두 배이다.

변의 길이가 s인 정팔포체의 경우:

초부피 (4D): $H=s^4$
겉 "부피" (3D): $SV=8s^3$
면 대각선: $d_\mathrm{2}=\sqrt{2} s$
세포 대각선: $d_\mathrm{3}=\sqrt{3} s$
4차원 공간 대각선: $d_\mathrm{4}=2s$

2. 7. 구성 행렬

이 구성 행렬은 정팔포체를 나타낸다. 행과 열은 꼭짓점, 모서리, 면, 그리고 세포에 해당한다. 대각선 숫자는 전체 정팔포체에 각 요소가 몇 개씩 있는지 나타내며, f-벡터 (16,32,24,8)로 축소된다.

비대각선 숫자는 열의 요소가 행의 요소에 몇 개나 포함되어 있는지 또는 행의 요소에 있는지를 나타낸다. 예를 들어, 두 번째 행의 첫 번째 열에 있는 2는 각 모서리에 (즉, 끝점에) 2개의 꼭짓점이 있음을 나타내고, 첫 번째 행의 두 번째 열에 있는 4는 각 꼭짓점에서 4개의 모서리가 만난다는 것을 나타낸다.

가장 아래 행은 면(여기서는 정육면체)의 f-벡터 (8,12,6)를 정의한다. 대각선의 왼쪽 다음 행은 능선 요소(정육면체의 면, 여기서는 정사각형) (4,4)이다.

가장 위쪽 행은 꼭짓점 도형(여기서는 사면체)의 f-벡터 (4,6,4)이다. 다음 행은 꼭짓점 도형 능선(여기서는 삼각형) (3,3)이다.

:

\begin{bmatrix}\begin{matrix}16 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 32 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 24 & 2 \\ 8 & 12 & 6 & 8 \end{matrix}\end{bmatrix}

3. 투영

정팔포체는 정육면체를 3차원 공간에 투영하는 것과 같이 2차원 또는 3차원 공간으로 투영할 수 있다.

정팔포체는 두 개의 정육면체를 결합하여 얻는다. 이는 정사각형 두 개로 이루어진 정육면체와 비슷하게, 정육면체 두 개를 나란히 놓고 해당 꼭짓점을 연결하는 것이다. 정팔포체의 각 모서리는 길이가 같다. 이러한 특징은 네트워크 토폴로지에서 여러 프로세서를 병렬 컴퓨팅으로 연결하기 위한 기초로 정팔포체를 사용할 때 중요하다. 두 노드 사이의 거리는 최대 4이고, 무게 균형을 위한 여러 경로가 존재한다.^[1]

3. 1. 2차원 투영

정팔포체는 3차원 정육면체를 2차원으로 투영하는 것처럼 2차원이나 3차원으로 투영할 수 있다.

2차원 평면에 투영된 꼭짓점들의 위치를 조정하면, 정팔포체 내부의 공간 관계는 나타나지 않지만 꼭짓점의 연결 구조를 보여주는 그림을 얻을 수 있다.

정팔포체의 ''셀 우선'' 평행 투영은 3차원 공간에서 정육면체 모양을 가진다. 가장 가깝거나 먼 셀은 정육면체에 투영되고, 나머지 6개의 셀은 정육면체의 6개의 정사각형 면에 투영된다.

정팔포체의 ''면 우선'' 평행 투영은 3차원 공간에서 육면체 모양을 가진다. 두 쌍의 셀이 육면체의 위아래 절반에 투영되고, 나머지 4개의 셀은 옆면에 투영된다.

정팔포체의 ''모서리 우선'' 평행 투영은 3차원 공간에서 육각 기둥 형태를 가진다. 6개의 셀은 마름모 기둥에 투영되는데, 이는 3차원 정육면체의 면이 꼭짓점 우선 투영에서 육각형 내의 6개의 마름모에 투영되는 방식과 유사하게 육각 기둥에 배치된다. 나머지 두 개의 셀은 기둥 밑면에 투영된다.

정팔포체의 ''꼭짓점 우선'' 평행 투영은 3차원 공간에서 마름모십이면체 모양을 가진다. 정팔포체의 두 꼭짓점이 원점에 투영된다. 마름모십이면체를 4개의 합동 마름모기둥으로 분해하는 방법은 두 가지가 있으며, 총 8개의 가능한 마름모기둥이 생성되며, 각 마름모기둥은 투영된 정팔포체의 정육면체이다. 이 투영은 또한 부피가 가장 큰 투영이다. 투영 벡터의 한 세트는 (1, 1, -1, -1), (-1, 1, -1, 1), (1, -1, -1, 1)이다.

정팔포체의 B₄ 콕세터 평면 투영 내에서 각 개별 정육면체를 보여주는 애니메이션

정사영
콕세터 평면	B₄	B₄ → A₃	A₃
그래프
이중 대칭	[8]	[4]	[4]
콕세터 평면	기타	B₃ / D₄ / A₂	B₂ / D₃
그래프
이중 대칭	[2]	[6]	[4]

--|]]
4차원 공간의 평면에 대해 단순 회전을 수행하는 정팔포체의 3차원 투영. 평면은 그림을 앞-왼쪽에서 뒤-오른쪽으로, 위에서 아래로 이등분한다.

]]
4차원 공간의 두 개의 직교 평면에 대해 이중 회전을 수행하는 정팔포체의 3차원 투영.

숨겨진 부피 제거를 사용한 원근법. 빨간색 모서리는 4차원에서 가장 가깝고, 주변에 4개의 정육면체 셀이 만난다.

정사면체는 정팔포체의 꼭짓점 중심 투영의 볼록 껍질을 형성한다. 8개의 정육면체 셀 중 4개가 표시된다. 16번째 꼭짓점은 무한대로 투영되며, 이 꼭짓점으로 가는 4개의 모서리는 표시되지 않는다.

입체 투영
(모서리는 3-구에 투영됨)

정팔포체의 입체경 3차원 투영 (평행 보기)

입체경 3차원 비무장 초정육면체

3. 2. 3차원 투영

정팔포체의 3차원 투영은 정육면체를 2차원 공간으로 투영하는 것과 유사하게 여러 방식으로 나타낼 수 있다.

'첫 번째 포' 평행 투영: 정육면체 모양의 포락선(엔벨로프)을 가진다. 가장 가깝고 먼 포는 정육면체로 투영되며, 나머지 6개의 포는 정육면체의 6개 정사각형 면에 투영된다.
'첫 번째 면' 평행 투영: 직육면체 모양의 포락선을 가진다. 이 포락선의 상반부와 하반부에 두 쌍의 포가 투영되고, 나머지 4개의 포는 측면에 투영된다.
'첫 번째 모서리' 평행 투영: 육각기둥 모양의 포락선을 가진다. 6개의 포는 육각기둥에 배치된 마름모꼴 프리즘에 투영되고, 나머지 2개의 포는 각기둥의 밑면에 투영된다.

정사영
콕세터 평면	B₄	B₄ → A₃	A₃
그래프
이중 대칭	[8]	[4]	[4]
콕세터 평면	기타	B₃ / D₄ / A₂	B₂ / D₃
그래프
이중 대칭	[2]	[6]	[4]

4. 테셀레이션

정팔포체는 모든 초입방체와 마찬가지로 테셀레이션하여 유클리드 공간을 채운다. 각 면 주위에 4개의 정팔포체로 구성된 자기 쌍대 정팔포체 벌집은 슐래플리 기호 '''{4,3,3,4}'''를 갖는다. 따라서 정팔포체는 이각이 90°이다.^[1]

정팔포체의 반지름 정삼각형 대칭은 모든 차원에서 동일한 크기의 구로 구성된 유일한 규칙적인 체심 입방 격자를 테셀레이션한다.

5. 관련 다포체 및 벌집

정팔포체는 여러 가지 방법으로 만들 수 있다. 정팔포체는 모든 모서리 주위에 함께 접혀진 3개의 정육면체를 가진 정다포체이며, 슐레플리 기호 {4, 3, 3}을 가지고 있고 384개의 사면체 대칭을 가진다. 두 개의 평행 정육면체로 구성된 4차원 초각기둥으로 제작되었으며 대칭성 순서 96을 갖는 합성 슐레플리 기호인 {4, 3} × { }로 명명될 수 있다. 또한 대칭성 순서 64를 갖는 4-4 이중각기둥일 때 2개의 정사각형이 곱집합되며 이것은 합성 슐레플리 기호인 {4} × {4}로 명명될 수 있다.

6. 대중문화 속 정팔포체

로버트 A. 하인라인의 1940년 과학 소설인 "And He Built a Crooked House"는 사차원 초입방체의 형태를 띤 건물을 특징으로 한다.^[8] 이 작품과 마틴 가드너의 1946년 발표된 "The No-Sided Professor"는 독자들에게 뫼비우스 띠, 클라인 병, 그리고 초입방체(테서랙트)를 소개한 최초의 과학 소설 중 하나이다.
살바도르 달리의 1954년 유화인 ''십자가에 못 박힘 (Corpus Hypercubus)''는 사차원 초입방체가 삼차원 라틴 십자가로 펼쳐진 모습을 담고 있다.^[9]
1989년에 완공된 프랑스 파리 근처의 기념비이자 건물인 그랑 아르슈는 기념비의 엔지니어인 에릭 라이첼에 따르면, 초입방체의 투영을 닮도록 설계되었다.^[10]
''Fez''는 다른 캐릭터가 볼 수 없는 두 차원을 넘어 볼 수 있는 능력을 가진 캐릭터를 플레이하며, 이 능력을 사용하여 플랫폼 퍼즐을 풀어야 하는 비디오 게임이다. 플레이어가 세상을 탐색하고 능력을 사용하는 방법을 알려주는 테서랙트인 "닷"이 등장하며, 알려진 차원 공간에 대한 인간의 인식 너머를 보는 주제에 부합한다.^[11]

7. 갤러리

참조

_[1] 웹사이트 The Tesseract - a 4-dimensional cube https://www.cut-the-[...] 2020-11-09
_[2] 서적 The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces University of Groningen
_[3] OED
_[4] 웹사이트 Unfolding an 8-cell http://unfolding.app[...] 2018-01-21
_[5] 간행물 The flip-Graph of the 4-dimensional cube is connected
_[6] 간행물 Minimal triangulation of the 4-cube
_[7] 서적 Regular Complex Polytopes Cambridge University Press
_[8] 간행물 Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction
_[9] 간행물 Dali's dimensions 1998-01-01
_[10] 서적 Knowledge Visualization and Visual Literacy in Science Education Information Science Reference
_[11] 웹사이트 Dot (Character) - Giant Bomb http://www.giantbomb[...] 2018-01-21
_[12] 웹인용 삼각 사각의 비눗방울? http://www2.tokai.or[...] 2016-11-21
_[13] 서적 미술과 삶의 기하학
_[14] 문서 이 tetracube(테트라큐브)라는 용어는 4개의 정육면체로 만들어진 폴리큐브를 의미하기도 한다.
_[15] 서적 초공간의 반투명 폴리토프
_[16] 웹인용 옥스포드 영어사전 http://www.oed.com/v[...] 2016-11-27

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com