지표표

1. 개요

지표표는 유한군 G의 기약 표현을 통해 정의되는 정사각 행렬이다. 이 행렬은 기약 지표들을 켤레류의 대표 원소에 대응시켜 구성되며, 군의 구조와 성질을 파악하는 데 중요한 정보를 제공한다. 지표표는 기약 지표의 수와 켤레류의 수가 같다는 사실을 기반으로 하며, 첫 번째 행은 자명한 표현에 해당한다. 직교 관계를 비롯한 여러 성질을 통해 군의 위수, 정규 부분군, 단순성 등을 분석하는 데 활용된다. 또한, 가약 표현을 기약 표현으로 분해하거나 물 분자와 같은 분자의 진동 모드를 계산하는 데에도 사용된다. 지표표는 일반적으로 군을 동형까지 결정하지 않지만, 외부 자기 동형 사상과 같은 추가적인 정보를 통해 군의 특성을 더 깊이 이해하는 데 기여한다.

2. 정의

유한군 G의 복소수체 C 상의 기약 표현 X: G → GL_n(C)에 대해, 사상 χ = Tr X: G → C를 차수 n의 기약 지표라고 한다. 여기서 Tr은 대각합을 의미한다. 기약 지표의 수와 켤레류의 수는 같다. 군 G의 기약 지표 χ₁, ..., χ_k와 켤레류의 완전 대표계 g₁, ..., g_k에 대해 정사각 행렬 T = [ χ_i(g_j) ]_{1 ≤ i, j ≤ k}를 지표표라고 한다. 지표는 유형 함수이므로 지표표는 모순 없이 결정되지만, 행과 열에 대한 교환을 제외하고는 정해지지 않는다.

3. 성질

Character theory^영어에서, 군의 지표는 다음과 같은 중요한 성질들을 갖는다.

군은 유한군을 의미한다. 군 G의 기약 지표가 이루는 집합을 Irr(G)라고 한다. 군 G의 원 g에 대해 g^G는 켤레류, C_G(g)는 중앙화군을 나타낸다.

* 직교 관계:

::$\backslash frac\{1\}\{\backslash vert\; G\; \backslash vert\}\; \backslash sum\_\{g\; \backslash in\; G\}\; \backslash chi(g)\; \backslash overline\{\backslash psi(g)\}\; =\; \backslash delta\_\{\backslash chi\; \backslash psi\}\; \backslash qquad\; (\backslash chi,\; \backslash psi\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Irr\}(G))$

::$\backslash frac\{1\}\{\backslash vert\; C\_G(g)\; \backslash vert\}\backslash sum\_\{\backslash chi\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Irr\}(G)\}\; \backslash chi(g)\; \backslash overline\{\backslash chi(h)\}\; =\; \backslash delta\_\{g^G\; h^G\}\; \backslash qquad\; (g,\; h\; \backslash in\; G)$

:: 여기서 |G|는 군 G의 위수이다.
* 군의 위수와 기약 지표의 차수의 제곱 합은 같다(직교 관계의 특별한 경우).
* 선형 지표, 즉 차수가 1인 지표의 수와 교환자군의 지수는 같다.
* 기약 지표의 차수는 군의 위수를 나눈다.
* 군의 정규 부분군이 이루는 격자를 알 수 있다. 좀 더 정확히 말하면, 군 G의 모든 정규 부분군은 기약 지표의 핵 kerχ = { g ∈ G | χ(1) = χ(g) }의 몇몇 공통 부분으로 나타낼 수 있다.
* 군의 단순성을 판정할 수 있다. (직전의 성질로부터 정규 부분군에 대해 알 수 있기 때문.)
* 정규 부분군 N에 의한 몫군 G/N의 기약 지표는 자연스러운 일대일 대응에 의해 G의 기약 지표로 간주할 수 있다.

:: Irr(G/N) ↔ { χ ∈ Irr(G) | N ≤ kerχ }

4. 기약 표현으로의 분해

자명하지 않은 가약 표현(reducible representation)의 표현 행렬 R은 닮음 변환을 통해 블록 행렬 R_i ≠ 0으로 분해할 수 있다.
:$$
\mathbf{R} \sim \begin{bmatrix}
\mathbf{R}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{R}_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{R}_{n}
\end{bmatrix}

더 이상 블록 행렬로 분해할 수 없을 때, 각 블록 행렬은 기약 표현의 표현 행렬이 된다.

닮음 변환을 해도 지표는 변하지 않는다. 또한 가약 표현의 표현 행렬의 지표는 각 블록 행렬의 지표를 합한 것과 같다. 따라서 어떤 가약 표현이 주어졌을 때, 지표표만을 사용하여 기약 표현으로 분해할 수 있다. 여기서 가약 표현에 나타나는 기약 표현의 중복도 $n\_i$는 다음과 같이 주어진다.
:$n\_i\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash vert\; G\; \backslash vert\}\backslash sum\_\{g\; \backslash in\; G\}\; \backslash chi\_r(g)\backslash overline\{\backslash chi\_i(g)\}.$
여기서 $\backslash chi\_i$는 기약 표현의 지표, $\backslash chi\_r$는 가약 표현의 지표, |G|는 군 G의 위수이다. 이 식은 지표표의 직교 관계로부터 바로 유도되며, 간약 공식 등으로 불린다.

5. 지표표 계산

지표표 계산은 특정 분자가 속한 점군과 관련된 대칭 조작을 이해하고, 이를 통해 분자의 진동 모드 등을 파악하는 데 사용된다.

가약 표현(Γ_red)의 문자를 결정하는 방법은 다음과 같다.

: 임의의 대칭 연산에 대한 Γ_red의 문자 = 이 연산 동안 이동하지 않은 원자 수 × 각 세 축을 따라 이동하지 않은 원자당 기여

각 대칭 조작에 대해 이동하지 않은 원자당 기여는 다음 표와 같다.

Γ_red를 기약 표현으로 분해하는 공식은 다음과 같다.

:$N\; =\; \backslash frac\{1\}\{h\}\backslash sum\_\{x\}(X^x\_i\; \backslash times\; X^x\_r\backslash times\; n^x)$

여기서,

* h = 군의 차수
* X^x_i = 특정 클래스에 대한 Γ_reducible의 문자
* X^x_r = 특정 클래스에 대한 가약 표현의 문자
* n^x = 클래스 내의 연산 수

5.1. 물 분자의 진동 모드 계산

물 분자(H₂O^영어)는 C_2v 점군에 속하며, 이 점군의 지표표는 다음과 같다.

여기서 첫 번째 행은 대칭 조작, 첫 번째 열은 멀리켄 기호, 다섯 번째와 여섯 번째 열은 축 변수의 함수를 나타낸다.

* x, y, z는 병진 운동 및 IR 활성 띠와 관련이 있다.
* R_x, R_y, R_z는 각 축에 대한 회전과 관련이 있다.
* 2차 함수(x²+y², x²-y², x², y²,z², xy, yz,zx)는 라만 활성 띠와 관련이 있다.

가약 표현 Γ_red의 문자를 결정하는 방법은 다음과 같다.

: 임의의 대칭 연산에 대한 Γ_red의 문자 = 이 연산 동안 이동하지 않은 원자 수 × 각 세 축을 따라 이동하지 않은 원자당 기여

각 대칭 조작에 대해 이동하지 않은 원자당 기여는 다음 표와 같다.


이를 이용하여 물 분자에 대한 Γ_red를 구하면 다음과 같다.


물 분자(C_2v 점군)에 대한 지표표는 다음과 같이 나타낼 수 있다.


Γ_red를 기약 표현으로 분해하면 다음과 같다.

:$N\; =\; \backslash frac\{1\}\{h\}\backslash sum\_\{x\}(X^x\_i\; \backslash times\; X^x\_r\backslash times\; n^x)$

여기서,

* h = 군의 차수
* X^x_i = 특정 클래스에 대한 Γ_reducible의 문자
* X^x_r = 특정 클래스에 대한 가약 표현의 문자
* n^x = 클래스 내의 연산 수

위 식을 이용해 계산하면,

Γ_irreducible = 3A₁ + A₂ + 3B₁ + 2B₂

를 얻는다.

여기서 병진 운동(translational motion)과 회전 운동(rotational motion)에 해당하는 부분을 제거하면 진동 모드 Γ_vibrational을 구할 수 있다.

Γ_{translational} = A₁ + B₁ + B₂

Γ_rotational = A₂ + B₁ + B₂

Γ_vibrational = Γ_irreducible - Γ_{translational} - Γ_rotational
= (3A₁ + A₂ + 3B₁ + 2B₂) - (A₁ + B₁ + B₂) - (A₂ + B₁ + B₂)
= 2A₁ + B₁

따라서 물 분자는 총 3개의 진동 모드를 가지며, 2개의 대칭 진동 모드(2A₁)와 1개의 반대칭 진동 모드(1B₁)를 갖는다.

각 진동 모드가 적외선(IR) 활성인지 또는 라만(Raman) 활성인지 판별하는 규칙은 다음과 같다.

* 어떤 기약 표현에 x, y 또는 z가 있다면, 해당 모드는 IR 활성이다.
* 어떤 기약 표현에 x²+y², x²-y², x², y², z², xy, yz 또는 xz와 같은 이차 함수가 있다면, 해당 모드는 라만 활성이다.
* 만약 어떤 기약 표현에 x, y, z와 이차 함수가 모두 없다면, 해당 모드는 IR 활성도 라만 활성도 아니다.

물 분자의 진동 모드 Γ_vibrational은 x, y 또는 z와 이차 함수를 모두 포함하므로, IR 활성 진동 모드와 라만 활성 진동 모드를 모두 갖는다.

6. 구체적인 예시

유한군의 기약 복소수 문자는 문자표를 형성하며, 이는 군 G에 대한 유용한 정보를 간결하게 담고 있다. 문자표의 각 행은 기약 문자로 표시되고, 해당 행의 항목은 G의 각 켤레류의 대표에 대한 해당 문자의 값이다. (문자는 클래스 함수이기 때문) 열은 G의 켤레류(대표자)로 표시된다.

일반적으로 첫 번째 행은 G가 1차원 벡터 공간에서 모든 $g\backslash in\; G$에 대해 $\backslash rho(g)=1$로 수행하는 자명한 표현의 문자로 표시한다. 따라서 첫 번째 행의 각 항목은 1이다. 첫 번째 열은 항등원으로 표시하는 것이 일반적이며, 이 항목은 기약 문자의 항등원에서의 값, 즉 기약 문자의 차수이다. 차수가 1인 문자를 선형 문자라고 한다.

다음은 세 개의 원소와 생성자 u를 가진 순환군 C₃ = 의 문자표이다.

여기서 ω는 원시 3제곱 단위근이다. 일반 순환군에 대한 문자표는 (스칼라 배수) DFT 행렬이다.

문자표의 첫 번째 행은 항상 1로 구성되며, 이는 항목 1을 포함하는 1×1 행렬로 구성된 1차원 표현인 자명한 표현에 해당한다. 또한, 문자표는 항상 정사각 행렬이다.

그룹 G의 특정 속성은 지표표에서 추론할 수 있다.

* G의 차수는 첫 번째 열의 항목(기약 지표의 차수) 제곱의 합으로 주어진다.
* G의 모든 정규 부분군 및 G가 단순군인지 여부는 지표표에서 확인할 수 있다.
* G의 기약 표현의 수는 G가 갖는 켤레류의 수와 같다.
* G의 교환자 부분군은 G의 선형 지표의 커널의 교집합이다.
* G가 유한하면, G가 아벨 군인 것은 각 켤레류의 크기가 1인 경우와 동치이며, 이는 G의 지표표가 $|G|\; \backslash !\backslash times\backslash !\; |G|$인 경우와 동치이며, 각 기약 지표가 선형인 경우와 동치이다.

일반적으로 지표표는 그룹을 동형까지 결정하지 않는다. 예를 들어, 사원수군과 차수가 8인 이산면체군은 동일한 지표표를 갖는다.