지표표

3. 성질

Character theory|지표 이론^영어에서, 군의 지표는 다음과 같은 중요한 성질들을 갖는다.

군은 유한군을 의미한다. 군 ''G''의 기약 지표가 이루는 집합을 Irr(''G'')라고 한다. 군 ''G''의 원 ''g''에 대해 ''g''^''G''는 켤레류, C_''G''(''g'')는 중앙화군을 나타낸다.

• 직교 관계:^[1]

• 군의 위수와 기약 지표의 차수의 제곱 합은 같다(직교 관계의 특별한 경우).^[1]
• 선형 지표, 즉 차수가 1인 지표의 수와 교환자군의 지수는 같다.^[1]
• 기약 지표의 차수는 군의 위수를 나눈다.^[1]
• 군의 정규 부분군이 이루는 격자를 알 수 있다. 좀 더 정확히 말하면, 군 ''G''의 모든 정규 부분군은 기약 지표의 핵 kerχ = { ''g'' ∈ ''G'' | χ(1) = χ(''g'') }의 몇몇 공통 부분으로 나타낼 수 있다.^[1]
• 군의 단순성을 판정할 수 있다. (직전의 성질로부터 정규 부분군에 대해 알 수 있기 때문.)^[1]
• 정규 부분군 ''N''에 의한 몫군 ''G''/''N''의 기약 지표는 자연스러운 일대일 대응에 의해 ''G''의 기약 지표로 간주할 수 있다.^[1]

4. 기약 표현으로의 분해

자명하지 않은 가약 표현(reducible representation)의 표현 행렬 '''R'''은 닮음 변환을 통해 블록 행렬 '''R'''_''i'' ≠ 0으로 분해할 수 있다.

:$$

\mathbf{R} \sim \begin{bmatrix}

\mathbf{R}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{R}_{2} & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & \cdots & \mathbf{R}_{n}

\end{bmatrix}



더 이상 블록 행렬로 분해할 수 없을 때, 각 블록 행렬은 기약 표현의 표현 행렬이 된다.

닮음 변환을 해도 지표는 변하지 않는다. 또한 가약 표현의 표현 행렬의 지표는 각 블록 행렬의 지표를 합한 것과 같다. 따라서 어떤 가약 표현이 주어졌을 때, 지표표만을 사용하여 기약 표현으로 분해할 수 있다. 여기서 가약 표현에 나타나는 기약 표현의 중복도 $n\_i$는 다음과 같이 주어진다.

:$n\_i\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash vert\; G\; \backslash vert\}\backslash sum\_\{g\; \backslash in\; G\}\; \backslash chi\_r(g)\backslash overline\{\backslash chi\_i(g)\}.$

여기서 $\backslash chi\_i$는 기약 표현의 지표, $\backslash chi\_r$는 가약 표현의 지표, |''G''|는 군 ''G''의 위수이다. 이 식은 지표표의 직교 관계로부터 바로 유도되며, '''간약 공식''' 등으로 불린다^[9].

5. 지표표 계산

지표표 계산은 특정 분자가 속한 점군과 관련된 대칭 조작을 이해하고, 이를 통해 분자의 진동 모드 등을 파악하는 데 사용된다.^[7]

가약 표현(Γ_red)의 문자를 결정하는 방법은 다음과 같다.

: ''임의의 대칭 연산에 대한 Γ''_red''의 문자 = 이 연산 동안 이동하지 않은 원자 수 × 각 세 축을 따라 이동하지 않은 원자당 기여''

각 대칭 조작에 대해 이동하지 않은 원자당 기여는 다음 표와 같다.

Γ_red를 기약 표현으로 분해하는 공식은 다음과 같다.

:$N\; =\; \backslash frac\{1\}\{h\}\backslash sum\_\{x\}(X^x\_i\; \backslash times\; X^x\_r\backslash times\; n^x)$

여기서,

• ''h'' = 군의 차수
• ''X''^x_i = 특정 클래스에 대한 Γ_reducible의 문자
• ''X''^x_r = 특정 클래스에 대한 가약 표현의 문자
• ''n''^x = 클래스 내의 연산 수

5. 1. 물 분자의 진동 모드 계산

여기서 첫 번째 행은 대칭 조작, 첫 번째 열은 멀리켄 기호, 다섯 번째와 여섯 번째 열은 축 변수의 함수를 나타낸다.

• ''x'', ''y'', ''z''는 병진 운동 및 IR 활성 띠와 관련이 있다.
• ''R''_x, ''R''_y, ''R''_z는 각 축에 대한 회전과 관련이 있다.
• 2차 함수(''x''²+''y''², ''x''²-''y''², ''x''², ''y''²,''z''², ''xy'', ''yz'',''zx'')는 라만 활성 띠와 관련이 있다.

이를 이용하여 물 분자에 대한 Γ_red를 구하면 다음과 같다.

물 분자(C_2v 점군)에 대한 지표표는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Γ_red를 기약 표현으로 분해하면 다음과 같다.

:$N\; =\; \backslash frac\{1\}\{h\}\backslash sum\_\{x\}(X^x\_i\; \backslash times\; X^x\_r\backslash times\; n^x)$

여기서,

• ''h'' = 군의 차수
• ''X''^x_i = 특정 클래스에 대한 Γ_reducible의 문자
• ''X''^x_r = 특정 클래스에 대한 가약 표현의 문자
• ''n''^x = 클래스 내의 연산 수

• 어떤 기약 표현에 ''x'', ''y'' 또는 ''z''가 있다면, 해당 모드는 IR 활성이다.
• 어떤 기약 표현에 ''x''²+''y''², ''x''²-''y''², ''x''², ''y''², ''z''², ''xy'', ''yz'' 또는 ''xz''와 같은 이차 함수가 있다면, 해당 모드는 라만 활성이다.
• 만약 어떤 기약 표현에 ''x'', ''y'', ''z''와 이차 함수가 모두 없다면, 해당 모드는 IR 활성도 라만 활성도 아니다.

6. 구체적인 예시

유한군의 기약 복소수 문자는 '''문자표'''를 형성하며, 이는 군 ''G''에 대한 유용한 정보를 간결하게 담고 있다. 문자표의 각 행은 기약 문자로 표시되고, 해당 행의 항목은 ''G''의 각 켤레류의 대표에 대한 해당 문자의 값이다. (문자는 클래스 함수이기 때문) 열은 ''G''의 켤레류(대표자)로 표시된다.

일반적으로 첫 번째 행은 ''G''가 1차원 벡터 공간에서 모든 $g\backslash in\; G$에 대해 $\backslash rho(g)=1$로 수행하는 자명한 표현의 문자로 표시한다. 따라서 첫 번째 행의 각 항목은 1이다. 첫 번째 열은 항등원으로 표시하는 것이 일반적이며, 이 항목은 기약 문자의 항등원에서의 값, 즉 기약 문자의 차수이다. 차수가 1인 문자를 선형 문자라고 한다.

다음은 세 개의 원소와 생성자 ''u''를 가진 순환군 ''C''₃ = ''''의 문자표이다.

여기서 ω는 원시 3제곱 단위근이다. 일반 순환군에 대한 문자표는 (스칼라 배수) DFT 행렬이다.

문자표의 첫 번째 행은 항상 1로 구성되며, 이는 항목 1을 포함하는 1×1 행렬로 구성된 1차원 표현인 자명한 표현에 해당한다. 또한, 문자표는 항상 정사각 행렬이다.

그룹 ''G''의 특정 속성은 지표표에서 추론할 수 있다.

• ''G''의 차수는 첫 번째 열의 항목(기약 지표의 차수) 제곱의 합으로 주어진다.
• ''G''의 모든 정규 부분군 및 ''G''가 단순군인지 여부는 지표표에서 확인할 수 있다.
• ''G''의 기약 표현의 수는 ''G''가 갖는 켤레류의 수와 같다.
• ''G''의 교환자 부분군은 ''G''의 선형 지표의 커널의 교집합이다.
• ''G''가 유한하면, ''G''가 아벨 군인 것은 각 켤레류의 크기가 1인 경우와 동치이며, 이는 ''G''의 지표표가 $|G|\; \backslash !\backslash times\backslash !\; |G|$인 경우와 동치이며, 각 기약 지표가 선형인 경우와 동치이다.