그로텐디크 스펙트럼 열

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1. 개요

그로텐디크 스펙트럼 열은 아벨 범주 사이의 함자에 대한 스펙트럼 열의 한 종류이다. 아벨 범주 $\mathcal A,\mathcal B, \mathcal C$ 와 왼쪽 완전 함자 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ , $G\colon\mathcal B\to\mathcal C$ 가 주어졌을 때, $A$ 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열 $E^{\bullet\bullet}_\bullet$ 은 $E_2^{pq} = (\operatorname R^p G \circ\operatorname R^q F)(A)$ 로 주어지며, 합성 함자 $G\circ F$ 의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다. 르레 스펙트럼 열, 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열 등이 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다. 장 르레가 1946년에 층 코호몰로지를 계산하기 위해 르레 스펙트럼 열을 도입한 것이 스펙트럼 열의 시초이며, 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 아벨 범주 이론을 통해 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입했다.

그로텐디크 스펙트럼 열

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 그로텐디크 스펙트럼 열
- 2.2. 유도 범주와의 관계
3. 성질
- 3.1. 5항 완전열
4. 예
5. 역사

2. 정의

아벨 범주 $\mathcal A$ 와 $\mathcal B$ 가 단사 대상을 충분히 가지는 범주이고, $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ 가 왼쪽 완전 함자일 때, $F$ -비순환 대상(acyclic object^영어)은 모든 양의 정수 $i$ 에 대해 $\operatorname R^iF(A)=0$ 을 만족시키는 대상 $A\in\mathcal A$ 이다.

2.1. 그로텐디크 스펙트럼 열

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $\mathcal A,\mathcal B$ 사이의 $\operatorname{Ab}$ -풍성한 왼쪽 완전 함자 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ 가 주어졌다고 하자. $F$ -비순환 대상(acyclic object^영어)은 다음 조건을 만족시키는 대상 $A\in\mathcal A$ 이다.
: $\forall i\in\mathbb Z^+\colon \operatorname R^iF(A)=0$

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 아벨 범주 $\mathcal A,\mathcal B, \mathcal C$
* 왼쪽 완전 함자 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ , $G\colon\mathcal B\to\mathcal C$
* $\mathcal A$ 의 대상 $A\in\mathcal A$
이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* $\mathcal A$ 와 $\mathcal B$ 는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
* $F$ 는 $F$ -비순환 대상을 $G$ -비순환 대상으로 대응시킨다.
* $A$ 는 $F$ -비순환 대상들로의 분해를 갖는다.
그렇다면, $A$ 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열 $E^{\bullet\bullet}_\bullet$ 은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.
: $E_2^{pq} = (\operatorname R^p G \circ\operatorname R^q F)(A)$
이 스펙트럼 열은 합성 함자의 $G\circ F$ 의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다.
: $E_2^{p,q} \Rightarrow \operatorname R^{p+q} (G\circ F)(A)$
그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, $A$ 와 $F(A)$ 의 단사 분해에 의존한다.

만약 $F \colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 와 $G \colon \mathcal{B}\to\mathcal{C}$ 가 아벨 범주 간의 가법적이고 좌 완전 함자이고, $\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{B}$ 둘 다 충분한 단사 대상을 가지며, $F$ 가 단사 대상을 $G$ -비순환 대상으로 보낸다면, $\mathcal{A}$ 의 각 대상 $A$ 에 대해 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

: $E_2^{pq} = ({\rm R}^p G \circ{\rm R}^q F)(A) \Longrightarrow {\rm R}^{p+q} (G\circ F)(A),$

여기서 ${\rm R}^p G$ 는 $G$ 의 p번째 우 유도 함자를 나타내며, ' $\Longrightarrow$ ' 화살표는 스펙트럼 열의 수렴을 의미한다.

2.2. 유도 범주와의 관계

유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환
: $\operatorname R(G\circ F)\Rightarrow\operatorname RG\circ\operatorname RF\colon\operatorname D(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal C)$
이 존재한다. 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.

3. 성질

함자 $F$ , $G$ 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 중요한 성질 중 하나는 5항 완전열이다.

3.1. 5항 완전열

함자 $F$ , $G$ 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.

: $0\to(\operatorname R^1G\circ F)(A)\to(\operatorname R^1(G\circ F))(A)\to (G\circ\operatorname R^1F)(A)\to(\operatorname R^2G\circ F)(A)\to(\operatorname R^2(G\circ F))(A)$

낮은 차수의 완전 순열은 다음과 같다.

: $0\to {\rm R}^1G(FA)\to {\rm R}^1(GF)(A) \to G({\rm R}^1F(A)) \to {\rm R}^2G(FA) \to {\rm R}^2(GF)(A).$

4. 예

그로텐디크 스펙트럼 열은 다양한 예시를 통해 그 추상적인 정의를 구체화할 수 있다.

* 르레 스펙트럼 열: 연속 함수로 유도되는 층의 직상과 대역 단면 함자에 대한 스펙트럼 열이다.
* 국소-대역 Ext 스펙트럼 열: 환 달린 공간에서 정의되는 가군층들의 Ext 함자를 계산하는 스펙트럼 열이다.
* 밑 전환: 가환환 사이의 환 준동형과 가군이 주어졌을 때, Tor 함자의 밑 전환을 계산하는 스펙트럼 열이다.
* 군 코호몰로지: 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 통해 군 코호몰로지를 계산할 수 있다.

4.1. 르레 스펙트럼 열

연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 의하여 유도되는 층의 직상 $f_*$ 와 층의 대역 단면 함자 $\Gamma_X$ (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 $\operatorname{Sh}(\{\bullet\},\operatorname{Ab})\simeq\operatorname{Ab}$ 로의 직상)에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다. 층의 직상 $f_*\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})$ 은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상
: $f^*\colon\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab}$
: $f^*\dashv f_*$
을 가지므로, 직상 $f_*$ 은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

만약 $X$ 와 $Y$ 가 위상 공간이라면, $\mathcal{A} = \mathbf{Ab}(X)$ 와 $\mathcal{B} = \mathbf{Ab}(Y)$ 를 각각 $X$ 와 $Y$ 위의 아벨 군의 층의 범주라고 하자.

연속 함수 $f \colon X \to Y$ 에 대해 (좌 완전) 직상 함자 $f_* \colon \mathbf{Ab}(X) \to \mathbf{Ab}(Y)$ 가 존재한다. 또한, 전역 단면 함자

: $\Gamma_X \colon \mathbf{Ab}(X)\to \mathbf{Ab}$ 와 $\Gamma_Y \colon \mathbf{Ab}(Y) \to \mathbf {Ab}$ 가 있다.

그러면 $\Gamma_Y \circ f_* = \Gamma_X$ 이고 함자 $f_*$ 와 $\Gamma_Y$ 는 가설을 만족하므로 (직상 함자는 정확한 왼쪽 수반 함자 $f^{-1}$ 를 가지며, 주입 사상의 밀어내기는 주입적이며, 특히 전역 단면 함자에 대해 비순환적이므로) 이 경우의 열은 다음과 같다.

: $H^p(Y,{\rm R}^q f_*\mathcal{F})\implies H^{p+q}(X,\mathcal{F})$

여기서 $\mathcal{F}$ 는 $X$ 위의 아벨 군의 층이다.

4.2. 국소-대역 Ext 스펙트럼 열

환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 두 $\mathcal O_X$ -가군층 $\mathcal F$ , $\mathcal G$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

: $\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}\xrightarrow{\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)}\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_X}\operatorname{Ab}$

이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.

: $E^{p,q}_2(\mathcal G) = \operatorname H^p(X; \mathcal{Ext}^q_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{\Gamma_X(\mathcal O_X)}\left(\Gamma_X(\mathcal F),\Gamma_X(\mathcal G)\right)$

여기서

: $\mathcal{Ext}^q_{\mathcal O_X}(F,-)=\operatorname R^q\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)$

는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의 $\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)$ 함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) $\operatorname{Ext}$ 는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

전역 Ext와 층 Ext를 연관시키는 스펙트럼 열이 있다. $(X, \mathcal{O})$ 의 환 달린 공간 위의 F, G를 가군층이라고 하자. 예를 들어, 스킴이라고 하자. 그러면 다음과 같다.

: $E^{p,q}_2 = \operatorname{H}^p(X; \mathcal{E}xt^q_{\mathcal{O}}(F, G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{\mathcal{O}}(F, G).$

이는 그로텐디크 스펙트럼 열의 한 예시이다. 실제로,

: $R^p \Gamma(X, -) = \operatorname{H}^p(X, -)$ , $R^q \mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(F, -) = \mathcal{E}xt^q_{\mathcal{O}}(F, -)$ 이고 $R^n \Gamma(X, \mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(F, -)) = \operatorname{Ext}^n_{\mathcal{O}}(F, -)$ 이다.

게다가, $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(F, -)$ 는 단사 $\mathcal{O}$ -가군을 $\Gamma(X, -)$ -비순환적인 플라스크 층으로 보낸다. 따라서, 가설이 충족된다.

4.3. 밑 전환

가환환 환 준동형 $f\colon R\to S$ 와 $S$ 위의 가군 $N$ 이 주어졌을 때, Tor 함자의 밑 전환(base change^영어)을 계산하는 그로텐디크 스펙트럼 열을 구성할 수 있다.

함자들은 다음과 같이 정의된다.
: $\operatorname{Mod}_R\xrightarrow{\otimes_RS} \operatorname{Mod}_S\xrightarrow{\otimes_SN}\operatorname{Mod}_S$

$R$ 위의 가군 $M$ 에 대하여, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.
: $E^{p,q}_2(M)=\operatorname{Tor}^S_p(\operatorname{Tor}^R_q(M,S),N)\Rightarrow\operatorname{Tor}^R_{p+q}(M,N)$

만약 $S$ 가 $R$ -평탄 가군이라면, 스펙트럼 열은 다음과 같이 퇴화한다.
: $\operatorname{Tor}^R_q(M,S)=\begin{cases}M\otimes_RS&q=0\\0&q>0\end{cases}$
: $\operatorname{Tor}^S_p(M\otimes_RS,N)\cong\operatorname{Tor}^R_p(M,N)$

4.4. 군 코호몰로지

린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열(Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence^영어)은 군 코호몰로지를 계산하는 데 사용되며, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

유한군 $G$ 와 그 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$ , 그리고 $G$ -가군 $M$ 이 있다고 가정하자. 그러면 다음과 같은 함자들이 존재한다.
: $\operatorname{Mod}_{\mathbb Z[G]}\xrightarrow{(-)^N}\operatorname{Mod}_{\mathbb Z[G/N]}\xrightarrow{(-)^{G/N}}\operatorname{Ab}$
여기서 $(-)^N$ 은 $N$ 의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군을 의미한다.

이 함자들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이 바로 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이며, 다음과 같이 표현된다.
: $\operatorname H^p(G/N;\operatorname H^q(N,M))\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(G;M)$

이에 대응하는 5항 완전열은 팽창-제한 완전열(inflation–restriction exact sequence^영어)이라고 불리며, 다음과 같다.
: $0\to\operatorname H^1(G/N;M^N)\to\operatorname H^1(G;M)\to\operatorname H^1(N;M)^{G/N}\to\operatorname H^2(G/N;M^N)\to\operatorname H^2(G;M)$
여기서 "팽창"은
: $\operatorname H^\bullet(G/N;M)\to\operatorname H^\bullet(G/N;M)$
이고, "제한"은
: $\operatorname H^\bullet(G;M)\to\operatorname H^\bullet(N;M)^{G/M}$
이다.

5. 역사

1946년에 장 르레는 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하여 스펙트럼 열의 최초의 예를 제시하였다. 1948년에는 로저 코넌트 린던(Roger Conant Lyndon^영어)이 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르가 이를 개량하였다.

이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.