반연속 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 정규성과의 관계
참조

1. 개요

반연속 함수는 위상 공간에서 정의되는 함수의 한 종류로, 상반연속 함수와 하반연속 함수로 구분된다. 상반연속 함수는 Y에 하위상을 가했을 때 연속 함수이며, 임의의 y에 대해 {x ∈ X : f(x) < y}가 열린 집합이다. 하반연속 함수는 Y에 상위상을 가했을 때 연속 함수이며, 임의의 y에 대해 {x ∈ X : f(x) > y}가 열린 집합이다. 실수 값 함수의 경우, 상반연속성은 상극한을 통해 정의되며, 하반연속성은 하극한을 통해 정의된다. 반연속 함수는 불연속점의 집합이 제1 범주 집합을 이루며, 여러 가지 성질을 갖는다. 또한 집합 값 함수에서도 상/하반연속성이 정의되며, 정규성과도 관련이 있다.

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반연속 함수
개요
분야	수학
하위 분야	실해석학
관련 개념	연속 함수, 균등 연속, 절대 연속
정의
정의	함수가 특정 조건을 만족하는 성질
성질
연속성	반연속은 연속성보다 약한 조건
상반연속	함수값이 특정 값보다 큰 부분에서 연속적인 성질
하반연속	함수값이 특정 값보다 작은 부분에서 연속적인 성질
베르 함수와의 관계	모든 반연속 함수는 베르 함수임
예시
예시	상반연속 함수: 특정 지점에서 위로 튀어오르는 함수 하반연속 함수: 특정 지점에서 아래로 푹 꺼지는 함수
활용
활용	최적화, 미분방정식, 측도론 등 다양한 분야에서 활용됨

2. 정의

위상 공간 $X$ 에서 전순서 집합 $(Y,\le)$ 로 가는 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대해 두 종류의 반연속성을 정의할 수 있다.

함수 $f$ 가 $Y$ 에 하위상을 부여했을 때 연속 함수이면, 즉 임의의 $y\in Y$ 에 대해 집합 $\{x\in X\colon f(x) 가 열린집합 이면, f 를$ 상반연속 함수라고 한다.

반대로 함수 $f$ 가 $Y$ 에 상위상을 부여했을 때 연속 함수이면, 즉 임의의 $y\in Y$ 에 대해 집합 $\{x\in X\colon f(x)>y\}$ 가 열린집합이면, $f$ 를 하반연속 함수라고 한다.

특히 함수가 확장된 실수 $\overline{\R}=\R \cup \{-\infty,\infty\} = [-\infty,\infty]$ 값을 가질 때, 즉 $f:X\to\overline{\R}$ 일 때, 이러한 정의는 각 점에서 상극한 및 하극한을 이용한 정의와 동치가 된다. 구체적으로, 점 $x_0 \in X$ 에서 함수의 상극한이 $f(x_0)$ 보다 작거나 같으면( $\limsup_{x\to x_0} f(x)\le f(x_0)$ ) 그 점에서 상반연속이고, 하극한이 $f(x_0)$ 보다 크거나 같으면( $\liminf_{x\to x_0} f(x)\ge f(x_0)$ ) 그 점에서 하반연속이다. 함수가 정의역의 모든 점에서 상반연속(또는 하반연속)일 때 그 함수를 상반연속 함수(또는 하반연속 함수)라고 부른다.

2. 1. 상반연속성

위상 공간

X

에서 전순서 집합

(Y,\le)

로 가는 함수

f\colon X\to Y

가 다음 조건을 만족시키면, '''상반연속 함수'''라고 한다.

$Y$ 에 하위상을 가했을 때, $f$ 는 연속 함수이다. 즉, 임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $\{x\in X\colon f(x) 는 열린집합 이다.$

특히 확장된 실수선

\overline{\R}

값을 갖는 함수의 경우, 상반연속성은 상극한 개념을 사용하여 정의할 수 있다. 위상 공간

X

에서

\overline{\R}

로 가는 함수

f\colon X\to\overline{\R}

가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$f$ 는 상반연속 함수이다.
임의의 $x\in X$ 에 대하여, $\limsup_{y\to x}f(y)\le f(x)$ 이다.

함수

f:X\to\overline{\R}

가 '''점

x_0 \in X

에서 상반연속'''이라는 것은, 모든 실수

y > f\left(x_0\right)

에 대하여

x_0

의 근방

U

가 존재하여,

U

에 속하는 모든

x

에 대해

f(x) 를 만족하는 것을 의미한다.

^[2] 이는 상극한을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다. 함수

f

가

x_0

에서 상반연속일 필요충분 조건은 다음과 같다.

\limsup_{x \to x_0} f(x) \leq f(x_0)

만약

X

가 거리 공간이고 거리 함수

d

를 가지며

f(x_0)\in\R

인 경우, 점

x_0

에서의 상반연속성은 연속 함수의 정의와 유사하게

\varepsilon

-

\delta

논법을 사용하여 표현할 수 있다. 즉, 임의의

\varepsilon>0

에 대해 어떤

\delta>0

가 존재하여,

d(x,x_0)<\delta

를 만족하는 모든

x

에 대해

f(x) < f(x_0)+\varepsilon

가 성립한다.

함수

f:X\to\overline{\R}

가 '''상반연속'''이라는 것은 정의역의 모든 점에서 상반연속임을 의미한다. 이는 다음의 동등한 조건들과 같다.^[2]

:1. 정의역의 모든 점

x_0 \in X

에서

\limsup_{x \to x_0} f(x) \leq f(x_0)

이다.

:2. 각

y\in\R

에 대해, 집합

f^{-1}([ -\infty ,y))=\{x\in X : f(x) 는 X 에서 열린 집합이다. (여기서 [ -\infty ,y)=\{t\in\overline{\R}:t 이다.)

:3. 각

y\in\R

에 대해,

y

-상위 레벨 집합

f^{-1}([y, \infty)) = \{x\in X : f(x)\ge y\}

는

X

에서 닫힌 집합이다.

:4. 하위 그래프

\{(x,t)\in X\times\R : t\le f(x)\}

는 곱공간

X\times\R

에서 닫힌 집합이다.

:5. 공역

\overline{\R}

에 왼쪽 순서 위상이 주어졌을 때, 함수

f

는 연속이다. (왼쪽 순서 위상은 모든 구간

[ -\infty,y)

형태의 집합들에 의해 생성되므로, 이는 조건 2와 같은 의미이다.)

2. 2. 하반연속성

위상 공간

X

의 한 점

x_0

에서 정의된 함수

f:X\to\overline{\R}

(여기서

\overline{\R} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}

는 확장된 실수선)가 '''점

x_0

에서 하반연속'''()

x_0

)이라는 것은,

f(x_0)

보다 작은 임의의 실수

y

(

y < f(x_0)

)에 대해,

x_0

의 적절한 근방

U

가 존재하여 그 근방 안의 모든 점

x \in U

에 대해

f(x) > y

가 성립하는 것을 의미한다.

이는 하극한을 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다. 함수

f

가 점

x_0

에서 하반연속일 필요충분 조건은 다음 부등식이 성립하는 것이다.

:

\liminf_{x \to x_0} f(x) \ge f(x_0)

만약

X

가 거리 공간이고 거리 함수가

d

이며

f(x_0)

가 유한한 실수 값이라면, 점

x_0

에서의 하반연속성은 다음과 같이 표현할 수 있다: 임의의

\varepsilon > 0

에 대해 적절한

\delta > 0

가 존재하여,

d(x, x_0) < \delta

를 만족하는 모든

x

에 대해

f(x) > f(x_0) - \varepsilon

(또는

f(x) \ge f(x_0) - \varepsilon

)이 성립한다.

함수

f:X\to\overline{\R}

가 '''하반연속 함수'''()라는 것은 정의역

X

의 모든 점에서 하반연속인 경우를 말한다. 하반연속성은 다음과 같은 여러 동치 조건으로 정의될 수 있다.

정의역 $X$ 의 모든 점 $x$ 에서 $\liminf_{y\to x}f(y)\ge f(x)$ 가 성립한다.
공역 $Y$ 에 상위상(upper topology)을 부여했을 때, 함수 $f$ 는 연속 함수이다. 즉, 임의의 $y \in Y$ 에 대해, 집합 $\{x \in X \mid f(x) > y\}$ 는 $X$ 에서 열린집합이다. 이는 $\overline{\R}$ 에 오른쪽 순서 위상(right order topology)을 부여했을 때 $f$ 가 연속이라는 것과 같다.
임의의 실수 $y \in \mathbb{R}$ 에 대해, 준위 집합 $\{x \in X \mid f(x) \le y\}$ 는 $X$ 에서 닫힌집합이다.
함수 $f$ 의 에피그래프 $\{(x, t) \in X \times \mathbb{R} \mid t \ge f(x)\}$ 는 곱공간 $X \times \mathbb{R}$ 에서 닫힌집합이다.^[3]

위상 공간

X

에서 실수선

\mathbb{R}

로 가는 함수

f: X \to \mathbb{R}

에 대해,

f

가 하반연속 함수인 것은

-f

가 상반연속 함수인 것과 동치이다.

2. 3. 집합 값 함수

집합 값 함수의 경우, 여러 종류의 반연속성 개념이 정의되어 있다. 대표적으로 ''상반연속성'', ''하반연속성'', ''외부 반연속성'', ''내부 반연속성'' 등이 있다.

집합

A

에서 집합

B

로 가는 집합 값 함수

F

는 각

x \in A

에 대해

B

의 부분집합

F(x) \subset B

를 대응시키는 함수로,

F : A \rightrightarrows B

와 같이 표기한다.

집합 값 함수

F

에 의한 집합

S \subset B

의 원상은 다음과 같이 정의된다.

F^{-1}(S) :=\{x \in A: F(x) \cap S \neq \varnothing\}.

즉,

F^{-1}(S)

는 함숫값

F(x)

가 집합

S

와 교집합을 가지는(즉, 서로소가 아닌) 모든 점

x \in A

의 집합이다.

집합 값 함수

F: \mathbb{R}^m \rightrightarrows \mathbb{R}^n

가 점

x \in \mathbb{R}^m

에서 상반연속(upper semicontinuous)이라는 것은,

F(x)

를 포함하는(

F(x) \subset U

) 임의의 열린 집합

U \subset \mathbb{R}^n

에 대해,

x

의 적절한 근방

V

가 존재하여 그 근방 내 모든 점

y \in V

에 대해

F(y)

가

U

에 포함되는(

F(V) \subset U

) 것을 의미한다.

집합 값 함수

F: \mathbb{R}^m \rightrightarrows \mathbb{R}^n

가 점

x \in \mathbb{R}^m

에서 하반연속(lower semicontinuous)이라는 것은,

F(x)

와 교집합을 가지는(

F(x) \cap U \neq \varnothing

, 즉

x \in F^{-1}(U)

) 임의의 열린 집합

U \subset \mathbb{R}^n

에 대해,

x

의 적절한 근방

V

가 존재하여 그 근방 내 모든 점

y \in V

가

F(y)

와

U

의 교집합을 가지는(

V \subset F^{-1}(U)

) 것을 의미한다.

이러한 상반연속성과 하반연속성의 정의는 정의역

\mathbb{R}^m

과 공역

\mathbb{R}^n

을 임의의 위상 공간으로 대체하여 더 일반적인 위상 공간 사이의 집합 값 함수에 대해서도 정의될 수 있다.

주의할 점은, 단일 값 함수에서의 상반연속성/하반연속성 개념과 집합 값 함수에서의 상반연속성/하반연속성 개념 사이에 직접적인 연관성은 없다는 것이다. 예를 들어, 단일 값 함수로서 상반연속인 함수가 그 함숫값을 원소로 가지는 집합을 대응시키는 집합 값 함수로 간주될 때, 반드시 상반연속인 것은 아니다.

다음과 같이 정의된 함수

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

를 생각해보자.

f(x) = \begin{cases}

1 & \mbox{if } x < 0,\\

1 & \mbox{if } x \geq 0\end{cases}

이 함수

f

는 단일 값 함수로서는

x=0

에서 상반연속이지만, 이를 집합 값 함수

x \mapsto F(x) := \{f(x)\}

로 보면

x=0

에서 상반연속이 아니다.

집합 값 함수

F: \mathbb{R}^m \rightrightarrows \mathbb{R}^n

가 점

x

에서 내부 반연속(inner semicontinuous)이라는 것은, 임의의

y \in F(x)

와

x

로 수렴하는(

x_i \to x

)

\mathbb{R}^m

안의 수열

(x_i)

에 대해,

y

로 수렴하면서(

y_i \to y

) 충분히 큰 모든

i

에 대해

y_i \in F(x_i)

를 만족하는

\mathbb{R}^n

안의 수열

(y_i)

가 존재하는 것을 의미한다.^[12]

집합 값 함수

F: \mathbb{R}^m \rightrightarrows \mathbb{R}^n

가 점

x

에서 외부 반연속(outer semicontinuous)이라는 것은,

x

로 수렴하는(

x_i \to x

)

\mathbb{R}^m

안의 임의의 수열

(x_i)

와, 각

i

에 대해

y_i \in F(x_i)

를 만족하며 수렴하는

\mathbb{R}^n

안의 임의의 수열

(y_i)

에 대해, 그 극한값

\lim _{i \to \infty} y_i

가

F(x)

에 속하는(

\lim _{i \to \infty} y_i \in F(x)

) 것을 의미한다.

3. 성질

위상 공간 $X$ 에서 확장된 실수 $\overline{\R}= [-\infty,\infty]$ 로 가는 함수 $f:X\to\overline{\R}$ 가 상반연속 함수이면서 동시에 하반연속 함수일 때, 그리고 오직 그럴 때만 연속 함수이다.^[2] 즉, 함수가 어떤 점에서 연속인 것과 그 점에서 상반연속이고 하반연속인 것은 서로 동치이다.

상반연속 또는 하반연속 함수 $X\to\mathbb R$ 의 불연속점의 집합은 제1 범주 집합을 이룬다.

집합 $A\subset X$ 의 지시 함수 또는 특성 함수 $\mathbf{1}_A$ ( $A$ 의 원소이면 1, 아니면 0 값을 가짐)는 $A$ 가 닫힌 집합일 때 상반연속이고, $A$ 가 열린 집합일 때 하반연속이다. 볼록 분석 분야에서는 특성 함수 $\chi_A$ 를 다르게 정의하는데 ( $A$ 의 원소이면 0, 아니면 $\infty$ 값을 가짐), 이 정의에 따르면 닫힌 집합의 특성 함수는 하반연속이고, 열린 집합의 특성 함수는 상반연속이다.

함수 $f, g : X \to \overline{\R}$ 에 대해 다음 성질들이 성립한다. (단, 연산 결과가 $-\infty+\infty$ 와 같은 부정형이 되지 않아야 한다.)

대수적 연산:
$f$ 와 $g$ 가 모두 상(하)반연속이면, 합 $f+g$ 도 상(하)반연속이다.^[6]
$f$ 와 $g$ 가 모두 음이 아닌 상(하)반연속 함수이면, 곱 $fg$ 도 상(하)반연속이다.
함수 $f$ 가 상(하)반연속일 필요충분조건은 $-f$ 가 하(상)반연속인 것이다.
양의 상반연속 함수 $f$ 에 대해, $1/f$ 는 하반연속 함수가 된다.
순서 관련 연산:
$f$ 와 $g$ 가 상(하)반연속 함수이면, 점별 최댓값 $x \mapsto \max\{f(x), g(x)\}$ 과 최솟값 $x \mapsto \min\{f(x), g(x)\}$ 도 상(하)반연속이다. 따라서 $X$ 에서 $\overline{\R}$ (또는 $\R$ )로 가는 모든 상(하)반연속 함수의 집합은 격자를 형성한다.
임의의 하반연속 함수 $f_i:X\to\overline{\R}$ 들의 집합 $(f_i)_{i\in I}$ 의 점별 상한 $f(x)=\sup\{f_i(x):i\in I\}$ 은 하반연속이다.^[8] 특히, 연속 함수의 단조 증가 수열 $f_1\le f_2\le f_3\le\cdots$ 의 극한은 하반연속이다.
마찬가지로, 임의의 상반연속 함수 집합의 점별 하한은 상반연속이다. 특히, 연속 함수의 단조 감소 수열의 극한은 상반연속이다.
함수 합성: $f$ 와 $g$ 가 상반연속 함수이고 $f$ 가 단조 증가 함수이면, 합성 $f \circ g$ 는 상반연속 함수이다. (단조 감소가 아닌 경우 성립하지 않을 수 있다.)^[7]

콤팩트 공간

C

(예: 닫힌 유계 구간

[a, b]

)에서 정의된 함수

f : C \to \overline{\R}

에 대해 다음이 성립한다. (이는 최대 최소 정리의 확장이다.)

$f$ 가 상반연속이면, $f$ 는 $C$ 에서 최댓값을 갖는다.
$f$ 가 하반연속이면, $f$ 는 $C$ 에서 최솟값을 갖는다.

('''베어 정리''')^[9] 거리 공간

X

에서는 다음과 같은 성질이 성립한다.

모든 하반연속 함수 $f:X\to\overline{\R}$ 는 $X$ 에서 $\overline{\R}$ 값을 갖는 연속 함수들의 점별 단조 증가 수열 $\{f_i\}$ 의 극한(상한)으로 표현될 수 있다. 즉, 모든 $x \in X$ 와 $i = 0, 1, 2, \dots$ 에 대해 $f_i(x) \leq f_{i+1}(x)$ 이고, 모든 $x \in X$ 에 대해 $\lim_{i \to \infty} f_i(x) = f(x)$ 이다. 만약 $f$ 가 $-\infty$ 값을 갖지 않는다면, $f_i$ 들을 실수 값을 갖는 연속 함수로 잡을 수 있다.^[10]^[11]
모든 상반연속 함수 $f:X\to\overline{\R}$ 는 $X$ 에서 $\overline{\R}$ 값을 갖는 연속 함수들의 점별 단조 감소 수열의 극한(하한)으로 표현될 수 있다. 만약 $f$ 가 $\infty$ 값을 갖지 않는다면, 연속 함수들을 실수 값을 갖도록 잡을 수 있다.

위상 공간

X

가 수열적 공간인 경우, 함수

f : X \to \mathbb{R}

에 대해 다음 조건들은 동치이다.

$f$ 가 상반연속이다.
$f$ 가 수열적으로 상반연속이다. 즉, $X$ 내의 점 $x$ 로 수렴하는 모든 수열 $(x_n)_n$ 에 대해 $\limsup_{n \to \infty} f(x_n) \leqslant f(x)$ 가 성립한다.
모든 $y \in \mathbb{R}$ 에 대해 상위 준위 집합 $\{\, x \in X \,|\, f(x) \geqslant y \,\}$ 가 수열적으로 닫힌 집합이다.

(참고: 일반적으로 상반연속 함수는 수열적으로 상반연속이지만, 수열적 공간이 아닌 경우 그 역은 성립하지 않을 수 있다.)

기타 성질은 다음과 같다.

함수 $f: \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$ 가 하반연속인 것은 그 에피그래프 (그래프 위의 점들의 집합)가 닫힌 집합인 것과 동치이다.^[3]
함수 $f:X\to\overline{\R}$ 가 상반연속인 것은 그 하위 그래프 $\{(x,t)\in X\times\R : t\le f(x)\}$ 가 닫힌 집합인 것과 동치이다.
위상 공간 $X$ 에서, 함수 $f: X \to \mathbf{R}$ 가 하반연속 함수인 것은 $f$ 가 $\mathbf{R}$ 상의 스코트 위상에 대해 연속인 것과 동치이다.
임의의 위상 공간 $X$ 에서 상반연속 함수 $f : X \to \N$ (자연수 집합)는 $X$ 의 어떤 조밀 열린 부분 집합 위에서 국소적으로 상수 함수이다.

4. 예시

상반연속 함수. 파란색으로 칠해진 점은 ''f''(''x''₀)를 나타낸다.

다음과 같이 조각적으로 정의된 함수 ''f''를 생각해 보자.

f(x) = \begin{cases}

1 & \mbox{if } x < 0,\\

1 & \mbox{if } x \geq 0\end{cases}

이 함수는 ''x''₀ = 0에서 상반연속이지만, 하반연속은 아니다.

하반연속 함수. 파란색으로 칠해진 점은 ''f''(''x''₀)를 나타낸다.

닫힌 집합의 지시 함수는 상반연속이고, 열린 집합의 지시 함수는 하반연속이다.

주어진 실수 ''x''보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 값을 주는 바닥 함수

f(x)=\lfloor x \rfloor

는 모든 점에서 상반연속이다. 비슷하게, 주어진 실수 ''x''보다 크거나 같은 정수 중 가장 작은 값을 주는 천장 함수

f(x)=\lceil x \rceil

는 모든 점에서 하반연속이다.

함수는 특정 점에서 좌연속 또는 우연속이 아니어도 반연속일 수 있다. 예를 들어, 함수

:

f(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } 0 \le x < 1,\\2   & \text{if } x = 1, \\1/2 + (1-x) & \text{if } x > 1,\end{cases}

는 ''x'' = 1에서 좌극한값은 1이고 우극한값은 1/2로, 어느 쪽도 함수값 2와 같지 않아 좌연속 또는 우연속이 아니지만, 상반연속이다 (

\limsup_{x \to 1} f(x) = 1 \le f(1) = 2

).

비슷하게 함수

:

f(x) = \begin{cases}\sin(1/x) & \text{if } x \neq 0,\\1         & \text{if } x = 0,\end{cases}

는 ''x'' = 0에서 좌극한과 우극한이 존재하지 않지만, 상반연속이다 (

\limsup_{x \to 0} f(x) = 1 \le f(0) = 1

).

만약

X = \R^n

이 유클리드 공간이고

\Gamma = C([0,1], X)

가

X

안의 곡선들의 공간일 때 (여기서 거리는 상한 거리

d_\Gamma(\alpha,\beta) = \sup\{d_X(\alpha(t),\beta(t)):t\in[0,1]\}

로 주어진다), 각 곡선

\alpha

에 그 길이

L(\alpha)

를 대응시키는 길이 함수

L : \Gamma \to [0, +\infty]

는 하반연속이다.^[5]

(X,\mu)

를 측도 공간이라 하고,

L^+(X,\mu)

를 측도 수렴 위상이 주어진 양의 가측 함수들의 집합이라 하자. 파투 보조정리에 따르면, 적분 연산은

L^+(X,\mu)

에서

[-\infty, +\infty]

로 가는 함수로 보았을 때 하반연속이다.

함수해석학의 토넬리의 정리는 ''L''^''p'' 공간에서 정의된 어떤 비선형 범함수가 약한 위상에서 하반연속임을 보이는 데 사용될 수 있다.

5. 정규성과의 관계

위상 공간 $X$ 가 정규 공간이라는 것은 다음 조건과 동치이다.

임의의 상반연속 함수 $f\colon X\to\mathbb R$ 및 하반연속 함수 $g\colon X\to\mathbb R$ 에 대하여, 만약 모든 $x\in X$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 가 성립한다면, 모든 $x\in X$ 에 대해 $f(x)\le h(x)\le g(x)$ 를 만족하는 연속 함수 $h\colon X\to\mathbb R$ 가 존재한다.

위상 공간

X

가 정규 공간이며 가산 파라콤팩트 공간이라는 것은 다음 조건과 동치이다.^[13]

임의의 상반연속 함수 $f\colon X\to\mathbb R$ 및 하반연속 함수 $g\colon X\to\mathbb R$ 에 대하여, 만약 모든 $x\in X$ 에 대해 $f(x) 가 성립한다면, 모든 x\in X 에 대해 f(x) 를 만족하는 연속 함수 h\colon X\to\mathbb R 가 존재한다.$

위상 공간

X

가 완전 정규 공간이라는 것은 다음 조건과 동치이다.

임의의 상반연속 함수 $f\colon X\to\mathbb R$ 및 하반연속 함수 $g\colon X\to\mathbb R$ 에 대하여, 만약 모든 $x\in X$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 가 성립한다면, 모든 $x\in X$ 에 대해 $f(x)\le h(x)\le g(x)$ 이며, $f(x) 일 때는 f(x) 를 만족하는 연속 함수 h\colon X\to\mathbb R 가 존재한다.$

참조

_[1] 웹사이트 Histoire des mathématiques - René Baire https://www.research[...]
_[2] 문서 Stromberg, p. 132, Exercise 4
_[3] 서적 Lower Semicontinuous Functionals http://link.springer[...] Birkhäuser-Verlag 2005
_[4] 문서 Willard, p. 49, problem 7K
_[5] 서적 Mathematical analysis : linear and metric structures and continuity https://www.worldcat[...] Birkhäuser 2007
_[6] 서적 Markov Decision Processes Discrete Stochastic Dynamic Programming https://archive.org/[...] Wiley-Interscience 2005
_[7] 서적 Mathematical methods for economic theory https://archive.org/[...] Springer 1999
_[8] 웹사이트 To show that the supremum of any collection of lower semicontinuous functions is lower semicontinuous https://math.stackex[...]
_[9] 문서 The result was proved by René Baire in 1904 for real-valued function defined on $\R$ . It was extended to metric spaces by [[Hans Hahn (mathematician)|Hans Hahn]] in 1917, and [[Hing Tong]] showed in 1952 that the most general class of spaces where the theorem holds is the class of [[perfectly normal space]]s. (See Engelking, Exercise 1.7.15(c), p. 62 for details and specific references.)
_[10] 문서 Stromberg, p. 132, Exercise 4(g)
_[11] 웹사이트 Show that lower semicontinuous function is the supremum of an increasing sequence of continuous functions https://math.stackex[...]
_[12] 문서 In particular, there exists $i_0 \geq 0$ such that $y_i \in F(x_i)$ for every natural number $i \geq i_0,$ . The necessisty of only considering the tail of $y_i$ comes from the fact that for small values of $i,$ the set $F(x_i)$ may be empty.
_[13] 서적 General topology https://archive.org/[...] Addison-Wesley 1970

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