치환행렬

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1. 개요

치환행렬은 m개의 문자에 대한 치환을 표현하는 정사각 행렬이다. 순열과 치환 행렬 사이에는 두 가지 일대일 대응이 존재하며, 행 기반 대응은 순열 π를 행렬 R_π로, 열 기반 대응은 순열 π를 행렬 C_π로 대응시킨다. 치환행렬은 직교 행렬이며, 역행렬은 전치행렬과 같다. 치환행렬의 곱셈은 순열의 합성과 관련되며, 행렬에 치환행렬을 곱하면 행 또는 열이 치환된다. 치환행렬은 군론적 성질을 가지며, 다양한 분야에 응용된다.

치환행렬

정의

정의	각 행과 열에 정확히 하나의 1을 가지고 나머지는 0인 정사각 행렬이다.

특징

성질	크기 의 치환 행렬은 개의 원소를 갖는 집합의 치환을 나타낸다. 임의의 행렬 에 치환 행렬 를 곱하면 () 의 행들이 치환된다. 마찬가지로, 행렬 에 치환 행렬 를 오른쪽에 곱하면 () 의 열들이 치환된다.

응용

활용	가중 그래프 매칭 문제 등에 활용될 수 있다.

추가 정보

다른 이름	순열 행렬 치환 행렬

관련 용어	이중 확률 행렬

2. 정의

m개의 원소를 가지는 집합 {1, ..., m}에 대한 순열 π는 이 집합에서 자기 자신으로 가는 전단사 함수로 정의할 수 있다.
: $\pi\colon \lbrace 1, \ldots, m \rbrace \to \lbrace 1, \ldots, m \rbrace$
이 순열은 다음과 같은 2행 표기법으로 나타낼 수 있다.
: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(m) \end{bmatrix}$
주어진 순열 π에 대응하는 치환행렬 P_π는 m × m 정사각행렬이다. j번째 원소만 1이고 나머지는 모두 0인 표준 기저 벡터를 e_j (행벡터로 간주)라고 할 때, P_π는 다음과 같이 정의된다.
: $P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf e_{\pi(1)} \\ \mathbf e_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf e_{\pi(m)} \end{bmatrix}$
이는 행렬 P_π의 각 행 i가 단위 행렬의 π(i)번째 행과 같다는 의미이다. 즉, P_π = (p_ij)라고 할 때, j = π(i) 이면 p_ij = 1이고, 그렇지 않으면 p_ij = 0이다. 치환행렬 P_π는 다른 행렬 A에 곱해져(P_πA), A의 행 순서를 바꾸는 데 사용된다.

3. 치환 행렬과 순열의 대응

순열과 치환 행렬 사이에는 두 가지 자연스러운 일대일 대응이 있다. 하나는 행렬의 행을 기준으로, 다른 하나는 열을 기준으로 정의된다. 예를 들어, 다음과 같은 순열 π가 주어졌다고 하자:
: $\pi\colon\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}$
이 순열에 대응하는 두 종류의 치환 행렬 $R_\pi$ 와 $C_\pi$ , 그리고 역순열 $\pi^{-1}$ 의 관계는 다음과 같다:
: $\begin{matrix}\pi\colon\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}& \longleftrightarrow &R_\pi\colon\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}\\[5pt]\Big\updownarrow && \Big\updownarrow\\[5pt]C_\pi\colon\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}& \longleftrightarrow &\pi^{-1}\colon\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{pmatrix}\end{matrix}$

행 기반 대응은 순열 π를 행렬 $R_\pi$ (위 그림의 오른쪽 위)에 대응시킨다. $R_\pi$ 의 $i$ 번째 행은 $\pi(i)$ 번째 열에만 1을 가지고 나머지 성분은 0이다. 위 예시에서 $\pi(1)=3$ 이므로, $R_\pi$ 의 첫 번째 행은 세 번째 열에 1이 있다. 일반적으로 $R_\pi=(r_{ij})$ 는 $j=\pi(i)$ 일 때 $r_{ij}=1$ 이고, 그 외에는 $r_{ij}=0$ 이다.

열 기반 대응은 순열 π를 행렬 $C_\pi$ (위 그림의 왼쪽 아래)에 대응시킨다. $C_\pi$ 의 $j$ 번째 열은 $\pi(j)$ 번째 행에만 1을 가지고 나머지 성분은 0이다. 위 예시에서 $\pi(1)=3$ 이므로, $C_\pi$ 의 첫 번째 열은 세 번째 행에 1이 있다. 일반적으로 $C_\pi=(c_{ij})$ 는 $i=\pi(j)$ 일 때 $c_{ij}=1$ 이고, 그 외에는 $c_{ij}=0$ 이다.

두 대응 방식은 단지 행과 열의 역할을 바꾼 것이므로, 행렬 $C_\pi$ 는 $R_\pi$ 의 전치 행렬이다. 즉, $C_\pi = R_\pi^\mathsf{T}$ 이다. 치환 행렬은 직교 행렬이므로 역행렬은 전치 행렬과 같고, 따라서 $C_\pi=R_\pi^\mathsf{T}=R_\pi^{-1}$ 가 성립한다. 위 그림에서 다른 관계를 살펴보면 $R_{\pi^{-1}}=C_\pi=R_\pi^{-1}$ 이고 $C_{\pi^{-1}}=R_\pi$ 임을 알 수 있다.

치환 행렬 $R_\pi$ 또는 $C_\pi$ 를 다른 행렬 $M$ 의 앞이나 뒤에 곱하면, $M$ 의 행이나 열이 순열 $\pi$ 또는 $\pi^{-1}$ 에 따라 재배열된다.

벡터 $(v_1,\ldots,v_n)$ 의 원소들을 순열 $\pi$ 에 따라 재배열한다는 것은, $i$ 번째 원소 $v_i$ 를 결과 벡터의 $\pi(i)$ 번째 위치로 옮기는 것을 의미한다. 이렇게 하면 결과 벡터는 $\big(v_{\pi^{-1}(1)},v_{\pi^{-1}(2)},\ldots,v_{\pi^{-1}(n)}\big)$ 가 된다. 즉, 원소를 $\pi$ 에 따라 재배열하려면 인덱스를 $\pi^{-1}$ 에 따라 재배열해야 한다.

이제 $n \times n$ 행렬 $M=(m_{ij})$ 앞에 $C_\pi$ 를 곱하는 경우( $C_\pi M$ )를 생각해보자. 행렬 곱셈의 정의에 따라, 결과 행렬의 $(i,j)$ 성분은 $\sum_{k=1}^n c_{ik}m_{kj}$ 이다. $c_{ik}$ 는 $i=\pi(k)$ 일 때만 1이고 나머지는 0이므로, 합에서 유일하게 남는 항은 $k=\pi^{-1}(i)$ 일 때의 $m_{\pi^{-1}(i),j}$ 이다. 이는 행 인덱스가 $\pi^{-1}$ 에 따라 치환되었음을 의미하며, 결과적으로 행렬 $M$ 의 행들이 순열 $\pi$ 에 따라 재배열된 것과 같다.

비슷하게, 행렬 $M$ 뒤에 $R_\pi$ 를 곱하면( $M R_\pi$ ), $M$ 의 열들이 순열 $\pi$ 에 따라 재배열된다.

반대로, $M$ 앞에 $R_\pi$ 를 곱하거나( $R_\pi M$ ) 뒤에 $C_\pi$ 를 곱하면( $M C_\pi$ ), 각각 행 또는 열이 $\pi^{-1}$ 에 따라 재배열된다.

4. 성질

치환 행렬은 몇 가지 중요한 대수적 성질을 가진다.

모든 순열 행렬 $P_\pi$ 는 직교 행렬이다. 이는 치환 행렬과 그 전치 행렬 $P_\pi^\mathsf{T}$ 의 곱이 항등 행렬 $I$ 가 됨을 의미한다. 구체적으로, 곱 $P_\pi P_\pi^\mathsf{T}$ 의 $(i, j)$ 번째 성분은 $\sum_{k=1}^n (P_\pi)_{ik} (P_\pi^\mathsf{T})_{kj} = \sum_{k=1}^n (P_\pi)_{ik} (P_\pi)_{jk}$ 이다. 만약 $i \neq j$ 이면, $i$ 행과 $j$ 행은 서로 다른 위치에 1을 가지므로 모든 $k$ 에 대해 $(P_\pi)_{ik}$ 와 $(P_\pi)_{jk}$ 중 적어도 하나는 0이 되어 합은 0이다. 만약 $i = j$ 이면, $i$ 행에는 정확히 하나의 $k$ 에 대해 $(P_\pi)_{ik}=1$ 이고 나머지는 0이므로, 합은 $1^2 = 1$ 이 된다. 따라서 $P_\pi P_\pi^\mathsf{T} = I$ 이며, 마찬가지로 $P_\pi^\mathsf{T} P_\pi = I$ 도 성립한다.

직교 행렬의 정의에 따라, 치환 행렬의 역행렬은 그 전치 행렬과 같다.
: $P_\pi^{-1} = P_\pi^\mathsf{T}$
또한, 순열 $\pi$ 의 역순열 $\pi^{-1}$ 에 대응하는 치환 행렬은 원래 치환 행렬의 역행렬과 같다.
: $P_\pi^{-1} = P_{\pi^{-1}}$
결론적으로 다음 세 표현은 모두 동일하다.
: $P_\pi^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_\pi^\mathsf{T}$

두 순열 $\pi$ 와 $\sigma$ 에 대응하는 치환 행렬 $P_\pi$ 와 $P_\sigma$ 의 곱셈은 순열의 합성과 직접적으로 연관된다. 열 벡터에 작용하는 표준적인 정의를 따를 때 (즉, $P_\pi$ 가 벡터 $\mathbf{v}$ 에 작용하여 $i$ 번째 성분을 $\pi(i)$ 번째 위치로 보내는 것이 아니라, $\pi^{-1}(i)$ 번째 성분을 $i$ 번째 위치로 가져오는 방식으로 정의될 때, 즉 $(P_\pi)_{ij} = \delta_{i, \pi(j)}$ ), 두 치환 행렬의 곱은 다음과 같이 두 순열의 합성에 해당하는 치환 행렬이 된다. (순열 합성은 오른쪽부터 적용: $(\sigma \circ \pi)(k) = \sigma(\pi(k))$ )
: $P_{\sigma} P_{\pi} = P_{\sigma \circ \pi}$
이 성질은 치환 행렬이 대칭군 $S_n$ 의 행렬 표현을 제공함을 보여준다. 행 벡터에 작용하도록 정의하거나 다른 합성 순서를 사용하면 곱셈 규칙이 달라질 수 있다.

치환 행렬을 다른 행렬이나 벡터에 곱하면 행이나 열, 또는 벡터 성분의 순서를 바꾸는 효과가 있다. 이에 대한 자세한 내용은 #행렬 곱셈과의 관계 섹션에서 다룬다.

4.1. 행렬 곱셈과의 관계

치환행렬 $P$ 는 임의의 행렬 $A$ 에 대해 왼쪽 곱셈 $P \cdot A$ 를 통해 $A$ 의 행(row) 순서를 바꾸거나, 오른쪽 곱셈 $A \cdot P$ 를 통해 $A$ 의 열(column) 순서를 재배열하는 역할을 한다.

예를 들어, $3 \times 3$ 단위 행렬 $I$ 는 다음과 같다.
$I = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
이 단위 행렬의 1행과 3행을 서로 바꾸면 다음과 같은 치환행렬 $P$ 를 얻을 수 있다.
$P = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix}$
임의의 $3 \times 3$ 행렬 $A$ 를 다음과 같이 정의하자.
$A = \begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{bmatrix}$
이때, $P$ 를 $A$ 의 왼쪽에 곱하면 $A$ 의 1행과 3행이 서로 바뀐다.
$P A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}g & h & i \\d & e & f \\a & b & c\end{bmatrix}$
반면, $P$ 를 $A$ 의 오른쪽에 곱하면 $A$ 의 1열과 3열이 서로 바뀐다.
$A P = \begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}c & b & a \\f & e & d \\i & h & g\end{bmatrix}$

일반적으로, $n$ 개의 원소에 대한 순열 $\pi$ 에 대응하는 치환 행렬 $P_\pi$ 는 $i$ 행 $j$ 열 성분이 $(P_\pi)_{ij} = \delta_{i, \pi(j)}$ (크로네커 델타)로 정의된다. 즉, 각 열 $j$ 에는 $\pi(j)$ 행에만 1이 있고 나머지는 0이다. 다르게 표현하면, $P_\pi$ 의 $i$ 번째 행은 표준 기저 벡터 $\mathbf{e}_{\pi^{-1}(i)}^\top$ 와 같다.

벡터 $(v_1, \ldots, v_n)$ 의 성분을 순열 $\pi$ 에 따라 치환한다는 것은, 입력 벡터의 $i$ 번째 성분 $v_i$ 를 출력 벡터의 $\pi(i)$ 번째 위치로 옮기는 것을 의미한다. 결과적으로 출력 벡터는 $(v_{\pi^{-1}(1)}, v_{\pi^{-1}(2)}, \ldots, v_{\pi^{-1}(n)})$ 이 된다. 즉, 성분을 $\pi$ 에 따라 치환하기 위해서는 인덱스를 $\pi^{-1}$ 에 따라 치환해야 한다. (성분을 $\pi$ 에 따라 치환하는 것을 '알리바이 변환', 인덱스를 $\pi$ 에 따라 치환하는 것을 '에일리어스 변환'이라고도 한다.)

치환 행렬과 행렬 곱셈의 관계는 다음과 같다.
* 행렬 $M=(m_{i,j})$ 에 치환 행렬 $P_\pi$ 를 왼쪽에 곱하면 ( $P_\pi M$ ), $M$ 의 행이 $\pi$ 에 따라 치환된다. 곱 $P_\pi M$ 의 $(i,j)$ 번째 성분은 다음과 같이 계산된다.
$\sum_{k=1}^n (P_\pi)_{ik} m_{k,j} = \sum_{k=1}^n \delta_{i, \pi(k)} m_{k,j} = m_{\pi^{-1}(i), j}$
이는 결과 행렬의 $i$ 번째 행이 원래 행렬 $M$ 의 $\pi^{-1}(i)$ 번째 행임을 의미한다. 즉, 행 인덱스가 $\pi^{-1}$ 에 따라 치환되었으므로, 행 자체는 $\pi$ 에 따라 치환된 것이다.
* 행렬 $M$ 에 치환 행렬 $P_\pi$ 를 오른쪽에 곱하면 ( $M P_\pi$ ), $M$ 의 열이 $\pi^{-1}$ 에 따라 치환된다. 곱 $M P_\pi$ 의 $(i,j)$ 번째 성분은 다음과 같이 계산된다.
$\sum_{k=1}^n m_{ik} (P_\pi)_{kj} = \sum_{k=1}^n m_{ik} \delta_{k, \pi(j)} = m_{i, \pi(j)}$
이는 결과 행렬의 $j$ 번째 열이 원래 행렬 $M$ 의 $\pi(j)$ 번째 열임을 의미한다. 즉, 열 인덱스가 $\pi$ 에 따라 치환되었으므로, 열 자체는 $\pi^{-1}$ 에 따라 치환된 것이다.

만약 행렬 $M$ 의 행을 $\pi^{-1}$ 에 따라 치환하고 싶다면 $P_\pi^{-1} M = P_\pi^\top M$ 을 계산하고, 열을 $\pi$ 에 따라 치환하고 싶다면 $M P_\pi^{-1} = M P_\pi^\top$ 을 계산하면 된다.

치환 행렬의 곱셈 관련 성질

두 순열 $\pi, \sigma$ 에 대응하는 치환 행렬 $P_\pi, P_\sigma$ 의 곱은 순열의 합성에 대응하는 치환 행렬과 같다. (여기서 합성은 $\pi$ 를 먼저 적용하고 $\sigma$ 를 나중에 적용하는 순서 $\sigma \circ \pi$ 를 의미한다.)
$P_{\sigma} P_{\pi} = P_{\sigma \circ \pi}$

치환 행렬은 직교 행렬이다. 즉, 전치 행렬이 역행렬과 같다.
$P_{\pi} P_{\pi}^{\top} = I$
따라서 역행렬은 다음과 같이 주어진다.
$P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{\top}$

치환 행렬 $P_\pi$ 를 열 벡터 $\mathbf{g}$ 에 왼쪽에 곱하면 벡터의 성분이 $\pi^{-1}$ 에 따라 재배열된다 (즉, 결과 벡터의 $i$ 번째 성분은 원래 벡터의 $\pi^{-1}(i)$ 번째 성분이 된다). 이는 벡터의 항목을 $\pi$ 에 따라 치환하는 것과 같다.
$P_\pi \mathbf{g} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{\pi^{-1}(1)}^\top \\ \mathbf{e}_{\pi^{-1}(2)}^\top \\ \vdots \\ \mathbf{e}_{\pi^{-1}(n)}^\top \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_1 \\ g_2 \\ \vdots \\ g_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_{\pi^{-1}(1)} \\ g_{\pi^{-1}(2)} \\ \vdots \\ g_{\pi^{-1}(n)} \end{bmatrix}$

행 벡터 $\mathbf{h}$ 에 치환 행렬 $P_\pi$ 를 오른쪽에 곱하면 벡터의 성분이 $\pi$ 에 따라 재배열된다 (즉, 결과 벡터의 $j$ 번째 성분은 원래 벡터의 $\pi(j)$ 번째 성분이 된다). 이는 벡터의 항목을 $\pi^{-1}$ 에 따라 치환하는 것과 같다.
$\mathbf{h} P_\pi = \begin{bmatrix} h_1 & h_2 & \ldots & h_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{\pi^{-1}(1)}^\top \\ \mathbf{e}_{\pi^{-1}(2)}^\top \\ \vdots \\ \mathbf{e}_{\pi^{-1}(n)}^\top \end{bmatrix}^\top = \begin{bmatrix} h_1 & h_2 & \ldots & h_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{\pi(1)} & \mathbf{e}_{\pi(2)} & \ldots & \mathbf{e}_{\pi(n)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{\pi(1)} & h_{\pi(2)} & \ldots & h_{\pi(n)} \end{bmatrix}$
(참고: 원본 소스의 행 벡터 곱셈 결과 $h_{\pi^{-1}(j)}$ 는 열 벡터 정의 $(P_\pi)_{ij} = \delta_{i, \pi(j)}$ 와 일관성을 맞추려면 $h_{\pi(j)}$ 가 되어야 할 것으로 보이나, 여기서는 원본 소스의 수식을 따름. 만약 $(P_\pi)_{ij} = \delta_{\pi(i), j}$ 정의를 사용하면 행 벡터 곱셈 결과가 $h_{\pi^{-1}(j)}$ 가 됨)

5. 선형대수적 성질

치환 행렬은 순열과 밀접하게 연관되어 있으며, 순열의 성질로부터 다양한 선형대수적 특성을 도출할 수 있다.

m개의 문자에 대한 두 순열 π, σ에 대응하는 치환 행렬을 각각 P_π, P_σ라고 할 때, 이 두 행렬의 곱은 순열의 합성에 대응하는 치환 행렬과 같다. 즉, 열 벡터에 작용하는 경우 다음과 같은 관계가 성립한다.
: P_σP_π = P_σ∘π

치환 행렬은 직교 행렬이다. 즉, 전치행렬이 역행렬과 같다. 이는 역순열에 대응하는 치환 행렬과도 같다.
: P_π^-1 = P_π^-1 = P_π^T
따라서 다음이 성립한다.
: P_πP_π^T = I
여기서 I는 단위 행렬이다.

치환 행렬 P의 대각합(trace)은 대응하는 순열의 고정점 개수와 같다. 만약 정수 k가 순열의 고정점이라면, 표준 기저 벡터 e_k는 P의 고유벡터이다.

치환 행렬 P의 복소수 고유값은 대응하는 순열의 순환 분해와 관련이 있다. 순열을 서로소 순환들의 곱 κ_P = c₁c₂⋯c_t 로 나타냈다고 하자. 각 순환 c_i의 길이를 ℓ_i라고 할 때, x^ℓ_i = 1의 복소수 해의 집합, 즉 ℓ_i번째 단위근들의 집합을 L_i라고 하자. 모든 L_i들의 중복집합 합집합이 바로 P의 고유값들의 중복집합이다. 특정 고유값 v의 중복도는 v를 원소로 가지는 집합 L_i의 개수와 같다. 모든 치환 행렬은 정규 행렬이므로 대각화 가능하며, 따라서 고유값의 대수적 중복도와 기하학적 중복도는 항상 같다.

군론에 따르면 모든 순열은 전치(transposition)들의 곱으로 표현될 수 있다. 이는 모든 치환 행렬이 행을 교환하는 기본 행렬들의 곱으로 분해될 수 있음을 의미한다. 각 행 교환 기본 행렬의 행렬식은 -1이므로, 치환 행렬 P의 행렬식은 대응하는 순열의 부호(sign)와 같다.

6. 군론적 성질

n개의 원소에 대한 치환은 총 $n!$ 개 존재한다. 각 치환 $\pi$ 에 대응하는 치환행렬 $P_{\pi}$ (또는 $C_{\pi}$ , $R_{\pi}$ )을 정의할 수 있으며, 이 대응은 일대일 대응이다. 따라서 치환 행렬도 $n!$ 개 존재한다.

$n \times n$ 크기의 치환 행렬 전체의 집합은 행렬 곱셈 연산에 대해 군을 이룬다. 이 군을 $\mathcal{P}_n$ 으로 표기하며, 군의 항등원은 항등 치환에 대응하는 항등 행렬 $I$ 이다. 이 군의 위수는 $n!$ 이다.

군 $\mathcal{P}_n$ 은 실수를 성분으로 가지는 $n \times n$ 가역행렬 전체의 군인 일반 선형군 $GL_n(\mathbb{R})$ 의 부분군이다. 더 나아가, 임의의 체 $F$ 에 대해서도, 군 $\mathcal{P}_n$ 은 $F$ 를 성분으로 가지는 일반 선형군 $GL_n(F)$ 의 부분군이다. 이는 치환 행렬의 정의와 곱셈이 0과 1만 사용하며, 체의 기본 연산( $0+0=0,$ $0+1=1,$ $0 \times 0=0,$ $0 \times 1=0,$ $1 \times 1=1$ )만으로 정의되기 때문이다.

$\{1, 2, \dots, n\}$ 위의 대칭군을 $S_n$ 이라고 하자.
* 치환 $\pi$ 를 열 벡터에 작용하는 치환 행렬 $C_{\pi}$ 에 대응시키는 사상 $C\colon S_n\to GL_n(\mathbb{R})$ 는 충실한 표현이다. 여기서 $S_n$ 의 연산은 통상적인 치환의 합성(오른쪽에서 왼쪽으로 적용, $\circ$ )이다.
* 치환 $\pi$ 를 행 벡터에 작용하는 치환 행렬 $R_{\pi}$ 에 대응시키는 사상 $R\colon S_n\to GL_n(\mathbb{R})$ 도 충실한 표현이다. 이 경우 $S_n$ 의 연산은 반대 순서(왼쪽에서 오른쪽으로 적용, $;$ )로 볼 수 있는 반대군에 대한 표현이다.

두 치환 $\pi, \sigma$ 에 대응하는 (열 벡터 기준) 치환 행렬 $P_{\pi}, P_{\sigma}$ 의 곱은 두 치환의 합성 $\sigma\circ\pi$ 에 대응하는 치환 행렬과 같다:
: $P_{\sigma} P_{\pi} = P_{\sigma\circ\pi}$
(행 벡터 기준 치환 행렬을 사용하면 곱 규칙은 $P_{\sigma} P_{\pi} = P_{\pi\circ\sigma}$ 가 된다.)

치환 행렬 $P_{\pi}$ 는 직교 행렬이다. 즉, 전치 행렬이 역행렬과 같다:
: $P_{\pi}P_{\pi}^{\top} = I$
따라서 $P_{\pi}$ 의 역행렬은 역치환 $\pi^{-1}$ 에 대응하는 치환 행렬 또는 원래 치환 행렬의 전치 행렬과 같다:
: $P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{\top}$

군론에서 임의의 순열은 전환(두 원소의 위치를 바꾸는 치환)들의 곱으로 나타낼 수 있다는 사실로부터, 임의의 치환 행렬은 두 행을 교환하는 기본 행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. 각 행 교환 기본 행렬의 행렬식은 $-1$ 이므로, 치환 행렬 $P_{\pi}$ 의 행렬식은 대응하는 치환 $\pi$ 의 부호와 같다:
: $\det(P_\pi) = \operatorname{sgn}(\pi)$

7. 예

치환행렬은 단위 행렬의 행이나 열의 순서를 바꾸어 얻을 수 있는 행렬이다. 예를 들어, 3x3 단위 행렬 $I$ 의 행이나 열을 재배열하여 치환행렬 $P$ 를 만들 수 있다.
$I = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
이 치환행렬 $P$ 를 임의의 행렬 $A$ 에 곱하면 $A$ 의 행 또는 열이 재배열된다. $P$ 를 $A$ 의 왼쪽에 곱하면( $PA$ ) $A$ 의 행이 재배열되고, 오른쪽에 곱하면( $AP$ ) $A$ 의 열이 재배열된다. 이는 단위 행렬에서 $P$ 를 만들 때 적용된 행 또는 열의 재배열 방식과 동일하게 이루어진다.

7.1. 행의 재배열

$3 \times 3$ 단위 행렬 $I$ 는 다음과 같다.
$I = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
이 단위 행렬 $I$ 의 1행과 3행을 서로 바꾸면 다음과 같은 행렬 $I^a$ 를 얻을 수 있다. 이는 치환행렬의 한 예이다.
$I^{a} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix}$
임의의 $3 \times 3$ 행렬 $A$ 를 다음과 같이 정의하자.
$A =\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{bmatrix}$
행렬 $A$ 의 왼쪽에 행렬 $I^a$ 를 곱하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
$I^a A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}g & h & i \\d & e & f \\a & b & c\end{bmatrix}$
이 결과는 원래 행렬 $A$ 의 1행과 3행이 서로 바뀐 것과 같다. 즉, 단위 행렬의 특정 행들을 재배열하여 만든 치환행렬을 어떤 행렬의 왼쪽에 곱하면, 그 행렬의 해당 행들이 동일하게 재배열된다.

7.2. 열의 재배열

$3 \times 3$ 단위 행렬 $I$ 는 다음과 같다.
$I = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
이 단위 행렬의 1열과 3열을 서로 바꾸면 다음과 같은 행렬 $I^a$ 를 얻을 수 있다.
$I^{a} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix}$
임의의 $3 \times 3$ 행렬 $A$ 를 다음과 같이 정의하자.
$A =\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{bmatrix}$
행렬 $A$ 에 $I^a$ 를 오른쪽에서 곱하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
$A I^a =\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}c & b & a \\f & e & d \\i & h & g\end{bmatrix}$
결과 행렬은 원래 행렬 $A$ 의 1열과 3열이 서로 바뀐 것과 같다. 즉, 특정 열이 재배열된 단위 행렬을 오른쪽에 곱하면 원래 행렬의 해당 열들이 동일하게 재배열된다.

8. 응용

* 코스타스 배열: 항목 간의 변위 벡터가 모두 고유한 치환 행렬이다.
* n-퀸 문제: 각 대각선과 역대각선에 최대 하나의 항목만 있는 치환 행렬이다.