칼로론

3. 성질

칼로론은 여러 가지 독특하고 흥미로운 성질을 지닌다. 이러한 성질은 주로 칼로론의 모듈라이 공간, 남 방정식과의 연관성, 그리고 자기 홀극과의 관계를 통해 이해할 수 있다. 이들 각각의 측면은 칼로론의 복잡한 구조와 물리적 의미를 파악하는 데 중요한 단서를 제공하며, 이에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 모듈라이 공간

• 순간자수 $k\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z$
• 무한대에서의 윌슨 고리 (홀로노미) $\backslash mathrm\; P\backslash exp\backslash textstyle\backslash oint\; A\; \backslash in\; G$. 이는 게이지 군을 카르탕 부분군으로 깨며, 그 고윳값을 $\backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash lambda\_1,\backslash dotsc,\backslash mathrm\; i\backslash lambda\_N)$이라고 하자.
• 자하(磁荷) $q\_1,\backslash dotsc,q\_N\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z$. 이들은 카르탕 부분군에 대한 자하이다.

3. 2. 남 방정식

3. 3. 자기 홀극과의 관계

4. 유한 온도와 인스턴톤

영점 온도에서 인스턴톤은 해당 이론의 유클리드 버전 운동 방정식의 해를 의미하며, 유클리드 시공간에 국소화되어 있다. 이는 민코프스키 이론에서 서로 다른 위상학적 진공 상태 사이의 터널링 현상을 설명한다. 인스턴톤의 중요한 예로는 1975년 벨라빈, 폴랴코프, 슈바르츠, 튜프킨이 발견한 BPST 인스턴톤이 있다.^[1] BPST 인스턴톤은 윅 회전을 통해 유클리드 시공간으로 바꾼 4차원 SU(2) 양-밀스 이론의 고전 운동 방정식을 만족하는 위상학적으로 안정적인 해이다.

양자장론에서 유한 온도는 허수(유클리드) 시간을 콤팩트화하여 모델링한다(열적 양자장론 참조).^[2] 이러한 방식은 시공간의 전체 구조를 바꾸기 때문에 인스턴톤 해의 형태 역시 변화시킨다. 마츠바라 형식론에 따르면, 유한 온도에서는 유클리드 시간 차원이 주기성을 가지므로, 인스턴톤 해 역시 이러한 주기적인 경계 조건을 만족해야 한다.

5. SU(2) 양-밀스 이론에서의 예

SU(2) 양-밀스 이론에서 온도가 0일 때의 인스턴톤은 BPST 인스턴톤의 형태를 가진다. 이를 유한한 온도로 일반화한 해는 해링턴과 셰퍼드가 발견했다.^[3]

:$A\_\backslash mu^a(x)\; =\; \backslash bar\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}^a\; \backslash Pi(x)\; \backslash partial\_\backslash nu\; \backslash Pi^\{-1\}(x)\; \backslash quad\backslash text\{with\}\; \backslash quad\; \backslash Pi(x)\; =\; 1+\backslash frac\{\backslash pi\backslash rho^2T\}r\; \backslash frac\{\backslash sinh(2\backslash pi\; rT)\}\{\backslash cosh(2\backslash pi\; rT)-\backslash cos(2\backslash pi\; \backslash tau\; T)\}\; \backslash \; ,$

여기서 $\backslash bar\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}^a$는 반-'t 호프트 기호이고, ''r''은 칼로론 중심에서 점 ''x''까지의 거리, ''ρ''는 칼로론의 크기, $\backslash tau$는 유클리드 시간, ''T''는 온도이다. 이 해는 헤라르뒤스 엇호프트^[4]가 처음 제안하고 에드워드 위튼^[5]이 발표한 주기적인 다중 인스턴톤 해를 기반으로 발견되었다.

6. 역사

칼로론은 1978년에 배리 해링턴(Barry J. Harrington^영어)과 하비 셰퍼드(Harvey K. Shepard^영어)가 최초로 발견하였다.^[15] ‘칼로론’이라는 단어는 calor|칼로르^la(열 熱)에서 유래하였으며, 유한 온도의 양-밀스 이론에서 중요하기 때문에 이러한 이름이 붙었다.

참조

_[1] 논문 Pseudoparticle solutions of the Yang–Mills equations
_[2] 문서
_[3] 논문 Periodic Euclidean Solutions and the Finite Temperature Yang–Mills Gas
_[4] 문서
_[5] 논문 Some Exact Multi-Instanton Solutions of Classical Yang–Mills Theory
_[6] 문서
_[7] 논문 Periodic Euclidean Solutions and the Finite Temperature Yang–Mills Gas
_[8] 문서
_[9] 논문 Some Exact Multi-Instanton Solutions of Classical Yang–Mills Theory
_[10] 서적 Multi‐calorons and their moduli 레이던 대학교 2005
_[11] 서적 The geometry of calorons 에든버러 대학교 2001
_[12] 저널 특집 2004 노벨물리학상. Confinement and Lattice QCD http://webzine.kps.o[...] 2004-12
_[13] 저널 Kac-Moody monopoles and periodic instantons https://projecteucli[...] 1988
_[14] 저널 The caloron correspondence and higher string classes for loop groups 2010-09
_[15] 저널 Periodic Euclidean solutions and the finite‐temperature Yang–Mills gas 1978-04-15