칼로론

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1. 개요

칼로론은 콤팩트 리 군 G에 대한 4차원 리만 다양체 위의 양-밀스 순간자이다. 이는 유한 온도에서의 양-밀스 이론에서 중요하며, 모듈라이 공간, 남 방정식, 자기 홀극과의 관계를 갖는다. 칼로론은 1978년 배리 해링턴과 하비 셰퍼드에 의해 처음 발견되었으며, '칼로론'이라는 이름은 유한 온도의 양-밀스 이론에서 중요한 역할을 하기 때문에 라틴어 'calor'(열)에서 유래되었다.

칼로론

일반 정보

이미지 준비중입니다.

1-칼로론의 스케치.

유형	유한 온도 인스턴턴

이론적 정보

관련 이론	양자 색역학 게이지 이론

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 유한 온도와 인스턴톤
5. SU(2) 양-밀스 이론에서의 예
6. 역사

2. 정의

콤팩트 리 군 $G$ 가 주어졌을 때, 칼로론은 4차원 리만 다양체
: $\mathbb R^3 \times \frac{\mathbb R}{\beta\mathbb Z}$
위의, 게이지 군 $G$ 에 대한 양-밀스 순간자이다. 여기서 양의 실수 $\beta\in\mathbb R^+$ 는 주기적 차원의 주기이며, 물리학적으로는 (볼츠만 상수를 1로 놓았을 때) 절대 온도의 역수에 해당한다.

절대 영도의 유클리드화된 양자장론에서 시공간에 국소적으로 존재하는 고전적인 해는 인스턴톤이라고 불린다. 인스턴톤은 민코프스키 시공간에서 서로 다른 위상수학적 진공 사이의 터널 효과를 기술한다. 대표적인 인스턴톤으로는 베라빈, 폴랴코프, 슈바르츠, 튜프킨이 1975년에 발견한 BPST 인스턴톤이 있다. 이는 유클리드화된 4차원 SU(2) 양-밀스 이론의 고전 운동 방정식을 만족하는 위상수학적으로 안정적인 해이다.

유한 온도 양자장론은 유클리드 시공간에서 허수 시간 축을 컴팩트화하여 얻어진다(열장론). 이러한 시공간 구조 변화는 인스턴톤 해에도 영향을 미쳐 절대 영도에서의 형태와 달라지게 한다. 마츠바라 이론에 따르면, 유한 온도에서는 게이지장에 허수 시간 방향의 주기 경계 조건이 부과되므로, 인스턴톤 해 역시 이 주기 경계 조건을 만족해야 한다. 이처럼 유한 온도 환경에서 주기 경계 조건을 만족하는 인스턴톤 해가 바로 칼로론이다.

3. 성질

칼로론은 여러 가지 독특하고 흥미로운 성질을 지닌다. 이러한 성질은 주로 칼로론의 모듈라이 공간, 남 방정식과의 연관성, 그리고 자기 홀극과의 관계를 통해 이해할 수 있다. 이들 각각의 측면은 칼로론의 복잡한 구조와 물리적 의미를 파악하는 데 중요한 단서를 제공하며, 이에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

3.1. 모듈라이 공간

SU(N) 게이지 군의 칼로론의 모듈라이 공간을 생각하자. 모듈라이 공간을 정의하기 위해서는 다음과 같은 매개 변수들이 필요하다.

* 순간자수 $k \in \mathbb Z$
* 무한대에서의 윌슨 고리 (홀로노미) $\mathrm P\exp\textstyle\oint A \in G$ . 이는 게이지 군을 카르탕 부분군으로 깨며, 그 고윳값을 $\exp(\mathrm i\lambda_1,\dotsc,\mathrm i\lambda_N)$ 이라고 하자.
* 자하(磁荷) $q_1,\dotsc,q_N \in \mathbb Z$ . 이들은 카르탕 부분군에 대한 자하이다.

그렇다면 이에 대한 칼로론 모듈라이 공간을 정의할 수 있다. 이는 리만 계량을 갖춘 $4N|k|$ 차원의 오비폴드이며, (오비폴드 특이점을 무시하면) 초켈러 다양체이다.

3.2. 남 방정식

SU(N) 칼로론은 남 방정식으로 구성할 수 있다. 이 경우 남 방정식은 원 위에 정의되며, 이 원 위의 벡터 다발의 차원은 N개의 점에서 바뀔 수 있다. 즉, 원은 N개의 구간으로 구성되며, 각 구간에서 벡터 다발의 차원은 일정하다.

남 방정식의 요소들과 대응되는 물리량은 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

남 방정식	물리량
원의 분할에서, 각 구간의 길이	무한대에서의 윌슨 고리의 고윳값
원의 둘레 길이	절대 온도 T (에 비례)
각 구간에서 벡터 다발의 차원	순간자수 및 자하(磁荷)
구간의 수 N	게이지 군 SU(N)의 이중 콕서터 수

3.3. 자기 홀극과의 관계

칼로론 모듈라이 공간의 차원은 다음과 같이 주어진다.
: $4h^\vee(G)|k|$
여기서 $h^\vee(G)$ 는 게이지 군의 이중 콕서터 수이고, $k\in\mathbb Z$ 는 순간자수를 나타내는 정수이다.

순간자수가 1인( $k=1$ ) 칼로론은 $h^\vee(G)$ 개의 조각으로 이루어져 있다고 생각할 수 있다. 이 각각의 조각은 자기 홀극으로 간주될 수 있다. 각 조각은 $1/h^\vee(G)$ 의 순간자수를 가지며, 자하(磁荷)의 절댓값은 1이다. 이 조각들의 자하를 모두 합하면 0이 되고, 순간자수를 모두 합하면 1이 되어, 결과적으로 하나의 칼로론을 형성한다.

또한, 칼로론은 고리군 값을 가지는 자기 홀극으로 해석할 수도 있다.

4. 유한 온도와 인스턴톤

영점 온도에서 인스턴톤은 해당 이론의 유클리드 버전 운동 방정식의 해를 의미하며, 유클리드 시공간에 국소화되어 있다. 이는 민코프스키 이론에서 서로 다른 위상학적 진공 상태 사이의 터널링 현상을 설명한다. 인스턴톤의 중요한 예로는 1975년 벨라빈, 폴랴코프, 슈바르츠, 튜프킨이 발견한 BPST 인스턴톤이 있다. BPST 인스턴톤은 윅 회전을 통해 유클리드 시공간으로 바꾼 4차원 SU(2) 양-밀스 이론의 고전 운동 방정식을 만족하는 위상학적으로 안정적인 해이다.

양자장론에서 유한 온도는 허수(유클리드) 시간을 콤팩트화하여 모델링한다(열적 양자장론 참조). 이러한 방식은 시공간의 전체 구조를 바꾸기 때문에 인스턴톤 해의 형태 역시 변화시킨다. 마츠바라 형식론에 따르면, 유한 온도에서는 유클리드 시간 차원이 주기성을 가지므로, 인스턴톤 해 역시 이러한 주기적인 경계 조건을 만족해야 한다.

5. SU(2) 양-밀스 이론에서의 예

SU(2) 양-밀스 이론에서 온도가 0일 때의 인스턴톤은 BPST 인스턴톤의 형태를 가진다. 이를 유한한 온도로 일반화한 해는 해링턴과 셰퍼드가 발견했다.
: $A_\mu^a(x) = \bar\eta_{\mu\nu}^a \Pi(x) \partial_\nu \Pi^{-1}(x) \quad\text{with} \quad \Pi(x) = 1+\frac{\pi\rho^2T}r \frac{\sinh(2\pi rT)}{\cosh(2\pi rT)-\cos(2\pi \tau T)} \ ,$
여기서 $\bar\eta_{\mu\nu}^a$ 는 반-'t 호프트 기호이고, r은 칼로론 중심에서 점 x까지의 거리, ρ는 칼로론의 크기, $\tau$ 는 유클리드 시간, T는 온도이다. 이 해는 헤라르뒤스 엇호프트가 처음 제안하고 에드워드 위튼이 발표한 주기적인 다중 인스턴톤 해를 기반으로 발견되었다.

6. 역사

칼로론은 1978년에 배리 해링턴(Barry J. Harrington^영어)과 하비 셰퍼드(Harvey K. Shepard^영어)가 최초로 발견하였다. ‘칼로론’이라는 단어는 [[:wiktionary:ko:calor^라틴어(열 熱)에서 유래하였으며, 유한 온도의 양-밀스 이론에서 중요하기 때문에 이러한 이름이 붙었다.