파면 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 특이올 (Singular Fiber)
- 2.2. 파면 집합 (Wavefront Set)
3. 예시
4. 응용
- 4.1. 분포의 곱셈
- 4.2. 파동 전파
5. 역사
6. 일반화
참조

1. 개요

파면 집합은 분포의 특이성을 위치와 방향으로 정밀하게 분석하는 도구로, 라르스 회르만데르가 1970년대에 도입했다. 파면 집합 WF(F)는 분포 F의 특이올들의 합집합으로 정의되며, 특이올은 특정 조건(푸리에 변환의 정칙성)을 만족하지 않는 방향들의 집합이다. 파면 집합은 분포의 곱셈 정의, 의사 미분 연산자를 이용한 파동 전파의 수학적 특이점 연구 등에 응용되며, 함수의 정규성 개념을 확장하는 일반화된 형태로도 사용될 수 있다.

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파면 집합
개요
유형	특이점 분석
세부 정보
연구 분야	푸리에 해석 미분 기하학 미분 방정식
관련 개념	파면 특이 지지 집합

2. 정의

singular fiber^영어와 파면 집합(Wavefront Set)은 분포의 특이성을 정밀하게 분석하는 도구이다. 특이성은 분포가 매끄럽지 않은 지점과 방향을 의미하며, 이는 함수의 급격한 변화나 불연속성과 관련된다.

이 개념들은 푸리에 변환을 통해 정의되는데, 푸리에 변환은 함수를 다양한 진동수의 파동으로 분해하는 역할을 한다. 파면 집합은 이러한 파동의 방향과 관련된 정보를 제공하여, 분포의 특이성을 더욱 자세히 분석할 수 있게 해준다.

분포의 특이성을 분석하기 위해, 특이올과 파면 집합의 개념은 다음과 같이 요약할 수 있다.

'''특이올''' (Singular Fiber): 주어진 점에서 분포가 특이한 방향들의 집합.
'''파면 집합''' (Wavefront Set): 모든 점에서의 특이올들의 합집합. 즉, 분포가 특이한 모든 점과 그 방향을 나타내는 집합.

2. 1. 특이올 (Singular Fiber)

singular fiber^영어은

n

차원 매끄러운 다양체

M

위의 분포

F\in\mathcal D'(M)

와

x\in M

에 대하여 다음과 같이 정의되는 집합

\Sigma_xF\subset T^*_xM

이다.

:

\xi\not\in\Sigma_xF\iff \exists\Gamma\ni x\exists\phi\forall N\in\mathbb Z^+\colon \sup_{\xi\in\Gamma}\left(\widehat{\phi F}(\xi)(1+|\xi|)^N\right)<\infty

여기서 사용된 기호의 의미는 다음과 같다.

$\exists\Gamma\ni x$ : $x$ 를 포함하는 열린 뿔 $\Gamma\subseteq T^*_xM$ 이 존재한다.
'''뿔'''(cone^영어): 임의의 음이 아닌 실수 $\lambda$ 에 대한 곱에 대하여 닫혀 있는 집합이다.
$\exists\phi$ : 국소좌표계 $U$ 위에 정의된, $\phi(x)\ne0$ 인 콤팩트 지지 매끄러운 함수 $\phi\in\mathcal C^\infty_0(U)$ 가 존재한다.
$\widehat{}$$ : 국소 좌표계에서의 푸리에 변환을 나타낸다.
$|\xi|$ : 적절한 리만 계량에 대한 노름이다. (이 정의는 리만 계량의 선택에 의존하지 않는다.)

특이올은 열린집합들의 합집합의 여집합이므로,

T^*_xM

속의 닫힌집합이다.

유클리드 공간에서, 분포 ƒ의 특이올은 다음과 같이 정의된다.

:

\Sigma_x(f)

는 ''x''에서 국소화된 ''f''의 푸리에 변환이

\xi

를 포함하는 열린 원뿔에 제한될 때 충분히 정칙이 되는 모든 방향

\xi

의 여집합으로 정의된다. 좀 더 정확하게, 방향 ''v''는 다음 추정이 각 양의 정수 ''N''에 대해 성립하는,

\Sigma_x(f)

의 여집합에 속한다. 단, φ는 φ(''x'') ≠ 0인 컴팩트 지지된 매끄러운 함수이고 Γ는 ''v''를 포함하는 열린 원뿔이다.

:

|(\phi f)^\wedge(\xi)| < c_N(1+|\xi|)^{-N}\quad{\rm for~all}\ \xi\in\Gamma.

미분 가능 다양체 ''M''에서, 코탄젠트 다발에 국소 좌표

x,\xi

를 사용, 특이올

\Sigma_x(f)

는 다시 ''f''의 푸리에 변환이 ''x''에서 국소화되어

\xi

의 원뿔형 근방으로 제한될 때 충분히 정칙이 되는 모든 방향

\xi

의 여집합이다.

2. 2. 파면 집합 (Wavefront Set)

singular fiber^영어의 합집합으로, 분포의 특이성에 대한 정보를 담고 있다.

매끄러운 다양체 M 위의 분포 F가 주어졌을 때, F의 x ∈ M에서의 특이올(singular fiber) Σ_xF ⊂ T^*_xM은 다음과 같이 정의된다.

:ξ ∉ Σ_xF ⇔ ∃Γ ∋ x ∃ϕ ∀ N ∈ ℤ⁺ : sup_{ξ ∈ Γ}(φ̂F(ξ)(1 + |ξ|)^N) < ∞

여기서,

∃Γ ∋ x는 x를 포함하는 열린 뿔(cone) Γ ⊆ T^*_xM이 존재함을 의미한다.
뿔(cone^영어)은 임의의 음이 아닌 실수 λ에 대해 λ에 대한 곱에 대해 닫혀 있는 집합이다.
∃ϕ는 국소좌표계 U 위에 정의된, ϕ(x) ≠ 0인 콤팩트 지지 매끄러운 함수 ϕ ∈ C^∞₀(U)가 존재함을 의미한다.
φ̂은 국소 좌표계에서의 푸리에 변환을 뜻한다.
|ξ|는 적절한 리만 계량에 대한 노름이다. (이 정의는 리만 계량의 선택에 의존하지 않는다.)

특이올은 열린집합들의 합집합의 여집합이므로, T^*_xM 속의 닫힌집합이다.

F의 파면 집합 WF(F) ⊂ T^*M은 특이올들의 합집합이다.

:WF(F) = {(x, ξ) ∈ T^*M : ξ ∈ Σ_xF}

이는 항상 닫힌집합이다.

더 쉬운 용어로 설명하자면, WF(f)는 함수 f가 특이한 '곳'뿐만 아니라 특이한 '방식' 또는 '이유'를 알려준다. 특이점이 발생하는 방향에 대해 더 정확하게 설명하는 것이다. 이 개념은 1차원에서는 가능한 방향이 두 개뿐이므로, 대부분 2차원 이상에서 유용하다. 어떤 방향으로 함수가 특이하지 않다는 상반되는 개념은 '미시적 매끄러움'이다.

예를 들어, 특이 지지가 평면의 매끄러운 곡선에 집중되어 있고 함수가 불연속적으로 점프하는 함수 ƒ를 생각해 보자. 곡선에 접하는 방향으로는 함수가 매끄럽게 유지된다. 반대로, 곡선에 수직인 방향으로는 함수가 특이점을 가진다. 다른 방향 v에서 함수가 매끄러운지 확인하려면, v에 수직인 방향으로 평균을 내어 함수를 매끄럽게 만들 수 있다. 결과 함수가 매끄러우면 ƒ가 v 방향으로 매끄럽다고 간주한다. 그렇지 않으면 v는 파면 집합에 있다.

유클리드 공간에서 ƒ의 파면 집합은 테스트 함수 ϕ ∈ C^∞_c가 존재하고 ϕ(x₀) ≠ 0이며 열린 원뿔 Γ가 v를 포함하여 추정

:|(ϕf)^∧(ξ)| ≤ C_N(1 + |ξ|)^-N (for all ξ ∈ Γ)

가 모든 양의 정수 N에 대해 성립하는 모든 쌍 (x₀, v)의 집합의 여집합으로 정의된다. 여기서 (ϕf)^∧는 푸리에 변환을 나타낸다. 파면 집합은 (x, v) ∈ Wf(ƒ)이면 모든 λ > 0에 대해 (x, λv) ∈ Wf(ƒ)라는 의미에서 원뿔형이다.

파면 집합의 개념은 모든 미분 가능 다양체 X로 일반화될 수 있다. 파면 집합은 ξ 변수가 자연스럽게 벡터가 아닌 코벡터로 국소화되므로 코탄젠트 다발 T^*(X)의 닫힌 원뿔형 부분 집합이다. 파면 집합은 X에 대한 투영이 함수의 특이 지지와 같도록 정의된다.

미분 가능 다양체 M에서, 코탄젠트 다발에 국소 좌표 (x, ξ)를 사용하여, 분포 ƒ의 파면 집합 WF(f)는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:WF(f) = {(x, ξ) ∈ T^*(X) | ξ ∈ Σ_x(f)}

여기서 특이 섬유 Σ_x(f)는 다시 f의 푸리에 변환이 x에서 국소화되어 ξ의 원뿔형 근방으로 제한될 때 충분히 정칙이 되는 모든 방향 ξ의 여집합이다. 정칙성의 문제는 국소적이므로, x 변수에 대한 푸리에 변환을 사용하여 국소 좌표계에서 확인할 수 있다. 필요한 정칙성 추정은 미분 동형 아래에서 잘 변환되므로 정칙성 개념은 국소 좌표 선택과 무관하다.

3. 예시

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 위의 디랙 델타 분포 $\delta(x)$는 푸리에 변환하면 상수 함수가 되며, $x=0$에서 특이점을 갖는다. 이 경우 파면 집합은 $\operatorname{WF}\delta=T^*_0\mathbb R^n$이다.^[1]

$\mathbb R$ 위의 단위 계단 함수 $\theta(x)$는 다음과 같이 정의된다.

:$\theta(x)=\begin{cases}0&x<0\\1&x>0\end{cases}$

단위 계단 함수의 파면 집합은 디랙 델타 분포의 파면 집합과 같은 $\operatorname{WF}\theta=T^*_0\mathbb R$이다.^[1]

$\mathbb R$ 위에 정의된 분포 $\frac{1}{x+i\epsilon}$은 특정 조건을 만족하는 함수 $f$에 대해 정의되며, 파면 집합은 $\operatorname{WF}1/(x+i\epsilon)=\{(0,\xi)\colon \xi<0\}$이다.

매끄러운 다양체 $M$에서 매끄러운 경계를 갖는 부분 집합 $\Omega$의 지시 함수 $\chi_\Omega$의 파면 집합은 $\operatorname{WF}\chi_\Omega=\{(x,\xi)\colon x\in\partial\Omega,\;\xi\perp\partial\Omega\}$이다.^[1]

슈바르츠 분포 공간 $G = D'$에서 국소적으로 $C^\infty$ 함수인 분포를 특징짓기 위해서는 $O'(Ω)$를 사용해야 한다. 분포 파면 집합의 첫 번째 성분에 대한 투영은 고전적인 특이 지지와 같다.

3. 1. 디랙 델타 분포 (Dirac Delta Distribution)

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 위의 디랙 델타 분포 $\delta(x)$를 생각하자. 디랙 델타 분포의 푸리에 변환은 상수 함수이며, 따라서 $x=0$에서는 어떤 방향에서도 특이올의 정의에 등장하는 추정이 성립하지 않는다. 따라서 이 경우 파면 집합은

:$\operatorname{WF}\delta=T^*_0\mathbb R^n$

이다.^[1] 즉, 디랙 델타 분포는 원점에서 모든 방향으로 특이점을 가지며, 디랙 델타 분포의 거듭제곱은 잘 정의되지 않는다.

3. 2. 1/x

\mathbb R

위에, 분포

1/(x+i\epsilon)

은 임의의 콤팩트 지지 매끄러운 함수

f

에 대하여

:

\langle u|f\rangle=-i\pi f(0)+\lim_{\epsilon\to0^+}\int\frac{f(x)-f(-x)}x\,dx

로 정의된다. (이 표기는 경로적분법을 따른 것이다.) 이 경우

:

\operatorname{WF}1/(x+i\epsilon)=\{(0,\xi)\colon \xi<0\}

이다. 즉,

\left(1/(x+i\epsilon)\right)^2

는 잘 정의된다.

3. 3. 지시 함수 (Indicator Function)

매끄러운 다양체

M

속에, 매끄러운 경계를 갖는 부분 집합

\Omega\subset M

이 주어졌다고 하자. 그 위의 지시 함수

\chi_\Omega

의 파면 집합은 다음과 같다.^[1]

:

\operatorname{WF}\chi_\Omega=\{(x,\xi)\colon x\in\partial\Omega,\;\xi\perp\partial\Omega\}

4. 응용

분포의 곱셈은 일반적으로 잘 정의되지 않지만, 파면 집합에 대한 특정 조건이 만족되면 두 분포의 곱을 정의할 수 있다.^[1] 또한, 파면 집합은 의사 미분 연산자에 의한 파동 전파의 수학적 특이점 연구에도 유용하다.

파면 집합(WF(''f''))은 함수 ''f''가 특이한(singular) ''위치''뿐만 아니라 (이미 특이 지지로 설명됨) 특이한 ''방식''이나 ''이유''를 알려주며, 특이점이 발생하는 방향에 대해 더 자세히 설명한다. 1차원에서는 가능한 방향이 두 개뿐이므로, 주로 2차원 이상에서 유용하다. 어떤 방향으로 함수가 특이하지 않다는 개념은 ''미시적 매끄러움''이라고 한다.

예를 들어, 특이 지지가 평면의 매끄러운 곡선에 집중되어 있고 함수가 불연속적으로 점프하는 함수 ƒ를 생각해 보자. 곡선에 접하는 방향으로는 함수가 매끄럽게 유지되지만, 곡선에 수직인 방향으로는 함수가 특이점을 가진다. 다른 방향 ''v''에서 함수가 매끄러운지 확인하려면, ''v''에 수직인 방향으로 평균을 내어 함수를 매끄럽게 만들 수 있다. 이때 결과 함수가 매끄러우면 ƒ가 ''v'' 방향으로 매끄럽다고 간주하며, 그렇지 않으면 ''v''는 파면 집합에 있다.

유클리드 공간에서 ƒ의 '''파면 집합'''은 다음 조건을 만족하는 모든 쌍 (''x''₀,''v'')의 집합의 여집합으로 정의된다. 즉, 테스트 함수 $\phi\in C_c^\infty$ 가 존재하고 $\phi$ (''x''₀) ≠ 0이며, 열린 원뿔 Γ가 ''v''를 포함하여, 모든 양의 정수 ''N''에 대해 다음 부등식이 성립한다.

: $|(\phi f)^\wedge(\xi)| \le C_N(1+|\xi|)^{-N}\quad\mbox{for all }\ \xi\in\Gamma$

여기서 $(\phi f)^\wedge$ 는 푸리에 변환을 나타낸다. 파면 집합은 (''x'',''v'') ∈ Wf(ƒ)이면 모든 λ > 0에 대해 (''x'',λ''v'') ∈ Wf(ƒ)라는 의미에서 원뿔형이다.

파면 집합의 개념은 모든 미분 가능한 다양체 ''X''로 확장될 수 있다. 일반적인 상황에서 파면 집합은 ξ 변수가 벡터가 아닌 코벡터로 국소화되므로 코탄젠트 다발 ''T''^*(''X'')의 닫힌 원뿔형 부분 집합이며, ''X''에 대한 투영이 함수의 특이 지지와 같도록 정의된다.

4. 1. 분포의 곱셈

일반적으로, 분포의 곱셈은 잘 정의될 수 없다. 그러나 파면 집합에 대한 적절한 조건이 성립한다면 두 분포의 곱을 정의할 수 있다.^[1] 구체적으로, 두 분포

F,G\in\mathcal D'(M)

의 곱이 잘 정의되기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

:

\forall (x,\xi)\in T^*M\colon \lnot\left(\xi\ne0\land (x,\xi)\in\operatorname{WF} F\land(x,-\xi)\in\operatorname{WF}G\right)

즉, 두 분포의 특이 지지 집합이 겹치더라도, 특이점의 방향이 일치하지 않는다면 두 분포의 곱을 잘 정의할 수 있다.

4. 2. 파동 전파

의사 미분 연산자를 이용한 파동 전파 및 수학적 특이점 연구에 파면 집합이 유용하게 사용된다. 특히 대한민국에서는 지진, 해일 등 자연재해 예측 및 분석에 응용될 수 있다.

5. 역사

라르스 회르만데르가 1970년경에 도입하였다.

6. 일반화

파면 집합(Wavefront set)의 개념은 함수의 다른 정규성 개념을 수용하도록 적용될 수 있다. 여기서 국소화는 ''f''가 ''x''에서 사라지지 않는 매끄러운 차단 함수에 의해 잘린다고 말함으로써 표현할 수 있다. (국소화 과정은 germ을 사용하여 더 우아하게 수행될 수 있다.)

더 구체적으로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\xi\notin\Sigma_x(f) \iff \xi=0 \text{ or }\exists\phi\in\mathcal D_x,\ \exists V\in\mathcal V_\xi: \widehat{\phi f}|_V\in O(V)$

여기서

$\mathcal D_x$ 는 ''x''에서 사라지지 않는 컴팩트하게 지원되는 매끄러운 함수이고,
$\mathcal V_\xi$ 는 $\xi$ 의 ''원뿔형 근방''이다. 즉, 모든 $c > 0$ 에 대해 $c\cdot V\subset V$ 를 만족하는 근방 ''V''이다.
$\widehat u|_V$ 는 (컴팩트하게 지원되는 일반화된) 함수 ''u''의 푸리에 변환을 ''V''로 제한한 것을 나타내고,
$O: \Omega\to O(\Omega)$ 는 푸리에 변환의 원하는 정규성을 강제하는 함수(또는 분포)의 고정된 전층이다.

일반적으로 ''O''의 섹션은 무한대에서 특정 성장(또는 감소) 조건을 만족해야 한다. 예를 들어

(1+|\xi|)^s v(\xi)

가 특정 L^p 공간에 속하도록 해야 한다.

이 정의는 ''f''가 매끄러운 차단

\phi

로 잘릴 때 푸리에 변환이 더 규칙적(무한대에서의 성장 측면에서)이기 때문에 의미가 있다.

이론적 관점에서 가장 어려운 "문제"는 주어진 일반화된 함수 공간 ''G''의 하위층 ''E''에 속하는 함수를 특징짓는 적절한 층 ''O''를 찾는 것이다.

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