평면의 결정군

3. 대칭성

평면의 결정군은 그들의 대칭성에 의해 패턴이 분류된다. 모양, 색깔, 크기 또는 방향이 다른 패턴일지라도 같은 대칭성을 갖는다면, 같은 군으로 분류되며, 반면, 겉보기에는 작은 차이점이지만, 이것이 대칭성에 영향을 미쳐 서로 다른 군에 속하게 될 수 있다.

• '''평행이동변환''': 평면의 모든 점을 특정한 방향으로 일정한 크기만큼 이동시킨다.
• '''회전변환''': 평면의 한 점(회전의 중심)을 기준으로 θ만큼 회전시킨다.
• '''반사변환''': 평면을 대칭축이라 불리는 선을 기준으로 뒤집는다.
• '''미끄럼 반사변환''': 대칭축에 대한 반사와 평행이동의 합성이다.

4. 표기법

평면의 등장변환은 평행이동변환, 회전변환, 반사변환, 미끄럼 반사변환의 네 가지로 나뉜다.

• '''평행이동변환'''(''T''_''v''): ''v''는 '''R'''²의 벡터이다. 평면의 모든 점을 특정 방향으로 일정 크기만큼 이동시킨다.
• '''회전변환'''(''R''_c,θ): ''c''는 평면의 한 점(회전 중심)이고 θ는 회전각이다.
• '''반사변환'''(''F''_''L''): ''L''은 '''R'''²의 직선(대칭축)이며, ''F''는 "뒤집다"를 뜻하는 영단어 "flip"의 첫 글자에서 따왔다.
• '''미끄럼 반사변환'''(''G''_''L'',''d''): ''L''은 '''R'''²의 직선이고 ''d''는 거리이다. 직선 ''L''에 대한 반사와 직선 ''L''을 따라 거리 ''d''만큼 평행이동한 변환의 합성이다. 'G'는 "미끄러짐"을 뜻하는 영단어 "glide"의 첫 글자에서 따왔다.

4. 1. 결정학적 표기법 (헤르만-모갱 표기법)

4. 2. 오비폴드 표기법

• '''평행이동변환''': ''T''_''v''로 표시한다. ''v''는 '''R'''²의 벡터이다. 이 변환은 평면의 모든 점을 특정한 방향으로 일정한 크기만큼 이동시킨다.

• '''회전변환''': ''R''_c,θ로 표시한다. ''c''는 평면의 한 점(회전의 중심)이고 θ는 회전각이다.

• '''반사변환''': ''F''_''L''로 표시한다. ''L''은 '''R'''²의 직선으로 대칭축이라 하며 ''F''는 "뒤집다"를 나타내는 영단어 "flip"의 첫 문자에서 따왔다.

• '''미끄럼 반사변환''': ''G''_''L'',''d''로 표시한다. ''L''은 '''R'''²의 직선이고 ''d''는 거리이다. 이것은 직선 ''L''에 대한 반사와 직선 ''L''을 따라 거리 ''d''만큼 평행이동한 변환의 합성이다. 'G'는 "미끄러짐"을 나타내는 영단어 "glide"의 첫 문자에서 따왔다.

5. 17개 평면 결정군

17개 평면 결정군은 2차원 평면에서 나타나는 반복적인 패턴의 대칭성을 분류한 것이다. 각 군은 특정한 변환(평행이동, 회전, 반사, 미끄럼 반사)의 조합을 포함한다. 각 평면 결정군은 헤르만-모갱 표기법과 오비폴드 표기법으로 표현할 수 있다.

• '''p1 군 (o)'''

• '''p2 군 (2222)'''

• '''pm 군 (**)'''

• '''pg 군 (xx)'''

• '''cm 군 (*x)'''

• '''pmm 군 (*2222)'''

• '''pmg 군 (22*)'''

• '''pgg 군 (22x)'''

• '''cmm 군 (2*22)'''

• '''p4 군 (442)'''

• '''p4m 군 (*442)'''

• '''p4g 군 (4*2)'''

• '''p3 군 (333)'''

• '''p3m1 군 (*333)'''

• '''p31m 군 (3*3)'''

• '''p6 군 (632)'''

• '''p6m 군 (*632)'''

5. 1. p1 군 (o)

• 오비폴드 표기: o
• 콕서터 표기 (직사각형): [∞⁺,2,∞⁺] 또는 [∞]⁺×[∞]⁺
• 격자: 사선
• 점군: C₁

격자 유형별 ''p''1 셀 구조

사선			육각형
직사각형		마름모꼴		정사각형

;'''p1''' 군의 예시

5. 2. p2 군 (2222)

• 오비폴드 시그니처: 2222
• 콕서터 표기법(직사각형): [∞,2,∞]⁺
• 격자: 사선형
• 점군: C₂
• '''''p''2''' 군은 2차 회전 중심(180°) 4개를 포함하지만, 반사 또는 활주 반사는 포함하지 않는다.

격자 유형별 ''p''2의 셀 구조

사선형			육각형
직사각형		능형		정사각형

5. 3. pm 군 (**)

• 오비폴드 표기법: **
• 콕서터 표기법: [∞,2,∞⁺] 또는 [∞⁺,2,∞]
• 격자: 직사각형
• 점군: D₁

'''pm''' 군의 구조

;'''pm''' 군의 예시

(처음 세 개는 수직 대칭축을 가지고, 마지막 두 개는 각각 다른 대각선 대칭축을 가진다.)

• --
• --
• --
• --

• 

• 

5. 4. pg 군 (xx)

• 오비폴드 표기: ××
• 콕서터 표기법: [(∞,2)⁺,∞⁺] 또는 [∞⁺,(2,∞)⁺]
• 격자: 직사각형
• 점군: D₁

''pg''의 셀 구조

;''pg'' 그룹의 예시

돗자리 안쪽의 지그재그 묶음을 자세히 살펴보지 않으면 pmg 군에 해당한다. 갈색과 검은색 사이의 구분을 자세히 살펴보지 않으면 pgg 군에 해당한다.

벽돌 가장자리의 물결무늬를 무시하면, 포장한 바닥은 pgg 군이다.

5. 5. cm 군 (*x)

cm군은 회전변환을 포함하지 않는다. 반사변환축을 가지며, 그 축들은 모두 평행하다. 적어도 하나는 미끄럼 반사변환을 가지는데, 그 축은 반사변환축이 아니다. 미끄럼 반사변환축은 두 개의 인접한 평행 반사변환축 사이의 중간지점에 있다.

이 그룹은 동일한 물체의 대칭적으로 엇갈린 줄들에 적용된다 (즉, 줄 안쪽에서 평행이동 거리의 반만큼 줄마다 변환이 있다). 그 물체는 줄과 평행하는 대칭축을 가진다.

''cm''의 셀 구조

수평 거울	수직 거울
능형

• 오비폴드 기호: *×^[1]
• 콕서터 표기: [∞⁺,2⁺,∞] 또는 [∞,2⁺,∞⁺]^[2]
• 격자: 능형^[3]
• 점군: D₁^[4]

;''cm'' 군의 예시

5. 6. pmm 군 (*2222)

'''pmm''' 군은 두 개의 직각을 이루는 방향의 반사변환과 회전축의 교차하는 점에 위치해 있는 위수가 2인 4개의 회전(180°) 중심을 가진다.

''pmm''의 셀 구조

• 오비폴드 표기: *2222
• 콕세터 표기 (직사각형): [∞,2,∞] 또는 [∞]×[∞]
• 콕세터 표기 (정사각형): [4,1⁺,4] 또는 [1⁺,4,4,1⁺]
• 격자: 직사각형
• 점군: D₂
• 그룹 '''''pmm'''''은 두 개의 수직 방향에 반사를 가지며, 반사 축의 교차점에 2차 회전 중심(180°)이 4개 있다.

;그룹 ''pmm''의 예시

5. 7. pmg 군 (22*)

pmg군은 위수가 2인 두 개의 회전축과 오직 한 방향의 대칭을 가진다. pmg군은 대칭축에 수직인 미끄럼 반사변환축을 가진다. 모든 회전축은 미끄럼 반사변환축 위에 놓여 있다.

'''pmg'''의 셀 구조

• 오비폴드 기호: 22*
• 콕서터 표기: [(∞,2)⁺,∞] 또는 [∞,(2,∞)⁺]
• 격자: 직사각형
• 점군: D₂
• 그룹 '''pmg'''는 2차 회전 중심(180°) 두 개와 한 방향의 반사를 가진다. 반사 축에 수직인 활주 반사가 있다. 회전 중심은 모두 활주 반사 축에 있다.

;그룹 ''pmg''의 예시

5. 8. pgg 군 (22x)

pgg군은 위수가 2인 두 개의 회전 중심들을 포함하며, 두 개의 수직 방향에서 미끄럼 반사변환을 포함한다(180°). 회전 중심들은 미끄럼 반사변환 축 위에 위치해 있지 않다. 반사변환은 존재하지 않는다.

격자 유형별 ''pgg''의 셀 구조

직사각형

정사각형

• 오비폴드 기호: 22×
• 콕서터 표기법 (직사각형): [((∞,2)⁺,(∞,2)⁺)]
• 콕서터 표기법 (정사각형): [4⁺,4⁺]
• 격자: 직사각형
• 점군: D₂
• 그룹 ''pgg''는 2차 회전 중심 두 개(180°)와 두 개의 수직 방향의 글라이드 반사를 포함한다. 회전 중심은 글라이드 반사 축에 위치하지 않는다. 반사는 없다.

5. 9. cmm 군 (2*22)

'''cmm'''군은 두 개의 수직한 방향의 반사변환을 가지고, 반사변환 축 위에 중심이 있지 않은 두 개의 회전변환(180°)을 가진다. 또한 '''cmm'''군은 반사변환 축 위에 중심이 있는 두 개의 회전변환도 가지고 있다.

대부분의 벽돌 건물에서 벽돌 배열이 공통적으로 이 군을 이용하기 때문에 일상생활에서 자주 볼 수 있다.

마름모 모서리 중심에서 회전 중심을 가지는 2차원 회전반사는 다른 특성들의 결과이다.

무늬는 아래의 각각에 일치한다.

• 항등의 2중 대칭인 물체의 대칭적으로 기울어진 열
• 각각이 그 자체로 두 개의 사각형 타일이 교차하는 장기판 무늬는 2중 대칭이다.
• 2-fold 회전 대칭 사각형 타일과 그것의 거울상이 교차하는 장기판 무늬

격자 유형별 ''cmm''의 셀 구조

능형

정사각형

• 오비폴드 시그니처: 2*22
• 콕서터 표기법(능형): [∞,2⁺,∞]
• 콕서터 표기법(정사각형): [(4,4,2⁺)]
• 격자: 능형
• 점군: D₂

이 그룹은 일상생활에서 자주 볼 수 있는데, 벽돌 건물에서 가장 일반적인 벽돌 배열(런닝 본드)이 이 그룹을 활용하기 때문이다.

5. 10. p4 군 (442)

평면군 '''p4'''는 위수가 4인 두 개의 회전중심을 가지고, 위수가 2인 하나의 회전중심을 가진다. 반사변환과 미끄럼 반사변환은 가지지 않는다.

• 오비폴드 표기: 442
• 콕서터 표기: [4,4]⁺
• 격자: 정사각형
• 점군: C₄
• '''p4''' 그룹은 4차 회전 중심(90°) 2개와 2차 회전 중심(180°) 1개를 가지고 있다. 반사나 글라이드 반사는 없다.

;p4 그룹의 예시

'''p4''' 패턴은 4중 회전 대칭을 가진 동일한 정사각형 타일들이 행과 열로 반복되는 것으로 볼 수 있다. 또한 이 타일의 절반 크기에 45° 회전된 두 타일의 체스판 패턴으로 볼 수도 있다.

5. 11. p4m 군 (*442)

'''p4m''' 군 (*442)은 위수 90°의 회전 중심 2개와 수평, 수직, 대각선 방향의 반사 변환 4개를 갖는다. 또한 반사 변환 축이 아닌 축을 가지는 추가적인 미끄럼 반사 변환을 가진다. 위수 180°의 회전 변환은 미끄럼 반사 변환 축의 교차점에 중심이 있다. 모든 회전 변환의 중심은 반사 변환 축 위에 있다.

이것은 4개의 반사 변환 축을 가진 정사각형 행과 열의 격자점에 대응된다.

;'''p4m''' 군의 예시

가장 작은 변환을 수평 및 수직으로 표시한 예시(도해와 유사):

• --
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• --
• --
• --
• --
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• --

가장 작은 변환을 대각선으로 표시한 예시:

• --



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• 

5. 12. p4g 군 (4*2)

'''p4g''' 군(4*2)은 위수 90°의 4차 회전 중심 두 개를 가지는데, 이들은 서로 거울상을 이룬다. 그러나 이들은 서로 수직인 두 방향에서만 대칭 변환을 가진다. 대칭 변환 축의 교점에 중심이 있는 위수 180°의 2차 회전 변환도 존재한다. 이들 사이에는 대칭 변환 축에 평행하고 45° 각도를 이루는 미끄럼 대칭 변환 축이 있다.

'''p4g'''는 4차 회전 대칭을 가진 정사각형 타일과 그 거울상의 복사본으로 이루어진 체커보드 문양으로 볼 수 있다. 또는 타일을 절반 이동시켜 수평 및 수직 대칭 타일과 90° 회전된 버전의 체커보드 문양으로 볼 수도 있다. 일반적인 흑백 타일 체커보드 문양에는 해당되지 않으며, 이는 '''p4m''' 그룹(대각선 이동 셀 포함)에 해당한다.

아래 제시된 도형은 평행 이동에 의해 반복해서 나타나는 가장 작은 사각형의 2배가 된다.

5. 13. p3 군 (333)

'''p3''' 군은 중심의 위수가 3 (120°)인 세 가지 다른 회전을 갖지만, 대칭변환 또는 미끄럼 반사 변환을 갖지 않는다.^[1]

같은 크기의 정삼각형을 가진 평면에서 변들이 가장 작은 평행이동에 대응하는 바둑판 무늬로 짜맞추기를 상상해 보자.^[1] 그러면 삼각형의 반은 자기 자신의 방향에 있고 나머지 반은 뒤집히게 된다.^[1] 이 평면 결정 그룹은 같은 방향의 모든 삼각형이 같은 경우와 대응되고, 두 타입은 위수 3의 회전 대칭을 가지나 두 개는 같지 않고 각각은 거울상이 아니고 둘은 대칭이 아니다.^[1] 주어진 이미지에 대해 이러한 바둑판 무늬로 짜맞추기 중 세 개는 가능하고 회전 중심을 가진 각각은 정점들로서 가능하다. 즉 어떤 바둑판 무늬로 짜맞추기에 대해 두 개의 변환은 가능하다.^[1] 이미지에 의하여 정점들은 빨강, 파랑 또는 초록색 삼각형이 될 수 있다.^[1]

똑같이, 등각 모양과 같은 크기를 가지고 있는 6각형은 변들이 가장 작은 평행이동에 대응하는 평면의 바둑판 무늬로 짜맞추기를 상상해보자.^[1] 그러면 이 평면 결정 그룹은 모든 6각형이 같고(그리고 같은 방향을 갖는) 위수 3의 회전 변환을 갖는 반면 그것들은 거울 상 대칭을 갖지 않는다.^[1] 주어진 이미지에 대해, 이러한 바둑판 무늬로 짜맞추기 중 정점으로서의 회전 중심을 가진 각각의 아홉 개는 가능하다.^[1] 이미지에 의하여 중심은 각각 빨강 삼각형 또는 파랑 또는 초록색의 세 가지 결정을 할 수 있다.^[1]

5. 14. p3m1 군 (*333)

'''p3m1''' 군(*333)은 위수가 3 (120°)인 세 가지 다른 회전 중심을 갖는다. 정삼각형의 세 변에 반사가 있다. 각 회전의 중심은 반사축 위에 있다. 인접한 평행 반사축 사이의 중간 지점에 축이 있는 세 개의 다른 방향으로 추가적인 미끄럼 반사가 있다.

'''p3'''과 마찬가지로, 변이 가장 작은 평행이동에 해당하는, 동일한 크기의 정삼각형으로 평면을 테셀레이션하는 것을 상상해 볼 수 있다. 그러면 삼각형의 절반은 한 방향이고 다른 절반은 뒤집혀 있다. 이 군은 동일한 방향의 모든 삼각형이 같고, 두 유형 모두 3차 회전 대칭을 가지며, 둘 다 대칭이지만 두 개가 같지 않고 서로의 거울 이미지가 아닌 경우에 해당한다. 주어진 이미지의 경우, 각각 회전 중심을 꼭지점으로 하는 이러한 테셀레이션이 세 개 가능하다.

5. 15. p31m 군 (3*3)

'''p31m''' 군은 중심에 대하여 세 개의 순서로(120°) 회전하는 세 개의 다른 회전을 가지며, 두 개는 서로에게 그대로 반영하는 이미지를 가진다. 세 개의 다른 방향들에 대하여 반사들이 있으며, 회전중심이 회전축에 놓여있지 ''않는'' 적어도 하나의 회전을 가진다. 또한, 세 개의 다른 방향들에는 평행한 반사 축들 사이에 인접하여 중간에 위치하고 있는 축에 대하여 추가적인 미끄러지는 반사들이 있다.

'''p3'''와 '''p3m1'''과 같이, 가장 작은 이동변환에 대하여 면들이 같은 크기의 등변의 삼각형들을 가지는 평면의 모자이크 식 포장의 이미지이다. 이때, 삼각형들의 절반은 원래의 것이고 다른 절반은 거꾸로 뒤집히게 된다. 이 평면의 결정군과 같은 기원을 가지는 모든 삼각형들의 경우에 대하여 같다. 두 개의 유형들이 3개의 순서의 회전적인 대칭을 가지고 서로 각자들을 그대로 반영하는 이미지인 반면에 그들 스스로 대칭이 아니고 같지도 않다. 주어진 이미지에 대하여 오직 하나만이 이러한 모자이크식 포장이 가능하다. 이미지의 유형들에서는 꼭짓점들이 진한 파란색인 삼각형들이 될 수 ''없다''.

• 오비폴드 기호: 3*3^[1]
• 콕서터 표기법: [6,3⁺]^[2]
• 격자: 육각형^[3]
• 점군: D₃^[4]

;군 '''p'''31'''m'''의 예시

5. 16. p6 군 (632)

'''p6''' 군은 위수 6(60°)인 회전중심을 하나 가진다. 또한 위수 3(120°)인 회전중심 두 개를 가지는데, 이들은 60° 회전(또는 180°)으로 구분할 수 있다. 그리고 위수가 2(180°)인 회전중심 세 개를 가지며, 이들은 60° 회전으로 구분된다. 반사나 미끄럼반사는 존재하지 않는다.^[1]

이 대칭성을 가진 패턴은 C₃ 대칭성을 가진 동일한 삼각형 타일로 평면을 테셀레이션하거나, 또는 동등하게 C₆ 대칭성을 가진 동일한 육각형 타일로 평면을 테셀레이션한 것으로 볼 수 있다(타일의 가장자리는 반드시 패턴의 일부일 필요는 없다).^[1]

• 오비폴드 기호: 632^[1]
• 콕세터 표기법: [6,3]^+[1]
• 격자: 육각형^[1]
• 점군: C₆^[1]

;'''p6''' 군의 예시

5. 17. p6m 군 (*632)

'''p6m''' 그룹은 위수가 6인 (60°) 회전 중심을 하나 가진다. 또한 위수가 3인 회전 중심 두 개를 가지는데, 이들은 60° 회전(또는 180°)으로 구분된다. 그리고 위수가 2인 회전 중심 세 개를 가지며, 이들은 60° 회전으로 구분된다. p6m은 또한 여섯 가지의 구분 가능한 방향으로의 반사가 존재한다. 그 각각의 여섯 가지 방향에 대해 미끄럼 반사 역시 존재하는데, 이 미끄럼 반사의 축은 평행하게 인접한 반사 축의 중간에 위치해 있다.

이 대칭성을 가진 패턴은 이산면을 D₃ 대칭성을 가진 동일한 삼각 타일로 테셀레이션한 것으로 볼 수 있으며, 또는 동일하게는 D₆ 대칭성을 가진 동일한 육각형 타일로 평면을 테셀레이션한 것으로 볼 수 있다(타일의 가장자리는 반드시 패턴의 일부일 필요는 없다). 따라서 가장 간단한 예는 연결선이 있거나 없는 삼각 격자와 육각형의 윤곽선과 배경에 각각 하나의 색상을 사용하는 육각형 타일링이다.

;그룹 ''p''6''m''의 예시

참조

_[1] 간행물 Симметрія на плоскости https://babel.hathit[...] Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества 1891
_[2] 논문 Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene 1924-11
_[3] 웹사이트 How to Make Impossible Wallpaper https://www.quantama[...] 2013-03-05
_[4] 서적 Symmetry in Crystallography Oxford University Press
_[5] 문서
_[6] 논문 Симметрія на плоскости https://babel.hathit[...] 1891
_[7] 논문 Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene 1924
_[8] 웹사이트 文様の１７種への分類 https://www.ms.u-tok[...] 2024-11-07