폰 노이만 대수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

폰 노이만 대수는 특별한 성질을 만족하는 C* 대수 또는 복소 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 C* 대수로 정의된다. 이 두 정의는 서로 동치이며, 약하게 닫힌 *-대수, 이중 가환자와 같은 유계 작용소의 부분 대수, 쌍대 공간을 갖는 C*-대수 등 세 가지 방법으로 정의할 수 있다. 폰 노이만 대수는 힐베르트 공간 위의 유계 작용소의 집합으로 구체적으로 설명되며, C*-환 중 쌍대 공간을 갖는 W*-환과 동형이다. 폰 노이만 대수는 폰 노이만 인자와 인자들의 직접 적분으로 분류되며, 인자는 I, II, III형으로 세분화된다. 폰 노이만 대수는 무게, 전쌍대 공간, 사영 등의 성질을 가지며, 가환 폰 노이만 대수는 측도 공간의 L∞ 공간과 동형이다. 폰 노이만 대수는 힐베르트 공간 위의 유계 작용소, 르베그 공간, 군 폰 노이만 대수, 엽층 폰 노이만 대수, 텐서 곱, 교차곱 등 다양한 방법으로 구성될 수 있다. 폰 노이만 대수는 매듭 이론, 통계 역학, 양자장론, 비가환 기하학 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

폰 노이만 대수는 힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 집합으로, 덧셈, 곱셈, 스칼라 곱, 에르미트 수반에 대해 닫혀 있으며 항등원을 포함하는 대수이다. 폰 노이만 대수는 C*-대수의 특수한 경우이며, 추상적 정의와 구체적 정의 두 가지 방식으로 정의될 수 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

폰 노이만 대수를 정의하는 일반적인 방법은 다음과 같다:

약작용소 위상으로 닫힌 *-대수: 항등원을 포함하는 유계 작용소(힐베르트 공간 상의)로 구성되며, 약하게 닫힌 *-대수이다. 여기서 약작용소 위상은 강한, 초강한 또는 초약한 작용소 위상 등으로 대체될 수 있다. 노름 위상에서 닫힌 유계 작용소의 *-대수는 C*-대수이므로, 모든 폰 노이만 대수는 C*-대수이다.
이중 가환자: 폰 노이만 대수는 반전성(*-연산)에 대해 닫혀 있고, 자신의 이중 가환자와 같은 유계 작용소의 부분 대수이다. 폰 노이만 이중 가환자 정리에 따르면, 이 정의는 위의 약작용소 위상으로 정의한 것과 동치이다.

폰 노이만 대수는 쌍대 공간을 갖는 C*-대수로 추상적으로 정의될 수도 있다. 즉, 바나흐 공간으로 간주되는 폰 노이만 대수는 전쌍대라고 불리는 어떤 다른 바나흐 공간의 쌍대 공간이다.

2. 1. 추상적 정의

C* 대수

\mathcal A

가 주어졌다고 하자. 이는 복소수 바나흐 대수, 특히 복소수 바나흐 공간을 이룬다. 만약

\mathcal A\cong V^*

가 되는 복소수 바나흐 공간

V

가 존재한다면,

\mathcal A

를 '''폰 노이만 대수'''라고 한다. (여기서

\cong

은 복소수 바나흐 공간 사이의 등거리 복소수 선형 전단사 함수의 존재이며,

V^*

는

V

의 복소수 연속 쌍대 공간이다.)

사실, 이러한 복소수 바나흐 공간

V

는 (등거리 복소수 선형 전단사 함수 아래) 유일하다. 이를

\mathcal A

의 '''원쌍대 공간'''(predual^영어)이라고 한다.

2. 2. 구체적 정의

복소수 힐베르트 공간

\mathcal H

위의 유계 작용소들의 C*-대수

\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)

의 부분 집합

\mathcal A

가 덧셈, 합성, 에르미트 수반, 복소수 스칼라곱에 대해 닫혀 있고 항등원을 포함한다고 가정하자. 이때, 폰 노이만 정리에 따르면 다음 세 집합은 모두 같다.

$\mathcal A$ 의 강한 작용소 위상(점별 노름 수렴 위상)에서의 폐포
$\mathcal A$ 의 약한 작용소 위상(점별 약한-* 위상 수렴 위상)에서의 폐포
$\mathcal A''$ (이중 교환자)

여기서

\mathcal A'=\{T\in\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)\colon\forall A\in\mathcal A\colon TA=AT\}

이고,

\mathcal A''=\{T\in\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)\colon\forall A'\in\mathcal A'\colon TA'=A'T\}

이다.

만약

\mathcal A=\mathcal A''

이면,

\mathcal A

(및 이와 동형)인 C*-대수)를 폰 노이만 대수라고 한다. 즉, 폰 노이만 대수는 이중 교환자와 같은 C*-대수이다.

3. 분류

폰 노이만 대수는 중심의 성질에 따라 인자(factor)와 그렇지 않은 경우로 나눌 수 있다. 모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분으로 표현될 수 있으며, 이 표현은 유일하다. 인자는 사영원의 성질에 따라 I형, II형, III형으로 분류된다.

머레이와 폰 노이만은 모든 인자가 I형, II형, III형 중 하나에 속한다는 것을 보였다. 폰 노이만 대수가 X형 인자들의 직접 적분으로 분해될 수 있다면, 그 폰 노이만 대수도 X형이라고 한다. 예를 들어, 모든 가환 폰 노이만 대수는 I₁형이다. 모든 폰 노이만 대수는 I, II, III형 폰 노이만 대수의 합으로 유일하게 표현될 수 있다.

인자는 다음과 같이 더 세분화될 수 있다.

이산/연속: I형 인자는 이산(때로는 온순), II형 또는 III형 인자는 연속(때로는 거친)이라고 한다.
반유한/순수 무한: I형 또는 II형 인자는 반유한, III형 인자는 순수 무한이라고 한다.
유한/적절하게 무한: 사영원 1이 유한하면 유한, 그렇지 않으면 적절하게 무한이라고 한다. I형 및 II형 인자는 유한하거나 적절하게 무한할 수 있지만, III형 인자는 항상 적절하게 무한하다.

폰 노이만 환의 사영원들 사이의 순서 관계를 통해 완비 격자를 이룰 수 있으며, 이 구조를 이용하여 I, II, III형 폰 노이만 환을 정의한다. 또한, II₁, II_∞형 등으로 더 세분화할 수 있다. 임의의 폰 노이만 환 ''M''은 I, II, III형 폰 노이만 환 ''M''_I, ''M''_II, ''M''_III의 직합과 동형이며, 이는 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

3. 1. 폰 노이만 인자

폰 노이만 대수

A

의 중심

\operatorname Z(A)

가 복소수 스칼라의 집합과 같을 때, 즉

\operatorname Z(A)=\mathbb C\cdot1_A

일 때,

A

를 '''폰 노이만 인자'''(von Neumann factor^영어)라고 한다.^[1] 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분으로 나타낼 수 있으며, 이 표현은 사실상 유일하다. 따라서 폰 노이만 대수의 분류는 인자 대수의 분류로 귀결된다.

폰 노이만 대수 이론에서 사용되는 몇 가지 용어는 다음과 같다.

'''인자(factor)''': 중심이 자명하여 스칼라 연산자로만 구성된 폰 노이만 대수이다.
가분 힐베르트 공간에서 작용하는 폰 노이만 대수는 '''가분'''이라고 한다.

중심이 항등 연산자의 배수로만 구성된 폰 노이만 대수 ''N''을 '''인자'''라고 부른다. 가분 힐베르트 공간 위의 모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분에 동형이며, 이 분해는 본질적으로 유일하다. 따라서 가분 힐베르트 공간 위의 폰 노이만 대수의 동형 클래스를 분류하는 문제는 인자의 동형 클래스를 분류하는 문제로 축소될 수 있다.

폰 노이만 환 ''M''에서, 그 중심 ''M'' ∩ ''M''′가 단위원(항등 작용소)이 생성하는 '''C''' 상 1차원 부분 공간인 것을 인자(factor)라고 부른다. 인자란 W*-환의 직합으로의 분해가 자명한 것에 한정되는 폰 노이만 환을 말한다. 가분 힐베르트 공간

H

위의 임의의 폰 노이만 환은 인자의 직적분으로 분해될 수 있다.

3. 2. I형 인자

인자 대수가 최소 사영원

E\ne0

를 가지면 '''I형'''이라고 한다. 즉,

0 를 만족하는 다른 사영원 F 가 없는 사영원 E 가 존재한다. I형 인자는 어떤 힐베르트 공간 상의 ‘모든’ 유계 작용소 의 폰 노이만 대수와 동형 이다. 모든 기수 에 대해 힐베르트 공간이 하나씩 있으므로, I형 인자의 동형류는 정확히 기수에 해당한다.

^[1] 많은 저자들이 분리 가능한 힐베르트 공간에 대해서만 폰 노이만 대수를 고려하기 때문에, 유한 차원

n

의 힐베르트 공간상의 유계 작용소를 I_''n''형 인자라고 부르고, 분리 가능한 무한 차원 힐베르트 공간상의 유계 작용소를 I_∞형 인자라고 부르는 것이 일반적이다.^[1]

3. 3. II형 인자

II형 폰 노이만 인자는 최소 사영원은 없지만, 0이 아닌 유한 사영원을 가지는 인자이다. II형 인자에서 모든 사영원 ''E''는 머레이-폰 노이만 동치인 두 사영원 ''F''와 ''G''로 나눌 수 있으며, ''E'' = ''F'' + ''G''를 만족한다. 항등 연산자가 유한하면 II₁형, 그렇지 않으면 II_∞형이라고 한다.

머레이와 폰 노이만이 발견한 초유한 II₁형 요인과 초유한 II_∞형 요인이 가장 잘 알려진 II형 인자이다. 이들은 II₁형과 II_∞형의 고유한 초유한 인자이며, 이 외에도 많은 II형 인자들이 연구되고 있다.^[3] 머레이와 폰 노이만은 II₁형 인자가 유일한 유한 트레이스 상태를 가지며 사영원의 트레이스 집합이 [0,1]이라는 것을 증명했다.^[3]

II_∞형 인자는 재조정까지 고유한 반유한 트레이스를 가지며 사영원의 트레이스 집합은 [0,∞]이다. 트레이스를 λ의 요인으로 재조정하는 자기 동형 사상이 있는 실수 λ 집합을 II_∞형 인자의 '''기본군'''이라고 한다.^[3]

II₁형 인자와 무한 I형 인자의 텐서곱은 II_∞형을 가지며, 반대로 모든 II_∞형 인자는 이와 같이 구성될 수 있다. II₁형 인자의 '''기본군'''은 무한(분리 가능한) I형 인자와의 텐서 곱의 기본군으로 정의된다.^[3]

알랭 콘느는 카즈단 성질 (T)를 갖는 가산 이산 군의 폰 노이만 군 대수가 가산 기본군을 가짐을 보였다. 소린 포파는 '''Z'''²와 SL(2,'''Z''')의 반직접 곱을 포함하는 특정 군에 대해 기본군이 자명할 수 있음을 보였다.^[3]

II₁형 인자의 예는 모든 비자명 공액류가 무한인 가산 무한 이산 군의 폰 노이만 군 대수이다. 맥더프는 비동형 폰 노이만 군 대수를 가진 이러한 군의 셀 수 없는 가족을 발견하여 무수히 많은 서로 다른 분리 가능한 II₁형 인자의 존재를 보여주었다.^[3]

3. 4. III형 인자

'''III형 인자'''는 0이 아닌 유한 사영(射影)을 전혀 포함하지 않는 인자이다.^[1] 머레이와 폰 노이만은 1936년 논문에서 III형 인자의 존재 여부를 결정하지 못했지만,^[1] 1940년에 폰 노이만이 III형 인자의 첫 번째 예를 발견하였다.^[1] 항등 연산자는 항상 이 인자들에서 무한하므로 과거에는 III_∞형으로 불리기도 했지만, 최근에는 λ가 [0,1] 구간의 실수인 III_λ 표기법으로 대체되었다.^[1]

콘 스펙트럼(모듈러 군(modular group)의)에 따라 다음과 같이 분류된다.^[1]

콘 스펙트럼이 1이면 인자는 III₀형이다.
콘 스펙트럼이 0 < λ < 1에 대한 λ의 모든 정수 거듭제곱이면, 유형은 III_λ형이다.
콘 스펙트럼이 모든 양의 실수이면 유형은 III₁형이다.

III형 인자에 대한 유일한 추적은 모든 0이 아닌 양의 원소에 대해 ∞ 값을 가지며, 임의의 두 개의 0이 아닌 사영은 동치이다.^[1] 한때 III형 인자는 다루기 어려운 대상으로 여겨졌지만, 토미타-테이케사키 이론은 훌륭한 구조 이론으로 이어졌다.^[1] 특히, 모든 III형 인자는 II_∞형 인자와 실수의 교차 곱으로 정준(canonical)적인 방식으로 쓸 수 있다.^[1]

4. 성질

폰 노이만 대수는 다양한 위상적, 대수적 성질을 갖는다. 폰 노이만 대수는 반상속적이며, 사영 가군의 모든 유한 생성 부분 가군은 그 자체가 사영적이다.

폰 노이만 대수 이론에서 사용되는 용어는 다음과 같다.

'''인자(factor)''': 중심이 자명하여 스칼라 연산자로만 구성된 폰 노이만 대수이다.
'''유한''' 폰 노이만 대수: 유한 인자의 직적분이다. 이는 폰 노이만 대수가 충실한 정규 트레이스 상태 $\tau: M \rarr \mathbb{C}$ 를 가짐을 의미한다.^[1]
'''정상적으로 무한''' 폰 노이만 대수: 정상적으로 무한 인자의 직적분이다.
'''가분''' 폰 노이만 대수: 가분 힐베르트 공간에서 작용하는 폰 노이만 대수이다. 이러한 대수는 노름 위상에서 가분인 경우는 드물다.
'''생성된''' 폰 노이만 대수: 힐베르트 공간 상의 유계 연산자 집합에 의해 생성된 폰 노이만 대수는 해당 연산자를 모두 포함하는 가장 작은 폰 노이만 대수이다.
'''텐서 곱''': 두 힐베르트 공간에서 작용하는 두 폰 노이만 대수의 텐서 곱은 힐베르트 공간의 텐서 곱에서 연산자로 간주되는, 그들의 대수적 텐서 곱에 의해 생성된 폰 노이만 대수로 정의된다.

폰 노이만 대수는 *-대수 또는 단순한 링으로 간주할 수 있다. 유한 폰 노이만 대수의 소속 연산자의 *-대수는 폰 노이만 정칙 링이다. (폰 노이만 대수 자체는 일반적으로 폰 노이만 정칙적이지 않다.)

폰 노이만의 재교환 정리에 따르면, 힐베르트 공간 ''H'' 위의 폰 노이만 환은 다음과 같은 두 가지 특징을 갖는다.

작용소의 강수렴 위상(''H'' 위의 노름 위상에서 유도되는 각점 수렴 위상)에 대해 닫혀 있고, 항등 작용소를 포함하는 ''B''(''H'')의 부분 *환
''B''(''H'')의 임의의 부분 집합 ''X''에 대해, 그 교환자 {''y'' ∈ ''B''(''H'') | ∀''x'' ∈ ''X'' : ''xy'' = ''yx''}를 ''X''′라고 표기할 때, ''M'' = ''M''′′이고 대합에 대해 닫혀 있는 것

W*-환은 C*-환 중 바나흐 공간의 쌍대인 것으로 특징지어진다. 이 바나흐 공간은 각 W*-환에 대해 유일하게 결정된다.

4. 1. 무게 (Weight)

반환

[0,\infty)

-선형 함수

:

\omega\colon A^+\to[0,\infty]

를 '''무게'''라고 한다. 즉, 무게는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:

\omega(\alpha a+\beta b)=\alpha \omega(a)+\beta\omega(b)\qquad\forall\alpha,\beta\in\mathbb R,\;a,b\in A^+

위 정의에서

0\cdot\infty=0

으로 놓는다.

만약 무게

\omega

가

\omega(1)=1

을 만족시킨다면, 이를 '''상태'''(狀態, state^영어)라고 한다. 무게

\omega

가

:

\omega(aa^*)=\omega(a^*a)\qquad\forall a\in A

를 만족시킨다면, 이를 '''대각합'''(對角合, trace^영어)이라고 한다.^[1]

폰 노이만 대수에서 '''가중치''' ω는 양의 원소 (''a*a''의 형태) 집합에서 [0,∞]로의 선형 사상이다.

4. 2. 전쌍대 공간 (Predual)

폰 노이만 대수 ''M'' 위의 초약연속 선형 범함수들의 바나흐 공간은 M∗이다. M은 M∗의 쌍대 공간과 동형이다.^[3] 사카이 쇼이치로(境正一郎)는 전쌍대 공간의 존재가 C*-대수 중에서 폰 노이만 대수를 특징짓는다는 것을 보였다.^[3]

''M''이 작용하는 힐베르트 공간을 사용하지 않고 전쌍대 공간을 정의할 수도 있는데, ''M'' 상의 모든 양의 '''정규''' 선형 범함수로 생성된 공간으로 정의할 수 있다. 여기서 "정규"는 자기 수반 연산자의 증가하는 망에 적용될 때 상한을 보존한다는 것을 의미하며, 이는 사영 연산자의 증가하는 수열과 동등하다.^[3]

전쌍대 ''M''_∗는 쌍대 공간 ''M*'' (''M'' 상의 모든 노름-연속적인 선형 범함수로 구성됨)의 닫힌 부분 공간이지만 일반적으로 더 작다.^[3]

4. 3. 가환 폰 노이만 대수

가환 폰 노이만 대수는 어떤 측도 공간 (''X'', μ)에 대한 ''L''^∞( ''X'')와 동형이며, 반대로 모든 σ-유한 측도 공간 ''X''에 대해 *-대수 ''L''^∞(''X'')는 폰 노이만 대수이다.^[2] 이러한 유사성 때문에, 폰 노이만 대수 이론은 비가환 측도론이라고 불리기도 한다.

가분 힐베르트 공간 위의 가환 폰 노이만 환은 ''L''^∞ 함수 환으로 간주할 수 있지만, 한편 ''L''^∞ 함수 환으로부터 (영측도 집합을 무시하는 한) 원래 공간의 가측 집합을 "복원"할 수 있다. 게다가 σ-약 연속인 선형 형식들은 ''L''¹ 함수 (혹은 원래 측도에 대해 절대 연속인 복소 측도)를 나타낸다고 생각할 수 있다. 따라서 일반적인 폰 노이만 환은 측도 공간의 일종의 변형을 나타낸다고 생각할 수 있다. 실제로, 에고로프 정리, 루진 정리 등 측도론의 여러 정리가 가환하지 않은 폰 노이만 환에 대해 유효한 명제로 대체되어 증명될 수 있다. 또한, 엽층 등 "왜곡된" 공간 위의 측도론도 비가환 폰 노이만 환에 의해 표현될 수 있다.

4. 4. 사영 (Projection)

폰 노이만 대수에서 ''E'' = ''EE'' = ''E*''를 만족하는 연산자 ''E''를 '''사영(projection)'''이라고 부르며, 이는 힐베르트 공간 ''H''를 어떤 닫힌 부분 공간으로 직교 투영하는 연산자와 정확히 일치한다.^[1] 힐베르트 공간 ''H''의 부분 공간이 폰 노이만 대수 ''M''의 사영의 이미지인 경우, 해당 부분 공간은 폰 노이만 대수 ''M''에 '''속한다'''고 한다. 이는 ''M''의 사영과 ''M''에 속하는 부분 공간 간의 1:1 대응 관계를 설정한다. 비공식적으로, 이것들은 ''M''의 원소를 사용하여 설명될 수 있거나 ''M''이 "알고 있는" 닫힌 부분 공간이다.

사영에 대한 기본적인 이론은 머레이와 폰 노이만에 의해 연구되었다. ''M''에 속하는 두 개의 부분 공간은 ('''머레이-폰 노이만''') '''동치'''라고 불리는데, 이는 첫 번째 부분 공간을 다른 부분 공간으로 동형 사상하는 부분 등거리 사상이 폰 노이만 대수의 원소로 존재할 경우이다(비공식적으로는, ''M''이 부분 공간들이 동형임을 "안다"는 의미). 이는 사영들에 자연스러운 동치 관계를 유도하는데, 이는 ''E''와 ''F''의 해당 부분 공간이 동치이거나, 다시 말해 ''E''의 상을 ''F''의 상으로 등거리 사상하는 ''H''의 부분 등거리 사상이 존재하고 폰 노이만 대수의 원소일 경우 ''E''가 ''F''와 동치라고 정의한다. 이를 다른 방식으로 표현하면, ''E''가 ''M''의 어떤 부분 등거리 사상 ''u''에 대해 ''E=uu*''이고 ''F=u*u''일 경우 ''F''와 동치이다.

이렇게 정의된 동치 관계(~)는 다음과 같은 의미에서 덧셈적이다. ''E''₁ ~ ''F''₁이고 ''E''₂ ~ ''F''₂라고 가정하자. 만약 ''E''₁ ⊥ ''E''₂ 및 ''F''₁ ⊥ ''F''₂이면, ''E''₁ + ''E''₂ ~ ''F''₁ + ''F''₂이다. 만약 ~의 정의에서 유니타리 동치를 요구한다면, 즉 어떤 유니타리 ''u''에 대해 ''u*Eu'' = ''F''일 때 ''E''가 ''F''와 동치라고 한다면, 덧셈성은 일반적으로 성립하지 않을 것이다. 작용소 대수에 대한 슈뢰더-번스타인 정리는 머레이-폰 노이만 동치를 위한 충분 조건을 제공한다.

''M''에 속하는 부분 공간은 포함 관계에 의해 부분적으로 정렬되며, 이는 사영들의 부분 순서(≤)를 유도한다. 또한 사영들의 부분 순서(≤)에 의해 유도되는 사영의 ''동치류'' 집합에 대한 자연스러운 부분 순서도 있다. 만약 ''M''이 인자라면, ≤는 아래의 추적에 관한 섹션에서 설명하는 사영의 동치류에 대한 전체 순서이다.

사영 (또는 ''M''에 속하는 부분 공간) ''E''가 ''E''에 동치인 ''F'' < ''E'' (즉, ''F'' ≤ ''E''이고 ''F'' ≠ ''E'')인 사영 ''F''가 없을 경우 '''유한 사영'''이라고 한다. 예를 들어, 모든 유한 차원 사영 (또는 부분 공간)은 유한하다 (힐베르트 공간 사이의 등거리 사상은 차원을 고정시키기 때문). 하지만 무한 차원 힐베르트 공간에 대한 모든 유계 작용소의 폰 노이만 대수에서 항등 작용소는 유한하지 않다. 왜냐하면 자기 자신의 진부분집합과 등거리 사상이기 때문이다. 하지만 무한 차원 부분 공간이 유한할 수 있다.

직교 사영은 ''L''^∞('''R''')에서 지시 함수의 비가환적 유사체이다. ''L''^∞('''R''')은 지시 함수에 의해 생성된 부분 공간의 ||·||_∞-폐포이다. 마찬가지로, 폰 노이만 대수는 그 사영에 의해 생성된다. 이는 자기 수반 작용소에 대한 스펙트럼 정리의 결과이다.

유한 인자의 사영은 연속 기하학을 형성한다.

5. 구성

폰 노이만 대수는 다양한 방법으로 구성될 수 있다.

임의의 복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 에 대하여, 모든 유계 작용소의 대수 $\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 는 폰 노이만 대수를 이룬다.
시그마 유한 측도 공간 $X$ 에 대하여, 복소수 값 ∞-르베그 공간 $\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)$ 은 폰 노이만 대수를 이룬다.
국소 콤팩트 군 ''G''의 유니타리 표현이 주어졌을 때, ''G''와 교환하는 유계 연산자들은 폰 노이만 대수를 형성한다. ''G''의 이중 교환자 역시 폰 노이만 대수이다.
미분 가능 다양체 ''V'' 위의 엽층 구조 (''V'', ''F'')를 이용하여 폰 노이만 대수를 구성할 수 있다.
두 힐베르트 공간의 힐베르트 공간 텐서 곱은 두 힐베르트 공간의 대수적 텐서 곱의 완비화이다.
폰 노이만 대수에 대한 군 작용을 이용하여 교차곱(crossed product)을 구성할 수 있다.

5. 1. 유계 작용소

임의의 복소수 힐베르트 공간

\mathcal H

에 대하여, 모든 유계 작용소의 대수

\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)

는 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, 그 원쌍대 공간은 대각합을 부여한, 대각합류 작용소의 복소수 바나흐 공간

(\mathfrak S_1(\mathcal H,\mathcal H),\operatorname{tr})

이다. 모든 힐베르트 공간 위의 유계 연산자는 폰 노이만 대수, 실제로 I형의 인자를 형성한다.

5. 2. 르베그 공간

시그마 유한 측도 공간

X

에 대하여, 복소수 값 ∞-르베그 공간

\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)

은 폰 노이만 대수를 이룬다.

5. 3. 군 폰 노이만 대수

국소 콤팩트 군 ''G''의 유니타리 표현이 주어졌을 때, ''G''와 교환하는 유계 연산자들은 폰 노이만 대수를 형성한다. ''G''의 이중 교환자 역시 폰 노이만 대수이다.

이산 군 ''G''의 폰 노이만 군 대수는 오른쪽 곱셈을 통해 ''H'' = ''l''²(''G'')에서 ''G''의 작용과 교환하는 모든 유계 연산자의 대수이다. 이것은 원소 ''g'' ∈ ''G''로 왼쪽에서 곱셈에 해당하는 연산자에 의해 생성된 폰 노이만 대수임을 보일 수 있다.^[3] ''G''가 유한 군(이산 위상으로 콤팩트 군으로 간주)일 때, ''G''의 군 폰 노이만 환은 ''G''의 ('''C''' 위의) 군환 '''C'''[''G'']와 동형이 된다.^[6]

5. 4. 엽층 폰 노이만 대수

미분 가능 다양체 ''V'' 위의 엽층 구조 (''V'', ''F'')를 이용하여 폰 노이만 대수를 구성할 수 있다. 이 경우, 거의 모든 잎이 자명한 호로노미를 갖는다는 조건이 필요하다. 각 잎 ''l'' 위에서 자승 적분 가능한 반밀도(half density)는 "반변적인 에르미트 번들"을 정의한다. 그 절단들은 "국소 좌표계에 의존하지 않는" 힐베르트 공간 ''L''²(''l'')을 이룬다. 각 잎 ''l''에 대해 ''L''²(''l'') 위의 유계 선형 작용소 ''q''_''l''을 대응시키는 사상 ''q'' 중에서 일정한 "유계성" 및 "가측성"을 만족하는 것들의 대수를 폰 노이만 환으로 간주할 수 있다. 이렇게 구성된 엽층 폰 노이만 환 '''W'''(''V'', ''F'')에 대해, 그 중심은 잎의 공간 ''X''의 통상적인 위상 공간의 몫 공간으로서의 측도 구조를 표현하고 있다.^[1]

5. 5. 텐서 곱

두 힐베르트 공간의 힐베르트 공간 텐서 곱은 두 힐베르트 공간의 대수적 텐서 곱의 완비화이다. 폰 노이만 대수의 텐서 곱(환으로 간주되는 대수의 대수적 텐서 곱의 완비화)을 정의할 수 있으며, 이는 다시 폰 노이만 대수이며, 해당 힐베르트 공간의 텐서 곱에 작용한다. 두 유한 대수의 텐서 곱은 유한하고, 무한 대수와 0이 아닌 대수의 텐서 곱은 무한하다. 두 폰 노이만 대수의 텐서 곱의 타입(I, II 또는 III)은 해당 타입의 최댓값이다.

'''텐서 곱에 대한 교환 정리'''는 다음과 같다.

:

(M\otimes N)^\prime = M^\prime\otimes N^\prime,

여기서 ''M''′은 ''M''의 교환자를 나타낸다.^[3]

''M''과 ''N''이 각각 힐베르트 공간 ''H'' 및 ''K'' 위의 폰 노이만 환이라고 할 때, 힐베르트 공간의 텐서 곱 ''H''⊗''K'' 위의 유계 선형 작용소 ''S''⊗''T'' (''S''∈''M'', ''T''∈''N'')들에 의해 생성되는 폰 노이만 환 ''M''⊗''N''은 ''M''과 ''N''의 (폰 노이만 환으로서의) 텐서 곱이라고 부른다.^[6]

5. 6. 교차곱 (Crossed product)

폰 노이만 대수에 대한 군 작용을 이용하여 교차곱(crossed product)을 구성할 수 있다. 힐베르트 공간 ''H'' 위의 가환 폰 노이만 대수 ''A''가 있고, 국소 콤팩트 군 ''G''가 ''A'' 위에 왼쪽에서 작용하고 있다고 하자. 이때 ''A''의 표현 π와 ''G''의 유니타리 표현 ''u''를 통해 ''u''(''g'')π(''a'')''u''(''g'')^* = π(''g''.''a'')를 만족하는 보편적인 폰 노이만 환을 구성할 수 있으며, 이를 ''A''와 ''G''의 (이 ''G''의 작용에 관한) 교차곱이라고 부른다.

구체적인 구성 과정은 다음과 같다. 먼저 ''G''의 유니타리 표현 μ를 ''G''의 오른쪽 하르 측도라고 할 때, 힐베르트 공간의 텐서 곱 ''H'' ⊗ ''L''²(''G'', μ)는 ''G'' 위의 ''H''값 자승 적분 가능 함수의 공간 ''L''²(''G'', μ ; ''H'')로 생각할 수 있다. 군 폰 노이만 환과 유사하게, 이 공간 위에 ''G''의 유니타리 표현 ''u''를 얻는다. 그리고 ''A''의 표현 π를 (π(''a'').'''f''')(''g'') = (''g''^-1.''a'').'''f'''(''g'')로 정의하면, π(''A'')와 ''u''(''G'')에 의해 생성되는 폰 노이만 환이 바로 ''A''와 ''G''의 교차곱이 된다.^[1]

6. 역사

존 폰 노이만이 폰 노이만 정리를 증명하였다.^[8]^[9] 이후 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(Francis Joseph Murray|프랜시스 조지프 머리^영어, 1911~1996)가 폰 노이만 대수의 기초적 연구를 진행하였다.^[10]^[11]^[12] 폰 노이만 대수의 추상적인 정의는 사카이 쇼이치로(境正一郎|사카이 쇼이치로^일본어, 1928~)가 도입하였다.^[13]

셔먼-다케다 정리는 시모어 셔먼(Seymour Sherman|시모어 셔먼^영어, 1917~1977)이 1950년에 증명 없이 발표하였으며,^[14] 1954년에 다케다 지로(武田二郎|다케다 지로^일본어)가 증명을 출판하였다.^[15]

이후 알랭 콘과 본 존스 등이 폰 노이만 대수의 이론에 크게 공헌하였다.

7. 응용

폰 노이만 대수는 매듭 이론, 통계 역학, 양자장론, 국소 양자 물리학, 자유 확률론, 비가환 기하학, 표현론, 미분 기하학, 역학계 등 다양한 수학 분야에서 응용되고 있다.^[1]

7. 1. 표현론

폰 노이만 대수는 표현론을 포함한 다양한 수학 분야에서 응용되고 있다.^[1] 군의 유니타리 표현과 관련된 폰 노이만 대수를 연구한다.^[1]

7. 2. 매듭 이론

매듭 이론에서 존스 다항식 등 매듭 불변량을 연구하는 데 폰 노이만 대수가 사용된다.^[1]

7. 3. 통계역학 및 양자장론

폰 노이만 대수는 통계 역학, 양자장론 등의 수학적 기초를 제공한다. 예를 들어, C*-대수는 확률 이론에 대한 대안적인 공리화 체계를 제공하며, 이는 겔판트-나이마르크-세갈 구성이라고 불린다. 이는 측도와 적분에 대한 두 가지 접근 방식과 유사하다. 즉, 먼저 집합의 측도를 구성하고 나중에 적분을 정의하거나, 먼저 적분을 구성하고 특성 함수의 적분으로 집합 측도를 정의하는 선택을 할 수 있다.^[1]

7. 4. 비가환 기하학

알랭 콘은 폰 노이만 대수를 이용하여 비가환 기하학을 연구하였다.

참조

_[1] 웹사이트 An Introduction To II1 Factors http://perso.ens-lyo[...]
_[2] 저널 On the cohomology of operator algebras 1978-05
_[3] 서적 Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien: algèbres de von Neumann Gauthier-Villars
_[4] 서적 Operator algebras http://wolfweb.unr.e[...] Springer 2017-02-05
_[5] 서적 Non-commutative geometry http://www.alainconn[...] Academic Press
_[6] 서적 C*-algebras and W*-algebras Springer-Verlag 1971
_[7] 저널 The symbiosis of C*- and W*-algebras 2008
_[8] 저널 Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren
_[9] 서적 The legacy of John von Neumann (Hempstead, NY, 1988) American Mathematical Society
_[10] 저널 On rings of operators 1936
_[11] 저널 On rings of operators II American Mathematical Society 1937
_[12] 저널 On rings of operators IV 1943
_[13] 저널 A characterization of W∗-algebras http://projecteuclid[...] 1956
_[14] 서적 Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1950. Volume 1 American Mathematical Society 2017-02-05
_[15] 저널 Conjugate spaces of operator algebras

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com