풍성한 범주

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1. 개요

풍성한 범주는 모노이드 범주를 사용하여 정의되는 범주의 일반화된 개념이다. 이는 대상들의 모임, 대상들 간의 사상, 사상 합성 및 항등 사상으로 구성되며, 특정 가환 조건을 만족해야 한다. 풍성한 범주 사이의 사상인 풍성한 함자는 항등원과 사상 합성을 보존한다.

국소적으로 작은 범주는 집합의 범주 위의 풍성한 범주이며, 2-범주는 작은 범주의 범주 위의 풍성한 범주이다. 또한, R-선형 범주는 가환환 R 위의 가군 범주에서 텐서곱을 사용하여 정의된다. 전순서 집합과 일반화된 거리 공간 역시 풍성한 범주의 예시로 볼 수 있다. 모노이드 함자를 통해 풍성한 범주를 다른 범주로 해석할 수 있으며, 모든 풍성한 범주는 기저가 되는 일반적인 범주를 갖는다.

풍성한 범주

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 풍성한 함자
3. 예시
- 3.1. 선형 범주와 준가법 범주
- 3.2. 전순서 집합과 거리 공간
4. 모노이드 함자와의 관계

2. 정의

모노이드 범주 $(\mathcal M,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$ 가 주어졌다고 할 때, $\mathcal M$ 위의 풍성한 범주(category enriched over $\mathcal M$ ^영어) $\mathcal C$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 모임 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ . 이 모임의 원소를 $\mathcal C$ 의 대상(object^영어)이라고 한다.
* 임의의 대상 $X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $\hom_{\mathcal C}(a,b)\in\operatorname{Ob}(\mathcal M)$ .
* 임의의 대상 $X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $\mathcal M$ -사상 $\operatorname{id}_X\colon I\to\hom_{\mathcal C}(X,X)$ . 이는 항등 사상을 나타낸다.
* 임의의 대상 $X,Y,Z\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $\mathcal M$ -사상 $\circ_{XYZ}\colon\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)\to\hom_{\mathcal C}(X,Z)$ . 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 사상 합성의 결합 법칙과 왼쪽 항등원, 오른쪽 항등원 관련 그림을 가환하게 만들어야 한다.

모노이드 범주 $(\mathcal M,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$ 에 대해, 풍성한 범주 $\mathcal C$ 는 다음과 같이 구성된다.

* $\mathcal C$ 의 대상 전체가 이루는 류 $\operatorname{ob}(\mathcal C)$
* $\mathcal C$ 의 대상의 임의의 쌍 $a, b \in \operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대한 "사상의 집합"에 해당하는 $C(a, b) \in \operatorname{ob}(\mathcal M)$
* 각 대상 $a \in \operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 부수하는 "항등 사상"에 해당하는 $\mathcal M$ 내의 사상 $\operatorname{id}_a \colon I \to C(a, a)$
* "사상의 합성"에 해당하는 $\mathcal M$ 내의 사상 $\circ_{abc} \colon C(b, c) \otimes C(a, b) \to C(a, c)$

이는 결합 법칙을 나타내는 오각형 도형, 좌우 단위 법칙을 나타내는 도형을 가환하게 만든다.

만약 사상 범주 $\mathcal M$ 이 집합의 범주이고 모노이드 구조가 데카르트 곱과 종 대상이 되는 한 점 집합이 정하는 구조라면, 각 사상 대상 $C(a, b)$ 는 $\mathcal C$ 의 "개별 사상"이 되는 집합으로 생각할 수 있으며, $\circ$ 는 사상으로서 연속하는 사상의 합성을 정하는 것으로 파악할 수 있다.

여기서 복수의 서로 다른 "항등 사상"의 개념은 다음과 같다.

* 사상 범주 $\mathcal M$ 의 각 대상에 부수하는 항등 사상 $1_{C(a, b)} \colon C(a, b) \to C(a, b)$
* 풍요로운 범주 $\mathcal C$ 의 각 대상 $a$ 에 부수하는 (풍요롭게 된) 항등 사상 $\operatorname{id}_a \colon I \to C(a, a)$

2.1. 풍성한 함자

모노이드 범주 $\mathcal M$ 위의 두 풍성한 범주 $\mathcal C$ , $\mathcal D$ 사이의 $\mathcal M$ -풍성한 함자( $\mathcal M$ -enriched functor^영어) $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 각 대상 $X\in\mathcal C$ 에 대하여, 대상 $F(X)\in\mathcal D$
* 두 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 에 대하여, $\mathcal M$ 속의 사상 $F_{XY}\colon\hom_{\mathcal C}(X,Y)\to\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Y))$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

* (항등원의 보존) 임의의 대상 $X\in\mathcal C$ 에 대하여 다음 그림이 가환한다.

: $\begin{matrix} I\\ {\scriptstyle\operatorname{id}_X}\downarrow&\searrow {\scriptstyle\operatorname{id}_{F(X)}}\\ \hom_{\mathcal C}(X,X)&\xrightarrow[F_{XX}]{}&\hom_{\mathcal D}(F(X),F(X)) \end{matrix}$

* (사상 합성의 보존) 임의의 대상 $X,Y,Z\in\mathcal C$ 에 대하여 다음 그림이 가환한다.

: $\begin{matrix} \hom_{\mathcal C}(Y,Z)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)&\xrightarrow\circ&\hom_{\mathcal C}(X,Z)\\ {\scriptstyle F_{YZ}\otimes F_{XY}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle F_{XZ}\\ \hom_{\mathcal D}(F(Y),F(Z))\otimes\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Y))&\xrightarrow[\circ]{}&\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Z)) \end{matrix}$

풍성한 함자는 함자의 개념을 풍성한 범주로 일반화한 것이다. 풍성한 함자는 풍성한 구조를 존중하는 풍성한 범주 사이의 맵이다.

만약 C와 D가 M-범주(즉, 모노이드 범주 M을 통해 풍성한 범주)라면, M-풍성한 함자 T: C → D는 C의 각 객체에 D의 객체를 할당하고, C의 객체 쌍 a와 b에 대해 M에서 사상 T_ab : C(a, b) → D(T(a), T(b))를 제공하는 맵으로, C와 D의 호모 객체(M의 객체) 사이의 사상이며, 항등원과 합성에 대한 풍성한 버전의 함자 공리, 즉 보존을 만족한다.

풍성한 범주에서 호모 객체는 집합일 필요가 없기 때문에 특정 사상에 대해 말할 수 없다. 더 이상 항등 사상이나 두 사상의 특정 합성에 대한 개념이 없다. 대신, 단항원에서 호모 객체로의 사상은 항등원을 선택하는 것으로 생각해야 하며, 모노이드 곱으로부터의 사상은 합성을 생각해야 한다. 일반적인 함자 공리는 이러한 사상과 관련된 해당 가환 다이어그램으로 대체된다.

상세히, 다음과 같은 다이어그램이 존재한다.

이 다이어그램은 가환하며, 이는 다음 식과 같다.

:

T_{aa}\circ \operatorname{id}_a=\operatorname{id}_{T(a)},

여기서 I는 M의 단위 객체이다. 이는 일반적인 함자에 대한 규칙 F(id_a) = id_F(a)와 유사하다.

또한, 다음 다이어그램이 가환해야 한다.

이는 일반적인 함자에 대한 규칙 F(fg)=F(f)F(g)와 유사하다.

3. 예시

* 국소적으로 작은 범주는 집합의 범주 $\operatorname{Set}$ 위의 풍성한 범주와 같다.
* 작은 범주의 범주 $\operatorname{Cat}$ 위의 풍성한 범주를 2-범주(2-category^영어)라고 한다. 보다 일반적으로, $n$ -범주의 범주 $n\text{-Cat}$ 위의 풍성한 범주를 $(n+1)$ -범주( $(n+1)$ -category^영어)라고 한다.
* 영 사상이 있는 범주는 모노이드 연산으로 스매시 곱을 갖는 첨점 집합 범주 (Set*, ∧) 위에서 "풍성한" 범주이다. 호모 객체 Hom(A, B)의 특수 점은 A에서 B로 가는 영 사상에 해당한다.
* 일반적인 범주는 데카르트 곱을 모노이드 연산으로 갖는 집합 범주 (Set, ×, {•}) 위에서 "풍성한" 범주이다.
* 2-범주는 데카르트 곱으로 주어진 모노이드 구조를 갖는 작은 범주의 범주 Cat 위에서 "풍성한" 범주이다.
* 국소적으로 작은 범주는 데카르트 곱을 모노이드 연산으로 갖는 작은 집합의 범주 (SmSet, ×) 위에서 "풍성한" 범주이다.
* 국소적으로 유한한 범주는 데카르트 곱을 모노이드 연산으로 갖는 유한 집합의 범주 (FinSet, ×) 위에서 "풍성한" 범주이다.
* C가 닫힌 모노이드 범주이면 C는 자체적으로 "풍성한" 범주이다.
* 아벨 군의 범주 Ab, 체 위의 벡터 공간의 범주 Vect, 가환환 위의 가군의 범주 R-Mod는 자체적으로 "풍성한" 범주이며, 사상은 "점별"로 대수 구조를 상속한다.

3.1. 선형 범주와 준가법 범주

가환환 $R$ 위의 가군들의 범주 $\operatorname{Mod}_R$ 는 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위에서 풍성한 범주는 $R$ -선형 범주( $R$ -linear category^영어)라고 한다.

특히, $R=\mathbb Z$ (정수환)인 경우, $\operatorname{Mod}_R$ 는 아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$ 와 같다. $\operatorname{Ab}$ -풍성한 범주는 준가법 범주(preadditive category^영어)라고 하고, $\operatorname{Ab}$ -풍성한 함자는 가법 함자(additive functor^영어)라고 한다.

준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치한다.

가법 범주(additive category^영어)는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)

3.2. 전순서 집합과 거리 공간

전순서 집합은 두 객체와 하나의 비항등 사상을 갖는 모노이드 범주 2 위에서 풍성한 범주로 볼 수 있다. 윌리엄 로베어의 일반화된 거리 공간(의사 준거리 공간)은 음이 아닌 확장 실수 위에서 풍성한 범주로 볼 수 있다. 여기서 는 일반적인 순서의 역을 통해 범주 구조가 주어지고 (즉, r ≥ s인 경우에만 사상 r → s가 존재), 덧셈(+)과 0을 통해 모노이드 구조가 주어진다.

전순서 집합의 경우, 호모 객체 2(a, b)는 주어진 객체 쌍 (a, b)에 대한 특정 이진 관계를 부정하거나 긍정한다. 이 관계는 로 쓸 수 있다. 2 위에서 풍성한 범주에 필요한 합성과 항등원의 존재는 다음 공리로 변환된다.

* b ≤ c and a ≤ b ⇒ a ≤ c (추이성)
* TRUE ⇒ a ≤ a (반사성)

이는 ≤ 가 전순서가 되기 위한 공리이다. 그리고 2의 모든 다이어그램이 교환되기 때문에, 이것은 2 위에서 풍성한 범주에 대한 유일한 내용이다.

일반화된 거리 공간의 경우, 호모 객체 는 거리 d(a, b)이며, 합성 및 항등원의 존재는 다음과 같이 변환된다.

* d(b, c) + d(a, b) ≥ d(a, c) (삼각 부등식)
* 0 ≥ d(a, a)

4. 모노이드 함자와의 관계

모노이드 범주 M에서 N으로 가는 모노이드 함자가 있으면, M-풍성한 범주를 N-풍성한 범주로 재해석할 수 있다. 모든 모노이드 범주 M은 집합 범주로 가는 모노이드 함자 M(I, –)를 가지므로, 모든 풍성한 범주는 기저가 되는 일반적인 범주를 가진다. 많은 예시에서 이 함자는 충실 함자이므로, M-풍성한 범주는 특정 추가적인 구조나 속성을 가진 보통 범주로 설명될 수 있다.