항하사

3. 수학적 정의 및 변천

항하사(恒河沙)는 원래 불교 용어로, '항하(恒河)'는 갠지스강을 의미하는 산스크리트어 गङ्ग|강가^sa를 음역한 것이다. 즉, '항하사'는 갠지스강에 있는 무수한 모래알을 뜻하며, 본래 불경에서 무한히 많은 수량을 비유하기 위해 사용되었다. 예를 들어 법화경의 제바달다품에는 "항하의 모래만큼 많은 중생이 부처의 가르침을 듣는다"와 같은 용례가 있다. 불경에서는 대승기신론처럼 '과항사(過恒沙)'로 표기하는 경우도 있다.

수의 단위로서 처음 등장한 것은 원나라의 주세걸이 쓴 수학책 『산학계몽(算學啓蒙)』이다. 이 책에서는 기존에 있던 재보다 더 큰 단위로 극, 항하사, 아승기, 나유타, 불가사의, 무량수 등을 함께 소개했는데, 극을 제외한 나머지는 모두 불경에서 유래한 명칭이다. 당시에는 이미 수의 단위를 만 배씩 증가시키는 중수 체계가 사용되었으므로, 항하사는 극(10⁸⁸)의 만만(萬萬) 배인 10⁹⁶으로 정의되었다.

일본에는 헤이안 시대에 이미 중국으로부터 매우 큰 수를 나타내는 개념으로 '항하사'라는 말이 전해진 것으로 보인다. 헤이안 시대 후기에 성립된 설화집 『고금이야기집』에는 셀 수 없이 많은 나라를 비유하여 "무량무변불가사의 나유타 항하사의 국토를 지나가며"와 같은 표현이 등장하는데, 이는 불경에서 유래했을 가능성이 높다.

수의 단위로서 항하사가 일본에 전해진 것은 중국의 『산법통종』과 같은 수학서를 통해서인 것으로 추정되지만, 정확한 시기는 불분명하다.^[1] 일본 서적 중 항하사를 수의 단위 중 하나로 명확히 정의하고 다른 단위들과 함께 체계적으로 설명한 것은 에도 시대의 베스트셀러 수학책인 『진겁기』가 처음이다. 『진겁기』의 판본에 따라 항하사의 값은 다음과 같이 변했다.

• 초판 (1627년, 간에이 4년): 재까지는 만 배씩 증가하는 하수로, 극 이상은 만만(萬萬) 배씩 증가하는 만만진(萬萬進)으로 정의했다. 이에 따라 항하사는 극(10¹⁵)의 만만 배인 10²³이 되었다.
• 간에이 8년판 (1631년): 재까지를 만 배씩 증가하는 중수의 만진(萬進)으로 변경했다. 이 판본에서 항하사는 극(10⁴⁸)의 만만 배인 10⁵⁶이 되었다.
• 간에이 11년판 (1634년): 모든 단위를 만 배씩 증가하는 만진(萬進)으로 통일했다. 이 정의에 따라 항하사는 극(10⁴⁸)의 만 배인 10⁵²가 되었다. 이것이 현재 일반적으로 통용되는 값이다.

4. 항하사 관련 수 표

항하사의 자리 및 전후 자리의 명수는 다음과 같다.

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! 서적

| 산학계몽

| 진겁기 초판

| 진겁기 간에이 8년판

| 진겁기 간에이 11년판(현행)

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! 정의

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