J-불변량

1. 개요

J-불변량은 상반 평면에서 정의되는 함수로, 타원 곡선의 동형 사상 클래스를 분류하는 데 사용된다. 이 함수는 아이젠슈타인 급수를 통해 정의되며, 모듈러 군의 작용에 대해 불변성을 갖는다. J-불변량은 모듈러 람다 함수, 세타 함수 등 다양한 방식으로 표현 가능하며, 특수한 τ 값에 대해 대수적인 값들을 갖는다. 또한, 푸리에 급수 전개와 괴물군과의 관계인 몬스트러스 문샤인 현상으로도 유명하다. J-불변량은 타원 곡선의 분류, 초월성 연구, 그리고 파이(π)의 근사값 계산 등 다양한 수학적 분야에서 활용된다.

2. 정의

상반평면 $\backslash mathbb\; H\; =\; \backslash \{\backslash tau\; \backslash in\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash operatorname\{Im\}(\backslash tau)\; >\; 0\backslash \}$에 정의된 복소함수이다. $j$-불변량은 상반평면 위의 각 점 $\backslash tau$에 대응되는 타원 곡선의 동형류를 분류하는 중요한 역할을 한다.

상반평면의 점 $\backslash tau$에 대해, 아이젠슈타인 급수와 관련된 두 함수 $g\_2(\backslash tau)$와 $g\_3(\backslash tau)$를 이용하여 다음과 같이 정의된다.
:$j(\backslash tau)=1728\backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{g\_2(\backslash tau)^3-27g\_3(\backslash tau)^2\}$
여기서 분모 $\backslash Delta(\backslash tau)\; =\; g\_2(\backslash tau)^3\; -\; 27g\_3(\backslash tau)^2$는 모듈러 판별식이라고 불린다. 상수 1728은 $12^3$이다. 일부 문헌에서는 $j(\backslash tau)$ 대신 $J(\backslash tau)=j(\backslash tau)/1728$을 사용하기도 한다.

$j$-불변량의 정의는 타원 곡선 이론에서 비롯된 동기를 갖는다. 복소수체 $\backslash mathbb\; C$ 위의 모든 타원 곡선은 복소 토러스 $\backslash mathbb\; C\; /\; \backslash Lambda$ (여기서 $\backslash Lambda$는 2차원 격자)와 동형이다. 이 격자는 적절한 회전과 크기 조정을 통해 $1$과 상반평면의 원소 $\backslash tau\; \backslash in\; \backslash mathbb\; H$로 생성되는 격자 $\backslash mathbb\; Z\; +\; \backslash mathbb\; Z\backslash tau$와 동형이 되도록 만들 수 있다. 이 격자에 대응하는 타원 곡선은 바이어슈트라스 타원 함수를 사용하여 특정 방정식으로 나타낼 수 있으며, 이때 $j(\backslash tau)$는 해당 타원 곡선의 동형류를 유일하게 결정하는 불변량이다. 즉, 두 타원 곡선이 동형일 필요충분조건은 그에 대응하는 $j$-불변량 값이 같은 것이다.

$j$-불변량은 가중치 0인 모듈러 함수이며, 특히 모듈러 군 $\backslash mathrm\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\; Z)$의 작용에 대해 불변이다. 모듈러 판별식 $\backslash Delta(\backslash tau)$는 상반평면에서 0이 아니므로, $j$-불변량은 상반평면 전체에서 잘 정의된 정칙 함수이다.

2.1. 아이젠슈타인 급수를 이용한 정의

상반평면 $\backslash mathbb\; H$에 속하는 복소수 $\backslash tau$에 대하여, 두 아이젠슈타인 급수 $g\_2(\backslash tau)$와 $g\_3(\backslash tau)$는 다음과 같이 정의된다.
:$g\_2(\backslash tau)=60\backslash sum\_\{(m,n)\backslash ne(0,0)\}(m+n\backslash tau)^\{-4\}$
:$g\_3(\backslash tau)=140\backslash sum\_\{(m,n)\backslash ne(0,0)\}(m+n\backslash tau)^\{-6\}$
여기서 $(m,\; n)$은 $(0,\; 0)$이 아닌 모든 정수 쌍을 나타낸다.

이 두 함수를 이용하여 $j$-불변량 $j(\backslash tau)$는 다음과 같이 정의된다.
:$j(\backslash tau)=1728\backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{g\_2(\backslash tau)^3-27g\_3(\backslash tau)^2\}$
분모 $\backslash Delta(\backslash tau)\; =\; g\_2(\backslash tau)^3\; -\; 27g\_3(\backslash tau)^2$는 모듈러 판별식이라고 불린다. 따라서 $j$-불변량은 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:$j(\backslash tau)\; =\; 1728\; \backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{\backslash Delta(\backslash tau)\}$
모듈러 판별식 $\backslash Delta(\backslash tau)$는 데데킨트 에타 함수 $\backslash eta(\backslash tau)$를 사용하여 $\backslash Delta(\backslash tau)\; =\; (2\backslash pi)^\{12\}\backslash ,\backslash eta^\{24\}(\backslash tau)$로도 나타낼 수 있으므로, $j$-불변량은 다음과 같이 표현되기도 한다.
:$j(\backslash tau)\; =\; 1728\; \backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{(2\backslash pi)^\{12\}\backslash ,\backslash eta^\{24\}(\backslash tau)\}$
상수 1728은 $12^3$과 같다. 일부 문헌에서는 $j(\backslash tau)$ 대신 $J(\backslash tau)=j(\backslash tau)/1728$을 사용하기도 한다.

$g\_2(\backslash tau)$와 $g\_3(\backslash tau)$는 정규화된 아이젠슈타인 급수 $E\_4(\backslash tau)$와 $E\_6(\backslash tau)$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
:$g\_2(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{4\backslash pi^4\}\{3\}\; E\_4(\backslash tau)$
:$g\_3(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{8\backslash pi^6\}\{27\}\; E\_6(\backslash tau)$
여기서 $E\_4(\backslash tau)$와 $E\_6(\backslash tau)$는 다음과 같은 푸리에 급수를 갖는다.
:$E\_4(\backslash tau)=\; 1+\; 240\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{n^3\; q^n\}\{1-q^n\}$
:$E\_6(\backslash tau)=\; 1-\; 504\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{n^5\; q^n\}\{1-q^n\}$
이때 $q=e^\{2\backslash pi\; i\; \backslash tau\}$는 노메의 제곱이다. 이를 이용하여 $j$-불변량을 $E\_4(\backslash tau)$와 $E\_6(\backslash tau)$로 직접 표현하면 다음과 같다.
:$j(\backslash tau)\; =\; 1728\; \backslash frac\{E\_4(\backslash tau)^3\}\{E\_4(\backslash tau)^3\; -\; E\_6(\backslash tau)^2\}$
또한 모듈러 판별식은 다음과 같이 표현된다.
:$\backslash Delta(\backslash tau)\; =\; (2\backslash pi)^\{12\}\backslash ,\backslash frac\{E\_4(\backslash tau)^3\; -\; E\_6(\backslash tau)^2\}\{1728\}$

$j$-불변량은 상반평면 $\backslash mathbb\; H\; =\; \backslash \{\backslash tau\; \backslash in\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash operatorname\{Im\}(\backslash tau)\; >\; 0\backslash \}$에서 정의된 함수이다. 이 함수는 실수 축에서 자연 경계를 가지므로 상반평면 외부로 해석적 연속을 통해 확장될 수 없다.

$j$-불변량의 정의는 타원 곡선의 동형류와 관련하여 이해할 수 있다. 복소수체 $\backslash mathbb\; C$ 위의 모든 타원 곡선 $E$는 복소 토러스로 볼 수 있으며, 이는 $\backslash mathbb\; C$ 안의 2차원 격자 $\backslash Lambda\; =\; \backslash \{m\backslash omega\_1\; +\; n\backslash omega\_2\; \backslash mid\; m,\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z\backslash \}$ (여기서 $\backslash omega\_1,\; \backslash omega\_2$는 $\backslash mathbb\; R-선형독립인\; 복소수)에\; 의한\; 몫공간$ \backslash mathbb\; C\; /\; \backslash Lambda$와\; 동형이다.\; 격자는\; 회전과\; 크기\; 조정을\; 통해\; (이는\; 타원\; 곡선의\; 동형류를\; 보존한다)$ 1$과\; 상반평면의\; 원소$ \backslash tau\; \backslash in\; \backslash mathbb\; H$에\; 의해\; 생성되도록\; 정규화할\; 수\; 있다\; ($ \backslash Lambda\; =\; \backslash mathbb\; Z\; +\; \backslash mathbb\; Z\backslash tau$).\; 이\; 격자에\; 대응하는\; 타원\; 곡선은\; 바이어슈트라스\; 타원\; 함수를\; 이용하여$ y^2\; =\; 4x^3\; -\; g\_2(\backslash tau)x\; -\; g\_3(\backslash tau)$형태로\; 나타낼\; 수\; 있다.\; 이때$ j(\backslash tau)$는\; 이\; 타원\; 곡선의\; 불변량이\; 된다.\; 즉,$ j(\backslash tau\_1)\; =\; j(\backslash tau\_2)$일\; 필요충분조건은$ \backslash mathbb\; Z\; +\; \backslash mathbb\; Z\backslash tau\_1$격자와$ \backslash mathbb\; Z\; +\; \backslash mathbb\; Z\backslash tau\_2$격자에\; 대응하는\; 타원\; 곡선이\; 서로\; 동형인\; 것이다.$

$g\_2$는 가중치 4인 모듈러 형식이고 $g\_3$는 가중치 6인 모듈러 형식이다. 따라서 $g\_2^3$과 $g\_3^2$는 모두 가중치 12인 모듈러 형식이 되며, 모듈러 판별식 $\backslash Delta\; =\; g\_2^3\; -\; 27g\_3^2$ 역시 가중치 12인 모듈러 형식이 된다. $j$-불변량은 가중치 12인 두 모듈러 형식의 비에 상수를 곱한 형태이므로, 가중치 0인 모듈러 함수이다. 특히, $j$ 함수는 모듈러 군 $\backslash mathrm\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\; Z)$의 작용에 대해 불변이다. 즉, $a,\; b,\; c,\; d$가 $ad-bc=1$인 정수일 때, 모든 $\backslash tau\; \backslash in\; \backslash mathbb\; H$에 대해 $j\backslash left(\backslash frac\{a\backslash tau+b\}\{c\backslash tau+d\}\backslash right)\; =\; j(\backslash tau)$가 성립한다.

모듈러 판별식 $\backslash Delta(\backslash tau)$는 상반평면 $\backslash mathbb\; H$에서 0이 되지 않으므로, $j$-불변량은 상반평면 전체에서 잘 정의된 정칙 함수이다.

2.2. 모듈러 판별식을 이용한 정의

상반평면 $\backslash mathbb\; H$에 정의된 모듈러 판별식 $\backslash Delta(\backslash tau)$를 이용하여 J-불변량 $j(\backslash tau)$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$j(\backslash tau)\; =\; 1728\; \backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{\backslash Delta(\backslash tau)\}$

여기서 $g\_2(\backslash tau)$는 아이젠슈타인 급수와 관련된 함수이며, $\backslash Delta(\backslash tau)$는 모듈러 판별식이다. 모듈러 판별식은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Delta(\backslash tau)\; =\; g\_2(\backslash tau)^3\; -\; 27g\_3(\backslash tau)^2$

$g\_2(\backslash tau)$와 $g\_3(\backslash tau)$는 다음과 같이 정의되는 함수이다.
:$g\_2(\backslash tau)\; =\; 60G\_4(\backslash tau)\; =\; 60\backslash sum\_\{(m,n)\; \backslash neq\; (0,0)\}\; \backslash left(m\; +\; n\backslash tau\backslash right)^\{-4\}$
:$g\_3(\backslash tau)\; =\; 140G\_6(\backslash tau)\; =\; 140\backslash sum\_\{(m,n)\; \backslash neq\; (0,0)\}\; \backslash left(m\; +\; n\backslash tau\backslash right)^\{-6\}$
여기서 $G\_4(\backslash tau)$, $G\_6(\backslash tau)$는 아이젠슈타인 급수이다.

모듈러 판별식은 데데킨트 에타 함수 $\backslash eta(\backslash tau)$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
:$\backslash Delta(\backslash tau)\; =\; (2\backslash pi)^\{12\}\backslash ,\backslash eta^\{24\}(\backslash tau)$

따라서 $j(\backslash tau)$는 다음과 같이 여러 형태로 표현될 수 있다.
:$j(\backslash tau)\; =\; 1728\; \backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{g\_2(\backslash tau)^3\; -\; 27g\_3(\backslash tau)^2\}\; =\; 1728\; \backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{(2\backslash pi)^\{12\}\backslash ,\backslash eta^\{24\}(\backslash tau)\}$

또한, $j$-불변량은 아이젠슈타인 급수 $E\_4(\backslash tau)$와 $E\_6(\backslash tau)$를 이용하여 직접 표현할 수도 있다.
:$j(\backslash tau)\; =\; 1728\; \backslash frac\{E\_4(\backslash tau)^3\}\{E\_4(\backslash tau)^3\; -\; E\_6(\backslash tau)^2\}$
이때 $E\_4(\backslash tau)$와 $E\_6(\backslash tau)$는 다음과 같다.
:$\backslash begin\{align\}$
E_4(\tau)&= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 q^n}{1-q^n} \\
E_6(\tau)&= 1- 504\sum_{n=1}^\infty \frac{n^5 q^n}{1-q^n}
\end{align}
여기서 $q=e^\{2\backslash pi\; i\; \backslash tau\}$는 노메의 제곱이다.

모듈러 판별식 $\backslash Delta(\backslash tau)$ 역시 $E\_4(\backslash tau)$와 $E\_6(\backslash tau)$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$\backslash Delta(\backslash tau)\; =\; (2\backslash pi)^\{12\}\backslash ,\backslash frac\{E\_4(\backslash tau)^3\; -\; E\_6(\backslash tau)^2\}\{1728\}$

$\backslash Delta(\backslash tau)$는 가중치 12인 모듈러 형식이고, $g\_2(\backslash tau)$는 가중치 4인 모듈러 형식이므로 $g\_2(\backslash tau)^3$은 가중치 12이다. 따라서 이들의 비율인 $j(\backslash tau)$는 가중치 0인 모듈러 함수이며, 특히 모듈러 군 SL(2, Z)의 작용 하에서 불변인 상반평면에서 복소수로 가는 유리형 함수이다.

3. 기본 영역

J-불변량 j는 모듈라 군 SL(2, Z) / {±I} (이는 사영 특수 선형군 PSL(2, Z)와 동형이다)의 작용에 대해 불변인 무게 0의 모듈라 함수이다. 즉, 상반평면 H 위의 점 τ에 대해, 모듈라 군에 속하는 변환

:$\backslash tau\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{a\backslash tau\; +\; b\}\{c\backslash tau\; +d\},\; \backslash qquad\; ad-bc\; =1,$

을 적용해도 J-불변량의 값 j(τ)는 변하지 않는다.

이러한 변환을 적절히 선택하면, 상반평면 위의 임의의 점 τ를 기본 영역(fundamental domain^영어)이라고 불리는 특정 영역 안의 점으로 옮길 수 있으며, 이 점은 원래 점과 동일한 J-불변량 값을 가진다. 일반적으로 사용되는 기본 영역은 다음 조건을 만족하는 τ 값들의 집합이다.

:$\backslash begin\{align\}$
|\tau| &\ge 1 \\[5pt]
-\tfrac{1}{2} &< \mathfrak{R}(\tau) \le \tfrac{1}{2} \\[5pt]
-\tfrac{1}{2} &< \mathfrak{R}(\tau) < 0 \Rightarrow |\tau| > 1
\end{align}

여기서 는 τ의 실수부를 나타낸다.

함수 j(τ)를 이 기본 영역으로 제한하면, 복소수 C 전체의 값을 정확히 한 번씩 가진다. 즉, 복소평면 C 위의 어떤 값 c에 대해서도, c = j(τ)를 만족하는 τ가 기본 영역 안에 유일하게 존재한다. 따라서 J-불변량은 기본 영역을 전체 복소 평면에 일대일로 대응시키는 성질을 갖는다.

리만 곡면으로서 기본 영역은 종수 0을 가진다. 또한, 모든 (레벨 1) 모듈라 함수는 J-불변량의 유리 함수로 표현될 수 있으며, 반대로 J-불변량의 모든 유리 함수는 모듈라 함수가 된다. 이는 모듈라 함수들이 이루는 체가 C(j)임을 의미한다.

4. 특이 모듈리와 복소수 곱셈

$j$-불변량은 특정 값에서 주목할 만한 대수적 성질을 가진다. 만약 $\backslash tau$가 상반평면의 점이고, 해당 타원 곡선이 복소수 곱셈을 갖는 경우 (즉, $\backslash tau$가 허수 부분이 양수인 허수 이차 수체의 원소인 경우), $j(\backslash tau)$ 값은 대수적 정수가 된다. 이러한 특별한 $j(\backslash tau)$ 값들을 [[특이 모듈리]](singular moduli^영어)라고 부른다.

$j$-불변량과 관련된 주요 성질은 다음과 같다.

* 체 확대 Q[*j*(*τ*), *τ*]/Q(*τ*)는 아벨 확대이다. 이는 해당 확대의 갈루아 군이 아벨 군임을 의미한다.
* Λ를 {1, *τ*}로 생성된 C 안의 격자라고 하자. 이 격자 Λ를 곱셈 연산 하에서 안정시키는 Q(*τ*)의 모든 원소들은 단위원을 갖는 환을 형성하며, 이를 정환(order)이라고 부른다. 동일한 정환을 가지는 다른 생성자 {1, *τ*′}를 갖는 격자는 Q(*τ*) 위에서 *j*(*τ*)의 대수적 켤레인 *j*(*τ*′)를 정의한다. 포함 관계에 따라 정렬했을 때, Q(*τ*) 안의 유일한 최대 정환은 Q(*τ*)의 대수적 정수 환이며, 이 최대 정환을 갖는 *τ* 값들은 Q(*τ*)의 비분기 확대를 유도한다.

이러한 고전적인 결과들은 복소수 곱셈 이론의 중요한 부분을 형성하며 이론의 출발점이 되었다.

4.1. 헤그너 수와 라마누잔 상수

헤그너 수 $d$에 대해, $j\backslash left(\backslash frac\{1+i\backslash sqrt\; d\}\{2\}\backslash right)$의 값은 정수가 되는 특별한 성질이 있다. 예를 들어, 헤그너 수인 7, 11, 19, 43, 67, 163에 대해 $\backslash tau\; =\; \backslash frac\{1+i\backslash sqrt\; d\}\{2\}$를 계산하면, $j(\backslash tau)$ 값은 각각 −15³, −32³, −96³, −960³, −5280³, −640320³으로 모두 정수가 된다.

이러한 성질은 $j$-불변량의 푸리에 급수를 통해 이해할 수 있다. $j(\backslash tau)$의 푸리에 급수는 다음과 같다.
:$j(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{1\}\{q\}\; +\; 744\; +\; 196884\; q\; +\; \backslash cdots$
여기서 $q\; =\; \backslash exp(2\backslash pi\; i\; \backslash tau)$이다. 만약 $\backslash tau\; =\; \backslash frac\{1+i\backslash sqrt\; d\}\{2\}$ (단, $d$는 헤그너 수)를 대입하면, $q\; =\; \backslash exp(2\backslash pi\; i\; \backslash frac\{1+i\backslash sqrt\; d\}\{2\})\; =\; \backslash exp(\backslash pi\; i\; -\; \backslash pi\backslash sqrt\; d)\; =\; \backslash exp(\backslash pi\; i)\backslash exp(-\backslash pi\backslash sqrt\; d)\; =\; -\backslash exp(-\backslash pi\backslash sqrt\; d)$가 된다.

만약 헤그너 수 $d$가 충분히 크다면, $q\; =\; -\backslash exp(-\backslash pi\backslash sqrt\; d)$의 절댓값 $|\backslash exp(-\backslash pi\backslash sqrt\; d)|$는 0에 매우 가까워진다. 따라서 푸리에 급수에서 $q$의 고차항들($196884\; q$ 등)은 무시할 수 있을 정도로 작아지며, 다음과 같은 근사식이 성립한다.
:$j\backslash left(\backslash frac\{1+i\backslash sqrt\; d\}\{2\}\backslash right)\; \backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{q\}\; +\; 744\; =\; \backslash frac\{1\}\{-\backslash exp(-\backslash pi\backslash sqrt\; d)\}\; +\; 744\; =\; -\backslash exp(\backslash pi\backslash sqrt\; d)\; +\; 744$
그런데 $j\backslash left(\backslash frac\{1+i\backslash sqrt\; d\}\{2\}\backslash right)$는 이미 정수임이 알려져 있으므로, 위 근사식은 $-\backslash exp(\backslash pi\backslash sqrt\; d)\; +\; 744$가 정수에 매우 가깝다는 것을 의미한다. 결과적으로 $\backslash exp(\backslash pi\backslash sqrt\; d)$는 그 자체로 정수에 매우 가까운 초월수가 된다.

특히 가장 큰 헤그너 수인 $d=163$을 사용하면, $\backslash exp(\backslash pi\backslash sqrt\{163\})$ 값은 다음과 같이 소수점 아래 9가 12번이나 반복될 정도로 정수에 극도로 가깝다.
:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\; =\; 262\backslash ,537\backslash ,412\backslash ,640\backslash ,768\backslash ,743.999\backslash ,999\backslash ,999\backslash ,999\backslash ,25\backslash cdots$
이 수는 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔이 발견하였으며, 그의 이름을 따 라마누잔 상수(Ramanujan constant^영어)라고 불린다.

5. 푸리에 급수와 몬스트러스 문샤인

j-불변량은 푸리에 급수로 전개할 수 있으며, 이를 q-전개라고도 한다. 이 푸리에 급수의 계수들은 정수이며, 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현 차원과 놀라운 관계를 맺고 있다. 이 관계는 가공할 헛소리(monstrous moonshine^영어)라고 불리며, 수학의 여러 분야를 연결하는 중요한 주제이다.

5.1. 가공할 헛소리 (몬스트러스 문샤인)

j-불변량의 푸리에 급수는 $q=\backslash exp(2\backslash pi\; i\backslash tau)$를 사용하여 표현하면 다음과 같다.
:$j(\backslash tau)\; =\; q^\{-1\}\; +\; 744\; +\; 196884\; q\; +\; 21493760\; q^2\; +\; 864299970\; q^3\; +\; 20245856256\; q^4\; +\; 333202640600q^5+\backslash cdots$
j는 첨점(cusp)에서 단순 극을 가지므로 q-전개에는 $q^\{-1\}$ 항 아래의 항이 없다. 모든 푸리에 계수는 정수이며, 이는 몇 가지 유사 정수를 생성하는데, 특히 라마누잔 상수가 있다.
:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\; \backslash approx\; 640320^3\; +\; 744$.
$q^n$의 계수에 대한 점근 공식은 다음과 같으며, 이는 하디-리틀우드 원 방법으로 증명할 수 있다.
:$\backslash frac\{e^\{4\backslash pi\backslash sqrt\{n\}\}\}\{\backslash sqrt\{2\}\backslash ,n^\{3/4\}\}$

이 푸리에 급수의 계수들은 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현들의 차원과 놀라운 관계를 맺고 있다. 구체적으로 각 계수는 괴물군의 기약 표현 차원들의 단순한 조합으로 나타난다.
:$$
\begin{align}
1 & = 1 \\
196884 & = 196883 + 1 \\
21493760 & = 21296876 + 196883 + 1 \\
864299970 & = 842609326 + 21296876 + 2\cdot 196883 + 2\cdot 1 \\
20245856256&=18538750076+2\cdot842609326+21296876+3\cdot196883+3\cdot1\\
&=19360062527+842609326+2\cdot21296876+3\cdot196883+2\cdot1\\
333202640600 & =293553734298+2\cdot 18538750076+3\cdot 842609326+2\cdot 21296876+5\cdot 196883+5\cdot 1\\
& =293553734298+19360062527+ 18538750076+2\cdot 842609326+3\cdot 21296876+5\cdot 196883+4\cdot 1\\
4252023300096 & =3879214937598+293553734298+4\cdot 18538750076+6\cdot842609326+2\cdot21296876+7\cdot196883+7\cdot1 \\
& {}\,\,\, \vdots
\end{align}

이러한 관계를 가공할 헛소리(monstrous moonshine^영어)라고 부른다. 여기서 '몬스트러스'(monstrous^영어)는 괴물 군(Monster group)에 대한 일종의 말장난이다. 이 놀라운 관계는 1970년대 John McKay^영어(1939–)에 의해 처음 발견되었고, 존 호턴 콘웨이가 '몬스트러스 문샤인'이라는 이름을 붙였다. 이 관계는 리처드 보처즈가 리치 격자에 축소화한 보손 끈 이론을 사용하여 설명하였으며, 보처즈는 이 공로로 필즈상을 수상했다.

더욱 주목할 만한 점은, q의 양의 거듭제곱에 해당하는 푸리에 계수들이 '문샤인 모듈'(moonshine module)이라고 불리는 몬스터 군의 무한 차원 차수 대수 표현(구체적으로는 몬스터 정점 대수)의 각 차수 부분 공간(graded piece)의 차원과 일치한다는 것이다. 특히, $q^n$의 계수는 문샤인 모듈의 차수 n 부분의 차원이 된다. 첫 번째 예로, 차원이 196,884인 그리어스 대수(Griess algebra)는 푸리에 급수의 $196884q$ 항에 해당한다. 존 맥케이가 처음 발견한 이 놀라운 관찰은 문샤인 이론의 시작점이 되었다.

문샤인 추측에 대한 연구는 존 호턴 콘웨이와 Simon P. Norton^영어이 종수(genus) 0의 모듈러 함수를 연구하는 방향으로 이어졌다. 존 G. 톰슨은 이러한 함수들 중 다음과 같은 형태로 정규화될 수 있는 것들,
:$q^\{-1\}\; +\; \{O\}(q)$
이 유한 개수만 존재한다는 것을 증명했다. 이후 크리스 J. 커민스(Chris J. Cummins)는 그러한 함수가 정확히 6486개 있으며, 그중 616개가 정수 계수를 갖는다는 것을 보였다.

6. 초월성

1937년 테오도어 슈나이더는 $\backslash tau$가 상반평면의 이차 무리수라면 $j(\backslash tau)$는 대수적 정수가 된다는 사실을 증명했다. 또한 $\backslash tau$가 대수적 수이지만 허수 이차체의 원소가 아니라면, $j(\backslash tau)$는 초월수임을 증명했다.

$j$-함수는 이 외에도 여러 초월적 성질을 가진다. 쿠르트 말러는 '말러 추측'으로 알려진 특정 초월성 관련 결과를 추측했으며, 이는 1990년대 유리 네스테렌코(Yu. V. Nesterenko)와 파트리스 필리폰(Patrice Phillipon)의 연구 결과로부터 증명되었다. 증명된 말러 추측에 따르면, $\backslash tau$가 상반평면에 있을 때 $e^\{2\backslash pi\; i\; \backslash tau\}$와 $j(\backslash tau)$는 동시에 대수적일 수 없다.

더 나아가, 현재는 더 강력한 결과들이 알려져 있다. 예를 들어 $e^\{2\backslash pi\; i\; \backslash tau\}$가 대수적 수라면, 다음 세 수는 대수적으로 독립이며, 따라서 이 중 적어도 두 개는 초월수이다.
:$j(\backslash tau),\; \backslash frac\{j^\backslash prime(\backslash tau)\}\{\backslash pi\},\; \backslash frac\{j^\{\backslash prime\backslash prime\}(\backslash tau)\}\{\backslash pi^2\}$

7. 여러 표현 방식

$j$-불변량은 상반평면 $\backslash mathbf\{H\}\; =\; \backslash \{\backslash tau\; \backslash in\; \backslash mathbf\{C\}\; \backslash mid\; \backslash operatorname\{Im\}(\backslash tau)\; >\; 0\backslash \}$에서 정의되는 함수로, 여러 방식으로 표현될 수 있다. 기본적인 정의는 다음과 같다.

:$j(\backslash tau)\; =\; 1728\; \backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{\backslash Delta(\backslash tau)\}\; =\; 1728\; \backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{g\_2(\backslash tau)^3\; -\; 27g\_3(\backslash tau)^2\}\; =\; 1728\; \backslash frac\{g\_2(\backslash tau)^3\}\{(2\backslash pi)^\{12\}\backslash ,\backslash eta^\{24\}(\backslash tau)\}$

여기서 $g\_2(\backslash tau)$와 $g\_3(\backslash tau)$는 아이젠슈타인 급수 $G\_4(\backslash tau)$, $G\_6(\backslash tau)$와 관련된 모듈러 불변량이다.

:$g\_2(\backslash tau)\; =\; 60G\_4(\backslash tau)\; =\; 60\backslash sum\_\{(m,n)\; \backslash neq\; (0,0)\}\; \backslash left(m\; +\; n\backslash tau\backslash right)^\{-4\}$
:$g\_3(\backslash tau)\; =\; 140G\_6(\backslash tau)\; =\; 140\backslash sum\_\{(m,n)\; \backslash neq\; (0,0)\}\; \backslash left(m\; +\; n\backslash tau\backslash right)^\{-6\}$

$\backslash Delta(\backslash tau)$는 모듈러 판별식 $\backslash Delta(\backslash tau)\; =\; g\_2(\backslash tau)^3\; -\; 27g\_3(\backslash tau)^2$이고, $\backslash eta(\backslash tau)$는 데데킨트 에타 함수이다. 상수 1728은 $12^3$과 같다.

$j$-불변량은 타원 곡선의 동형류와 깊은 관련이 있다. 복소수 $\backslash mathbf\{C\}$ 위의 모든 타원 곡선은 복소 토러스로 볼 수 있으며, 이는 상반평면의 원소 $\backslash tau\; \backslash in\; \backslash mathbf\{H\}$에 의해 생성되는 격자 $\backslash \{m\; +\; n\backslash tau\; \backslash mid\; m,\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash \}$와 대응된다. 이 격자는 바이어슈트라스 타원 함수를 통해 타원 곡선 $y^2=4x^3-g\_2(\backslash tau)x-g\_3(\backslash tau)$와 연결되며, $j(\backslash tau)$는 이 타원 곡선의 동형류를 결정하는 불변량이다.

$j$-불변량은 정규화된 아이젠슈타인 급수 $E\_4(\backslash tau)$, $E\_6(\backslash tau)$를 이용하여 직접 표현할 수도 있다.

:$E\_4(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{g\_2(\backslash tau)\}\{2\backslash zeta(4)\}\; =\; 1+\; 240\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{n^3\; q^n\}\{1-q^n\}$
:$E\_6(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{g\_3(\backslash tau)\}\{2\backslash zeta(6)\}\; =\; 1-\; 504\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{n^5\; q^n\}\{1-q^n\}$

여기서 $q=e^\{2\backslash pi\; i\; \backslash tau\}$는 노메의 제곱이다. 이를 이용하면 $j$-불변량은 다음과 같이 표현된다.

:$j(\backslash tau)\; =\; 1728\; \backslash frac\{E\_4(\backslash tau)^3\}\{E\_4(\backslash tau)^3\; -\; E\_6(\backslash tau)^2\}$

모듈러 판별식 $\backslash Delta(\backslash tau)$ 역시 아이젠슈타인 급수로 표현할 수 있다.

:$\backslash Delta(\backslash tau)\; =\; (2\backslash pi)^\{12\}\backslash ,\backslash eta^\{24\}(\backslash tau)\; =\; (2\backslash pi)^\{12\}\backslash ,\backslash frac\{E\_4(\backslash tau)^3\; -\; E\_6(\backslash tau)^2\}\{1728\}$

$j$-불변량은 가중치 0인 모듈러 함수이며, 모듈러 군 $\backslash mathrm\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\{Z\})$의 작용에 대해 불변이다. 즉, $a,\; b,\; c,\; d$가 $ad-bc=1$을 만족하는 정수일 때 $j\backslash left(\backslash frac\{a\backslash tau+b\}\{c\backslash tau+d\}\backslash right)\; =\; j(\backslash tau)$가 성립한다.

이 외에도 $j$-불변량은 모듈러 람다 함수나 세타 함수 등을 이용하여 다양하게 표현될 수 있다.

7.1. 모듈러 람다 함수를 이용한 표현

$j(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{256(1-x)^3\}\{x^2\}$

여기서 $x\; =\; \backslash lambda(1\; -\; \backslash lambda)$이고, $\backslash lambda$는 모듈러 람다 함수이다. 모듈러 람다 함수는 다음과 같이 정의된다.

$\backslash lambda(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{\backslash theta\_2^4(e^\{\backslash pi\; i\backslash tau\})\}\{\backslash theta\_3^4(e^\{\backslash pi\; i\backslash tau\})\}\; =\; k^2(\backslash tau)$

이는 야코비 세타 함수 $\backslash theta\_m$의 비율이며, 타원 모듈러스 $k(\backslash tau)$의 제곱이다. $j$의 값은 $\backslash lambda$가 다음 교차비의 여섯 가지 값 중 하나로 대체될 때 변하지 않는다.

$\backslash left\backslash \{\; \backslash lambda,\; \backslash frac\{1\}\{1-\backslash lambda\},\; \backslash frac\{\backslash lambda-1\}\{\backslash lambda\},\; \backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\},\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{\backslash lambda-1\},\; 1-\backslash lambda\; \backslash right\backslash \}$

$j$의 분기점은 $\backslash \{0,\; 1,\; \backslash infty\backslash \}$에 있으며, 따라서 $j$는 벨리 함수이다.

7.2. 세타 함수를 이용한 표현

노메 $q=e^\{\backslash pi\; i\; \backslash tau\}$와 야코비 세타 함수를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash vartheta(0;\; \backslash tau)\; =\; \backslash vartheta\_\{00\}(0;\; \backslash tau)\; =\; 1\; +\; 2\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(e^\{\backslash pi\; i\backslash tau\}\backslash right)^\{n^2\}\; =\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; q^\{n^2\}$

여기에서 지표가 있는 세타 함수를 유도할 수 있다. 다음과 같이 정의하자.

:$a=\backslash theta\_\{2\}(0;\; q)=\backslash vartheta\_\{10\}(0;\; \backslash tau)$
:$b=\backslash theta\_\{3\}(0;\; q)=\backslash vartheta\_\{00\}(0;\; \backslash tau)$
:$c=\backslash theta\_\{4\}(0;\; q)=\backslash vartheta\_\{01\}(0;\; \backslash tau)$

여기서 $\backslash theta\_\{m\}$과 $\backslash vartheta\_\{n\}$은 표기법을 변경한 것이며, 이 세 함수 사이에는 $a^4\; -\; b^4\; +\; c^4\; =\; 0$인 관계가 성립한다.

그러면, 모듈러 불변량 $g\_2(\backslash tau)$, $g\_3(\backslash tau)$와 모듈러 판별식 $\backslash Delta$는 세타 함수 $a$, $b$, $c$를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$g\_2(\backslash tau)\; =\; \backslash tfrac\{2\}\{3\}\backslash pi^4\; \backslash left(a^8\; +\; b^8\; +\; c^8\backslash right)$
:$g\_3(\backslash tau)\; =\; \backslash tfrac\{4\}\{27\}\backslash pi^6\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(a^8+b^8+c^8)^3-54(abc)^8\}\{2\}\}$
:$\backslash Delta\; =\; g\_2^3-27g\_3^2\; =\; (2\backslash pi)^\{12\}\backslash eta(\backslash tau)^\{24\}\; =\; (2\backslash pi)^\{12\}\; \backslash left(\backslash tfrac\{1\}\{2\}a\; b\; c\backslash right)^8$

여기서 $\backslash eta(\backslash tau)$는 데데킨트 에타 함수이다.

이를 이용하여 $j(\backslash tau)$를 세타 함수로 표현하면 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있는 형태가 된다.

:$j(\backslash tau)\; =\; 1728\backslash frac\{g\_2^3\}\{g\_2^3-27g\_3^2\}\; =\; 32\; \backslash frac\{\backslash left(a^8\; +\; b^8\; +\; c^8\backslash right)^3\; \}\{\; \backslash left(a\; b\; c\backslash right)^8\}$

8. 대수적 정의

j-불변량은 타원 곡선의 동형 사상 클래스에 대한 불변량으로서 순수하게 대수적으로 정의할 수 있다.

임의의 체 위에서 정의된 평면 타원 곡선의 일반적인 방정식은 다음과 같다.
:$y^2\; +\; a\_1\; xy\; +\; a\_3\; y\; =\; x^3\; +\; a\_2\; x^2\; +\; a\_4\; x\; +\; a\_6$

이 방정식의 계수들을 이용하여 다음과 같은 값들을 정의한다.
:$\backslash begin\{align\}$
b_2 &= a_1^2 + 4a_2,\\
b_4 &= a_1a_3 + 2a_4,\\
b_6 &= a_3^2 + 4a_6,\\
b_8 &= a_1^2a_6 - a_1a_3a_4 + a_2a_3^2 + 4a_2a_6 - a_4^2,\\
c_4 &= b_2^2 - 24b_4,\\
c_6 &= -b_2^3 + 36b_2b_4 - 216b_6
\end{align}

또한, 타원 곡선의 판별식 Δ는 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash Delta\; =\; -b\_2^2b\_8\; +\; 9b\_2b\_4b\_6\; -\; 8b\_4^3\; -\; 27b\_6^2$

이 값들을 이용하여 타원 곡선의 j-불변량은 다음과 같이 대수적으로 정의된다.
:$j\; =\; \backslash frac\{c\_4^3\}\{\backslash Delta\}$

만약 타원 곡선이 정의된 체의 표수가 2 또는 3이 아니라면, j-불변량은 다음과 같이 표현될 수도 있다.
:$j\; =\; 1728\backslash frac\{c\_4^3\}\{c\_4^3-c\_6^2\}$

9. 역함수

j-불변량의 역함수는 $\{\}\_2F\_1$ 초기하 함수로 표현될 수 있다(피카르-푸흐스 방정식 참조). 구체적으로, 주어진 수 N에 대해 $j(\backslash tau)\; =\; N$ 방정식을 τ에 대해 푸는 방법은 적어도 네 가지가 알려져 있다.

방법 1: λ에 대한 6차 방정식 풀기
:$j(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{256\backslash bigl(1-\backslash lambda(1-\backslash lambda)\backslash bigr)^3\}\{\backslash bigl(\backslash lambda(1-\backslash lambda)\backslash bigr)^2\}\; =\; \backslash frac\{256\backslash left(1-x\backslash right)^3\}\{x^2\}$
여기서 $x\; =\; \backslash lambda(1\; -\; \backslash lambda)$이고, λ는 모듈러 람다 함수이다. 이 6차 방정식은 x에 대한 3차 방정식으로 풀 수 있다. 그러면, λ의 여섯 가지 값 중 하나에 대해 다음 식이 성립한다.
:$\backslash tau\; =\; i\; \backslash frac\{\{\}\_2F\_1\; \backslash left\; (\backslash tfrac\{1\}\{2\},\backslash tfrac\{1\}\{2\},1;1\; -\; \backslash lambda\; \backslash right\; )\}\; \backslash frac\{\{\}\_2F\_1\; \backslash left\; (\backslash tfrac\{1\}\{3\},\backslash tfrac\{2\}\{3\},1;1-\backslash gamma\; \backslash right)\}\; \backslash frac\{\{\}\_2F\_1\; \backslash left\; (\backslash tfrac\{1\}\{4\},\backslash tfrac\{3\}\{4\},1;1-\backslash beta\; \backslash right)\}\{\{\}\_2F\_1\; \backslash left(\backslash tfrac\{1\}\{4\},\backslash tfrac\{3\}\{4\},1;\backslash beta\; \backslash right\; )\}$

방법 4: α에 대한 2차 방정식 풀기
:$j(\backslash tau)=\backslash frac\{1728\}\{4\backslash alpha(1-\backslash alpha)\}$
그러면 다음 식이 성립한다.
:$\backslash tau\; =\; i\; \backslash frac\{\{\}\_2F\_1\; \backslash left\; (\backslash tfrac\{1\}\{6\},\backslash tfrac\{5\}\{6\},1;1-\backslash alpha\; \backslash right)\}\{\{\}\_2F\_1\; \backslash left(\backslash tfrac\{1\}\{6\},\backslash tfrac\{5\}\{6\},1;\backslash alpha\; \backslash right\; )\}$
한 근은 τ를 제공하고 다른 근은 $-\backslash frac\{1\}\{\backslash tau\}$를 제공하지만, $j(\backslash tau)\; =\; j(-\backslash frac\{1\}\{\backslash tau\})$이므로 어떤 α를 선택하든 차이가 없다.

후자의 세 가지 방법(방법 2, 3, 4)은 타원 함수를 다른 기저로 변환하는 라마누잔의 이론에서 찾을 수 있다.

역변환은 그 비율이 무한대가 될 때조차도 타원 함수 주기의 고정밀 계산에 적용된다. 관련 결과는 크기가 2의 거듭제곱인 허수 축의 점에서의 j 값을 2차 근을 통해 표현할 수 있다는 것이다(따라서 자 및 컴퍼스 작도가 가능하다). 후자의 결과는 모듈러 방정식이 2차인 j에 대한 것이 3차이기 때문에 거의 명백하지 않다.

10. 파이 공식

1987년에 추드노프스키 형제는 다음의 식을 발견했다.

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; =\; \backslash frac\{12\}\{640320^\{3/2\}\}\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(6k)!\; (163\; \backslash cdot\; 3344418k\; +\; 13591409)\}\{(3k)!\backslash left(k!\backslash right)^3\; \backslash left(-640320\backslash right)^\{3k\}\}$

이 식의 증명에는 다음의 사실이 사용된다.

:$j\backslash left(\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-163\}\}\{2\}\backslash right)\; =\; -640320^3.$

유사한 공식들은 라마누잔-사토 급수를 참조하라.

11. 다른 체 위에서의 타원 곡선 분류

j-불변량은 복소수 또는 더 일반적으로는 대수적으로 닫힌 체 위의 타원 곡선의 동형류만을 구별한다. 다른 체 위에서는 j-불변량이 같더라도 서로 동형이 아닌 타원 곡선이 존재할 수 있다. 예를 들어, 다음 두 타원 곡선 $E\_1,\; E\_2$를 생각해보자.
: $$
\begin{align}
E_1: &\quad y^2 = x^3 - 25x \\
E_2: &\quad y^2 = x^3 - 4x
\end{align}

두 곡선 모두 j-불변량은 $1728$이다. 하지만 유리수 체 $\backslash mathbb\{Q\}$ 위에서 두 곡선은 동형이 아니다.

$E\_2$의 유리점은 다음과 같이 유한하다.
: $E\_2(\backslash mathbb\{Q\})\; =\; \backslash \{\backslash infty,\; (2,0),\; (-2,0),\; (0,0)\; \backslash \}$
이는 $x^3\; -\; 4x\; =\; x(x^2\; -\; 4)\; =\; x(x-2)(x+2)$ 이므로, $y=0$일 때 $x$는 0, 2, -2가 된다. 만약 $y\; =\; a\; \backslash neq\; 0$인 유리수 해가 존재한다고 가정하면, $x^3\; -\; 4x\; -\; a^2\; =\; 0$의 해 $x$도 유리수여야 한다. 그러나 카르다노 공식 등을 이용하면 이 방정식의 해는 모두 무리수임을 보일 수 있어, $y\; \backslash neq\; 0$인 유리수 해는 존재하지 않는다.

반면, $E\_1$ 위에는 무한히 많은 유리점이 존재한다. 예를 들어 점 $(-4,\; 6)$은 $E\_1$ 위에 있으며($6^2\; =\; (-4)^3\; -\; 25(-4)\; \backslash implies\; 36\; =\; -64\; +\; 100$), 이 점과 타원 곡선의 덧셈 연산을 이용하여 다른 많은 유리점들을 생성할 수 있다. 점들의 집합 $\backslash \{\; n(-4,6)\; :\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash \}$을 고려하면, $E\_1$에 대한 방정식은 $36n^2\; =\; -64n^3\; +\; 100n$이 된다. $(0,0)$ 해를 제외하고 $4n$으로 나누면 이차 방정식 $16n^2\; +\; 9n\; -\; 25\; =\; 0$을 얻고, 이는 다음과 같은 유리수 해를 가진다.
: $n\; =\; \backslash frac\{$
-9 \pm \sqrt{81 - 4\cdot 16\cdot(-25)}
}{2\cdot 16} =
\frac{-9 \pm \sqrt{1681}}{32} = \frac{-9 \pm 41}{32}
따라서 $n=1$과 $n\; =\; -50/32\; =\; -25/16$이라는 유리수 해가 존재하며, 이는 $E\_1$ 위에 무한히 많은 유리점이 있음을 보여준다.

결과적으로 $\backslash mathbb\{Q\}$ 위에서 $E\_1$과 $E\_2$는 유리점의 개수가 다르므로 동형일 수 없다.

하지만 체를 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{10\})$으로 확장하면, 두 곡선은 동형이 된다. 구체적으로 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.
: $\backslash phi:\; E\_1(\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{10\}))\; \backslash to\; E\_2(\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{10\}))$
: $(x,y)\backslash mapsto\; (\backslash mu^2x,\backslash mu^3y)\; \backslash quad\; \backslash text\{\; 여기서\; \}\backslash \; \backslash mu\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{10\}\}\{2\}$
이 예시는 j-불변량이 대수적으로 닫힌 체가 아닌 일반적인 체 위에서는 타원 곡선의 동형 여부를 완전히 결정하지 못함을 보여준다.

12. 특수값

특별한 점에서 $j$-불변량의 값은 다음과 같다.

이 가운데, 7, 11, 19, 43, 67, 163은 헤그너 수이다.

J-불변량은 기본 영역의 "각"
:$\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash left(1\; +\; i\; \backslash sqrt\{3\}\backslash right)$
에서 0이 된다.

다음은 몇 가지 특수값을 나타낸다.

:$\backslash begin\{align\}$
J(i) &= J \left( \tfrac{1 + i}{2} \right) = 1 \\
J\left(\sqrt{2}i\right) &= \big(\tfrac{5}{3}\big)^3 \\
J(2i) &= \big(\tfrac{11}{2}\big)^3 \\
J\left(2\sqrt{2}i\right) &= \tfrac{125}{216} \left(19 + 13\sqrt{2} \right)^3\\
J(4i) &= \tfrac{1}{64} \left(724 + 513\sqrt{2} \right)^3\\
J\left( \tfrac{1 + 2i}{2} \right) &= \tfrac{1}{64} \left(724 - 513\sqrt{2} \right)^3\\
J\left( \tfrac{1 + 2\sqrt{2}i}{3} \right) &= \tfrac{125}{216} \left(19 - 13\sqrt{2} \right)^3\\
J(3i) &= \tfrac{1}{27} \left(2 + \sqrt{3}\right)^2 \left(21 + 20\sqrt{3}\right )^3 \\
J\left(2\sqrt{3}i\right) &= \tfrac{125}{16} \left(30 + 17\sqrt{3}\right)^3\\
J\left( \tfrac{1 + 7\sqrt{3}i}{2} \right) &= -\tfrac{64000}{7} \left(651 + 142\sqrt{21} \right)^3\\
J\left(\tfrac{1 + 3\sqrt{11}i}{10} \right) &= \tfrac{64}{27} \left(23 - 4\sqrt{33}\right)^2 \left(-77 + 15\sqrt{33} \right)^3\\
J\left(\sqrt{21}i\right) &= \tfrac{1}{128} \left(3 + \sqrt{7} \right)^5 \left( 17 + 7\sqrt{3} + 59\sqrt{7} + 35\sqrt{21}\right)^3\\
J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{1} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 + 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 + 30\sqrt{2} + 12\sqrt{5} + 10\sqrt{10} \right)^3\\
J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{2} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{5} - 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 + 30\sqrt{2} - 12\sqrt{5} - 10\sqrt{10} \right)^3\\
J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{5} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 - 30\sqrt{2} + 12\sqrt{5} - 10\sqrt{10} \right)^3\\
J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{10} \right) &= \tfrac{1}{4} \left(7 - 5\sqrt{2} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 - 30\sqrt{2} - 12\sqrt{5} + 10\sqrt{10} \right)^3\\
J\left(\tfrac{1+\sqrt{31}i}{2}\right)&=\left(1-\left(1+\frac{\sqrt{19}}{2}\left(\sqrt{\tfrac{13-\sqrt{93}}{13+\sqrt{93}}}\cdot\sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{31}+\sqrt{27}}{\sqrt{31}-\sqrt{27}}}+\sqrt{\tfrac{13+\sqrt{93}}{13-\sqrt{93}}}\cdot\sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{\sqrt{31}+\sqrt{27}}}\right)\right)^2\right)^3\\
J(5i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{4} \sqrt{5} \left( 13 + 5 \sqrt{5} \right)^2 \right)^3\\
J\left( \tfrac{5 i + 1}{2} \right) &= \left( 1 - \tfrac{9}{4} \sqrt{5} \left( 13 - 5 \sqrt{5} \right)^2 \right)^3\\
J(6i) &= \tfrac{1}{216}\left(2 + \sqrt{3}\right)^{10} \left(231 + 380\sqrt{3} + \left(204 + 158\sqrt{3} \right)\sqrt[4]{12}\right)^3\\
J(\sqrt{70}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{4}\left(303 + 220\sqrt{2} + 139\sqrt{5} + 96\sqrt{10}\right)^2 \right)^3\\
J(\sqrt{94}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{8192} \left(3 + 2\sqrt{2} + \sqrt{9+8\sqrt{2}}\right)^8 \left(8 + \left(-1 - \sqrt{2} + \sqrt{9+8\sqrt{2}}\right) \left(-2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3 + 4\sqrt{2} + 3\sqrt{9 + 8\sqrt{2}}}\right)\right)^2\right)^3\\
J(7i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{32}\sqrt[4]{28} \left(3+\sqrt{7}\right)^3 \left(13 + 3\sqrt{7} + \left(6+\sqrt{7} \right)\sqrt[4]{28}\right)^2 \right)^3\\
J(8i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{4} \sqrt[4]{2} \left (1 + \sqrt{2} \right) \left(123 + 104\sqrt[4]{2} + 88\sqrt{2} + 73\sqrt[4]{8}\right)^2 \right)^3\\
J(10i) &= \left(1 + \tfrac{9}{8}\left(2402 + 1607\sqrt[4]{5} + 1074\sqrt[4]{25} + 719\sqrt[4]{125}\right)^2 \right)^3\\
J\left( \tfrac{5 i}{2} \right) &= \left(1 + \tfrac{9}{8}\left(2402 - 1607\sqrt[4]{5} + 1074\sqrt[4]{25} - 719\sqrt[4]{125}\right)^2 \right)^3\\
J(\sqrt{130}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{4}\left(7392 + 3289\sqrt{5} + 2040\sqrt{13} + 917\sqrt{65}\right)^2 \right)^3\\
J(\sqrt{190}i) &= \left(1 + 18 \left(31570 + 22323\sqrt{2} + 14139\sqrt{5} + 9998\sqrt{10}\right)^2 \right)^3\\
J(2\sqrt{58}i) &= \left(1+\tfrac{9}{256}\left(1+\sqrt{2}\right)^5\left(5+\sqrt{29}\right)^5\left(793+907\sqrt{2}+237\sqrt{29}+103\sqrt{58}\right)^2\right)^3\\
J\left( \tfrac{1 + \sqrt{1435}i}{2} \right) &= \left( 1 - 9 \left ( 9892538 + 4424079\sqrt{5} + 1544955\sqrt{41} + 690925\sqrt{205} \right )^2 \right)^3\\
J\left( \tfrac{1 + \sqrt{1555}i}{2} \right) &= \left( 1 - 9 \left ( 22297077 + 9971556\sqrt{5} + \left ( 3571365 + 1597163\sqrt{5} \right ) \sqrt{\tfrac{31 + 21\sqrt{5}}{2}} \right)^2 \right)^3\\
\end{align}

2014년에 몇몇 특수값이 계산되었다.

:$\backslash begin\{align\}$
J \left( \tfrac{5 i + 2}{4} \right) &= \left( 1 - \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 - 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} - 3072 \sqrt{10} - \sqrt[4]{5} \left( 178 - 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} - 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3\\
J \left( \tfrac{10 i + 1}{2} \right) &= \left( 1 - \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 - 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} - 3072 \sqrt{10} + \sqrt[4]{5} \left( 178 - 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} - 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3\\
J \left( \tfrac{5 i}{4} \right) &= \left( 1 + \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 + 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} + 3072 \sqrt{10} - \sqrt[4]{5} \left( 178 + 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} + 1289 \sqrt{10} \right) \Big)^2 \right)^3\\
J(20 i) &= \left( 1 + \tfrac{9 \left( 1 + \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 + 762 \sqrt{2} + 1479 \sqrt{5} + 3072 \sqrt{10} + \sqrt[4]{5} \left( 178 + 2221 \sqrt{2} + 3148 \sqrt{5} + 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3
\end{align}

이전에 나타낸 모든 값은 실수이다. 복소 켤레쌍은 $J(10\; i)$와 $J(5\; i/2)$에 대해, 참고 문헌과 같이 값에 따라 위와 같이 대칭을 이루는 것으로 추정된다.

:$\backslash begin\{align\}$
J \left( \tfrac{5 i \pm 1}{4} \right) &= \left(1 - \tfrac{9}{8}\left((2402 - 1074\sqrt{5}) i \pm (1607 - 719\sqrt{5}) \sqrt[4]{5} \right)^2 \right)^3
\end{align}

4개의 특수값은 2개의 복소 켤레쌍으로 주어진다.

:$\backslash begin\{align\}$
J \left( \tfrac{4 \left( 5 i \pm 1 \right)}{13} \right) = \left(1 - \tfrac{9 \left( 1 - \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 - 762 \sqrt{2} - 1479 \sqrt{5} + 3072 \sqrt{10} \pm i \sqrt[4]{5} \left( 178 - 2221 \sqrt{2} - 3148 \sqrt{5} + 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3\\
J \left( \tfrac{5 \left( 4 i \pm 1 \right)}{17} \right) = \left(1 + \tfrac{9 \left( 1 - \sqrt{5} \right)^{38}}{2^{41} \sqrt{2}} \Bigl( 7485 + 762 \sqrt{2} - 1479 \sqrt{5} - 3072 \sqrt{10} \pm i \sqrt[4]{5} \left( 178 + 2221 \sqrt{2} - 3148 \sqrt{5} - 1289 \sqrt{10} \right) \Bigr)^2 \right)^3
\end{align}