KR이론

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1. 개요

KR이론은 1966년 마이클 아티야에 의해 도입되었으며, 대합 공간의 대합 벡터 다발을 통해 정의되는 K이론의 변형이다. 대합 공간은 콤팩트 하우스도르프 공간과 대합 자기 함수로 구성되며, 대합 벡터 다발은 복소수 벡터 다발과 그 위의 연속 대합으로 정의된다. KR군은 대합 벡터 다발들의 직합에 대한 그로텐디크 구성으로 얻어진다. KR이론은 실수 K이론과 복소수 K이론의 특별한 경우를 포함하며, 보트 주기성을 갖는다. 끈 이론의 오리엔티폴드와 D-막 연구에 응용되며, 한국의 끈 이론 연구에서도 중요한 역할을 한다.

KR이론

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대합 공간
- 2.2. 대합 벡터 다발
3. 성질
- 3.1. 다른 K이론과의 관계
- 3.2. 보트 주기성
4. 응용
5. 역사

2. 정의

KR이론에서 사용되는 기본적인 개념에는 대합 공간과 대합 벡터 다발이 있다. 대합 공간은 콤팩트 하우스도르프 공간에 대합(involution)이 주어진 공간이며, 대합 벡터 다발은 이러한 대합 공간 위에서 정의되는 특별한 종류의 복소수 벡터 다발이다.

대합 공간 $(X, \tau)$ 위의 대합 벡터 다발은 복소수 벡터 다발 $\pi\colon E \twoheadrightarrow X$ 와 $E$ 위의 연속 대합 $\tau_E\colon E \to E$ 로 구성되며, 다음 두 가지 조건을 만족시켜야 한다.

* 영단면을 $0_E \colon X \to E$ 라고 하면, $\pi\circ \tau_E\circ 0_E = \tau$ 이다.
* $\tau_E\colon E\to E$ 는 ( $\tau\colon X\to X$ 위의) 실수 벡터 다발의 동형 사상이며, 임의의 $x\in E$ 에 대하여 $(\tau_E\restriction E_x)\colon E_x \to E_{\tau(x)}$ 는 복소수 벡터 공간의 반선형 변환이다. 즉, $v\in E_x$ 및 $\lambda\in\mathbb C$ 에 대하여 $\tau_E(\lambda v) = \bar\lambda\tau_E(v)$ 이다.

이러한 대합 벡터 다발들의 직합을 통해 가환 모노이드를 구성할 수 있고, 이 모노이드의 그로텐디크 구성을 통해 KR군을 정의한다.

실 공간은 위상 공간에 대합이 있는 공간으로, 이 공간 위의 실 벡터 다발은 복소 벡터 다발로 정의되며, 여기서 대합은 복소 공액과 관련되어 있다. 실 공간 X 위의 유한 차원 실 벡터 다발의 그로텐디크 군은 KR(X)로 표현된다.

2.1. 대합 공간

대합 공간(space with involution, Real space^영어)은 콤팩트 하우스도르프 공간 X와 그 위의 대합인 연속 자기 함수 $\tau\colon X\to X$ , $\tau\circ\tau = \operatorname{id}_X$ 의 쌍 $(X,\tau)$ 으로 정의된다.

2.2. 대합 벡터 다발

대합 공간(space with involution, Real space^영어) $(X,\tau)$ 는 다음 데이터로 주어진다.
* 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$
* 대합인 연속 자기 함수 $\tau\colon X\to X$ , $\tau\circ\tau = \operatorname{id}_X$

대합 공간 $(X,\tau)$ 위의 대합 벡터 다발(vector bundle with involution, Real vector bundle^영어)은 다음 데이터로 주어진다.
* 복소수 벡터 다발 $\pi\colon E \twoheadrightarrow X$
* $E$ 위의 연속 대합 $\tau_E\colon E \to E$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* 영단면을 $0_E \colon X \to E$ 라고 하면, $\pi\circ \tau_E\circ 0_E = \tau$ 이다.
*:
:: $\begin{matrix}E&\overset{\tau_E}\to&E\\{\scriptstyle\!\!\!\!0_E}\uparrow{\scriptstyle\color{White}0_E\!\!\!\!}&&{\scriptstyle\color{White}\!\!\!\!\pi}\downarrow{\scriptstyle\pi\!\!\!\!}\\X&\underset\tau\to&X\end{matrix}$
* $\tau_E\colon E\to E$ 는 ( $\tau\colon X\to X$ 위의) 실수 벡터 다발의 동형 사상이며, 임의의 $x\in E$ 에 대하여 $(\tau_E\restriction E_x)\colon E_x \to E_{\tau(x)}$ 는 복소수 벡터 공간의 반선형 변환이다. 즉, $v\in E_x$ 및 $\lambda\in\mathbb C$ 에 대하여 $\tau_E(\lambda v) = \bar\lambda\tau_E(v)$ 이다.

대합 공간 위의 대합 벡터 다발들의 직합을 취할 수 있으며, 이에 따라서 주어진 대합 공간 위의 대합 벡터 다발의 동형류는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드의 그로텐디크 구성을 대합 공간의 KR군이라고 한다.

실 공간은 위상 공간에 대합이 있는 것으로 정의된다. 실 공간 X 위의 실 벡터 다발은 또한 실 공간인 X 위의 복소 벡터 다발 E로 정의되며, 여기서 대합은 $\Complex$ 에서 복소 공액으로 작용하며, E에서 X로, $\Complex$ ×E에서 E로의 자연스러운 사상은 대합과 가환한다. (이것은 대합이 $\Complex$ 에 대해 자명하게 작용하는 Z/2Z 공간 범주에서의 복소 벡터 다발의 개념과는 다르다.)

군 KR(X)는 실 공간 X 위의 유한 차원 실 벡터 다발의 그로텐디크 군이다.

3. 성질

일반 위상 K이론처럼, 축소 KR군(reduced KR-group^영어) $\operatorname{\widetilde{KR}}^{0,0}(X)$ 을 정의할 수 있다.

KR군은 위상 K군 가운데 복소수 벡터 다발의 위상 K군 $\operatorname{KU}^0(-)$ 과 실수 벡터 다발의 위상 K군 $\operatorname{KO}^0(-)$ 의 특별한 경우이며, 보트 주기성을 가진다.

3.1. 다른 K이론과의 관계

위상 K군 가운데, 복소수 벡터 다발의 위상 K군 $\operatorname{KU}^0(-)$ 과 실수 벡터 다발의 위상 K군 $\operatorname{KO}^0(-)$ 은 KR군의 특별한 경우이다.

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위에 항등 함수인 대합 $\operatorname{id}_X$ 를 부여했을 때, 이 대합 공간 위의 대합 벡터 다발 $(E,\tau_E)$ 이 주어지면 항상 실수 벡터 다발
: $E_{\mathbb R} = \{v\in E\colon \tau_E(v) = v \}$
: $E \cong E_{\mathbb R} \otimes \mathbb C$
를 정의할 수 있다. 따라서 그 위의 대합 벡터 다발(의 동형류)은 $X$ 위의 실수 벡터 다발(의 동형류)과 동치이다. 이 경우 KR군은 KO군과 같다.
: $\operatorname{KR}^0(X,\operatorname{id}_X) = \operatorname{KO}^0(X)$

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 가 주어졌을 때, $X\times\{\pm1\}$ 위에 대합
: $(x,\pm1)\mapsto(x,\mp1)$
을 부여하면, $X\times\{\pm1\}$ 위의 대합 벡터 다발은 $X$ 위의 복소수 벡터 다발과 동치이다. 따라서 이 경우 $X\times\{\pm1\}$ 의 KR군은 $X$ 의 KU군과 같다.
: $\operatorname{KR}^0(X\times\{\pm1\},(x,\pm1)\mapsto(x,\mp1)) = \operatorname{KU}^0(X)$

3.2. 보트 주기성

유클리드 공간 $\mathbb R^{m+n}$ 위에 다음 대합을 부여한다.
:$(x,y)\mapsto(x,-y)\qquad(x\in\mathbb R^m,\;y\in\mathbb R^n)$
이를 $\mathbb R^{m,n}$으로 표기한다. 그 속의 $m+n-1$차원 공 및 초구는 다음과 같다.
:$\mathbb D^{m,n}=\{(x,y)\in\mathbb R^{m,n}\colon \|x\|^2+\|y\|^2\le1\} \cong \mathbb D^{m+n}$
:$\mathbb S^{m,n}=\{(x,y)\in\mathbb R^{m,n}\colon \|x\|^2+\|y\|^2=1\} \cong \mathbb S^{m+n-1}$
그러면 다음과 같이 두 개의 등급을 갖는 (축소) KR군들을 정의할 수 있다.
:$\operatorname{KR}^{m,n}(X)=\operatorname{KR}^{0,0}(X\times \mathbb D^{m,n})$
:$\operatorname{\widetilde{KR}}^{m,n}(X)=\operatorname{\widetilde{KR}}^{0,0}(X\wedge \mathbb D^{m,n})$
(여기서 $\wedge$는 분쇄곱이다.)

이때, 다음과 같은 보트 주기성(Bott periodicity^영어)이 성립한다.
:$\operatorname{KR}^{m,n}(X) \cong \operatorname{KR}^{m+1,n+1}(X) \cong \operatorname{KR}^{m+8,n}(X)$
즉, KR군은 오직 $(m-n)\bmod8$에만 의존한다. 보통
:$\operatorname{\widetilde{KR}}^{m,n}(X) = \operatorname{\widetilde{KR}}^{n-m}(X)$
으로 표기한다. 특히, $\mathbb S^{m,n}$은 ‘$m-n-1$차원 초구’로 해석되며, 이를 통하여 음의 차원의 초구를 생각할 수 있다.

실수 · 복소수 K이론의 보트 주기성은 KR이론의 보트 주기성의 특수한 경우이다. 보트 주기성과 유사하게, KR에 대한 주기성 정리는 KR^p,q = KR^p+1,q+1이며, 여기서 KR^p,q는 R^p,q = R^q + iR^p (p와 q의 순서가 바뀜)에 대한 현수이며, 다음과 같이 주어진다.
:$KR^{p,q}(X,Y) = KR(X\times B^{p,q},X\times S^{p,q}\cup Y\times B^{p,q})$
그리고 B^p,q, S^p,q는 R^p,q에서 단위 공과 구이다.

4. 응용

끈 이론에서, 오리엔티폴드가 주어진 시공간은 대합 공간을 이루며, 그 위의 D-막들은 KR군에 의하여 분류된다.

5. 역사

마이클 아티야가 1966년에 KR이론을 도입하였다. ‘KR’이라는 이름에서 ‘K’는 K이론에서 따온 것이다. (이는 Klasse^독일어의 첫 글자이다.) ‘R’는 real^영어의 첫 글자이다.