가군의 길이

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 짧은 완전열과의 관계
- 3.2. 조르당-횔더 정리
4. 예시
5. 응용
- 5.1. 중복도 이론
- 5.2. 소멸 차수
  - 5.2.1. 사영 다양체에서의 예시
  - 5.2.2. 해석 함수의 영점과 극점
참조

1. 개요

가군의 길이는 가군 이론에서 중요한 개념으로, 부분 가군의 사슬의 최대 길이를 의미한다. 구체적으로, 환 R 위의 가군 M의 길이는 M의 부분 가군들의 사슬 M₀ ⊊ M₁ ⊊ … ⊊ Mₙ의 최대 길이 n으로 정의되며, 이는 M의 부분 가군 격자의 길이와 같다. 가군의 길이는 아벨 범주의 대상, 환의 아이디얼, 유한 차원 벡터 공간 등 다양한 수학적 대상에 적용될 수 있으며, 중복도 이론, 소멸 차수 등 다양한 분야에서 활용된다.

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가군의 길이
일반 정보
분야	추상대수학
하위 분야	환론, 가군론
정의
가군의 길이	가군의 부분가군들의 사슬의 최대 길이
성질
유한 생성 가군	뇌터 환 위의 유한 생성 가군은 유한한 길이를 가진다.

2. 정의

부분 순서 집합 $(P,\le)$ 의 '''길이'''는 $P$ 의 부분 집합 가운데 전순서 집합인 것의 크기의 최댓값에서 1을 뺀 값이다. 즉, 다음과 같다.

: $\operatorname{length}P=\sup\left\{n\colon x_0$

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$ 의 '''길이'''는 $M$ 의 부분 가군의 격자 $\operatorname{Sub}(M)$ 의 길이이다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

: $\operatorname{length}M=\operatorname{length}\operatorname{Sub}(M)=\sup\{n\colon 0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_n=M\}\in\mathbb Z^+\cup\{0,\infty\}$

2. 1. 가군의 길이

환

R

위의 (왼쪽 또는 오른쪽) 가군

M

의 길이는 부분 가군들의 사슬

M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n

의 최대 길이

n

으로 정의된다.^[1] 만약 이러한 최대 길이가 존재하지 않으면,

M

은 무한 길이를 갖는다고 한다.

보다 일반적으로, 아벨 범주

\mathcal A

의 대상

M\in\mathcal A

의 길이는

M

의 부분 대상 격자

\operatorname{Sub}(M)

의 길이이다.

환

R

위의 (왼쪽 또는 오른쪽) 가군

M

이 주어졌을 때, 다음과 같은 형태의

M

의 부분 가군들의 사슬을 고려한다.

:

N_0\subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_n

이때 ''n''을 사슬의 ''길이''라고 한다. ''M''의 길이는 그러한 사슬들의 가장 긴 길이이다. 만약 이러한 가장 긴 길이가 존재하지 않으면, ''M''은 ''무한 길이''를 갖는다고 한다.

환

R

이 왼쪽

R

가군으로서 유한한 길이를 가질 때, 환으로서 유한한 길이를 가진다고 한다.

2. 2. 환의 길이

환의 길이는 아이디얼들의 가장 긴 사슬의 길이, 즉

R

을 자체에 대한 왼쪽 곱셈으로 가군으로 간주했을 때의 길이를 말한다. 반면,

R

의 크룰 차원은 소 아이디얼들의 가장 긴 사슬의 길이를 의미한다.

2. 3. 아벨 범주의 길이

아벨 범주

\mathcal A

의 대상

M\in\mathcal A

의 '''길이'''는

M

의 부분 대상 격자

\operatorname{Sub}(M)

의 길이이다.

3. 성질

길이가 0인 가군은 영가군밖에 없다. 길이가 1인 가군은 단순 가군이라고 한다.

가군의 길이가 유한하다는 것은 가군이 아르틴 가군이자 뇌터 가군이라는 것과 동치이다. (홉킨스 정리 참고)^[1]

체 $K$ 에 대한 유한 차원 벡터 공간 $V$ 의 길이는 벡터 공간으로서의 차원과 같다. (무한 차원 벡터 공간의 길이는 무한대이다.) $R$ -가군 $M$ 이 유한 길이를 가지면, 이는 유한 생성된다.^[2] 만약 ''R''이 체이면, 역 또한 성립한다.

가군 ''M''이 유한한 길이를 갖는 것과 아르틴이자 네이터인 것은 동치이다.

''M''이 유한한 길이를 갖고, ''N''이 ''M''의 부분 가군이면, ''N'' 또한 유한한 길이를 가지며, length(''N'') ≤ length(''M'')이 성립한다. 또한, ''N''이 ''M''의 ''진부분'' 가군이면 (즉, ''M''과 같지 않으면), length(''N'') < length(''M'')이다.

가군 ''M''₁과 ''M''₂가 유한한 길이를 가지면, 그들의 직합도 그러하며, 직합의 길이는 ''M''₁과 ''M''₂의 길이의 합과 같다.

3. 1. 짧은 완전열과의 관계

short exact sequence|짧은 완전열^영어

:

0\rarr L \rarr M \rarr N \rarr 0

을 ''R''-가군의 짧은 완전열이라고 하자. 이때 ''M''이 유한한 길이를 갖는 것과 ''L''과 ''N''이 유한한 길이를 갖는 것은 동치이며, 다음이 성립한다.

:length(''M'') = length(''L'') + length(''N'')

3. 2. 조르당-횔더 정리

모듈 ''M''의 조성 연쇄는 다음과 같은 형태의 사슬이다.

:

0=N_0\subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_n=M

이때,

:

N_{i+1}/N_i

는

i=0,\dots,n-1

에 대해 단순하다.

모듈 ''M''이 유한한 길이를 갖는 것은 (유한한) 조성 연쇄를 갖는 것과 동치이며, 이러한 모든 조성 연쇄의 길이는 ''M''의 길이와 같다. 가군 ''M''이 유한한 길이를 갖는 것과 아르틴 가군이자 네이터 가군인 것은 동치이다.

''M''이 유한한 길이를 갖고, ''N''이 ''M''의 부분 가군이면, ''N'' 또한 유한한 길이를 가지며, length(''N'') ≤ length(''M'')이 성립한다. 또한, ''N''이 ''M''의 진부분 가군이면 (즉, ''M''과 같지 않으면), length(''N'') < length(''M'')이다.

가군 ''M''₁과 ''M''₂가 유한한 길이를 가지면, 그들의 직합도 그러하며, 직합의 길이는 ''M''₁과 ''M''₂의 길이의 합과 같다.

:

0\rarr L \rarr M \rarr N \rarr 0

을 ''R''-가군의 짧은 완전열이라고 하자. 이때 ''M''이 유한한 길이를 갖는 것과 ''L''과 ''N''이 유한한 길이를 갖는 것은 동치이며,

:length(''M'') = length(''L'') + length(''N'')

이 성립한다. (이 주장은 앞의 두 가지를 의미한다).

가군 ''M''의 조성열은

:

0=N_0\subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_n=M

의 형태의 사슬이며

:

N_{i+1}/N_i

is simple for

i=0,\dots,n-1

인 것이다. 모든 유한 길이를 갖는 가군 ''M''은 조성열을 가지며, 모든 그러한 조성열의 길이는 ''M''의 길이와 같다.

4. 예시

영 가군은 길이가 0인 유일한 가군이다. 길이 1의 가군은 정확히 단순 가군이다.
모든 유한 차원 벡터 공간에 대해 (기초 체 위의 가군으로 간주하여) 길이와 차원은 일치한다.
순환군 '''Z'''/''n'''''Z'''의 길이는 (정수환 '''Z''' 위의 가군으로 간주하여) ''n''의 중복도까지 포함한 소수 인수의 수와 같다.

4. 1. 유한 차원 벡터 공간

체

K

에 대한 유한 차원 벡터 공간

V

의 길이는 벡터 공간으로서의 차원과 같다. 무한 차원 벡터 공간의 길이는 무한대이다.

모든 유한 차원 벡터 공간

V

는 체

k

위에 유한 길이를 갖는다. 기저

v_1,\ldots,v_n

이 주어지면 다음과 같은 사슬이 존재한다.

:

0 \subset \text{Span}_k(v_1) \subset \text{Span}_k(v_1,v_2) \subset \cdots \subset \text{Span}_k(v_1,\ldots, v_n) = V

이 사슬의 길이는

n

이다. 이 사슬은 최대 사슬인데, 임의의 사슬

:

V_0 \subset \cdots \subset V_m

에 대해 각 포함 관계의 차원은 적어도

1

씩 증가하기 때문이다. 따라서 그 길이와 차원은 일치한다.

4. 2. 아르틴 가군

기저환

R

위의 아르틴 가군은 유한 길이를 갖는다.^[3] 이 예시들은 교차 이론에서 소멸 차수를 정의하는 기본 도구로 사용된다.^[3]

4. 3. 영가군과 단순 가군

길이가 0인 가군은 영가군밖에 없다. 길이가 1인 가군은 단순 가군이다.^[1]

영 가군은 길이가 0인 유일한 가군이다. 길이 1의 가군은 정확히 단순 가군이다.^[1]

4. 4. 순환군

순환군 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$의 길이(정수 '''Z''' 위에서의 가군으로 간주)는 $n$의 소수 인수의 개수와 같으며, 중복된 소수 인수는 여러 번 계산된다. 이는 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$의 부분 가군이 $n$의 양의 약수와 일대일 대응을 이루고, 이 대응이 $\mathbb{Z}$가 주 이상 정역이라는 사실에서 비롯되기 때문이다.^[1]

5. 응용

교차 이론에 따라, 장 피에르 세르는 아르틴 국소환의 길이를 이용하여 점의 중복도에 대한 일반적인 개념을 도입했다.^[1]

이는 교차 중복도의 완전한 정의에 처음 적용되었으며, 특히 n차원 사영 공간에서 n개의 대수적 초곡면 교차점 중복도의 합이 무한대가 아니면, 초곡면 차수의 곱과 '정확히' 같다는 베주 정리를 설명한다.^[1]

이 중복도 정의는 매우 일반적이며, 이전의 대수적 중복도 개념 대부분을 특수한 경우로 포함한다.^[1]

5. 1. 중복도 이론

교차 이론에 따라, 장 피에르 세르는 점과 관련된 아르틴 국소환의 길이로, 점의 중복도에 대한 일반적인 개념을 도입했다.^[1]

첫 번째 적용은 교차 중복도의 완전한 정의였으며, 특히 n차원 사영 공간에서 n개의 대수적 초곡면의 교차점 중복도의 합이 무한대이거나, 초곡면 차수의 곱과 '정확히' 같다는 베주 정리의 진술이었다.^[1]

이 중복도의 정의는 매우 일반적이며, 이전의 대수적 중복도 개념의 대부분을 특수한 경우로 포함한다.^[1]

5. 2. 소멸 차수

대수기하학에서, 대수다양체의 부분다양체에 대한 유리 함수의 소멸 차수는 국소환의 길이를 통해 정의된다. 이는 복소해석학에서 유리형 함수의 영점과 극점의 차수를 일반화한 것이다.

주어진 대수다양체

X

와 코차원이 1인 부분다양체

V

에 대해, 다항식

f \in R(X)

의 소멸 차수는 다음과 같이 정의된다.^[3]^[4]

:

\operatorname{ord}_V(f) = \text{length}_{\mathcal{O}_{V,X}}\left( \frac{\mathcal{O}_{V,X}}{(f)} \right)

여기서

\mathcal{O}_{V,X}

는 부분다양체

V

를 따라

\mathcal{O}_X

의 줄기로 정의된 국소환^[3]^426-227쪽이며,

V

의 일반점에 있는

\mathcal{O}_X

의 줄기와 같다.^[5]^22쪽

X

가 아핀 다양체이고

V

가

V(f)

에 의해 정의된 경우,

\mathcal{O}_{V,X} \cong R(X)_{(f)}

이다.

이 아이디어는 다양체

X

의 유리 함수

F = f/g

로 확장될 수 있으며, 이 때 차수는 다음과 같이 정의된다.^[3]

:

\operatorname{ord}_V(F) := \operatorname{ord}_V(f) - \operatorname{ord}_V(g)

이는 복소해석학에서 0과 극점의 차수를 정의하는 것과 유사하다.

5. 2. 1. 사영 다양체에서의 예시

다항식

h \in k[x_0, x_1, x_2, x_3]

에 의해 정의된 사영 곡면

Z(h) \subset \mathbb{P}^3

을 고려해 보자. 그러면 유리 함수

:

F = \frac{f}{g}

의 소멸 차수는 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname{ord}_{Z(h)}(F) = \operatorname{ord}_{Z(h)}(f) - \operatorname{ord}_{Z(h)}(g)

여기서

:

\operatorname{ord}_{Z(h)}(f) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Z(h),\mathbb{P}^3}}\left( \frac{\mathcal{O}_{Z(h),\mathbb{P}^3}}{(f)} \right)

이다.

예를 들어,

h = x_0^3 + x_1^3 + x_2^3 + x_2^3

이고

f = x^2 + y^2

이며

g = h^2(x_0 + x_1 - x_3)

이면

:

\operatorname{ord}_{Z(h)}(f) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Z(h),\mathbb{P}^3}}\left( \frac{\mathcal{O}_{Z(h),\mathbb{P}^3}}{(x^2 + y^2)} \right) = 0

인데,

x^2 + y^2

는 국소환

\mathcal{O}_{Z(h),\mathbb{P}^3}

에서 단위이기 때문이다. 다른 경우,

x_0 + x_1 - x_3

는 단위이므로 몫 모듈은 다음과 동형이다.

:

\frac{\mathcal{O}_{Z(h), \mathbb{P}^3}}{(h^2)}

따라서 길이는

2

이다. 이는 최대 고유 수열

:

(0) \subset \frac{\mathcal{O}_{Z(h), \mathbb{P}^3}}{(h)} \subset \frac{\mathcal{O}_{Z(h), \mathbb{P}^3}}{(h^2)}

을 사용하여 찾을 수 있다.

5. 2. 2. 해석 함수의 영점과 극점

복소해석학에서 유리형 함수의 영점과 극점의 차수는 바이어슈트라스 인수분해 정리를 통해 가군의 길이로 표현될 수 있다.^[6] 예를 들어, 함수

:

\frac{(z-1)^3(z-2)}{(z-1)(z-4i)}

는

1, 2 \in \mathbb{C}

에서 차수 2와 1의 영점을 가지며,

4i \in \mathbb{C}

에서 차수

1

의 극점을 갖는다. 이러한 정보는 가군의 길이를 사용하여 나타낼 수 있다.

R(X) = \mathbb{C}[z]

및

V = V(z-1)

로 설정하면, 연관된 국소환

\mathcal{O}_{V,X}

는

\mathbb{C}[z]_{(z-1)}

이고 몫 가군은 다음과 같다.

:

\frac{\mathbb{C}[z]_{(z-1)}}{((z-4i)(z-1)^2)}

여기서

z-4i

는 단위원이므로, 이것은 다음 몫 가군과 동형이다.

:

\frac{\mathbb{C}[z]_{(z-1)}}{((z-1)^2)}

그 길이는

2

인데, 부분 가군의 최대 사슬이

:

(0) \subset \frac{\mathbb{C}[z]_{(z-1)}}{((z-1))} \subset {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}

이기 때문이다. 더 일반적으로, 바이어슈트라스 인수분해 정리를 사용하여 유리형 함수는 다음과 같이 인수분해된다.

:

F = \frac{f}{g}

이는 분자와 분모 모두에서 선형 다항식의 (무한할 수 있는) 곱이다.

참조

_[1] 웹사이트 A Term of Commutative Algebra http://www.centerofm[...] 2020-05-22
_[2] 웹사이트 Lemma 10.51.2 (02LZ)—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-05-22
_[3] 서적 Intersection theory https://www.worldcat[...] Springer 1998
_[4] 웹사이트 Section 31.26 (0BE0): Weil divisors—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-05-22
_[5] 서적 Algebraic Geometry http://link.springer[...] Springer New York 1977
_[6] 웹사이트 Section 10.120 (02MB): Orders of vanishing—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-05-22

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