결합 상수

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1. 개요
2. 결합 상수와 양자장론
3. 결합 상수의 흐름과 베타 함수
4. 끈 이론에서의 결합 상수
5. 통일장 이론
6. 한국의 관점: 결합 상수 연구의 중요성과 과제
참조

1. 개요

결합 상수는 양자장론에서 이론의 재규격화 가능성을 결정하는 중요한 요소이다. 결합 상수는 자연 단위계에서 양의 차원을 가지면 초재규격화가능, 무차원이면 재규격화가능, 음의 차원을 가지면 재규격화 불가능하다. 결합 상수가 작으면 약결합, 크면 강결합 상태로 분류되며, 섭동 이론의 적용 가능성을 결정한다. 양-밀스 이론에서 게이지 결합 상수는 게이지장의 세기를 결정하며, 무차원량인 미세 구조 상수와 같은 예시가 있다. 베타 함수는 결합 상수의 에너지 스케일에 따른 변화를 나타내며, QED에서는 란다우 극점, QCD에서는 점근적 자유성과 QCD 스케일과 관련된다. 끈 이론에서 결합 상수는 딜라톤에 의해 결정되며, 통일장 이론에서 세 가지 상호작용의 결합 상수가 고에너지에서 통일될 것으로 예상된다.

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결합 상수
정의
설명	힘의 크기를 나타내는 매개변수
관련 항목
양자장론	양자장론
전자기력	전자기력
약력	약력
강력	강력

2. 결합 상수와 양자장론

양자장론에서 결합 상수는 이론의 재규격화 가능성을 결정한다. 자연 단위계( $c_0=\hbar=1$ )에서 결합 상수의 차원에 따라 다음과 같이 구분된다.^[13]

양의 차원: [질량]^''n'' (''n''>0) 단위를 가지면 초(超)재규격화 가능하다.
무차원: 결합 상수가 무차원이면 재규격화 가능하다.
음의 차원: 결합 상수가 음의 차원을 가지면 재규격화할 수 없다.

예를 들어 중력 상수는 자연 단위계에서 [질량]^-1으로 음의 차원을 가져 일반 상대성 이론은 재규격화할 수 없다.

재규격화군 이론에 따르면 낮은 에너지에서 유효 이론을 계산할 때, 결합 상수가 양의 차원이면 세기가 강해지고, 무차원이면 그대로, 음의 차원이면 약해진다. 따라서 낮은 에너지에서는 재규격화 가능한 현상만 남는다.

양자장론에서 무차원 결합 상수는 특별한 역할을 한다. 미세 구조 상수는 그 예시이다.

:

\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} ,

여기서

e

는 기본 전하,

\varepsilon_0

는 진공 유전율,

\hbar

는 환산 플랑크 상수,

c

는 광속이다. 이는 전자의 전하가 전자기장에 결합하는 세기의 제곱에 비례한다.

장론에서 짧은 시간에 생성 소멸하는 가상 입자는 불확정성 원리

:

\Delta E\Delta t\ge\hbar

에 의해 짧은 시간 간격

\Delta t

동안

\Delta E

정도의 에너지 보존 법칙 위반이 허용되어 가능한 모든 상호작용을 일으킨다. 이러한 양자 효과로 계산 중 무한대가 나타나며, 재규격화를 통해 여러 매개변수를 재정의하여 무한대를 제거한다. 재규격화 전의 결합 상수를 '''벌거벗은 결합 상수'''(bare coupling constant^영어)라고 한다.

양자 전기역학에서의 재규격화. 좌측 그림은 벌거벗은 상태이며, 실제로는 우측 그림과 같이 많은 진공 편극이 포함되어 있다.

재규격화된 결합 상수는 재규격화점이나 컷오프와 같은 임의의 에너지 스케일에 따라 변동한다. 상호 작용이 일어나는 에너지 영역(입자의 운동량 등)이 변화하면 결합 상수가 변화한다. 이러한 에너지 스케일에 의존하여 변화하는 결합 상수를 '''유효 결합 상수'''(effective coupling constant^영어), 또는 '''러닝 결합 상수'''(running coupling constant^영어)라고 부르며, 재규격화군에 의해 기술된다.

장의 양자론에서 에너지 스케일 변화에 따른 결합 상수 값의 변화를 나타내는 '''베타 함수'''는 다음과 같이 정의된다.

:

\beta(g)=\mu\,\frac{\partial g}{\partial\mu}=\frac{\partial g}{\partial\ln\mu}

여기서,

\mu

는 에너지 스케일,

g

는 결합 상수이다.

베타 함수가 0이면 이론은 스케일 불변성을 갖는다. 그러나 고전적 장론이 스케일 불변성을 갖더라도, 대응하는 장의 양자론의 결합 상수는 변동할 수 있다. 이때 0이 아닌 베타 함수는 고전적인 스케일 불변성이 공형 이상임을 의미한다.

베타 함수가 양수이면 에너지 스케일 증가에 따라 결합 상수가 증가한다. 양자전기역학(QED)이 그 예시이며, QED의 베타 함수는 섭동론에 의해 항상 양수이다. 낮은 에너지 스케일(원거리 영역)에서 미세 구조 상수는

\alpha \asymp \frac{1}{137}

이지만, 약 90 GeV의 질량 스케일을 가진 Z 보손에서는

\alpha \asymp \frac{1}{127}

이다.

고에너지 스케일(근거리 영역)에서는 에너지 스케일이 커질수록 결합이 강해진다. 어떤 유한한 에너지에서 QED 결합 상수는 무한대가 되는데, 이 현상은 레프 란다우가 처음 지적했으며 란다우 극이라고 불린다. 그러나 고에너지 스케일에서 섭동론에 의한 베타 함수는 정확하지 않을 수 있으며, 란다우 극은 섭동론 적용 불가 영역에 섭동론을 적용했기 때문에 생긴 인위적인 결과로 여겨진다. 고에너지 스케일에서의 결합 상수 거동은 비섭동적 방법이 필요하다.

비가환 게이지 이론에서는 베타 함수가 음수일 수 있다. 양자 색역학(QCD)의 베타 함수는 특정 조건에서 항상 음수이며, 에너지 스케일 증가에 따라 결합 상수가 감소한다.

고에너지 스케일(근거리 영역)에서 QCD 결합 상수는 로그 함수적으로 감소한다. 이 약결합 영역 현상은 점근적 자유성으로 알려져 있으며, 고에너지 스케일에서 결합 상수는 섭동적 근사로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이론의 에너지 스케일을

Q

라고 하면

:

\alpha_s(Q^2)\equiv\frac{g_s^2(Q^2)}{4\pi}\approx\frac1{\beta_0\ln(Q^2/\Lambda^2)}

단,

:

\beta_0=\frac{33-2n_f}{6\pi}

이며,

n_f

는 쿼크의 맛의 수,

\Lambda

는 QCD 스케일이다.

에너지 스케일 감소에 따라 결합 상수는 증가한다. 이는 저에너지 스케일(원거리 영역)에서 QCD 결합이 강해짐을 의미하며, 쿼크의 가둠을 시사하지만, 이 영역에서의 결합 상수 거동은 섭동론으로 분석할 수 없고 비섭동적 방법이 필요하다.

2. 1. 기본 상호작용과 결합 상수

결합 상수는 양자장론에서 자연스럽게 나타난다. 상대론적 양자 이론에서는 무차원량인 결합 상수가 특별한 역할을 한다. 이러한 무차원 상수의 예로 미세 구조 상수가 있다. 미세 구조 상수는 전자의 전하가 전자기장에 결합하는 세기의 제곱에 비례한다.

비가환 게이지 이론에서 게이지 결합 상수

g

는 라그랑지안에 특정 형태로 나타난다. 이는 기본 전하의 무차원 버전과 유사하게 정의된다.

예를 들어, 한쪽 끝이 벽에 고정된 용수철에 연결된 물체의 경우, 용수철 상수는 물체와 벽의 상호작용 강도를 나타내는 결합 상수이다. 용수철 상수가 0이면 물체는 자유롭게 운동하고, 무한대이면 물체는 벽에 고정되어 움직일 수 없다.

전자기 상호 작용의 결합 상수인 미세 구조 상수는 다음과 같은 무차원 값을 가진다.^[10]^[11]

:

\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}=7.297\,352\,5664(17)\times10^{-3}=\frac1{137.035\,999\,139(31)}

여기서,

e

는 전하량,

\varepsilon_0

는 진공 유전율,

\hbar

는 디랙 상수,

c

는 광속이다.

약한 상호 작용과 관련된 결합 상수인 페르미 결합 상수는 다음과 같이 표현된다.^[12]

:

\frac{G_\text{F}}{(\hbar c)^3}=\frac{\sqrt{2}}{8}\frac{g^{2}}{m_\text{W}^{2}}=1.166\ 378\ 7(6)\times10^{-5}\ \mbox{GeV}^{-2}

여기서,

g

는 약한 상호 작용의 게이지 결합 상수,

m_W

는 W 보손의 질량이다.

좁은 의미에서, 기본 상호 작용의 결합 상수는 자연 단위계를 채택하고, 게이지 결합 상수를

g

로 하여 다음과 같이 정의되는 무차원량을 가리킨다.

:

\alpha\equiv\frac{g^2}{4\pi}

결합 상수는 기본 상호 작용뿐만 아니라, 유카와 상호 작용과 같은 라그랑지안 밀도 안의 상호 작용 항의 강도를 나타내는 계수로도 나타난다.

2. 2. 게이지 결합 상수

비가환 게이지 이론에서 '''게이지 결합 상수'''(

g

)는 게이지장의 세기를 결정하는 변수이다. 이는 라그랑지안에 다음과 같이 나타난다.

:

\frac1{4g^2}{\rm Tr}\,G_{\mu\nu}G^{\mu\nu},

여기서 '''G'''는 게이지 장 텐서이다. (특정 표기법) 다른 표기법에서는 '''G'''가 재조정되어 운동 항의 계수가 1/4가 되고,

g

가 공변 미분에 나타난다. 이는 다음과 같이 정의된 기본 전하의 무차원 버전과 유사하다고 이해할 수 있다.

:

\frac{e}{\sqrt{\varepsilon_0\hbar c}} = \sqrt{4\pi\alpha} \approx 0.30282212 \   ~~.

예를 들어, 양-밀스 이론에서 양-밀스 항(게이지장의 운동 항 + 게이지장의 자기 상호작용 항)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

\mathcal{L}_{YM}=-\frac1{4}F_{\mu\nu}^a(F^{\mu\nu})^a=-\frac1{4}\operatorname{Tr}(F_{\mu \nu}F^{\mu\nu})

여기서

F_{\mu\nu}^a

는 게이지장 텐서이며, 대응하는 게이지장을

A_\mu^a

, 군의 구조 상수를

f^{abc}

라고 하면 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

F_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c

여기에 나타난 상수

g

가 이론의 게이지 결합 상수이다.^[1] 그 외에도

g

는 공변 미분 안에 나타나며,^[1]

:

D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu^aT^a

결과적으로 게이지장과 다른 장과의 상호작용 항의 세기를 나타낸다.^[1]

2. 3. 결합 상수의 차원과 재규격화

양자장론에서 결합 상수는 이론의 재규격화 가능성을 결정한다. 자연 단위계(

c_0=\hbar=1

)에서 결합 상수의 차원에 따라 다음과 같이 구분된다.^[13]

양의 차원: [질량]^''n'' (''n''>0) 단위를 가지면 이론은 초(超, super-)재규격화 가능하다.
무차원: 결합 상수가 무차원이면 이론은 재규격화 가능하다.
음의 차원: 결합 상수가 음의 차원을 가지면 이론은 재규격화할 수 없다.

예를 들어, 중력 상수는 국제단위계에서 N·(m/kg)² 단위를 가지는데, 자연 단위계에서는 [질량]⁻¹으로 음의 차원을 가지므로 일반 상대성 이론은 재규격화할 수 없다.

재규격화군 이론에 따르면, 낮은 에너지에서의 유효 이론을 계산할 때 결합 상수의 차원에 따라 상호작용의 세기가 변한다.

양의 차원: 세기가 점점 강해진다.
무차원: 세기가 일정하게 유지된다.
음의 차원: 세기가 점점 약해진다.

따라서 낮은 에너지에서는 재규격화 가능한 상호작용만 남게 된다.

양자장론에서는 무차원량인 결합 상수가 중요한 역할을 한다. 미세 구조 상수는 무차원 상수의 예시이다.

:

\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} ,

여기서

e

는 기본 전하,

\varepsilon_0

는 진공 유전율,

\hbar

는 환산 플랑크 상수,

c

는 광속이다. 이 상수는 전자의 전하가 전자기장에 결합하는 세기의 제곱에 비례한다.

결합 상수 ''g''의 크기에 따라 이론의 특성이 달라진다.

약한 결합: ''g''가 1보다 훨씬 작으면 섭동 이론으로 잘 설명된다.
강한 결합: ''g''가 1 이상이면 비섭동적 방법을 사용해야 한다. 강한 상호작용의 핵자 이론이 그 예시이다.

양자장론에서 결합 상수의 차원은 이론의 재규격화 가능성과 섭동 이론 적용 가능성에 영향을 미친다.^[1] QED, QCD, 약한 상호작용과 같이 자연 단위계에서 무차원인 경우 이론은 재규격화 가능하며, 섭동 전개의 모든 항은 유한하다. 그러나 중력(

[G_N]=\text{energy}^{-2}

), 페르미 이론(

[G_F]=\text{energy}^{-2}

), 강력의 키랄 섭동 이론(

[F]=\text{energy}

)과 같이 차원이 있는 경우, 이론은 일반적으로 재규격화되지 않는다. 섭동 전개는 제한적으로 가능할 수 있지만,^[2]^[3] 고차 항은 무한대가 될 수 있다.

장론에서 짧은 시간에 생성, 소멸하는 가상 입자는 불확정성 원리에 의해 에너지 보존 법칙을 위반할 수 있다.

:

\Delta E\Delta t\ge\hbar

이러한 양자 효과로 인해 계산 중 무한대가 나타나며, 이를 제거하기 위해 재규격화를 통해 여러 매개변수를 재정의한다. 재규격화 전의 결합 상수를 '''벌거벗은 결합 상수'''(bare coupling constant^영어)라고 한다.

재규격화된 결합 상수는 재규격화점이나 컷오프와 같은 에너지 스케일에 따라 변동한다. 에너지 영역이 변하면 결합 상수도 변하는데, 이를 '''유효 결합 상수'''(effective coupling constant^영어) 또는 '''러닝 결합 상수'''(running coupling constant^영어)라고 한다. 이러한 이론은 재규격화군으로 기술된다.

3. 결합 상수의 흐름과 베타 함수

장의 양자론에서 에너지 척도의 변화에 따라 결합 상수의 값이 변화할 때, '''베타 함수'''는 다음과 같이 정의된다.

: $\beta(g)=\mu\,\frac{\partial g}{\partial\mu}=\frac{\partial g}{\partial\ln\mu}$

여기서 μ는 에너지 척도, g는 결합 상수이다.

베타 함수가 0일 때, 해당 이론은 척도 불변성을 갖는다. 그러나 어떤 고전적 장론이 척도 불변성을 갖더라도, 이에 대응하는 장의 양자론의 결합 상수가 변동할 수 있다. 이 경우, 0이 아닌 베타 함수는 고전적인 척도 불변성이 이상 현상임을 의미한다.

베타 함수가 양수이면 에너지 척도가 증가함에 따라 결합 상수도 증가한다. 양자전기역학(QED)이 그 예시이며, 섭동론을 통해 베타 함수가 항상 양수임을 알 수 있다. 특히 낮은 에너지 척도(원거리 영역)에서 미세 구조 상수는 $\alpha \approx \frac{1}{137}$ 이지만, 약 90 GeV의 Z 보손 질량 척도에서는 $\alpha \approx \frac{1}{127}$ 이다.

고에너지 척도(근거리 영역)에서는 에너지 척도가 커짐에 따라 결합이 강해진다. 실제로, 어떤 유한한 에너지에서 QED의 결합 상수는 무한대가 된다. 이 현상은 레프 란다우가 처음 지적했으며, 란다우 극점이라고 불린다. 그러나 고에너지 척도에서 섭동론에 의한 베타 함수는 섭동론이 적용될 수 없는 영역에 적용되었기 때문에 생긴 인위적인 결과라고 생각된다. 따라서 비섭동적인 방법이 필요하다.

비가환 게이지 이론에서는 베타 함수가 음수일 수 있다. 양자 색역학(QCD)이 그 예시로, 특정 조건을 만족하면 베타 함수가 항상 음수이며, 에너지 척도가 증가하면 결합 상수는 감소한다.

고에너지 척도(근거리 영역)에서 QCD의 결합 상수는 로그 함수적으로 감소한다. 이 현상은 점근적 자유성으로 알려져 있으며, 섭동적인 근사로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\alpha_s(Q^2)\equiv\frac{g_s^2(Q^2)}{4\pi}\approx\frac1{\beta_0\ln(Q^2/\Lambda^2)}$

여기서 $\beta_0=\frac{33-2n_f}{6\pi}$ 이며, $n_f$ 는 쿼크의 맛의 수, $\Lambda$ 는 QCD 척도이다.

반대로 에너지 척도가 감소하면 결합 상수는 증가한다. 이는 저에너지 척도(원거리 영역)에서 QCD 결합이 강해짐을 의미하며, 쿼크 가둠을 시사한다. 그러나 이 영역에서는 섭동론으로 결합 상수의 거동을 분석할 수 없으므로, 비섭동적인 방법이 필요하다.

3. 1. 유효 결합 상수

짧은 시간 또는 거리에서 사용되는 탐침의 파장 또는 운동량 '''k'''를 변경하여 양자장론을 탐구할 수 있다. 고주파(즉, 짧은 시간) 탐침을 사용하면 모든 과정에 참여하는 가상 입자를 볼 수 있다. 이러한 명백한 에너지 보존 위반은 다음과 같은 불확정성 원리를 검토하여 휴리스틱하게 이해할 수 있다.

:

\Delta E\Delta t \ge \frac{\hbar}{2},

이는 실제로 짧은 시간 동안 그러한 위반을 허용한다.

앞서 언급한 내용은 양자장론의 일부 공식, 특히 상호작용 그림에서의 정준 양자화에만 적용된다.

다른 공식에서는 동일한 현상이 질량 껍질에서 벗어나는 "가상" 입자에 의해 설명된다. 이러한 과정은 결합 상수를 재규격화하여 결합 상수가 결합을 탐구하는 에너지 척도인 ''μ''에 따라 달라지도록 만든다. 결합 ''g''(''μ'')의 에너지 척도에 대한 의존성을 "결합 상수의 흐름"이라고 한다.^[4] 결합 상수의 흐름 이론은 재규격화군에 의해 주어지지만, 재규격화군은 물리적 시스템의 모든 종류의 척도 변화를 설명하는 더 일반적인 개념임을 명심해야 한다.

재규격화군은 결합 상수의 흐름을 유도하는 형식을 제공하지만, 이러한 흐름의 근본적인 현상은 직관적으로 이해할 수 있다.^[4] 서론에서 설명한 바와 같이, 결합 ''상수''는

1/r^2

으로 거리에 따라 변하는 힘의 크기를 설정한다.

1/r^2

의존성은 처음에는 패러데이에 의해 힘 플럭스의 감소로 설명되었다. 힘을 생성하는 물체 ''A''에서

r

만큼 떨어진 지점 ''B''에서, 이 힘은 선 ''AB''에 수직인 미소 표면 ''S''를 통과하는 장 플럭스에 비례한다. 플럭스가 공간을 통해 균일하게 퍼짐에 따라, 표면 ''S''를 지탱하는 입체각에 따라 감소한다. 양자장론의 현대적 관점에서,

1/r^2

는 힘 전달자의 전파자의 위치 공간에서의 표현에서 나온다. 전자기학 또는 중력 또는 짧은 거리에서의 핵력과 같이 상대적으로 약하게 상호 작용하는 물체의 경우, 단일 힘 전달자의 교환은 물체 간의 상호 작용에 대한 좋은 첫 번째 근사치이며, 고전적으로 상호 작용은

1/r^2

법칙을 따른다(힘 전달자가 질량이 있는 경우, 추가적인

r

의존성이 있다). 상호 작용이 더 강렬하거나(예: 전하 또는 질량이 더 크거나

r

이 더 작음) 더 짧은 시간 동안 발생할 때(더 작은

r

), 더 많은 힘 전달자가 관여하거나 입자 쌍이 생성되어 그림 1과 같이

1/r^2

동작이 붕괴된다. 고전적인 등가물은 장 플럭스가 더 이상 공간에서 자유롭게 전파되지 않고, 예를 들어 추가 가상 입자의 전하로부터 차폐되거나 이러한 가상 입자 간의 상호 작용을 겪는다는 것이다. 이 추가

r

의존성에서 첫 번째 차수

1/r^2

법칙을 분리하는 것이 편리하다. 후자는 결합에 포함되어 계산되며, 이로 인해

1/r

에 의존하게 된다(또는 동등하게 ''μ''에 의존). 단일 힘 전달자 근사치를 넘어 관련된 추가 입자는 항상 가상, 즉 일시적인 양자장 변동이므로, 결합 상수의 흐름이 진정한 양자 및 상대론적 현상, 즉 힘의 세기에 대한 고차 파인만 도표의 효과인 이유를 이해할 수 있다.

흐르는 결합은 효과적으로 미세한 양자 효과를 설명하므로, 종종 라그랑지안 또는 해밀토니안에 존재하는 ''베어 결합 (상수)''과 대조적으로 ''유효 결합''이라고 불린다.

장론에서 짧은 시간에 생성 소멸하는 가상 입자는 가능한 모든 상호 작용을 일으킨다. 이는 불확정성 원리

:

\Delta E\Delta t\ge\hbar

에 의해 짧은 시간 간격에서는 정도의 에너지 보존 법칙 위반이 허용되기 때문이다. 이러한 양자 효과로 인해 계산 중에 무한대가 나타나며, 이를 상쇄하기 위해 질량이나 전하와 같은 여러 매개변수를 재정의하여 무한대를 제거하는 조작이 재규격화이다. 재규격화에 의해 결합 상수가 재규격화될 때, 라그랑지안 밀도에 포함된 재규격화되기 전의 원래의 결합 상수를 '''벌거벗은 결합 상수'''(bare coupling constant^영어)라고 부른다.

재규격화된 결합 상수는 재규격화점이나 컷오프와 같은 임의의 에너지 스케일에 따라 변동한다. 이로 인해, 상호 작용이 일어나는 에너지 영역(입자의 운동량 등)이 변화하면, 이에 따라 결합 상수가 변화한다. 이러한 에너지 스케일에 의존하여 변화하는 결합 상수를 '''유효 결합 상수'''(effective coupling constant^영어), 또는 '''러닝 결합 상수'''(running coupling constant^영어)라고 부른다. 이러한 이론은 재규격화군에 의해 기술된다.

3. 2. 베타 함수

양자장론에서 '''베타 함수'''($\beta(g)$)는 결합 상수 $g$의 변화를 나타낸다. 이는 다음 관계식으로 정의된다.

:$\beta(g) = \mu\frac{\partial g}{\partial \mu} = \frac{\partial g}{\partial \ln \mu}$

여기서 $\mu$는 주어진 물리적 과정의 에너지 척도이다. 양자장론의 베타 함수가 사라지면, 해당 이론은 척도 불변성을 가진다.

대응하는 고전 장 이론이 척도 불변인 경우에도 양자장론의 결합 상수는 흐를 수 있다. 이 경우, 0이 아닌 베타 함수는 고전적 척도 불변성이 이상 현상임을 알려준다.

베타 함수가 양수라면, 해당하는 결합 상수는 에너지 증가에 따라 증가한다. 한 예로 양자 전기역학(QED)이 있으며, 섭동 이론 (양자역학)을 통해 베타 함수가 양수임을 알 수 있다. 특히 낮은 에너지에서는 $\alpha \approx 1/137$인데, 약 90 GeV의 Z 보손 스케일에서는 $\alpha \approx 1/127$로 측정된다.^[1]

또한, 섭동 베타 함수는 결합 상수가 계속 증가하여 QED가 고에너지에서 "강하게 결합"됨을 보여준다. 실제로 결합 상수는 어떤 유한한 에너지에서 무한대가 되는 것으로 보인다. 이 현상은 레프 란다우가 처음 언급했으며, 란다우 극점이라고 부른다. 그러나 강한 결합에서 섭동 베타 함수가 정확한 결과를 제공할 것으로 기대하기는 어려우며, 란다우 극점은 더 이상 유효하지 않은 상황에서 섭동 이론을 적용한 결과일 가능성이 높다. 높은 에너지에서 $\alpha$의 실제 스케일링 동작은 알려져 있지 않다.^[1]

3. 3. QED와 란다우 극점

베타 함수가 양수일 때, 해당하는 결합 상수는 에너지 증가에 따라 함께 증가한다. 양자 전기역학(QED)은 섭동 이론 (양자역학)을 통해 베타 함수가 양수임을 확인할 수 있는 대표적인 예시이다. 특히 낮은 에너지에서는 ''α'' ≈ 1/137로 나타나지만, 약 90 GeV의 Z 보손 스케일에서는 ''α'' ≈ 1/127로 측정된다.

섭동 베타 함수는 결합 상수가 지속적으로 증가하여 QED가 고에너지에서 강하게 결합됨을 시사한다. 실제로 결합 상수는 특정 유한한 에너지에서 무한대로 발산하는 경향을 보인다. 이러한 현상은 레프 란다우가 처음 발견하여 란다우 극점으로 불린다. 그러나 강한 결합 상태에서는 섭동 베타 함수의 정확성을 담보하기 어렵다. 따라서 란다우 극점은 유효하지 않은 조건에서 섭동 이론을 적용한 결과일 가능성이 제기된다. 높은 에너지에서 <math>\alpha</math>의 실제 변화 양상은 아직 명확히 밝혀지지 않았다.

3. 4. QCD와 점근적 자유성

프랭크 윌첵, 데이비드 폴리처, 데이비드 그로스가 처음 발견한 것처럼, 비가환 게이지 이론에서 베타 함수는 음수가 될 수 있다. 양자 색역학(QCD)의 베타 함수가 그 예시이며, 결과적으로 QCD 결합 상수는 고에너지에서 감소한다.^[4]

또한, 결합 상수는 로그적으로 감소하며, 이는 점근적 자유성으로 알려진 현상이다.(이 발견은 2004년 노벨 물리학상을 수상했다.) 결합 상수는 다음과 같이 근사적으로 감소한다.

:

\alpha_\text{s}(k^2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{g_\text{s}^2(k^2)}{4\pi} \approx \frac1{\beta_0\ln\left({k^2}/{\Lambda^2}\right)},

여기서

k

는 관련된 과정의 에너지이고, ''β''₀는 윌첵, 그로스, 폴리처에 의해 처음 계산된 상수이다.

반대로, 에너지가 감소함에 따라 결합 상수는 증가한다. 이는 결합 상수가 저에너지에서 커진다는 것을 의미하며, 더 이상 섭동 이론에 의존할 수 없다. 따라서, 결합 상수의 실제 값은 주어진 에너지 규모에서만 정의된다. QCD에서 일반적으로 Z 보존 질량 규모가 선택되며, 이는 강한 결합 상수의 값 α_s(M_Z² ) = 0.1179 ± 0.0010을 제공한다.^[5] 2023년 Atlas는 0.1183 ± 0.0009를 측정했으며, 이는 지금까지 가장 정확한 값이다.^[6]^[7] 가장 정확한 측정은 격자 QCD 계산, 타우 렙톤 붕괴 연구, 그리고 Z 보존의 횡 운동량 스펙트럼의 재해석을 통해 얻어졌다.^[8]

3. 4. 1. QCD 스케일

양자 색역학(QCD)에서 Λ는 '''QCD 규모'''라고 불린다. 세 개의 "활성" 쿼크 맛깔(위 쿼크, 아래 쿼크, 기묘 쿼크)만 생성되고 더 무거운 쿼크는 생성될 수 없는 경우, 즉 에너지-운동량이 1.275 GeV 미만일 때 이 값은 다음과 같다.

:

\Lambda_{\rm MS} = 332\pm17\text{ MeV}

^[4]

더 높은 에너지에서는 Λ가 더 작아진다. 예를 들어 약 5 GeV의 바닥 쿼크 질량 이상에서는 다음과 같다.

:

\Lambda_{\rm MS} = 210\pm14

MeV^[9]

최소 뺄셈 (MS) 방식 규모 Λ_MS의 의미는 차원 변환 문서에 나와 있다. 양성자 대 전자 질량비는 주로 QCD 규모에 의해 결정된다.

강한 상호작용의 결합 상수의 에너지 스케일 의존성을 고찰하면, QCD는 에너지 스케일을 특정 값까지 낮추면 결합 상수가 무한대로 발산하는 이론임을 알 수 있다. 이때의 에너지 스케일을 '''QCD 스케일'''이라고 하며, QCD에 섭동론을 적용할 수 있는 것은 에너지 스케일이 QCD 스케일보다 충분히 큰 영역이다. 이 값은 이론으로 결정되지 않으며, 실험적으로 얻어진 결합 상수 등으로부터 산출된다. 2009년 시점에서 강한 상호작용의 결합 상수와 이에 대응하는 QCD 스케일은 다음과 같은 값을 갖는 것으로 알려져 있다.

:

\alpha_s=0.1184\pm0.0007

:

\Lambda_{QCD}=213\pm9\ \mbox{MeV}

4. 끈 이론에서의 결합 상수

끈 이론에는 딜라톤이 포함되어 있어 매우 다른 상황이 존재한다. 끈 스펙트럼 분석 결과 이 장은 보존 끈 또는 NS-NS 부분의 초끈 이론에 존재해야 한다. 꼭짓점 연산자를 사용하면 이 장을 여기시키는 것이 스칼라장이 리치 스칼라에 결합하는 항을 작용에 추가하는 것과 동일하다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 장은 결합 상수의 전체 함수 가치를 지닌다. 이러한 결합 상수는 미리 결정되거나, 조정 가능하거나, 보편적인 매개변수가 아니며, 동적으로 결정되는 방식으로 공간과 시간에 따라 달라진다. 끈 결합이 고정된 것처럼 묘사하는 출처는 일반적으로 진공 기댓값을 언급한다. 이 값은 초전위가 없는 보존 이론에서 임의의 값을 가질 수 있다.^[1]

끈 이론 및 초끈 이론에서의 결합 상수는 장의 양자론에서의 그것과는 완전히 다른 성질을 지닌다. 각 섭동 끈 이론의 기술은 끈의 결합 상수에 의존한다. 그러나 끈 이론의 경우, 결합 상수는 미리 결정된 상수값이 아니라 시공간의 위치에 의존하는 역학적 스칼라장(딜라톤)에 의해 결정된다.^[2]

5. 통일장 이론

상호작용이 일어날 때 에너지 스케일이 커지면, 이에 따라 강한 상호작용은 점차 약해지고, 한편 전자기 상호작용은 점차 강해진다. 이 사실에서 예상할 수 있듯이, 각 상호작용의 결합 상수는 현재 관측할 수 있는 저에너지 영역에서는 다르지만, 고에너지 영역의 어느 한 지점에서 동일한 값이 될 것으로 기대된다. 이때의 에너지 스케일은 10¹⁶ GeV라고 한다. 이처럼 중력을 제외한 3가지 상호작용을 모두 통일하려는 시도가 대통일 이론이다.

6. 한국의 관점: 결합 상수 연구의 중요성과 과제

결합 상수는 화학, 생물학, 약학 등 다양한 분야에서 분자 간 상호작용을 이해하는 데 필수적인 개념이다. 한국에서도 결합 상수 연구는 신약 개발, 질병 진단, 새로운 소재 개발 등 다양한 응용 분야에서 중요한 역할을 하고 있다.

한국의 결합 상수 연구는 전통적인 화학, 생화학 분야뿐만 아니라, 최근에는 나노 기술, 바이오 기술과의 융합을 통해 새로운 지평을 열고 있다. 특히, 한국의 연구진들은 단백질-리간드 상호작용, 핵산-단백질 상호작용, 세포-세포 상호작용 등 복잡한 생체 시스템에서 결합 상수를 측정하고 분석하는 기술 개발에 주력하고 있다.

결합 상수 연구는 다음과 같은 중요성을 가진다.

신약 개발: 결합 상수는 약물 후보 물질과 표적 단백질 간의 결합력을 나타내는 지표로, 효과적인 신약 개발에 필수적이다. 한국의 제약 회사와 연구 기관들은 결합 상수 연구를 통해 약효를 극대화하고 부작용을 최소화하는 신약 개발에 힘쓰고 있다.
질병 진단: 특정 질병과 관련된 바이오마커와 진단 시약 간의 결합 상수를 측정하면 질병의 조기 진단이 가능하다. 한국의 바이오 기업들은 결합 상수 측정 기술을 활용하여 다양한 질병을 신속하고 정확하게 진단할 수 있는 기술을 개발하고 있다.
새로운 소재 개발: 결합 상수는 나노 입자와 생체 분자 간의 상호작용, 고분자 재료의 결합 특성 등을 이해하는 데 중요한 정보를 제공한다. 한국의 화학, 재료 공학 연구진들은 결합 상수 연구를 통해 새로운 기능성 소재 개발에 기여하고 있다.

하지만 한국의 결합 상수 연구는 다음과 같은 과제를 안고 있다.

측정 기술의 한계: 복잡한 생체 시스템에서 결합 상수를 정확하게 측정하는 것은 여전히 어려운 과제이다. 한국의 연구진들은 새로운 측정 기술 개발과 기존 기술의 개선을 통해 이러한 한계를 극복하고자 노력하고 있다.
데이터베이스 부족: 다양한 분자 간 상호작용에 대한 결합 상수 데이터베이스가 부족하여 연구에 어려움을 겪고 있다. 한국에서는 결합 상수 데이터베이스 구축을 위한 노력이 필요하다.
전문 인력 양성: 결합 상수 연구는 전문적인 지식과 기술을 요구하는 분야로, 체계적인 교육 시스템을 통해 전문 인력을 양성해야 한다.

결합 상수 연구는 한국의 과학 기술 발전에 중요한 역할을 할 수 있는 잠재력을 가지고 있다. 앞으로 지속적인 투자와 연구를 통해 한국이 결합 상수 연구 분야에서 세계적인 경쟁력을 확보할 수 있기를 기대한다.

참조

_[1] 서적 Quantum field theory in a nutshell Princeton University Press 2010
_[2] 논문 Chiral perturbation theory
_[3] 서적 Effective Theories: Proceedings of the Advanced School, Almunecar, Spain, 26 June – 1 July 1995 World Scientific 1995
_[4] 논문 The QCD running coupling
_[5] 논문 Review of Particle Physics – Chapter 9. Quantum Chromodynamics https://pdg.lbl.gov/[...] 2020-08-14
_[6] arXiv A precise determination of the strong-coupling constant from the recoil of Z bosons with the ATLAS experiment at √''s'' = 8 TeV 2023
_[7] 웹사이트 ATLAS measures strength of the strong force with record precision https://home.cern/ne[...] 2023-10-11
_[8] 논문 Determination of the strong-coupling constant from the Z-boson transverse-momentum distribution 2024
_[9] 논문 Review of Particle Physics – Chapter 9. Quantum chromodynamics https://pdg.lbl.gov/[...] 2016-10
_[10] 문서 CODATA Value
_[11] 문서 CODATA Value
_[12] 문서 Particle Data Group
_[13] 웹사이트 http://isites.harvar[...]

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