근 (수학)

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1. 개요
2. 방정식의 해
3. 다항식의 근
- 3.1. 다항식 근의 성질
- 3.2. 대수학의 기본 정리
4. 근의 공식
- 4.1. 이차 방정식의 근의 공식
5. 근의 계산
6. 영점 집합
- 6.1. 응용
7. 어원
참조

1. 개요

근(Root)은 방정식을 만족시키는 미지수의 값 또는 함수의 영점을 의미하며, 대수학, 해석학, 기하학 등 다양한 수학 분야에서 중요한 개념으로 사용된다. 방정식의 해는 함수 f(x) = 0을 만족하는 x값으로, 함수의 영점 연구와 동일하다. 다항식의 근은 다항식을 0으로 만드는 값으로, 다항식의 차수에 따라 근의 개수와 종류가 결정되며, 모든 홀수 차수 실수 계수 다항식은 적어도 하나의 실근을 갖는다. 근의 공식은 1차부터 4차까지의 다항방정식의 근을 사칙 연산과 제곱근으로 표현한 것이며, 5차 이상은 아벨-루피니 정리에 의해 일반적인 대수적 근의 공식이 존재하지 않는다. 또한, 영점 집합은 함수 f(x)의 값이 0이 되는 모든 x들의 집합을 의미하며, 대수기하학에서 대수다양체를 정의하는 데 사용된다.

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근 (수학)
정의
설명	어떤 함수의 값이 0이 되는 입력값
수학적 정의
함수 f의 영점	f(x) = 0을 만족하는 x의 값
다항식의 영점	다항식을 0으로 만드는 값
근과의 관계	방정식 f(x) = 0의 근은 함수 f의 영점과 동일
예시
삼각함수 cos(x)	x = (n + 1/2)π (n은 정수)
다항식의 영점
다항식 p(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)	영점은 1, 3, 5
성질
대수학의 기본 정리	복소수 계수를 가지는 n차 다항식은 복소수 범위 내에서 n개의 근(영점)을 가짐 (중복된 근 포함)
다항식의 인수 정리	다항식 f(x)에 대해 f(a) = 0 이면, (x - a)는 f(x)의 인수
활용
방정식 해 구하기	함수의 영점을 찾음으로써 방정식의 해를 구할 수 있음
그래프 그리기	함수의 영점은 그래프가 x축과 만나는 점
관련 개념
x절편	그래프가 x축과 만나는 점 (영점을 시각적으로 표현)
해	방정식의 해는 함수의 영점과 같음

2. 방정식의 해

모든 방정식은 미지수 $x$ 에 대해 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $f(x)=0$

좌변의 모든 항을 재정렬하여 얻는다. 따라서 이러한 방정식의 해는 함수 $f$ 의 영점과 정확히 일치한다. 즉, "함수의 영점"은 정확히 "함수를 0으로 만드는 방정식을 풀어서 얻은 해"이며, 함수의 영점 연구는 방정식의 해 연구와 정확히 같다.

어떤 방정식이 $0x = 0$ 의 꼴로 나타내어지면 근의 개수가 무한해지므로 이 경우를 '''부정'''(不定)이라고 한다. 반대로, 방정식이 $0x = a$ ''(a≠0)''의 꼴로 나타내어진다면 근이 존재하지 않게 되므로 이 경우를 '''불능'''(不能)이라고 한다.

모든 홀수차 실수 계수 다항식들은 적어도 하나의 실수인 근을 가진다. 짝수차 다항식의 경우 반드시 실수인 근을 가지는 것은 아니지만, 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 ''n''차 다항식은 중근을 포함해서 ''n''개의 복소수 근을 가진다. 실수 계수 다항식의 근이 실수가 아닌 경우 그 켤레복소수 또한 그 다항식의 근이다.

3. 다항식의 근

대수학의 기본 정리에 따르면 모든 ''n''차 다항식은 중근을 포함해서 ''n''개의 복소수 근을 가진다. 방정식이 $0x = 0$ 꼴이면 근이 무한히 많아지므로 이 경우를 '''부정'''(不定)이라고 한다. 반대로 방정식이 $0x = a$ ''(a≠0)'' 꼴이면 근이 존재하지 않게 되므로 이 경우를 '''불능'''(不能)이라고 한다.^[4]

3. 1. 다항식 근의 성질

홀수차 실수 계수 다항식은 적어도 하나의 실수인 근을 가진다. 짝수차 다항식은 반드시 실수인 근을 가지는 것은 아니지만, 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 ''n''차 다항식은 중근을 포함해서 ''n''개의 복소수 근을 가진다. 실수 계수 다항식의 근이 실수가 아닌 경우 그 켤레복소수 또한 그 다항식의 근이다.^[2]

홀수 차수의 모든 실수 다항식은 (중복도를 고려하여) 홀수 개의 실근을 갖는다. 마찬가지로, 짝수 차수의 실수 다항식은 짝수 개의 실근을 가진다. 따라서 실수 홀수 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야 하지만(가장 작은 홀수 정수가 1이기 때문), 짝수 다항식은 근이 없을 수도 있다. 이 원리는 중간값 정리를 참조하여 증명할 수 있다. 다항식 함수는 연속 함수이므로 함수 값은 음에서 양으로 또는 그 반대로 변하는 과정에서 0을 통과해야 한다 (이는 항상 홀수 함수에서 발생한다).

대수학의 기본 정리는

n

차 다항식은 중복도를 포함하여

n

개의 복소수 근을 갖는다고 명시한다. 실수 계수를 갖는 다항식의 허근은 켤레쌍으로 나타난다.^[2] 비에타의 공식은 다항식의 계수와 근의 합과 곱 사이의 관계를 나타낸다.

3. 2. 대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리에 따르면 모든 ''n''차 다항식은 중복도를 포함하여 ''n''개의 복소수 근을 가진다. 실수 계수를 갖는 다항식의 허근은 켤레쌍으로 나타난다.^[2] 비에타의 공식은 다항식의 계수와 근의 합과 곱 사이의 관계를 나타낸다.

4. 근의 공식

1차부터 4차까지의 다항방정식은 사칙 연산과 제곱근만 쓰는 일반화된 식으로 근을 표현할 수 있는데, 이를 '''근의 공식'''이라 한다. 이차 방정식의 근의 공식은 대표적인 예시이다. 5차 이상의 다항방정식은 아벨-루피니 정리에 의해 일반적인 대수적 근의 공식이 존재하지 않음이 알려져 있다. 다만, 타원함수 등의 초월함수를 이용하면 5차 이상의 방정식도 근의 공식을 만들 수 있다.^[1]

함수의 근, 예를 들어 다항 함수의 근을 계산하려면 특수한 또는 근사 기법(예: 뉴턴 방법)을 사용하는 경우가 많다. 그러나 4차 이하의 차수를 가진 모든 다항식을 포함한 일부 다항식 함수는 모든 근을 계수를 사용하여 대수 함수로 나타낼 수 있다(자세한 내용은 대수적 해법 참조).^[1]

4. 1. 이차 방정식의 근의 공식

이차 방정식의 근의 공식

\textstyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

은 대표적인 근의 공식이다.

5. 근의 계산

함수의 근, 예를 들어 다항 함수의 근을 계산하려면 특수한 또는 근사 기법(예: 뉴턴 방법)을 사용하는 경우가 많다.^[1] 그러나 4차 이하의 차수를 가진 모든 다항식을 포함한 일부 다항식 함수는 모든 근을 계수를 사용하여 대수 함수로 나타낼 수 있다(자세한 내용은 대수적 해법 참조).^[1]

6. 영점 집합

수학에서 '''영점 집합'''은 함수의 값이 0이 되는 모든 정의역 원소들의 집합이다. 즉, 함수 $f:X\to\mathbb{R}$ 가 실수값을 가지는 함수이거나, 덧셈 군의 값을 갖는 함수라면, 그 영점 집합은 $f^{-1}(0)$ 이다. 이는 $X$ 에서 $\{0\}$ 의 역상과 같다.

함수 $f$ 의 레벨 집합은 $c$ 가 $f$ 의 공역에 있는 어떤 원소일 때, 함수 $f-c$ 의 영점 집합으로 정의된다.

선형 사상의 영점 집합은 커널이라고도 불린다.

함수 $f:X\to\mathbb{R}$ 의 '''비영점 집합'''은 $f$ 의 영점 집합의 여집합이다. 다시 말해, $f$ 가 0이 아닌 $X$ 의 부분 집합을 의미한다.

모든 방정식은 미지수 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 과 같이 다시 쓸 수 있다. 좌변의 모든 항을 재정렬하면 위와 같이 표현 가능하다. 이 방정식의 해는 함수 $f$ 의 영점과 정확히 일치한다. 따라서 "함수의 영점"은 "함수를 0으로 만드는 방정식을 풀어서 얻은 해"와 같으며, 함수의 영점을 연구하는 것은 방정식의 해를 연구하는 것과 동일하다.

6. 1. 응용

대수기하학에서 대수다양체는 영점을 통해 정의된다. 구체적으로, 아핀 대수 집합은 다항식환

k\left[x_1,\ldots,x_n\right]

에서 여러 다항식의 영점의 교집합이다. 이 맥락에서 영점은 때때로 "영 궤적"이라고 불린다.

해석학 및 기하학에서

\mathbb{R}^n

의 모든 닫힌 집합은

\mathbb{R}^n

전체에서 정의된 매끄러운 함수의 영점이다. 이는 파라콤팩트의 결과로 모든 매끄러운 다양체로 확장된다.

미분기하학에서 영점은 다양체를 정의하는 데 자주 사용된다. 중요한 특별한 경우는

f

가

\mathbb{R}^p

에서

\mathbb{R}^n

로의 매끄러운 함수인 경우이다. 만약 0이

f

의 정칙값이면,

f

의 영점은 정칙값 정리에 의해 차원

m=p-n

의 매끄러운 다양체이다.

7. 어원

페르시아의 수학자 콰리즈미(783~850)의 《The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing|약분·소거 계산론^영어》에는 ‘근본’, ‘기반’, ‘뿌리’ 등을 뜻하는 아랍어 단어인 ‘자드르(جذر^ar)’가 여러 용도로 쓰인다. ‘자드르(جذر^ar)’는 단위면적을 부르는 말로도 쓰였는데, 예를 들어 특정한 조건을 만족하는 널판지의 단위면적을 구하는 문제는 방정식의 근을 구하는 문제로 치환할 수 있다. 중세 유럽인들이 이 책을 라틴어로 번역하면서 ‘자드르(جذر^ar)’를 ‘뿌리’라는 뜻의 단어 ‘라딕스(radix^la)’로 번역했다.^[6]

참조

_[1] 웹사이트 Algebra - Zeroes/Roots of Polynomials http://tutorial.math[...] 2019-12-15
_[2] 서적 Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition https://archive.org/[...] Prentice Hall
_[3] 웹사이트 Roots and zeros (Algebra 2, Polynomial functions) https://www.mathplan[...] 2019-12-15
_[4] 서적 Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition http://www.amazon.co[...] Prentice Hall
_[5] 서적 An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach 학산미디어 2013
_[6] 간행물 On the Origin of the Term "Root." Second Article https://www.jstor.or[...] 1928-02

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