근 판정법
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2. 정의
Root test영어 은 오귀스탱 루이 코시 가 처음 개발하여 그의 교재 해석학 강의(1821)에 발표한 급수 의 수렴 판정법이다.\sum_{n=0}^{\infty}a_n (a_n\ge0\forall n\ge0 )가 주어졌을 때,C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\in[0,\infty]
C<1 이면, 급수는 수렴한다.C>1 이면, 급수는 발산한다.C=1 이면, 급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다.극한 \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\in[0,\infty] 절대 수렴 의 개념을 사용하여 적으면 다음과 같다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자.\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} \mathbb K -바나흐 공간 (V,\lVert\rVert) V 항의 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n (a_n\in V )C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lVert a_n\rVert}\in[0,\infty] V=\mathbb K 라면, 노름은 절댓값 이며, \lVert a_n\rVert 는 |a_n| 이다.)만약 C<1 이라면, 급수는 절대 수렴 한다. 만약 C>1 이라면, 급수는 발산한다. 만약 C=1 이라면, 급수가 절대 수렴할 수도, 조건 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다. 근 판정법의 의사 결정 다이어그램
3. 증명
급수 Σ''a''''n'' 의 수렴에 대한 증명은 비교 판정법 의 응용이다.자연수 )에 대해 \sqrt[n]
\le k < 1이면, |a_n| \le k^n < 1 이다. 등비 급수 \sum_{n=N}^\infty k^n 가 수렴하므로, 비교 판정법에 의해 \sum_{n=N}^\infty |a_n| 도 수렴한다. 따라서 Σ''a''''n'' 은 절대 수렴한다.\sqrt[n] > 1이면, ''a''''n'' 은 0으로 수렴하지 않으므로, 급수는 발산한다.''n'' = Σ''c''''n'' (''z'' − ''p'')''n'' 에 대해, 위에서 언급한 바와 같이, 만약 모든 ''n'' ≥ ''N''에 대해 다음을 만족하는 ''N''이 존재하면 급수는 수렴한다.\sqrt[n] = \sqrt[n] < 1,\sqrt[n]\cdot|z - p| < 1|z - p| < 1/\sqrt[n]을 만족해야 함을 의미한다. 이는|z - p| < 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]},R \le 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]}.이다. 이제 수렴이 가능한 유일한 다른 경우는\sqrt[n] = \sqrt[n] = 1,R = 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]}.\sqrt[-n]{a_n}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}\ln a_n} 이므로 다음을 얻는다.\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}\ln a_n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}. \ln a_n=-n\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}\right). 테일러 전개 를 우변에 적용하면 다음과 같다. \ln a_n=-1-\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}-\frac{\rho_n}{\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}+O\left(\frac{1}{n}\right). a_n=\begin{cases}\mathrm{e}^{-1+O(1/n)}\frac{1}{(n\prod_{k=1}^{K-2}\ln_{(k)}n)\ln^{\rho_n}_{(K-1)}n}, &K\geq2,\\
4. 비 판정법과의 관계
근 판정법은 비 판정법 보다 강한 명제이다. 즉, 어떤 급수의 수렴 여부를 비 판정법을 통해 알 수 있다면, 근 판정법을 통해서도 알 수 있다. 이는 임의의 음이 아닌 실수의 수열 (a_n)_{n=0}^\infty (a_n\ge0\forall n\ge0 )에 대하여, 다음 부등식이 성립하기 때문이다.\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
5. 예
급수\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{\lfloor n/2 \rfloor}} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cdots \lfloor \rfloor 는 바닥 함수이다. 근 판정법을 사용하면, 항상 a_{2n} = a_{2n+1} 이므로,\begin{align} 비 판정법 , 라베 판정법, 베르트랑 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{\lfloor n/2 \rfloor}}= 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \ldots r= \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]
= \limsup_{n\to\infty}\sqrt[2n] = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[2n]=\frac{1}{\sqrt{2}}<1.n 이 짝수이면 a_{n+1}/a_n = 1 이고, n 이 홀수이면 a_{n+1}/a_n = 1/2 이므로, 극한 \lim_{n\to\infty} |a_{n+1}/a_n| 은 존재하지 않기 때문이다.
6. 근 판정법의 확장
root test|근 판정법영어 의 확장은 다음과 같다.\mathbb K 가 실수 체 R|la 이나 복소수 체 C|la 이고, (V,\lVert\rVert) 가 \mathbb K -바나흐 공간 일 때, V 항의 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n (a_n\in V )에 대하여,C=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lVert a_n\rVert}\in[0,\infty] V=\mathbb K 라면, 노름은 절댓값 이며, \lVert a_n\rVert 는 |a_n| 이다.) 근 판정법에 따르면,
만약 C<1 이라면, 급수는 절대 수렴 한다. 만약 C>1 이라면, 급수는 발산한다. 만약 C=1 이라면, 급수가 절대 수렴할 수도, 조건 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 멱급수 f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n ''n'' 과 중심 ''p''는 복소수이며, 변수 ''z''는 복소 변수이다. 이 급수의 수렴반경 ''R''은 코시-아다마르 정리 에 의해1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]}\sum_{n=1}^\infty a_n 의 수렴/발산 판정법은 다음과 같다.K\geq1 을 정수로 놓고, \ln_{(K)}(x) 를 자연 로그 의 K 번째 반복 함수 라고 하자. 즉, \ln_{(1)}(x)=\ln (x) 이며, 2\leq k\leq K 에 대해\ln_{(k)}(x)=\ln_{(k-1)}(\ln (x)) 이다.n 이 클 때, \sqrt[-n]{a_n} 이 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다고 가정한다.\sqrt[-n]{a_n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}. \liminf_{n\to\infty}\rho_n>1 이면 급수는 수렴한다.\limsup_{n\to\infty}\rho_n<1 이면 급수는 발산한다.그렇지 않으면, 판정법은 결론을 내릴 수 없다.
7. 역사
프랑스 의 수학자 오귀스탱 루이 코시 가 처음 고안하였다. 근 판정법은 코시에 의해 처음 개발되었으며, 그는 자신의 교재 해석학 강의(1821)에서 이를 발표했다.
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