근축

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 근축
- 2.2. 근심
3. 성질
4. 작도
5. 고차원의 경우
- 5.1. 근초평면
6. 추가 정보 (영어 문서 기반)
- 6.1. 쌍극 좌표와의 관계
- 6.2. 삼선 좌표에서의 근심
참조

1. 개요

근축은 평면 기하학에서 서로 다른 두 원에 대해 정의되는 직선으로, 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 자취이다. 두 원의 중심을 잇는 직선에 수직이며, 두 원이 교차할 경우 교점을 지나는 할선이 되고, 접할 경우에는 공통 접선이 된다. 세 원의 근축은 공통점을 가지며, 이 점을 근심이라고 한다. 근축은 점원과 허원에도 적용되며, 고차원 공간에서는 근초평면으로 일반화된다.

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근축
정의
설명	두 원에 대해 각 원과의 접선 길이가 같은 점들의 자취이다.
성질
위치 관계	두 원의 중심을 연결하는 직선에 수직이다.
교점	두 원이 서로 교차할 경우, 근축은 두 원의 공통현을 포함하는 직선이다.
접점	두 원이 서로 접할 경우, 근축은 두 원의 공통접선이다.
중심 연결선	두 원의 중심을 연결한 선과 근축은 수직으로 만난다.
세 원	세 원의 근축은 한 점에서 만나거나 평행하다. 이 점을 근심이라고 한다.
수학적 정의
원의 방정식	두 원의 방정식 , c}}이 주어졌을 때, 에서 각 원에 이르는 접선 길이가 같도록 하는 점 의 자취이다.
중심과 반지름	두 원의 중심 , M}}과 반지름 , r}}이 주어졌을 때, 근축은 다음과 같이 정의된다.
프랑스어	(이상적인 현)
독일어	, , (동일 멱의 선)

2. 정의

평면 위에서, 중심이 서로 다른 두 점인 두 원의 방정식은 각각

: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$

: $x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'=0$

으로 표현된다. 이때, 각 원에 대한 점 $(x,y)$ 의 방멱은 각 방정식의 좌변에 이 점을 대입한 결과와 같다. 따라서, 두 원에 대한 방멱이 같은 점의 자취의 방정식은

: $2(a'-a)x+2(b'-b)y-(c'-c)=0$

이다. 이는 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선이다. 이 직선을 두 원의 '''근축'''이라고 한다.^[25]

한 중심이 다른 중심에 무한히 가까워질 때, 근축은 두 원이 놓인 평면 위의 무한원 직선에 수렴한다. 따라서 서로 다른 두 동심원의 근축은 무한원 직선으로 정의된다.^[25]^[24] 즉, 근축은 사영 직선으로서 모든 서로 다른 두 원에 대하여 정의되지만, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.^[25]

위 정의는 점원과 허원인 경우에도 적용된다. 즉, 반지름의 제곱이 0이거나 음수이더라도 근축은 정의된다.

그림 2. 주어진 3개의 원에 직교하는 원(주황색 원)의 중심을 근심(주황색 점)이라고 한다.

평면 위에서, 중심이 공선점이 아닌 세 점

O,O',O''

인 세 원

C,C',C''

을 생각하자. 세 쌍의 원의 근축

l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}

은 각각 삼각형을 이루는 중심선

OO',O'O'',OO''

의 수선이므로, 서로 평행하지 않고, 임의의 두 근축은 유일한 교점을 갖는다. 또한 근축

l_{C,C'},l_{C',C''}

의 교점

P

는

C,C',C''

에 대하여 같은 방멱을 가지므로, 근축

l_{C,C''}

위의 점이다. 따라서 세 근축

l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}

은 공점선을 이룬다. 이들의 공통점

P

를 세 원

C,C',C''

의 '''근심'''이라고 한다.

세 원의 중심

O,O',O''

이 공선점이고, 세 쌍의 원의 근축

l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}

가운데 적어도 한 쌍이 서로 다르면, 이들은 모두 직선

OO'O''

의 수선이므로 서로 평행하다. 즉, 세 근축은 이들 직선의 방향에 대한 무한원점에서 만나는데, 이 경우 이 무한원점을 세 원

C,C',C''

의 근심으로 삼을 수 있다. 특히, 세 원 가운데 둘이 동심원일 경우,

l_{C,C'}

은 무한원 직선이고

l_{C',C''},l_{C,C''}

은 평행하므로, 마찬가지로 이 무한원점을 세 원

C,C',C''

의 근심으로 삼을 수 있다. 즉, 근심은 사영 평면 위의 점으로서 동축원이 아닌 모든 세 원에 대하여 정의된다.

위와 같은 정의는

C,C',C''

가운데 적어도 하나가 점원이나 허원인 경우에도 적용된다.

2. 1. 근축

평면 위에서, 중심이 서로 다른 두 점인 두 원의 방정식은 각각

:

x^2+y^2-2ax-2by+c=0

:

x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'=0

으로 표현된다. 이때, 각 원에 대한 점

(x,y)

의 방멱은 각 방정식의 좌변에 이 점을 대입한 결과와 같다. 따라서, 두 원에 대한 방멱이 같은 점의 자취의 방정식은

:

2(a'-a)x+2(b'-b)y-(c'-c)=0

이다. 이는 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선이다. 이 직선을 두 원의 '''근축'''이라고 한다.^[25]

한 중심이 다른 중심에 무한히 가까워질 때, 근축은 두 원이 놓인 평면 위의 무한원 직선에 수렴한다. 따라서 서로 다른 두 동심원의 근축은 무한원 직선으로 정의된다.^[25]^[24] 즉, 근축은 사영 직선으로서 모든 서로 다른 두 원에 대하여 정의되지만, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.^[25]

근축의 정의는 점원과 허원인 경우에도 적용된다. 즉, 반지름의 제곱이 0이거나 음수이더라도 근축은 정의된다.

점

P,M_1,M_2

의 위치 벡터를 각각

\vec x,\vec m_1,\vec m_2

라고 하면, 근축의 정의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

(\vec x-\vec m_1)^2-r_1^2=(\vec x-\vec m_2)^2-r_2^2 \quad \leftrightarrow\quad 2\vec x\cdot(\vec m_2-\vec m_1)+\vec m_1^2-\vec m_2^2+r_2^2-r_1^2=0

위 방정식에서 근축은 직선이며, 원 중심을 지나는 선에 수직임을 알 수 있다. (

\vec m_2-\vec m_1

은 근축의 법선 벡터이다.)

방정식을

2|\vec m_2-\vec m_1|

로 나누면 헤세 표준형을 얻는다. 중심의 위치 벡터를 대입하면 근축까지의 중심 거리가 나온다.

:

d_1 = \frac{d^2+{r_1}^2-{r_2}^2}{2d}\ ,\qquad d_2 = \frac{d^2+{r_2}^2-{r_1}^2}{2d}

,

:여기서

d = |M_1 M_2|=|\vec m_2-\vec m_1|

. (

d_i

는

L

이

M_1,M_2

사이에 있지 않으면 음수가 될 수 있다.)

두 원이 두 점에서 교차하면 근축은 그 교점을 지나는 할선이 된다.^[25] 서로 접하는 경우, 근축은 공통 접선이다.^[24]

그림 4. 근축의 위치를 계산으로 구한다. ''L''을 '''J'''와 '''K'''의 거리로 한다. ''x''₁과 ''x''₂를 '''K'''와 '''B''' 및 '''K'''와 '''V'''의 거리로 한다. 또한, ''d''₁과 ''d''₂는 '''J'''와 '''B''' 및 '''J'''와 '''V'''의 거리로 한다.

근축(빨간 선)은 두 원의 중심 '''B'''와 '''V'''를 지나는 직선(파란 선)에 수직이며, 교점 '''K'''는 '''B'''와 '''V''' 사이에 있다. ''x''₁과 ''x''₂는 '''K'''에서 '''B'''와 '''V'''까지의 거리이고, ''D''는 '''B'''와 '''V'''의 거리이다.

근축 위의 점 '''J'''에서 '''B'''와 '''V'''까지의 거리를 ''d''₁, ''d''₂, 두 원의 반지름을 ''r''₁, ''r''₂라고 하면, 방멱의 정리에 의해 다음과 같은 식이 성립한다.

:

d_{1}^{2} - r_{1}^{2} = d_{2}^{2} - r_{2}^{2}

피타고라스 정리를 이용하여 ''d''₁과 ''d''₂를 ''x''₁, ''x''₂ 및 '''J'''와 '''K'''의 거리 ''L''로 바꾸면 다음과 같이 된다.

:

L^{2} + x_{1}^{2}  - r_{1}^{2} = L^{2} + x_{2}^{2}  - r_{2}^{2}

''L''²을 소거하고 정리하면,

:

x_{1}^{2}  - x_{2}^{2} = r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}

양변을 ''D'' = ''x''₁+''x''₂로 나누고, ''x''₁+''x''₂ = ''D''를 더하면 ''x''₁과 ''x''₂를 구하는 식을 얻을 수 있다.

:

2x_{1} = D + \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D}

:

2x_{2} = D - \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D}

2. 2. 근심

평면 위에서, 중심이 공선점이 아닌 세 점

O,O',O''

인 세 원

C,C',C''

을 생각하자. 세 쌍의 원의 근축

l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}

은 각각 삼각형을 이루는 중심선

OO',O'O'',OO''

의 수선이므로, 서로 평행하지 않고, 임의의 두 근축은 유일한 교점을 갖는다. 또한 근축

l_{C,C'},l_{C',C''}

의 교점

P

는

C,C',C''

에 대하여 같은 방멱을 가지므로, 근축

l_{C,C''}

위의 점이다. 따라서 세 근축

l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}

은 공점선을 이룬다. 이들의 공통점

P

를 세 원

C,C',C''

의 '''근심'''이라고 한다.

R

을 중심으로 하는 두 원의 직교원은 세 번째 원과도 직교한다(''근원'').

세 원의 중심

O,O',O''

이 공선점이고, 세 쌍의 원의 근축

l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}

가운데 적어도 한 쌍이 서로 다르면, 이들은 모두 직선

OO'O''

의 수선이므로 서로 평행하다. 즉, 세 근축은 이들 직선의 방향에 대한 무한원점에서 만나는데, 이 경우 이 무한원점을 세 원

C,C',C''

의 근심으로 삼을 수 있다. 특히, 세 원 가운데 둘이 동심원일 경우,

l_{C,C'}

은 무한원 직선이고

l_{C',C''},l_{C,C''}

은 평행하므로, 마찬가지로 이 무한원점을 세 원

C,C',C''

의 근심으로 삼을 수 있다. 즉, 근심은 사영 평면 위의 점으로서 동축원이 아닌 모든 세 원에 대하여 정의된다.

이러한 정의는

C,C',C''

가운데 적어도 하나가 점원이나 허원인 경우에도 적용된다.

어떤 두 원도 동심원이 아닌 세 개의 원 '''A''', '''B''', '''C'''가 있을때, '''근축 정리'''는 세 쌍의 원의 근축이 한 점에서 만나거나 모두 평행하다는 정리이다.^[14] '''A'''와 '''B'''의 근축 상의 점에서 두 원에 그은 접선의 길이는 같고(' ''a'' = ''b'' '), '''B'''와 '''C'''의 근축 상의 점에서도 마찬가지 관계가 성립한다. 따라서 이 두 직선의 교점에서는 ''a'' = ''b'' = ''c''가 성립한다. 이 교점을 '''r'''이라고 하면 ''a'' = ''c''가 성립하므로 '''A'''와 '''C'''의 근축도 '''r'''을 통과한다. '''r'''을 '''근심'''(radical center)이라고 부른다.^[15]

근심을 중심으로 하여 세 원에 직교하는 원('''근원'''^[16], radical circle)이 존재한다. 세 개의 근축의 교점이기 때문에 어떤 두 원에 대해서도 직교하는 원의 반지름이 같아지기 때문이다.

3. 성질

동심원이 아닌 두 원의 근축은 두 원의 중심선의 수선이다.

두 원 $C,C'$ 이 서로 다른 두 점 $P,Q$ 에서 만날 경우, $C,C'$ 의 근축은 공통 할선 $PQ$ 이다.
두 원 $C,C'$ 이 점 $T$ 에서 접할 경우, $C,C'$ 의 근축은 $T$ 를 지나는 공통 접선이다.

점

P,M_1,M_2

의 위치 벡터를 각각

\vec x,\vec m_1,\vec m_2

라고 하면, 근축의 정의 방정식은 다음과 같다.

:

(\vec x-\vec m_1)^2-r_1^2=(\vec x-\vec m_2)^2-r_2^2 \quad \leftrightarrow \quad 2\vec x\cdot(\vec m_2-\vec m_1)+\vec m_1^2-\vec m_2^2+r_2^2-r_1^2=0

위 방정식에서 다음을 얻는다.

근축의 점 집합은 직선이며, 원 중심을 지나는 선에 수직이다. ( $\vec m_2-\vec m_1$ 은 근축의 법선 벡터이다.)

방정식을

2|\vec m_2-\vec m_1|

로 나누면 헤세 표준형을 얻는다. 중심의 위치 벡터를 대입하면 근축까지의 중심 거리가 나온다.

:

d_1 = \frac{d^2+{r_1}^2-{r_2}^2}{2d}\ ,\qquad d_2 = \frac{d^2+{r_2}^2-{r_1}^2}{2d}

:여기서

d = |M_1 M_2|=|\vec m_2-\vec m_1|

. (

d_i

는

L

이

M_1,M_2

사이에 있지 않으면 음수가 될 수 있다.)

두 원이 두 점에서 교차하면 근축은 공통점을 통과한다. 서로 접하기만 하면 근축은 공통 접선이다.

두 개의 교차하는 원의 근축은 공통 할선이다.
두 개의 접하는 원의 근축은 공통 접선이다.
두 개의 ''비'' 교차하는 원의 근축은 두 개의 적절한 등멱원의 공통 할선이다. ('''직교원''' 참조)

그림 4에 따르면, 근축(빨간 선)은 두 원의 중심 '''B'''와 '''V'''를 지나는 직선(파란 선)에 수직이다. 두 선의 교점 '''K'''는 '''B'''와 '''V''' 사이에 있다. ''x''₁과 ''x''₂는 '''K'''에서 '''B'''와 '''V'''까지의 거리이므로 ''x''₁+''x''₂=''D''로 두면 ''D''는 '''B'''와 '''V'''의 거리가 된다.

근축 위에 '''J'''를 잡고 '''B'''와 '''V'''까지의 거리를 ''d''₁, ''d''₂라고 하면, 방멱의 정리에 의해 다음과 같은 식이 성립한다.

:

d_{1}^{2} - r_{1}^{2} = d_{2}^{2} - r_{2}^{2}

여기서 ''r''₁과 ''r''₂는 두 원의 반지름이다. 피타고라스 정리를 이용하여 ''d''₁과 ''d''₂를 ''x''₁, ''x''₂ 및 '''J'''와 '''K'''의 거리 ''L''로 바꾸면 다음과 같이 된다.

:

L^{2} + x_{1}^{2}  - r_{1}^{2} = L^{2} + x_{2}^{2}  - r_{2}^{2}

양변에 있는 ''L''²을 소거하고 정리한다.

:

x_{1}^{2}  - x_{2}^{2} = r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}

양변을 ''D'' = ''x''₁+''x''₂로 나눈다.

:

x_{1}  - x_{2} = \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D}

양변에 ''x''₁+''x''₂ = ''D''를 더하면 ''x''₁을 구하는 식이 만들어진다.

:

2x_{1} = D + \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D}

마찬가지로 ''x''₂의 식도 만들 수 있다.

:

2x_{2} = D - \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D}

3. 1. 원의 중심과의 거리

중심이

O,O'

이고 반지름이

r,r'

인 동심원이 아닌 두 원

C,C'

의 중심

O,O'

과 근축

l

사이의 거리는 다음과 같다.^[24]

:

d(O,l)=\frac

:

d(O',l)=\frac

그림 4에 따르면, 근축(빨간 선)은 두 원의 중심 '''B'''와 '''V'''를 지나는 직선(파란 선)에 수직이다. 두 선의 교점 '''K'''는 '''B'''와 '''V''' 사이에 있다. ''x''₁과 ''x''₂는 '''K'''에서 '''B'''와 '''V'''까지의 거리이므로 ''x''₁+''x''₂=''D''로 두면 ''D''는 '''B'''와 '''V'''의 거리가 된다.

근축 위의 점 '''J'''에서 두 원의 중심 '''B'''와 '''V'''까지의 거리를 ''d''₁, ''d''₂라고 하고, 방멱의 정리를 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

d_{1}^{2} - r_{1}^{2} = d_{2}^{2} - r_{2}^{2}

여기서 ''r''₁과 ''r''₂는 두 원의 반지름이다. 피타고라스 정리를 이용하여 ''d''₁과 ''d''₂를 ''x''₁, ''x''₂ 및 '''J'''와 '''K'''의 거리 ''L''로 나타내면 다음과 같다.

:

L^{2} + x_{1}^{2}  - r_{1}^{2} = L^{2} + x_{2}^{2}  - r_{2}^{2}

양변의 ''L''²을 소거하고 정리하면 다음과 같다.

:

x_{1}^{2}  - x_{2}^{2} = r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}

양변을 ''D'' = ''x''₁+''x''₂로 나누면 다음과 같다.

:

x_{1}  - x_{2} = \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D}

양변에 ''x''₁+''x''₂ = ''D''를 더하면 ''x''₁을 구하는 식을 얻을 수 있다.

:

2x_{1} = D + \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D}

마찬가지로 ''x''₂의 식도 유도할 수 있다.

:

2x_{2} = D - \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D}

3. 2. 직교원과의 관계

동심원이 아닌 두 원

C,C'

의 공통 직교원의 중심은

C,C'

의 근축 위에 있다.^[24] 원

C

의 직교원의 중심이 두 원

C,C'

의 근축 위의 점이라면, 이는

C'

의 직교원이다. 점

P

가 동심원이 아닌 두 원

C,C'

의 근축 위에 있고,

C,C'

의 외부점이라면, 중심이

P

인

C,C'

의 공통 직교원은 유일하게 존재한다. 점

P

가 동심원이 아닌 두 원

C,C'

의 근축 위에 있고,

C,C'

의 내부점이라면, 중심이

P

이고

C

와의 공통 할선과

C'

와의 공통 할선을 두 지름으로 갖는 원은 유일하게 존재한다.

원

c_i

외부의 점

P

와 두 접점

S_i,T_i

에 대해,

|PS_i|^2=|PT_i|^2=\Pi_i(P)

가 성립하며,

S_i,T_i

는 중심이

P

이고 반지름이

\sqrt{\Pi_i(P)}

인 원

c_o

위에 있다. 원

c_o

는

c_i

와 직교하여 교차한다. 만약

P

가 근축 위의 점이라면, 네 점

S_1,T_1, S_2,T_2

는 주어진 원

c_1,c_2

와 직교하여 교차하는 원

c_o

위에 놓인다. 근축은 주어진 원과 직교하여 교차하는 모든 원 중심으로 구성된다.

중심이 공선점이 아닌 세 원

C,C',C''

의 근심이

C,C',C''

의 외부점이라면,

C,C',C''

의 공통 직교원은 유일하게 존재하며, 이 원의 중심은

C,C',C''

의 근심이다.^[24] 중심이 공선점이 아닌 세 원

C,C',C''

의 근심이

C,C',C''

의 내부점이라면,

C

와의 공통 할선과

C'

와의 공통 할선 그리고

C''

와의 공통 할선을 세 지름으로 갖는 원은 유일하게 존재하며, 이 원의 중심은

C,C',C''

의 근심이다.^[24]

3. 3. 동축원 다발

평면 위에서 서로 다른 두 점

(a,b),(a',b')

을 중심으로 갖는 두 원

C,C'

의 방정식이

:

x^2+y^2-2ax-2by+c=0

:

x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'=0

이고,

C,C

의 근축이

l

이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원

C''

에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$C''=C$ 이거나, $C''$ 와 $C$ 의 근축은 $l$ 이다.
$C''=C'$ 이거나, $C''$ 와 $C'$ 의 근축은 $l$ 이다.
$C''$ 는 $C$ 와 $C'$ 으로 생성되는 동축원 다발의 원소이다. 즉, $C''$ 는 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는다.

:

\lambda(x^2+y^2-2ax-2by+c)+\lambda'(x^2+y^2-2a'x-2b'y+c')=0

:여기서

\lambda,\lambda'

은 실수이며,

\lambda^2+{\lambda'}^2\ne 0

과

\lambda+\lambda'\ne 0

을 만족시킨다.

'동축원 다발'이라는 이름은 이러한 사실 때문이다. 동축원 다발 속의 원의 중심들은 공선점이다. 동심원이 아닌 두 원

C,C'

으로 생성된 동축원 다발을

\mathcal C

라고 하면,

\mathcal C

속의 임의의 서로 다른 두 원

C'',C'''\in\mathcal C

에 대하여,

C'',C'''

으로 생성되는 동축원 다발 역시

\mathcal C

이다.

주어진 두 원과 직교하는 원의 묶음을 구성하는 방법은 직교하는 두 원의 시스템을 구성하는 것으로 확장할 수 있다.^[5]^[6]

c_1,c_2

를 서로 떨어져 있는 두 원이라고 하고,

M_1,M_2,r_1,r_2

를 각각의 중심과 반지름,

g_{12}

를 두 원의 근축이라고 하자. 선

\overline{M_1M_2}

위에 중심이 있고

c_1

과 함께 선

g_{12}

를 근축으로 갖는 모든 원은 다음과 같이 결정될 것이다. 중심

M_1

에서 거리

\delta

만큼 떨어져 있고 반지름이

\rho_2

인 원

\gamma_2

가 있다면, 다음 방정식을 얻는다.

:

d_1=\frac{\delta^2+r_1^2-\rho_2^2}{2\delta} \quad

, 여기서

d_1>r_1

은 고정.

\delta_2=\delta-d_1

로 이 방정식을 다시 쓰면

:

\delta_2^2=d_1^2-r_1^2+\rho_2^2

.

만약 반지름

\rho_2

가 주어진다면, 이 방정식으로부터 새로운 중심의 (고정된) 근축까지의 거리

\delta_2

를 찾을 수 있다. 그림에서 새로운 원의 색상은 보라색이다. 모든 녹색 원(그림 참조)은 중심이 근축 위에 있으며 원

c_1,c_2

와 직교하므로 모든 새로운 원(보라색)과도 직교한다. (빨간색) 근축을 y축으로, 선

\overline{M_1M_2}

를 x축으로 선택하면, 두 원 묶음은 다음 방정식을 갖는다.

:보라색:

\ \ \ (x-\delta_2)^2+y^2=\delta_2^2+r_1^2-d_1^2

:녹색:

\  x^2+(y-y_g)^2=y_g^2+d_1^2-r_1^2\ .

:(

\; (0,y_g)

는 녹색 원의 중심.)

'''속성:'''

'''a)''' 두 녹색 원은 x축 위의 점 $P_{1/2}=\big(\pm\sqrt{d_1^2-r_1^2},0\big)$ 에서 교차하며, 이는 원의 직교 시스템의 "극"이다. 즉, x축은 녹색 원의 근선이다.
'''b)''' 보라색 원은 공통된 점이 없다. 그러나 실제 평면을 복소평면의 일부로 간주하면, 두 보라색 원은 y축(공통 근축) 위의 점 $Q_{1/2}=\big(0,\pm i \sqrt{d_1^2-r_1^2}\big)$ 에서 교차한다.

'''특수한 경우:'''

'''a)''' $d_1=r_1$ 인 경우 녹색 원은 원점에서 서로 접하며 x축은 공통 접선이 되고 보라색 원은 y축을 공통 접선으로 갖는다. 이러한 원 시스템을 "공축 포물선 원"이라고 한다.
'''b)''' $c_1$ 을 중심 $M_1$ 으로 축소하면, 즉, $r_1=0$ 이면 방정식은 더 간단한 형태로 바뀌고 $M_1=P_1$ 을 얻게 된다.

'''결론:'''

'''a)''' 모든 실수 $w$ 에 대해 원 묶음

:

\;c(\xi):\; (x-\xi)^2+y^2-\xi^2-w=0\ :

:다음 속성을 갖는다: y축은

c(\xi_1),c(\xi_2)

의 "근축"이다.

:* 만약

w>0

인 경우 원

c(\xi_1),c(\xi_2)

는 점

P_{1/2}=(0,\pm\sqrt w)

에서 교차한다.

:* 만약

w<0

인 경우 공통된 점이 없다.

:* 만약

w=0

인 경우

(0,0)

에서 접하며 y축은 공통 접선이다.

'''b)''' 모든 실수 $w$ 에 대해 두 원 묶음

:

c_1(\xi):\; (x-\xi)^2+y^2-\xi^2-w=0\ ,

:

c_2(\eta):\; x^2+(y-\eta)^2-\eta^2 + w=0

:은 "직교하는 원의 시스템"을 형성한다. 즉, 두 원

c_1(\xi),c_2(\eta)

는 직교한다.

'''c)''' b)의 방정식으로부터 좌표가 없는 표현식을 얻는다.

:주어진 점

P_1,P_2

, 그 중점

O

, 그리고 선분 이등분선

g_{12}

에 대해 두 방정식

::

|XM|^2=|OM|^2-|OP_1|^2\ ,

::

|XN|^2=|ON|^2+|OP_1|^2=|NP_1|^2

:는

M

은

\overline{P_1P_2}

위에 있지만

P_1,P_2

사이에 있지 않고,

N

은

g_{12}

위에 있을 때,

:극인

P_1,P_2

에 의해 고유하게 결정되는 직교 원의 시스템을 설명한다.

:만약

P_1=P_2=O

인 경우, 시스템의 축

a_1,a_2

도 지정해야 한다. 시스템은 "포물선"이다.

::

|XM|^2=|OM|^2\ , \quad  |XN|^2=|ON|^2

:이며,

M

은

a_1

위에,

N

은

a_2

위에 있다.

'''자 및 컴퍼스 작도:'''

직교하는 원의 시스템은 극

P_1,P_2

에 의해 고유하게 결정된다.

# 축(근축)은 선

\overline{P_1P_2}

와 극의 선분 이등분선

g_{12}

이다.

#

P_1,P_2

를 통과하는 원(그림에서 녹색)은 중심이

g_{12}

에 있다. 이 원은 쉽게 그릴 수 있다. 점

N

에 대해 반지름은

\;r_N=|NP_1|\;

이다.

# 두 번째 원 묶음의 원(그림에서 파란색)을

\overline{P_1P_2}

위의 중심

M

으로 그리기 위해, 피타고라스의 정리를 적용하여 반지름

r_M

을 결정한다:

\; r_M^2=|OM|^2-|OP_1|^2\;

(그림 참조).

P_1=P_2

인 경우, 축을 추가로 선택해야 한다. 시스템은 포물선이며 쉽게 그릴 수 있다.

'''정의와 성질:'''

두 원

c_1, c_2

와 그들의 멱함수

\Pi_1,\Pi_2

가 주어졌다고 하자. 그러면

\lambda\ne 1

에 대해

$\Pi_1(x,y)-\lambda\Pi_2(x,y)=0$

은 원

c(\lambda)

의 방정식이다. 이러한 원의 시스템을 원

c_1, c_2

에 의해 생성된 '''공축원'''이라고 한다.

(

\lambda=1

인 경우, 이 방정식은

c_1, c_2

의 근축을 나타낸다.) ^[7]^[8]

c(\lambda)

의 멱함수는

:

\ \Pi(\lambda,x,y)=\frac{\Pi_1(x,y)-\lambda\Pi_2(x,y)}{1-\lambda}

이다.

c(\lambda)

의 ''정규화된'' 방정식 (

x^2, y^2

의 계수가

1

)은

\ \Pi(\lambda,x,y)=0

이다.

간단한 계산을 통해 알 수 있다:

$c(\lambda), c(\mu),\ \lambda\ne\mu\ ,$ 는 $c_1, c_2$ 와 동일한 근축을 갖는다.

\lambda

가 무한대로 이동하는 것을 허용하면,

c_1, c_2

가 공축원 시스템의 구성원임을 알 수 있다:

c_1=c(0),\; c_2=c(\infty)

.

'''(E):''' 만약

c_1, c_2

가 두 점

P_1, P_2

에서 ''교차''한다면, 모든 원

c(\lambda)

역시

P_1, P_2

를 포함하며, 선

\overline{P_1P_2}

는 그들의 공통 근축이다. 이러한 시스템을 ''타원''이라고 한다.

'''(P):''' 만약

c_1, c_2

가

P

에서 ''접''한다면, 모든 원 역시 점

P

에서

c_1, c_2

에 접한다. 공통 접선은 그들의 공통 근축이다. 이러한 시스템을 ''포물선''이라고 한다.

'''(H):''' 만약

c_1, c_2

가 ''공통점''을 ''갖지 않는''다면, 시스템의 모든 쌍도 그렇다. 모든 원 쌍의 근축은

c_1, c_2

의 근축이다. 이 시스템을 ''쌍곡선''이라고 한다.

'''자세한 설명:'''

좌표계를 도입하여

:

c_1: (x-d_1)^2+y^2=r_1^2

:

c_2: (x-d_2)^2+y^2= d_2^2+r_1^2-d_1^2

로 표현하면 y축이 그들의 근축이 된다.

멱함수

\Pi(\lambda,x,y)

를 계산하면 정규화된 원 방정식이 얻어진다:

:

c(\lambda): \ x^2+y^2-2\tfrac{d_1-\lambda d_2}{1-\lambda}\; x +d_1^2-r_1^2=0\ .

제곱 완성과 치환

\delta_2=\tfrac{d_1-\lambda d_2}{1-\lambda}

(중심의 x-좌표)을 사용하면 방정식의 중심 형태가 다음과 같이 된다:

:

c(\lambda): \ (x-\delta_2)^2+y^2=\delta_2^2+r_1^2-d_1^2

.

만약

r_1>d_1

인 경우, 원

c_1, c_2, c(\lambda)

는 두 점

:

P_1=\big(0,\sqrt{r_1^2-d_1^2}\big),\quad P_2=\big(0,-\sqrt{r_1^2-d_1^2}\big)

을 공유하며, 공축원의 시스템은 ''타원''이다.

만약

r_1=d_1

인 경우, 원

c_1, c_2, c(\lambda)

는 점

P_0=(0,0)

을 공유하며, 이 시스템은 ''포물선''이다.

만약

r_1 인 경우, 원 c_1, c_2, c(\lambda) 는 공통점을 갖지 않으며, 이 시스템은 ''쌍곡선''이다.

'''다른 방정식:'''

'''1)''' 공축원 시스템을 정의하는 방정식에서는 멱함수의 배수를 사용할 수도 있다.

'''2)''' 원 중 하나의 방정식은 원하는 근축의 방정식으로 대체될 수 있다. 근축은 무한대 반지름을 가진 원으로 볼 수 있다. 예를 들어:

:

(x-x_1)^2+y^2-r^2_1\  - \ \lambda\; 2(x-x_2)\ =0\ \Leftrightarrow

:

(x-(x_1+\lambda))^2+y^2 =(x_1+\lambda)^2+r_1^2-x_1^2-2\lambda x_2

,

는 첫 번째 원과

x=x_2

를 근축으로 갖는 모든 원을 나타낸다.

'''3)''' 두 원의 동등한 상태를 표현하기 위해, 다음 형식이 종종 사용된다:

:

\mu\Pi_1(x,y)+\nu\Pi_2(x,y)=0\; .

하지만 이 경우, 매개변수

\mu,\nu

에 의한 원의 표현은 ''고유하지 않다''.

'''응용:'''

원 반전과 뫼비우스 변환은 각도와 ''일반화된'' 원을 보존한다. 따라서 원의 직교 시스템은 이러한 매핑에 대한 연구에서 필수적인 역할을 한다.^[9]^[10]
전자기학에서 공축원은 전력선으로 나타난다.^[11]

3. 3. 1. 분류

동심원이 아닌 두 원으로 생성된 공축 원다발

\mathcal C

의 근축은

\mathcal C

의 유일한 직선 원소이다. 적절한 데카르트 좌표계를 취하여

\mathcal C

의 중심선을

x

축으로 삼고 근축을

y

축으로 삼았을 때,

\mathcal C

의 원소는 (근축인

y

축을 제외하면) 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 구성된다.^[7]^[8]

:math>x^2+y^2-2ax+c=0

여기서

c\in\mathbb R

는 고정된 상수이며,

a\in\mathbb R

는 매개변수이다. 만약

c<0

이라면

\mathcal C

를 '''타원형 동축원 다발'''이라고 하고, 만약

c=0

이라면

\mathcal C

를 '''포물형 동축원 다발'''이라고 하며, 만약

c>0

이라면

\mathcal C

를 '''쌍곡형 동축원 다발'''이라고 한다.

두 원

c_1, c_2

와 그들의 멱함수

\Pi_1,\Pi_2

가 주어졌다고 하자. 그러면

\lambda\ne 1

에 대해

$\Pi_1(x,y)-\lambda\Pi_2(x,y)=0$ 은 원 $c(\lambda)$ 의 방정식이다. 이러한 원의 시스템을 원 $c_1, c_2$ 에 의해 생성된 '''공축원'''이라고 한다.

\lambda

가 무한대로 이동하는 것을 허용하면,

c_1, c_2

가 공축원 시스템의 구성원임을 알 수 있다. :

c_1=c(0),\; c_2=c(\infty)

.

(E): 만약 $c_1, c_2$ 가 두 점 $P_1, P_2$ 에서 ''교차''한다면, 모든 원 $c(\lambda)$ 역시 $P_1, P_2$ 를 포함하며, 선 $\overline{P_1P_2}$ 는 그들의 공통 근축이다. 이러한 시스템을 ''타원''이라고 한다.
(P): 만약 $c_1, c_2$ 가 $P$ 에서 ''접''한다면, 모든 원 역시 점 $P$ 에서 $c_1, c_2$ 에 접한다. 공통 접선은 그들의 공통 근축이다. 이러한 시스템을 ''포물선''이라고 한다.
(H): 만약 $c_1, c_2$ 가 ''공통점''을 ''갖지 않는''다면, 시스템의 모든 쌍도 그렇다. 모든 원 쌍의 근축은 $c_1, c_2$ 의 근축이다. 이 시스템을 ''쌍곡선''이라고 한다.

좌표계를 도입하여

:

c_1: (x-d_1)^2+y^2=r_1^2

:

c_2: (x-d_2)^2+y^2= d_2^2+r_1^2-d_1^2

로 표현하면 y축이 그들의 근축이 된다.

만약

r_1>d_1

인 경우, 원

c_1, c_2, c(\lambda)

는 두 점

:

P_1=\big(0,\sqrt{r_1^2-d_1^2}\big),\quad P_2=\big(0,-\sqrt{r_1^2-d_1^2}\big)

을 공유하며, 공축원의 시스템은 ''타원''이다.

만약

r_1=d_1

인 경우, 원

c_1, c_2, c(\lambda)

는 점

P_0=(0,0)

을 공유하며, 이 시스템은 ''포물선''이다.

만약

r_1 인 경우, 원 c_1, c_2, c(\lambda) 는 공통점을 갖지 않으며, 이 시스템은 ''쌍곡선''이다.

원 반전과 뫼비우스 변환은 각도와 ''일반화된'' 원을 보존한다. 따라서 원의 직교 시스템은 이러한 매핑에 대한 연구에서 필수적인 역할을 한다.^[9]^[10] 전자기학에서 공축원은 전력선으로 나타난다.^[11]

3. 3. 2. 직교 동축원 다발

동심원이 아닌 두 원

C,C'

의 공통 직교원은

C,C'

으로 생성된 동축원 다발 속 모든 원의 공통 직교원이다. 동심원이 아닌 두 원으로 생성된 동축원 다발

\mathcal C

의 모든 원의 공통 직교원은 중심선이

\mathcal C

의 근축이고 근축이

\mathcal C

의 중심선인 동축원 다발을 이룬다. 이를 동축원 다발

\mathcal C

의 '''직교 동축원 다발'''

\mathcal C^\perp

이라고 한다. 동축원 다발의 직교는 대칭 관계이다. 즉,

\mathcal C^{\perp\perp}=\mathcal C

가 성립한다.^[5]^[6]

c_1, c_2

를 서로 떨어져 있는 두 원이라고 하고,

M_1, M_2, r_1, r_2

를 각각의 중심과 반지름,

g_{12}

를 두 원의 근축이라고 할 때, 선

\overline{M_1M_2}

위에 중심이 있고

c_1

과 함께 선

g_{12}

를 근축으로 갖는 모든 원은 다음과 같이 결정된다.

중심

M_1

에서 거리

\delta

만큼 떨어져 있고 반지름이

\rho_2

인 원

\gamma_2

에 대해, 다음 방정식을 얻는다.

:

d_1=\frac{\delta^2+r_1^2-\rho_2^2}{2\delta} \quad

, 여기서

d_1>r_1

은 고정.

\delta_2=\delta-d_1

로 다시 쓰면,

:

\delta_2^2=d_1^2-r_1^2+\rho_2^2

.

반지름

\rho_2

가 주어지면, 이 방정식으로부터 새로운 중심의 (고정된) 근축까지의 거리

\delta_2

를 찾을 수 있다. 모든 녹색 원(그림 참조)은 중심이 근축 위에 있으며 원

c_1,c_2

와 직교하므로 모든 새로운 원(보라색)과도 직교한다. (빨간색) 근축을 y축으로, 선

\overline{M_1M_2}

를 x축으로 선택하면, 두 원 묶음은 다음 방정식을 갖는다.

보라색: $\ \ \ (x-\delta_2)^2+y^2=\delta_2^2+r_1^2-d_1^2$
녹색: $\ x^2+(y-y_g)^2=y_g^2+d_1^2-r_1^2\ .$

:(

\; (0,y_g)

는 녹색 원의 중심.)

'''속성:'''

'''a)''' 두 녹색 원은 x축 위의 점 $P_{1/2}=\big(\pm\sqrt{d_1^2-r_1^2},0\big)$ 에서 교차하며, 이는 원의 직교 시스템의 "극"이다. 즉, x축은 녹색 원의 근선이다.
'''b)''' 보라색 원은 공통된 점이 없다. 그러나 실제 평면을 복소평면의 일부로 간주하면, 두 보라색 원은 y축(공통 근축) 위의 점 $Q_{1/2}=\big(0,\pm i \sqrt{d_1^2-r_1^2}\big)$ 에서 교차한다.

'''특수한 경우:'''

'''a)''' $d_1=r_1$ 인 경우 녹색 원은 원점에서 서로 접하며 x축은 공통 접선이 되고 보라색 원은 y축을 공통 접선으로 갖는다. 이러한 원 시스템을 "공축 포물선 원"이라고 한다(아래 참조).
'''b)''' $c_1$ 을 중심 $M_1$ 으로 축소하면, 즉, $r_1=0$ 이면 방정식은 더 간단한 형태로 바뀌고 $M_1=P_1$ 을 얻게 된다.

'''결론:'''

'''a)''' 모든 실수 $w$ 에 대해 원 묶음

:

\;c(\xi):\; (x-\xi)^2+y^2-\xi^2-w=0\ :

:다음 속성을 갖는다: y축은

c(\xi_1),c(\xi_2)

의 "근축"이다.

:* 만약

w>0

인 경우 원

c(\xi_1),c(\xi_2)

는 점

P_{1/2}=(0,\pm\sqrt w)

에서 교차한다.

:* 만약

w<0

인 경우 공통된 점이 없다.

:* 만약

w=0

인 경우

(0,0)

에서 접하며 y축은 공통 접선이다.

'''b)''' 모든 실수 $w$ 에 대해 두 원 묶음

:

c_1(\xi):\; (x-\xi)^2+y^2-\xi^2-w=0\ ,

:

c_2(\eta):\; x^2+(y-\eta)^2-\eta^2 + w=0

:은 "직교하는 원의 시스템"을 형성한다. 즉, 두 원

c_1(\xi),c_2(\eta)

는 직교한다.

'''c)''' b)의 방정식으로부터 좌표가 없는 표현식을 얻는다.

주어진 점

P_1,P_2

, 그 중점

O

, 그리고 선분 이등분선

g_{12}

에 대해 두 방정식

::

|XM|^2=|OM|^2-|OP_1|^2\ ,

::

|XN|^2=|ON|^2+|OP_1|^2=|NP_1|^2

:는

M

은

\overline{P_1P_2}

위에 있지만

P_1,P_2

사이에 있지 않고,

N

은

g_{12}

위에 있을 때, 극인

P_1,P_2

에 의해 고유하게 결정되는 직교 원의 시스템을 설명한다.

만약

P_1=P_2=O

인 경우, 시스템의 축

a_1,a_2

도 지정해야 한다. 시스템은 "포물선"이다.

::

|XM|^2=|OM|^2\ , \quad  |XN|^2=|ON|^2

:이며,

M

은

a_1

위에,

N

은

a_2

위에 있다.

'''자와 컴퍼스 작도:'''

직교하는 원의 시스템은 극

P_1,P_2

에 의해 고유하게 결정된다.

# 축(근축)은 선

\overline{P_1P_2}

와 극의 선분 이등분선

g_{12}

이다.

#

P_1,P_2

를 통과하는 원(그림에서 녹색)은 중심이

g_{12}

에 있다. 이 원은 쉽게 그릴 수 있다. 점

N

에 대해 반지름은

\;r_N=|NP_1|\;

이다.

# 두 번째 원 묶음의 원(그림에서 파란색)을

\overline{P_1P_2}

위의 중심

M

으로 그리기 위해, 피타고라스의 정리를 적용하여 반지름

r_M

을 결정한다:

\; r_M^2=|OM|^2-|OP_1|^2\;

(그림 참조).

P_1=P_2

인 경우, 축을 추가로 선택해야 한다. 시스템은 포물선이며 쉽게 그릴 수 있다.

위와 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.

:

x^2+y^2-2by-c=0

여기서

b\in\mathbb R

는 매개변수이다. 특히, 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 각각 쌍곡형·포물형·타원형 동축원 다발이다.

4. 작도

적어도 하나의 교점을 갖는 동심원이 아닌 두 원의 근축 작도는 자명하다.^[26]

중심이 서로 다른 두 점 $O,O'$ 인 교점 없는 두 원 $C,C'$ 이 주어졌을 때, 중심이 직선 $OO'$ 위의 점이 아니고, 원 $C$ 와 두 점 $A,B$ 에서 만나고, 원 $C'$ 과 두 점 $A',B'$ 에서 만나는 원 $C''$ 을 작도한다. 직선 $AB$ 와 $A'B'$ 는 평행하지 않으므로, 이 두 직선의 교점을 $P$ 라고 하면, $P$ 는 $C,C'$ 의 근축 위의 점이다. 점 $P$ 를 지나는 직선 $OO'$ 의 수선 $l$ 을 작도하면, 직선 $l$ 은 두 원 $C,C'$ 의 근축이다.^[26]

[[File:https://cdn.onul.works/wiki/source/19521a3d23a_1c9e97ed.svg|thumb|upright=1.4|세 원의 근축

녹색 원은 세 원과 직교합니다.]]

추가적인 작도 방법으로, 주어진 원 $c$ 에 대해 동일한 멱을 갖는 모든 점은 $c$ 와 동심원인 원, 즉 ''등멱원'' 위에 놓인다는 성질을 이용할 수 있다. 두 개의 서로 교차하지 않는 원 $c_1,c_2$ 에 대해, $c_1,c_2$ 에 대해 동일한 멱을 갖는 두 개의 등멱원 $c'_1,c'_2$ 을 그릴 수 있다. 멱이 충분히 크면, 원 $c'_1,c'_2$ 는 근축 $g_{12}$ 위에 있는 두 개의 공통점을 갖는다.

다른 방법으로는, 두 원 '''A''', '''B'''의 근축을 작도하기 위해 근축 위의 두 점을 찾는 방법이 있다. 두 원과 교차하는 원 '''C'''를 그려, '''A'''와 '''C'''의 근축과 '''B'''와 '''C'''의 근축을 작도할 수 있다. 이 교점을 '''J'''라고 하면, '''J'''는 근심이며 '''A''', '''B'''의 근축 위에 있다. 마찬가지로 두 원과 교차하는 원 '''D'''를 그려 근심 '''K'''를 구하면, '''J'''와 '''K'''를 지나는 직선이 구하려는 근축이 된다.

특수한 예로, 외부에 있는 두 원의 닮음 중심 '''E'''를 잡고, '''E'''에서 두 원과 교차하는 직선을 그어 내부의 두 점을 '''P''', '''Q'''로 하고, 마찬가지로 '''S''', '''T'''를 잡는다. 이 4점은 동일 원주상에 있으므로,^[17] '''P'''와 '''S'''를 지나는 직선과 '''Q'''와 '''T'''를 지나는 직선의 교점은 근축 위에 있다.^[18] 또한, '''P'''와 '''Q'''를 지나는 각각의 원의 접선을 그리면, 그 교점과 '''P'''와 '''Q'''는 이등변 삼각형이 되므로 이것 또한 근축 위에 있다.^[19]

그림 3. 주어진 두 원 ('''C'''와 '''D'''를 중심으로 하는 녹색과 파란색 원)과 닮음 중심에서 그은 선이 교차하는 점을 '''P''', '''Q''' 및 '''S''', '''T'''라고 하면 이 4점은 동일 원주상에 있다.

5. 고차원의 경우

$n$ 차원 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 위에서, 서로 다른 두 점 $a,a'\in\mathbb R^n$ 을 중심으로 하고, $r,r'>0$ 을 반지름으로 갖는 두 초구 $S,S'$ 를 생각하자. 그렇다면, 집합

: $\{x\in\mathbb R^n\colon\Vert x-a\Vert^2-r^2=\Vert x-a'\Vert^2-{r'}^2\}$

은 중심 $a,a'$ 를 잇는 직선에 직교하는 초평면을 이룬다. (여기서 등식의 좌변과 우변은 각각 $x$ 의 $S,S'$ 에 대한 방멱에 대응하며, $\Vert\cdot\Vert$ 는 $\mathbb R^n$ 의 표준적인 노름을 나타낸다.) 이를 두 초구 $S,S'$ 의 '''근초평면'''이라고 한다.^[26] 특히 $n=2,3$ 일 경우 각각 두 원의 '''근축''' 또는 두 구의 '''근평면'''이라고 부른다.

두 개의 비동심 구의 '''근축 평면'''은 3차원에서 유사하게 정의된다. 즉, 두 구에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이다.^[12] 이 자취가 평면이라는 사실은 근축이 직선이라는 사실로부터 3차원에서 회전을 통해 도출된다.

동일한 정의는 임의 차원의 유클리드 공간에 있는 초구에 적용될 수 있으며, 두 개의 비동심 초구의 '''근축 초평면'''을 제공한다.

3차원 공간상의 두 개의 구에 대해 마찬가지로 '''근평면'''^[20](근축면^[21], 근면^[22], radical plane)^[23]을 정의할 수 있다. 이것이 평면이 되는 것은 근축이 직선인 것과 자취가 두 개의 구를 잇는 선으로 대칭이기 때문에 알 수 있다.

더 나아가 고차원 공간에서도 마찬가지의 초평면을 정의할 수 있다.

5. 1. 근초평면

n차원 유클리드 공간에서 서로 다른 두 초구의 근초평면은, 각 초구의 중심을 잇는 직선에 직교하는 초평면이다.^[26] 이 때, 근초평면 위의 점들은 각 초구에 대한 방멱이 같다. 특히 n=2일 때는 두 원의 근축, n=3일 때는 두 구의 근평면이라고 부른다.

3차원 공간에서 두 구의 근평면은 두 구에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취로 정의되는 평면이다.^[12] 이는 근축이 직선이라는 사실과 자취가 두 구를 잇는 선에 대해 대칭이라는 점으로부터 유도된다.

일반적으로, 임의 차원의 유클리드 공간에서 두 개의 비동심 초구에 대해 근초평면을 정의할 수 있다.^[20]^[21]^[22]^[23]

같은 초평면 위에 있지 않은 n+1개의 점을 중심으로 하는 n+1개의 초구가 주어졌을 때, 각 쌍의 초구의 근초평면은 유일한 교점을 가지며, 이 점을 n+1개 초구의 근심이라고 한다.^[26]

6. 추가 정보 (영어 문서 기반)

6. 1. 쌍극 좌표와의 관계

일반적으로 서로 떨어져 있고 중심이 일치하지 않는 두 개의 원은 쌍극 좌표계의 원과 정렬될 수 있다. 이 경우, 근축은 이 좌표계의 y축이 된다. 좌표계의 두 초점을 지나는 축 위의 모든 원은 두 원과 직교하여 교차한다. 중심이 주어진 직선 위에 있고 모든 쌍이 동일한 근축을 갖는 원들의 최대 집합은 연필 공축 원으로 알려져 있다.

6. 2. 삼선 좌표에서의 근심

원이 일반적인 방식으로 삼선좌표로 표시된다면, 그들의 근심은 특정 행렬식으로 편리하게 제공된다. 구체적으로, ''X'' = ''x'' : ''y'' : ''z''를 변수 점으로, 변의 길이 ''a'' = |''BC''|, ''b'' = |''CA''|, ''c'' = |''AB''|인 삼각형 ''ABC''의 평면에서 나타내고, 원을 다음과 같이 나타낸다.

:(''dx + ey + fz'')(''ax + by + cz'') + ''g''(''ayz + bzx + cxy'') = 0

:(''hx + iy + jz'')(''ax + by + cz'') + ''k''(''ayz + bzx + cxy'') = 0

:(''lx + my + nz'')(''ax + by + cz'') + ''p''(''ayz + bzx + cxy'') = 0

그러면 근심은 다음과 같다.

:

g	k	p
e	i	m
f	j	n

:

g	k	p
f	j	n
d	h	l

:

g	k	p
d	h	l
e	i	m

|}

.

참조

_[1] 서적 Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil Verlag Leibrock 1856
_[2] 서적 Lehrbuch der analytische Geometrie Verlag Ernst Kern 1851
_[3] 서적 Die Elemente der analytischen Geometrie der Ebene Verlag H. W. Schmidt 1858
_[4] 논문 Einige geometrische Betrachtungen 1826
_[5] 서적 Einführung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes Springer-Verlag 1931
_[6] 서적 Funktionentheorie Birkhäuser-Verlag 1961
_[7] 서적 Circles: A Mathematical View mathematical Association of America 2020
_[8] 서적 An Elementary Treatise On Modern Pure Geometry MacMillan&Co 1893
_[9] 서적 Funktionentheorie
_[10] 서적 Ingenieur-Mathematik: Zweiter Band: Differentialgleichungen und Funktionentheorie Springer-Verlag 1962
_[11] 서적 Elektrodynamik und Optik De Gruyter 1950
_[12] 웹사이트 Merriam–Webster online dictionary https://www.merriam-[...]
_[13] 서적 1960
_[14] 서적 1960
_[15] 서적 1960
_[16] 서적 1952
_[17] 서적 1960
_[18] 서적 1960
_[19] 서적 1960
_[20] 서적 1924
_[21] 서적 1892
_[22] 서적 1911
_[23] 웹사이트 Merriam–Webster online dictionary https://www.merriam-[...]
_[24] 서적 Advanced Euclidean Geometry Dover Publications 1960
_[25] 서적 College Geometry Jones and Bartlett Publishers 1995
_[26] 서적 Geometry I Springer 1987

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