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란다우 문제

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목차

1. 개요

란다우 문제는 1912년 에드문트 란다우가 제기한 네 가지 소수 관련 문제와 골드바흐의 추측을 포함한 총 다섯 가지 문제들을 지칭한다. 이 문제들은 2024년 11월 6일 기준으로 모두 미해결 상태이다. 네 가지 소수 관련 문제는 다음과 같다: 골드바흐의 추측, 쌍둥이 소수 추측, 르장드르 추측, 그리고 p-1이 제곱수인 소수 p가 무한히 존재하는가에 대한 질문이다.

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란다우 문제
란다우의 문제들
에드문트 란다우
"에드문트 란다우"
분류수학, 수론
분야해석적 정수론
제안자에드문트 란다우
문제
문제 1모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 표현 가능한가? (골드바흐 추측)
문제 2무한히 많은 메르센 소수가 존재하는가?
문제 3n² + 1 형태의 소수는 무한히 많이 존재하는가? (란다우의 문제)
문제 4모든 짝수는 두 개의 소수의 차이로 표현 가능한가? (소수 간격)

2. 문제

1912년 국제 수학자 회의에서 에드문트 란다우가 소수와 관련하여 제시한 네 가지 미해결 문제이다. 2024년 11월 6일 기준으로 네 문제 모두 미해결 상태이다.

란다우가 제시한 문제는 다음과 같다.


  • 골드바흐의 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 쓸 수 있는가?
  • 쌍둥이 소수 추측: p+2가 소수인 소수 p가 무한히 존재하는가?
  • 르장드르 추측: 연속하는 두 자연수의 제곱 사이에는 항상 소수가 존재하는가?
  • n2+1 꼴 소수가 무한히 존재하는가?

2. 1. 골드바흐의 추측

이반 비노그라도프는 1937년에 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였고, 2013년에 하랄드 헬프콧은 5보다 큰 모든 홀수에 대해 약한 추측이 성립함을 검증하였다.[1][2][3][4] 약한 골드바흐의 추측은 '5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다'는 추측으로, 강한 골드바흐의 추측은 아직 증명되지 않았지만 약한 골드바흐의 추측을 함의한다.

천징룬은 1937년에 충분히 큰 n에 대해서, 소수 p와 소수 또는 반소수인 q에 대해 2n=p+q가 성립한다는 천의 정리를 증명하였다.[41] 몽고메리와 본은 두 소수의 합으로 표현할 수 없는 짝수의 예외 집합이 자연 밀도 0을 가지지만, 그 집합이 유한하다는 것은 증명되지 않았음을 보였다.[10][42] 핀츠는 현재 예외 집합에 대한 최상의 경계는 E(x) < x^{0.72} (충분히 큰 ''x''에 대해)이고,[11][12][43] RH 하에서 골드스톤에 의해 E(x) \ll x^{0.5}\log^3 x임을 보였다.[13]

2015년, 토모히로 야마다는 e^{e^{36}} \approx 1.7\cdot10^{1872344071119348} 이상의 모든 짝수가 소수와 소수 또는 반소수의 합임을 증명하였다.[7]

2. 2. 쌍둥이 소수 추측

장이탕은 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였으며, 이 간격은 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 246까지 향상되었다.[44][45] 일반화된 Elliott–Halberstam 추측에 의해 간격은 6까지 개선되었다.[46][47]

천징룬은 ''p''+2가 소수 또는 반소수인 소수 ''p''(천 소수라 부른다.)가 무한히 많음을 증명하였다.

2. 3. 르장드르 추측

르장드르 추측은 소수 p에 대해 다음 소수와의 간격이 2 \sqrt p보다 작음을 증명하면 해결된다. 4\times10^{18} 이하의 수에 대해서는 르장드르 추측이 성립하며,[48] 10^{18} 근처에서 반례가 생기기 위해서는 평균 간격의 5천만 배 정도가 필요하다. Matomäki는 다음 식에 대하여 최대 x^{1/6}개의 예외적인 소수(간격이 \sqrt{2p}보다 큰 소수)가 존재한다고 증명하였다.

:\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}.[49]

각 소수 간격이 ''p''에서 시작하여 2 \sqrt p보다 작다는 것을 확인하는 것으로 충분하다. 최대 소수 간격의 표는 이 추측이 264 ≈ 18P까지 유효하다는 것을 보여준다.[22] 그 크기 근처의 반례는 평균 간격의 1억 배에 달하는 소수 간격을 필요로 할 것이다.

Järviniemi,[23] Heath-Brown,[24] Matomäki[25]의 연구를 개선하여 \sqrt{2p}보다 큰 간격을 갖는 예외적인 소수가 최대 x^{7/100+\varepsilon}개 존재한다는 것을 보여준다. 특히,

:\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n > \sqrt{p_n}^{1/2}}{p_n \leq x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{0.57+\varepsilon}.

2. 4. n^2 + 1 꼴 소수

현재, ''n''2 + 1 형태의 소수가 무한히 많이 존재하는지는 미해결 문제이다. 이 형태의 소수 목록은 A002496에서 확인할 수 있다.

이러한 소수가 무한히 존재한다는 명제는 부냐콥스키 추측과 베이트먼-혼 추측과 같은 다른 수론적 추측에서 도출되는 결과이다.

페르마 소수는 ''n''2 + 1 꼴 소수의 한 예시이다. 헨릭 이와니에츠는 소인수가 최대 두 개인 ''n''2 + 1 형태의 수가 무한히 많다는 것을 증명했다.[27][28] 안케니[29]와 쿠빌리우스[30]는 L-함수에 대한 확장된 리만 가설을 가정하면 ''y'' = ''O''(log ''p'')인 ''p'' = ''x''2 + ''y''2 형태의 소수가 무한히 많다는 것을 증명했다. 란다우의 추측은 이보다 더 강력한 조건인 ''y'' = 1인 경우에 대한 것이다.

메리코스키는[32] 이전 연구들을 개선하여[33][34][35][36][37] 최대 소인수가 최소한 ''n''1.279인 ''n''2 + 1 형태의 숫자가 무한히 많다는 것을 보였다.[38] 여기서 지수를 2로 바꾸면 란다우의 추측이 된다.

프리들렌더-이와니에츠 정리에 따르면 ''x''2 + ''y''4 형태의 소수는 무한히 많이 존재한다.[39]

브룬 체는 ''p'' = ''n''2 + 1 형태의 소수 밀도에 대한 상한을 설정했는데, ''x''까지 그러한 소수의 개수는 ''O''(√''x''/log ''x'')이다. 따라서 ''n''2 + 1 형태의 숫자는 거의 모두 합성수이다.

3. 각 문제에 대한 진전

1912년 국제수학자대회에서 란다우는 당시의 소수 이론으로 해결하기 어려운 네 가지 문제를 제시하였다. 이 문제들은 각각 골드바흐의 추측, 쌍둥이 소수 추측, 르장드르 추측, 그리고 n^2 + 1 꼴 소수 문제였다. 각 문제에 대한 연구는 다음과 같이 진행되었다.


  • '''골드바흐의 추측:''' 1937년 이반 비노그라도프가 충분히 큰 홀수에 대해 약한 골드바흐의 추측이 성립함을 증명하였고, 2013년 하랄드 헬프갓이 5보다 큰 모든 홀수에 대해 이 추측이 성립함을 보였다.[2][3][4] 천징룬은 충분히 큰 짝수를 소수와 소수 또는 반소수의 합으로 표현할 수 있다는 천의 정리를 증명하였다.[41]
  • '''쌍둥이 소수 추측:''' 장이탕이 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였고,[44] 폴리매스 프로젝트를 통해 이 간격이 246까지 줄어들었다.[45] 천징룬은 ''p'' + 2가 소수이거나 반소수인 소수 ''p''가 무한히 많음을 보였다.
  • '''르장드르 추측:''' 4\times10^{18} 이하의 수에 대해서는 추측이 성립함이 확인되었으며,[48] 잉엄은 충분히 큰 n에 대해 n^3과 (n+1)^3 사이에 항상 소수가 존재함을 보였다.[50]
  • '''n^2 + 1 꼴 소수 문제:''' 헨릭 이와니에츠는 최대 두 개의 소인수를 가지는 n^2 + 1 꼴의 수가 무한히 많음을 증명했다.[27][28]

3. 1. 골드바흐의 추측 연구

1937년 이반 비노그라도프가 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였고, 2013년 하랄드 헬프갓은 5보다 큰 모든 홀수에 대해 약한 추측이 성립함을 검증하였다.[2][3][4] 약한 골드바흐의 추측은 '5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다'는 추측이다.

1937년 천징룬은 충분히 큰 n에 대해서, 소수 p와 소수 또는 반소수인 q에 대해 2n=p+q가 성립한다는 천의 정리를 증명하였다.[41] 몽고메리와 본은 두 소수의 합으로 표현할 수 없는 짝수(예외적인 수)의 점근밀도가 0임을 증명하였다.[42] 핀츠는 충분히 큰 x에 대해 예외적인 수들이 E(x) < x^{0.72}를 만족함을 증명하였다.[43]

2015년 토모히로 야마다는 e^{e^{36}} \approx 1.7\cdot10^{1872344071119348} 이상의 모든 짝수가 소수와 소수 또는 반소수의 합임을 증명하였다.

3. 2. 쌍둥이 소수 추측 연구

장이탕은 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였으며[44], 이 간격은 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 246까지 향상되었다.[45] 일반화된 엘리엇-할버스탐 추측에 의해 간격은 6까지 개선되었다.[46][47]

천징룬은 ''p'' + 2가 소수이거나 반소수인 소수 ''p'' (천 소수라고 불림)가 무한히 많음을 증명하였다.

3. 3. 르장드르 추측 연구

르장드르 추측은 소수 p에 대해 다음 소수와의 간격이 2 \sqrt p보다 작음을 증명하면 해결된다. 4\times10^{18} 이하의 수에 대해서는 르장드르 추측이 성립하며,[48] 10^{18} 근처에서 반례가 생기기 위해서는 평균 간격의 5천만 배 정도가 필요하다. 마토마키(Matomäki)는 다음 식에 대하여 최대 x^{1/6}개의 예외적인 소수(간격이 \sqrt{2p}보다 큰 소수)가 존재한다고 증명하였다.

:\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}.[49]

잉엄은 충분히 큰 n에 대해 n^3과 (n+1)^3 사이에 항상 소수가 존재함을 증명하였다.[50]

3. 4. n^2 + 1 꼴 소수 연구

이 문제는 부냐콥스키 추측이나 Bateman-Horn 추측이 참일 경우 자연스럽게 해결된다.[51][52] 헨릭 이와니에츠는 최대 두 개의 소인수를 가지는 n^2 + 1 꼴의 수가 무한히 많음을 증명했다.[27][28] 안케니는 Hecke 특성을 가지는 L-함수에 대한 확장된 리만 가설을 가정할 때 y=O(\log x)를 만족하는 x^2+y^2꼴의 소수가 무한히 많음을 증명하였다.[53] 란다우의 네 번째 문제는 y=1인 경우이다.

메리코스키는[32] 가장 큰 소인수가 n^{1.279} 이상인 n^2+1꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다.[55][56][57][58][59] 지수가 2인 경우 란다우 추측이 된다.

참조

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[3] arXiv Minor arcs for Goldbach's problem
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[55] 간행물 Niveau de répartition des polynômes quadratiques et crible majorant pour les entiers friables
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