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로랑 다항식

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목차

1. 개요

로랑 다항식은 가환환 K와 형식적 변수 X를 사용하여, 정수 k에 대해 유한 개의 0이 아닌 계수 p_k를 갖는 p = ∑k p_k X^k 형태로 표현되는 식이다. 덧셈과 곱셈 연산이 가능하며, 다항식 환의 확장으로 정의된다. 로랑 다항식 환은 뇌터 가환환이지만 아르틴 가환환은 아니며, 유리 함수체의 부분환이다. 또한, 군환, 호프 대수 구조를 가지며, 복소수 위의 로랑 다항식은 로랑 급수로 볼 수 있다. 용어는 로랑 급수에 빗대어 사용되었지만, 로랑 급수와는 달리 유한 개의 항을 가진다.

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로랑 다항식

2. 정의

가환환 K가 주어졌을 때, 로랑 다항식는 형식적 변수 X와 계수 p_k를 이용하여 다음과 같은 형태로 표현되는 식이다.

:p = \sum_k p_k X^k, \quad p_k \in \mathbb{F}

여기서 k는 정수이며 (반드시 양수일 필요는 없다), 유한 개의 p_{k}만이 0이다. 두 로랑 다항식은 계수가 같을 때 서로 같다. 이러한 식들은 덧셈, 곱셈이 가능하며, 동류항을 정리하여 같은 형태로 만들 수 있다. 덧셈과 곱셈에 대한 공식은 일반적인 다항식과 정확히 동일하며, X의 양의 거듭제곱과 음의 거듭제곱이 모두 존재할 수 있다는 점만 다르다.

:\bigg(\sum_i a_i X^i\bigg) + \bigg(\sum_i b_i X^i\bigg) = \sum_i (a_i+b_i)X^i

:\bigg(\sum_i a_i X^i\bigg) \cdot \bigg(\sum_j b_j X^j\bigg) = \sum_k \Bigg(\sum_{i,j \atop i+j=k} a_i b_j\Bigg)X^k.[1]

2. 1. 가환환론적 정의

가환환 K 계수의 다항식환 K[\mathsf x]에서, \mathsf x로 생성되는 곱셈 부분 모노이드 S = \{1,\mathsf x,\mathsf x^2,\mathsf x^3,\dotsc\} \subseteq K[\mathsf x]에 대한 국소화 (K[\mathsf x])_{\mathsf x}로 정의된다. 이는 K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}]로 표기하며, K 계수의 '''로랑 다항식'''의 대수라고 한다.

X를 부정원(형식적인 변수)으로 하여, 체 \mathbb{F}에 계수를 가지는 '''로랑 다항식'''은



p := \sum_k p_k X^k, \quad (p_k\in \mathbb{F})



의 형태를 갖는다. 단, 우변의 합은 k가 (반드시 양의 정수가 아닌) 정수 전체를 아우르는 것이며, 유한 개의 예외를 제외한 모든 계수 p_k는 0이어야 한다.

두 로랑 다항식이 같다는 것은, 그들의 계수가 모든 차수에서 같을 때를 말한다. 두 로랑 다항식에 대해 덧셈과 곱셈이 정의될 수 있으며, (동류항을 모음으로써) 그 연산의 결과도 또한 위와 같은 형태로 표현된다. 이러한 덧셈과 곱셈의 정의식은, 형식상으로는 일반적인 다항식과 정확히 동일하게



\Bigl(\sum_i a_iX^i\Bigr) + \Bigl(\sum_i b_iX^i\Bigr) = \sum_i (a_i+b_i)X^i



및



\Bigl(\sum_i a_iX^i\Bigr) \cdot \Bigl(\sum_j b_jX^j\Bigr) = \sum_k \biggl(\sum_{i + j = k} a_i b_j\biggr)X^k



와 같이 쓸 수 있다(하지만, 첨자의 범위, 즉 X의 양의 거듭제곱뿐만 아니라 음의 거듭제곱도 나온다는 점에서 다르다).

유한 개의 a_i, b_j만 0이 아니므로, 위에 나타난 총합은 모두 실질적으로 유한 합이 되며, 따라서 그것들은 올바르게 로랑 다항식을 표현한다.

2. 2. 군론적 정의

무한 순환군 \langle\mathsf x\rangle의 K 계수의 군환을 '''로랑 다항식'''의 대수라고 한다.

구체적으로, 편의상 무한 순환군의 군 연산을 곱셈으로 표기하면 다음과 같다.

:\langle\mathsf x\rangle = \{\dotsc,\mathsf x^{-2},\mathsf x^{-1},1,\mathsf x,\mathsf x^2,\dotsc\}

이 경우, 그 원소는 다음과 같은 꼴이 된다.

:p=\sum_{i\in\mathbb Z}p_i \mathsf x^i\qquad(p_i\in K)

군환의 일반적 성질에 따라서, 로랑 다항식의 대수는 호프 대수를 이룬다.

2. 3. 구체적 정의

K 계수의 로랑 다항식은 다음과 같은 형식적 다항식이다.

:p = \sum_{k \in \mathbb Z} p_k \mathsf x^k\qquad(p_i\in K)

:|\{k\in\mathbb Z\colon p_k \ne 0\}| < \infty

즉, 이는 형식적 변수 \mathsf x의 양 또는 음의 차수의 거듭제곱들의 항으로 구성된 다항식이며, 항의 수는 유한하다.

그 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.

:p + q = \sum_{k\in\mathsf Z} (p_k + q_k)\mathsf x^k

:pq = \sum_{k\in\mathbb Z} \left(\sum_{i+j = k} p_i q_j\right) \mathsf x^k

이에 따라, 로랑 다항식들의 집합은 K 위의, 항등원을 갖는 가환 결합 대수를 이룬다. 이를 K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}]로 표기한다.

로랑 다항식은 체 \mathbb{F}의 계수를 가지며 다음과 같은 형태의 식이다.

:p = \sum_k p_k X^k, \quad p_k \in \mathbb{F}

여기서 X는 형식적인 변수이고, 합산 지수 k는 정수이며 (반드시 양수일 필요는 없다) 유한 개의 계수 p_{k}만이 0이 아니다. 두 로랑 다항식은 계수가 같을 때 서로 같다. 이러한 식들은 덧셈, 곱셈이 가능하며, 동류항을 정리하여 같은 형태로 만들 수 있다. 덧셈과 곱셈에 대한 공식은 일반적인 다항식과 정확히 동일하며, X의 양의 거듭제곱과 음의 거듭제곱이 모두 존재할 수 있다는 점만 다르다.

:\bigg(\sum_i a_i X^i\bigg) + \bigg(\sum_i b_i X^i\bigg) = \sum_i (a_i+b_i)X^i

그리고

:\bigg(\sum_i a_i X^i\bigg) \cdot \bigg(\sum_j b_j X^j\bigg) = \sum_k \Bigg(\sum_{i,j \atop i+j=k} a_i b_j\Bigg)X^k.

유한 개의 계수 a_{i}와 b_{j}만 0이 아니므로, 실제로 모든 합은 유한 개의 항만 가지며, 따라서 로랑 다항식을 나타낸다.

3. 성질

로랑 다항식 환은 여러 가지 중요한 성질을 가진다.


  • 복소수체 위의 로랑 다항식은 계수가 0이 아닌 항이 유한 개뿐인 로랑 급수로 간주할 수 있다.
  • 로랑 다항식환은 다항식환에 X의 "역수" X^{-1}를 첨가한 확대환으로 얻어진다. 더 엄밀히 말하면, 로랑 다항식환은 X의 음이 아닌 멱수 전체로 구성된 곱셈 닫힌 집합에 의한 다항식환의 국소화이다.
  • 체 위의 로랑 다항식환은 네이터이지만 아르틴은 아니다.
  • 일변수 로랑 다항식환은 계수를 갖는 유리 정수환의 군환에 동형이다. 더 일반적으로, 변수 로랑 다항식환은 자유 계수의 자유 아벨 군의 군환에 동형이 된다. 이로 인해 로랑 다항식환이 가환하고 여가환적인 호프 대수의 구조를 갖는 것이 보장된다.

3. 1. 환의 성질

체 K에 대하여, \mathsf K[x,x^{-1}]는 뇌터 가환환이지만, 아르틴 가환환은 아니다.[1] 복소수 위의 로랑 다항식은 계수가 0이 아닌 항이 유한 개인 로랑 급수로 간주할 수 있다.[1]

로랑 다항식 환 R\left [X, X^{-1} \right ]은 "X를 역전"함으로써 얻는 다항식 환 R[X]의 확장이다. 더 엄밀히 말하면, 이는 X의 음이 아닌 거듭제곱으로 구성된 곱셈 집합에서의 다항식 환의 국소화이다. 로랑 다항식 환의 많은 성질은 국소화의 일반적인 성질로부터 유도된다.[1]

로랑 다항식 환은 유리 함수의 부분환이다.[1] 체 위의 로랑 다항식 환은 뇌터 환이지만 아르틴 환은 아니다.[1]

만약 R이 정역이라면, 로랑 다항식 환 R\left [X, X^{-1} \right ]의 단원은 uX^{k}의 형태를 가지며, 여기서 u는 R의 단원이고 k는 정수이다. 특히, K가 체이면 K[X, X^{-1}]의 단원은 aX^{k}의 형태를 가지며, 여기서 a는 K의 0이 아닌 원소이다.[1]

로랑 다항식 환 R[X, X^{-1}]는 R 위의 군환 정수의 군 \mathbb{Z}와 동형이다. 더 일반적으로, n개의 변수를 갖는 로랑 다항식 환은 랭크가 n인 자유 아벨 군의 군환과 동형이다. 따라서, 로랑 다항식 환은 가환적이며 공가환 Hopf 대수의 구조를 가질 수 있다.[1]

3. 2. 가역원

정역 R 위의 로랑 다항식 환 R\left [X, X^{-1} \right ]의 가역원은 uX^{k} 형태이며, 여기서 u는 R의 가역원이고 k는 정수이다. 특히, K가 체이면 K[X, X^{-1}]의 단원은 aX^{k}의 형태를 가지며, 여기서 a는 K의 0이 아닌 원소이다.

3. 3. 값매김

임의의 가환환 K의 가역원 u \in \operatorname{Unit}(K)에 대하여, 다음과 같은 '''값매김 준동형'''(evaluation homomorphism영어)이 존재한다.

:\operatorname{ev}_u \colon K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}] \to K

:\operatorname{ev}_u \colon p \mapsto \sum_{i\in\mathbb Z} p_i u^i \in K

이는 K-가환 결합 대수의 준동형이다.

3. 4. 미분

로랑 다항식환 위에는 다음과 같은 형식적 미분이 정의된다.

:\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf x} \colon K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}] \to K[\mathsf x,\mathsf x^{-1}]

:\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mathsf x} \colon p \mapsto \sum_{i\in\mathbb Z} (i+1)p_{i+1} \mathsf x^i

3. 5. 호프 대수 구조

로랑 다항식 환은 가환적이며 공가환 호프 대수의 구조를 가진다. 이는 로랑 다항식 환이 정수의 군 \mathbb{Z}의 군환과 동형이기 때문이다.

4. 역사

로랑 다항식이라는 용어는 피에르 알퐁스 로랑의 이름을 딴 것이며, 복소해석학에서 쓰이는 정칙 함수의 로랑 급수에 빗댄 것이다. 그러나 로랑 급수는 이름과 달리 일반적으로 무한 개의 음의 차수 단항식 및 무한 개의 양의 차수 단항식들을 가질 수 있으므로 일반적으로 로랑 다항식이 아니다.[1]

참조

[1] 간행물 Laurent Polynomial https://mathworld.wo[...]
[2] 간행물 Laurent Polynomial https://mathworld.wo[...]


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