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국소화 (환론)

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1. 개요

국소화는 가환환 R의 곱셈 닫힌 집합 S에 대해 분수를 사용하여 새로운 환을 만드는 방법이다. 이는 정역의 분수체와 유사하며, 비가환환에서도 정의될 수 있다. 국소화는 대수기하학에서 다양체의 국소적 성질을 연구하고, 정수론에서 특정 소수에서의 성질을 분석하는 데 사용된다. 가환환의 국소화는 소 아이디얼과 밀접한 관련이 있으며, 국소환 개념을 통해 환의 국소적 성질을 파악하는 데 중요한 도구이다. 비가환환의 국소화는 오레 조건을 만족하는 경우 오레 국소화를 통해 구성할 수 있으며, 미분 연산자 환과 같은 예시가 있다.

국소화 (환론)
개요
유형가환대수학
분야수학
연산
관련된 연산완비화, 텐서곱
성질
성질정역, 뇌터 환, 정칙환
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목차

2. 가환환의 국소화

가환환의 국소화는 분수체와 유사하지만, 영인자를 갖는 환에서도 적용할 수 있도록 일반화된 개념이다.

가환환 의 곱셈 닫힌 집합 에 대한 국소화는 분자를 에, 분모를 에 갖는 분수 형태의 원소를 가지는 새로운 환 S^{-1}R이다. 환이 정역인 경우, 이 구조는 분수체의 구조와 매우 유사하며, 특히 정수의 분수체로서의 유리수의 구조와 유사하다. 영인자를 갖는 환의 경우, 구조는 유사하지만 더 주의를 기울여야 한다.

예를 들어, 십진 소수는 10의 거듭제곱의 곱셈 집합에 의해 정수환을 국소화한 것이다. 이 경우 S^{-1}R은 \tfrac n{10^k}로 쓸 수 있는 유리수, 즉 이 정수이고 가 음이 아닌 정수인 유리수로 구성된다.

환 이 정역이고 가 을 포함하지 않는 경우, 환 S^{-1}R은 의 분수체의 부분환이다. 따라서 정역의 국소화는 정역이다. 더 정확하게 말하면, 이는 분수 \tfrac a s로 구성된, 의 분수체의 부분환이며, 여기서 s\in S이다. 이는 합 \tfrac as + \tfrac bt = \tfrac {at+bs}{st}와 곱 \tfrac as \, \tfrac bt = \tfrac {ab}{st}이 S^{-1}R의 두 원소이므로 부분환이다. 이는 곱셈 집합의 정의 속성에서 비롯되며, 이는 또한 1=\tfrac 11\in S^{-1}R임을 의미한다. 이 경우, 은 S^{-1}R의 부분환이다. 이는 일반적으로, 특히 가 영인자를 포함하는 경우 더 이상 사실이 아니다.

「국소화」라는 이름의 기원은 대수기하학에 있다. 을 어떤 기하학적 대상(대수다양체) 위에서 정의된 함수환으로 한다. 이 다양체를 점 의 근방에서 "국소적으로" 조사하려 할 경우, 의 근방에서 이 아닌 함수 전체가 이루는 집합 를 생각하게 된다. 그런 의미에서, 을 에 관해 국소화하여 얻어지는 환 는 의 근방에서의 의 거동에 대한 정보만을 포함한다. (국소환도 참조).

수론 및 대수적 위상수학에서, 수 "에서의" 환이나 공간이라든지, 에서 "멀다"와 같은 언급을 할 때가 있다. "에서 멀다"("away from ")의 의미는, "그 환 안에서 이 가역" (따라서, Z[1/]-대수가 된다)라는 것이다. 예를 들어, 체에 대해 "소수 에서 멀다"라고 하면 "그 체의 표수는 와 다르다"는 의미가 된다. 는 "에서 멀다"지만 나 는 그렇지 않다.

2.1. 정의

가환환 R의 곱셈 닫힌 집합 S에 대한 국소화 S^{-1}R은 R의 원소를 분자로, S의 원소를 분모로 하는 분수들의 집합이다. S^{-1}R은 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 및 환 준동형이다.

# 임의의 s\in S\subseteq R에 대하여, \phi(s)\in S^{-1}R는 가역원이다.
# (1)을 만족시키는 임의의 가환환 R' 및 환 준동형 \phi'\colon R\to R'에 대하여, \phi'=\chi\circ\phi이 되는 환 준동형 \chi\colon S^{-1}R\to R'가 유일하게 존재한다.

:\begin{matrix}
R&\xrightarrow{\phi}&S^{-1}R\\
&{\scriptstyle\phi'}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\
&&R'
\end{matrix}

이때, (r_1, s_1) \sim (r_2, s_2)는 t\in S가 존재하여 t(s_1r_2-s_2r_1)=0인 경우로 정의되는 동치 관계를 사용하여, 영인자로 인해 발생할 수 있는 문제를 해결한다.

S^{-1}R에서, (r, s)의 동치류는 \frac rs, r/s, 또는 s^{-1}r로 표기된다.

S^{-1}R의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

* 덧셈: \frac {r_1}{s_1}+\frac {r_2}{s_2} = \frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2}
* 곱셈: \frac {r_1}{s_1}\,\frac {r_2}{s_2} = \frac{r_1r_2}{s_1s_2}

덧셈 항등원은 \tfrac 01이고, 곱셈 항등원은 \tfrac 11이다.

함수 r\mapsto \frac r1는 R에서 S^{-1}R로의 환 준동형사상을 정의하며, S가 영인자를 포함하지 않는 경우에만 단사 함수이다. 만약 0\in S이면, S^{-1}R은 영환이 된다. S가 R의 모든 정칙 원소의 집합이면, S^{-1}R은 R의 전체 분수환이라고 불린다.

2.2. 보편 성질

R가 가환환이고, S\subseteq R가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, R의 S에 대한 국소화 (S^{-1}R,\phi)는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 S^{-1}R 및 환 준동형 \phi\colon R\to S^{-1}R으로 구성된다.

# 임의의 s\in S\subseteq R에 대하여, \phi(s)\in S^{-1}R는 가역원이다.
# (1)을 만족시키는 임의의 가환환 R' 및 환 준동형 \phi'\colon R\to R'에 대하여, \phi'=\chi\circ\phi이 되는 환 준동형 \chi\colon S^{-1}R\to R'가 유일하게 존재한다.
:\begin{matrix}
R&\xrightarrow{\phi}&S^{-1}R\\
&{\scriptstyle\phi'}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\
&&R'
\end{matrix}

국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.

환 준동형 사상 j\colon R\to S^{-1}R은 S^{-1}R을 환 동형 사상까지 특징짓는 보편 성질을 만족한다. 만약 f\colon R\to T가 S의 모든 원소를 T의 단원 (가역 원소)으로 보내는 환 준동형 사상이라면, f=g\circ j를 만족하는 유일한 환 준동형 사상 g\colon S^{-1}R\to T가 존재한다.



환의 국소화의 보편성은 다음과 같다. 환 준동형 j\colon R\to S^{-1}R는 S의 각 원소를 S^{-1}R의 단원으로 대응시키고, f\colon R\to T를 다른 환 준동형으로 S의 각 원소를 T의 단원에 대응시키는 것이라면, 환 준동형 g\colon S^{-1}R\to T로 f = g \circ j를 만족하는 것이 단 하나 존재한다.

2.3. 구성

가환환 R와 곱셈에 대한 모노이드 S\subseteq R가 주어졌을 때, R\times S 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

:(r,s)\sim(r',s')

이는 r,r'\in R, s,s'\in S에 대해 t(rs'-r's)=0인 t\in S가 존재할 때 성립한다.

이때 S^{-1}R=(R\times S)/{\sim}로 정의한다. 이는 (r,s)를 분수 r/s와 같이 해석하는 것이다. 앞으로 (r,s)를 r/s로 표기한다.

S^{-1}R 위에는 다음과 같은 가환환 구조를 정의할 수 있다.
:\frac rs+\frac{r'}{s'}=\frac{rs'+r's}{ss'}
:\frac rs\frac{r'}{s'}=\frac{rr'}{ss'}

이와 같이 분수의 덧셈과 곱셈 연산을 정의하여 환 구조를 부여한다.

또한, R에서 S^{-1}R로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.
:r\mapsto\frac r1

이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

2.4. 예시

* 정수환 \mathbb Z의 분수체는 유리수체 \mathbb Q이며, 이는 \mathbb Z의 0이 아닌 모든 원소로 이루어진 곱셈 닫힌 집합에 대한 국소화이다.
* 정수환 \mathbb Z의 소 아이디얼 (p) (p는 소수)에 대한 국소화 \mathbb Z_{(p)}는 분모가 p의 배수가 아닌 유리수들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.
:\mathbb Z_{(p)}=\{m/n\colon\gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}\subsetneq\mathbb Q
* 정수환의 몫환 \mathbb Z/(n)의 국소화는 중국인의 나머지 정리를 이용하여 이해할 수 있다. 만약 n=ab이고 a와 b가 1보다 큰 서로소 자연수라면, \mathbb Z/ab=\mathbb Z/a\times\mathbb Z/b이다. 이 경우 S=\{(1,0),(1,1)\}에 대한 국소화는 S^{-1}R=\mathbb Z/b이다.

3. 비가환환의 국소화

가환환이 아닌 환의 국소화는 가환환의 경우보다 더 복잡하며, 항상 존재하지 않을 수도 있다. 임의의 환 R 및 부분 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 \phi\colon R\to S^{-1}R를 생각할 수 있는데, 이는 환의 범주에서 보편 성질을 만족시키는 환이다. 그러나 비가환환의 국소화는 일반적인 가환환의 국소화와 달리 다음 성질들이 모두 성립하지 않을 수 있다.

* (A) (A′) S^{-1}R의 모든 원소는 각각 xs=r, sx=r 형태 (s\in S, r\in R)이다.
* (B) (B′) \phi\colon R\to S^{-1}R의 핵은 \ker\phi=\{r\in R\colon 0\in rS\} 또는 \ker\phi=\{r\in R\colon 0\in Sr\}이다.
* (C) R\ne0이며 0\not\in S라면 S^{-1}R\ne0이다.

이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편 S-가역화 환(universal S-inverting ring영어)이라고 불리기도 한다.

비가환환의 국소화 존재는 범주론적으로 프레이드 수반 함자 정리를 통해 보일 수 있다. 표현 가능 함자 \hom_{\operatorname{Ring}}(R,-) 속에서, S를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자를 통해 국소화를 구성할 수 있다.

만약 R가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 S^{-1}R는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

체 K 및 정수 n\ge2에 대한 행렬환 \operatorname{Mat}(K;n)에서, S=\{1,E_{i,j}\} (E_{i,j}는 특정 성분이 1이고 나머지가 0인 행렬)일 때, 국소화 S^{-1}\operatorname{Mat}(K;n)는 자명환이다.

오레 조건은 비가환환의 국소화가 잘 정의되기 위한 충분조건 중 하나이다.

비가환환의 국소화는 미분 방정식을 다루는 미분 연산자의 환과 같은 분야에서 응용된다. 예를 들어, 미분 연산자 D에 대한 형식적 역 D−1을 추가하는 것으로 해석될 수 있으며, 이는 마이크로국소화라는 이론으로 연결된다.

3.1. 오레 국소화

환 R와 부분 모노이드 S\subseteq R가 오레 조건(Ore condition영어)을 만족시키면, 가환환의 국소화와 유사하게 비가환환의 국소화를 구성할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 특정 성질들을 만족시킨다.

R와 S가 다음 두 조건을 만족시키면, 왼쪽 오레 조건(left Ore condition영어)이 성립한다고 한다.
* Sr \cap Rs \ne\varnothing\quad\forall r\in R,\;s\in S
* \left(0\in rS\implies 0\in Sr\right)\quad\forall r\in R

마찬가지로, R와 S가 다음 조건을 만족시키면, 오른쪽 오레 조건(right Ore condition영어)이 성립한다고 한다.
* rS \cap sR \ne\varnothing\quad\forall r\in R,\;s\in S
* \left(0\in Sr\implies 0\in rS\right)\quad\forall r\in R

왼쪽 오레 조건을 만족하는 경우, 곱집합 R\times S 위에 동치 관계를 정의하고, 몫집합 (R\times S)/{\sim}을 통해 S^{-1}R를 구성할 수 있다. (r,s)의 동치류는 s^{-1}r로 표기한다. 곱셈과 덧셈은 다음과 같이 정의된다.
* 곱셈: (s^{-1}r)(s'^{-1}r')=(\tilde ss)^{-1}(\tilde rr')\qquad(\tilde r\in R,\quad\tilde s\in S,\quad\tilde rs'=\tilde sr)
* 덧셈: s^{-1}r+s'^{-1}r'=(\tilde ss)^{-1}(\tilde sr+\tilde rr')\qquad(\tilde r\in R,\quad\tilde s\in S,\quad\tilde ss=\tilde rs')

오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 S^{-1}R를 구성할 수 있다.

이렇게 구성된 국소화를 오레 국소화(Ore localization영어)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여 왼쪽/오른쪽 오레 조건은 각각 특정 조건을 만족시키는 환 준동형 \phi\colon R\to R'의 존재와 동치이다.

4. 가군의 국소화

환 R가 가환환이고, S가 R의 곱셈 집합, M이 R-가군이라고 하자. 가군의 국소화 S^{-1}M은 S^{-1}R-가군으로, R의 국소화와 거의 동일하게 구성된다. 다만 분자가 M의 원소이다. 즉, S^{-1}M은 m\in M, s\in S에 대해 \frac ms로 표기되는 쌍 (m, s)들의 동치류로 구성된다. 두 쌍 (m, s)와 (n, t)는 다음을 만족하는 u\in S가 존재할 때 동치이다.

:u(sn-tm)=0.

덧셈과 스칼라 곱셈은 일반적인 분수와 유사하게 정의된다 (r\in R, s,t\in S, m,n\in M):

:\frac{m}{s} + \frac{n}{t} = \frac{tm+sn}{st},
:\frac rs \frac{m}{t} = \frac{r m}{st}.

S^{-1}M은 R-가군으로 볼 수도 있으며, 스칼라 곱셈은 다음과 같다.

: r\, \frac{m}{s} = \frac r1 \frac ms = \frac{rm}s.

이 연산들은 잘 정의되어 있으며, 즉 분수의 다른 대표자를 선택해도 같은 결과를 얻는다.

가군의 국소화는 텐서 곱을 사용하여 다음과 같이 정의할 수도 있다.

:S^{-1}M=S^{-1}R \otimes_R M.

두 정의가 같은 보편 성질을 만족한다는 것을 보이면 (표준 동형까지) 동등함을 증명할 수 있다.

5. 성질

국소화는 환과 가군의 여러 성질을 보존하며, 다음과 같은 유용한 성질들을 가진다.

* $S^{-1}R = 0$ (영환)이 될 필요충분조건은 $S$가 0을 포함하는 것이다.
* 환 준동형 $R\to S^{-1}R$이 단사 함수가 될 필요충분조건은 $S$가 영인자를 포함하지 않는 것이다.
* 환 준동형 $R\to S^{-1}R$은 환의 범주에서 에피모피즘이지만, 일반적으로 전사 함수는 아니다.
* $S^{-1}R$은 평탄한 $R$-가군이다.

뇌터 가환환 $R$ 위의 단사 가군 $I$ 및 임의의 원소 $r\in R$에 대하여, $I\to I_r$는 전사 함수이다.

만약 $S=R\setminus \mathfrak p$가 소 아이디얼 $\mathfrak p$의 여집합이라면, $S^{-1} R$은 $R_\mathfrak p$로 표기되며, 이는 국소환이다. 즉, 단 하나의 극대 아이디얼만을 갖는다.

5.1. 소 아이디얼과의 관계

가환환 $R$의 국소화 $S^{-1}R$의 소 아이디얼은 $R$의 소 아이디얼 중 $S$와 서로소인 것들과 일대일 대응된다. 특히, 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$에 대한 국소화 $R_{\mathfrak{p}}$는 국소환이 된다.

좀 더 구체적으로 설명하면, 가환환 $R$과 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, 국소화 $\phi\colon R\to S^{-1}R$의 소 아이디얼들은 $R$의 소 아이디얼 가운데 $S$와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

$f\colon\operatorname{Spec}(S^{-1}R)\to\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak p\cap S=\varnothing\}$
$f\colon\mathfrak q\mapsto\phi^{-1}(\mathfrak q)$

여기서 $\phi\colon R\to S^{-1}R$는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.

특히, $R$의 소 아이디얼 $\mathfrak p$에 대하여, $R_{\mathfrak p}$는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 $\mathfrak p$에 대응한다. 환 $R$이 정역이고 $S$가 0을 포함하지 않는 경우, 환 $S^{-1}R$은 $R$의 분수체의 부분환이다. 따라서 정역의 국소화는 정역이다.

소 아이디얼의 정의에 의해 가환환 $R$에서 소 아이디얼 $\mathfrak p$의 여집합 $S=R\setminus \mathfrak p$가 곱셈적 집합임을 알 수 있다. 이 경우 국소화 $S^{-1}R$은 일반적으로 $R_\mathfrak p$로 표기된다. 환 $R_\mathfrak p$는 $R$에서의 국소환이라고 불리는 국소환이다. 이는 $\mathfrak p\,R_\mathfrak p=\mathfrak p\otimes_R R_\mathfrak p$가 환 $R_\mathfrak p$의 유일한 극대 아이디얼임을 의미한다.

가환환 $R$과 $R$의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$에 대해, $\mathfrak{p}$의 $R$에서의 여집합 $ R\setminus\mathfrak{p}$는 곱셈 폐집합이며, 이에 대응하는 국소화를 $R_{\mathfrak{p}}$로 나타낸다. 이때, $R_{\mathfrak{p}}$의 유일한 극대 아이디얼은 $\mathfrak{p}R_\mathfrak{p} = \{ r/s \mid r \in \mathfrak{p}, s \in R \setminus \mathfrak{p} \}$와 같다. 따라서 $R_\mathfrak{p}$는 국소환이다.

$S^{-1}R$의 소 아이디얼 전체의 집합과 $R$의 $S$와 교차하지 않는 소 아이디얼 전체의 집합 사이에는 전단사 함수가 존재한다. 이 전단사 함수는 환 준동형 $R \to S^{-1}R$에 의해 유도된다.

6. 응용

대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.

* 원소 f\in R가 주어진 경우, R_f는 S=\{1,f,f^2,f^3,\dots\}에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 f가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 U_f\subset\operatorname{Spec}R에 국한한 것이다.
* 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k[x]의 경우 k[x]_x=k[x,x^{-1}]는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 \{x\ne0\}=\mathbb A^1_k\setminus\{0\} 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, \{x\ne0\}으로 국한된 것을 알 수 있다.
* 소 아이디얼 \mathfrak p\in R가 주어진 경우, R_{\mathfrak p}는 S=R\setminus\mathfrak p에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R의 자리스키 폐포 V(\mathfrak p)의 근방에 국한한 것이다.
* 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k[x]를 극대 아이디얼 (x)에서 국소화하면 유리 함수체 k[x]_{(x)}=k(x)=\{f(x)/g(x)\colon f(x),g(x)\in k[x], g(0)\ne0\}을 얻는다. 이는 x=0의 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로, x=0의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.

정수론과 대수적 위상수학에서, 정수 링 \Z에서 작업할 때, 정수 n에 상대적인 속성은 고려되는 국소화에 따라 n 에서 또는 n 에서 벗어나서 참인 속성으로 지칭된다. "n에서 벗어나서"는 n의 거듭제곱으로 국소화한 후에 속성을 고려한다는 의미이며, p가 소수인 경우, "p에서"는 소 아이디얼 p\Z에서 국소화한 후에 속성을 고려한다는 의미이다.

주로 가환환론과 대수기하학에서 발생하는 국소화는 다음과 같다.

* 집합 S는 주어진 원소 r의 거듭제곱 전체로 이루어진다. 이 때의 국소화는 함수 r이 영이 아닌 자리스키 열린 집합 U_r \subset \operatorname{Spec}(R)으로의 제한에 대응한다.
* 집합 S를 R의 주어진 소 아이디얼 \mathfrak{p}의 여집합이라고 하면, \mathfrak{p}가 소 아이디얼이기 때문에 S는 곱셈 닫힌 집합이 된다. 이 경우, "소 아이디얼 \mathfrak{p}에 의한 국소화"라고 부르는 것이 보통이다.

7. 역사

1927년에 하인리히 그렐(Heinrich Grell독일어, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다. 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 오레 국소화를 도입하였다. (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.)

임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(Алекса́ндр Илларио́нович У́зков러시아어)가 도입하였다.