화살집 게이지 이론

1. 개요

화살집 게이지 이론은 수학적 구조인 화살집을 사용하여 게이지 이론을 설명하는 이론이다. 4차원 N=1 초대칭 게이지 이론을 예시로, 화살집의 각 꼭짓점에 리 군을, 각 변에 초장을 대응시켜 이론을 구성한다. 이러한 이론은 끈 이론과의 관계가 있으며, D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다. 화살집 게이지 이론은 표준 모형의 장들을 표현하는 데 사용될 수 있으며, 게이지 변칙의 발생 여부를 쉽게 확인할 수 있다. 이 이론은 하워드 조자이에 의해 처음 도입되었으며, 끈 이론과의 연관성은 마이클 더글러스와 그레고리 윈스럽 무어에 의해 밝혀졌다.

2. 정의

편의상, 4차원 시공간의 $\backslash mathcal\; N=1$ 초대칭 게이지 이론을 기준으로 설명한다.

화살집 게이지 이론은 다음과 같은 데이터로 정의된다.
* 유한 화살집 $Q$
* $Q$의 각 꼭짓점 $v\backslash in\backslash operatorname\; V(Q)$에 대하여, 연결 콤팩트 리 군 $G\_v$. 이 군은 유니터리 군 $\backslash operatorname\; U(N)$, 특수 유니터리 군 $\backslash operatorname\{SU\}(N)$, 특수 직교군 $\backslash operatorname\{SO\}(N)$, 심플렉틱 군 $\backslash operatorname\{USp\}(N)$ 가운데 하나이다.

이 데이터를 바탕으로 정의되는 화살집 게이지 이론은 다음과 같은 4차원 $\backslash mathcal\; N=1$ 초대칭 게이지 이론이다.
* 게이지 군은 각 꼭짓점에 대응하는 리 군들의 곱 $\backslash textstyle\backslash prod\_\{v\backslash in\backslash operatorname\; V(Q)\}G\_v$이다.
* $Q$의 각 변 $e\backslash colon\; u\backslash to\; v$에 대하여, 쌍기본 표현(bifundamental representation^영어) $\backslash bar\; N\_u\; \backslash otimes\; N\_v$으로 변환하는 손지기 초장 $\backslash Phi\_e$이 존재한다. 여기서 $N\_u$와 $N\_v$는 각각 $G\_u$와 $G\_v$의 정의 표현(defining representation^영어)을 나타낸다.

다른 차원에서도 유사한 방식으로 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다.

화살집 도형은 특히 등각 게이지 이론을 나타내는 데 유용하며, 화살집의 구조를 통해 해당 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 쉽게 확인할 수 있다.

2.1. 예시

화살집의 각 변 $e\backslash colon\; u\backslash to\; v$에 대응하는 초장 $\backslash Phi\_e$이 변환하는 표현 $\backslash bar\; N\_u\; \backslash otimes\; N\_v$을 쌍기본 표현(bifundamental representation^영어)이라고 한다. 예를 들어, 화살집의 두 꼭짓점 $u,\; v$에 각각 리 군 $\backslash operatorname\{SU\}(2)$와 $\backslash operatorname\{SU\}(3)$이 대응된다고 하자. 그렇다면 이 두 꼭짓점을 잇는 변 $e:\; u\; \backslash to\; v$는 $\backslash operatorname\{SU\}(2)$의 기본 표현의 켤레 표현 $\backslash bar\{\backslash mathbf\{2\}\}$와 $\backslash operatorname\{SU\}(3)$의 기본 표현 $\backslash mathbf\{3\}$의 텐서곱인 6차원 표현 $\backslash bar\{\backslash mathbf\{2\}\}\_\{\backslash operatorname\{SU\}(2)\}\backslash otimes\{\backslash mathbf\{3\}\}\_\{\backslash operatorname\{SU\}(3)\}$으로 변환하는 초장 $\backslash Phi\_e$에 해당한다.

3. 성질

편의를 위해 4차원 시공간에서 초대칭 $\backslash mathcal\{N\}\; =1$ 게이지 이론을 기준으로 살펴보자.

화살집 게이지 이론은 다음과 같은 요소들로 정의된다.
* 유한 화살집 $Q$
* 화살집의 각 정점 $v\backslash in\; \backslash operatorname\{V\}(Q)$는 콤팩트 리 군 $G\_\{v\}$에 해당한다. 이 군은 유니타리 군 $U(N)$, 특수 유니타리 군 $SU(N)$, 특수 직교 군 $SO(N)$ 또는 심플렉틱 군 $USp(N)$ 등이 될 수 있다.
* 전체 게이지 군은 각 정점에 해당하는 군들의 곱 $\backslash textstyle\; \backslash prod\_\{v\backslash in\; \backslash operatorname\{V\}(Q)\}G\_\{v\}$으로 주어진다.
* 화살집의 각 변(화살표) $e\backslash colon\; u\backslash to\; v$는 특정 표현 $\{\backslash bar\{N\}\}\_\{u\}\backslash otimes\; N\_\{v\}$에 해당하며, 이는 쌍기본 표현(bifundamental representation^영어)이라고 불린다. 이 표현에 대응하는 초장(superfield) $\backslash Phi\_\{e\}$이 존재한다.

예를 들어, 어떤 변의 시작점 $u$가 $SU(2)$ 군에 해당하고 도착점 $v$가 $SU(3)$ 군에 해당한다면, 이 변은 6차원 표현 $\{\backslash bar\; \{\backslash mathbf\{2\}\}\}\_\{\backslash operatorname\{SU\}(2)\}\backslash otimes\; \{\backslash mathbf\{3\}\}\_\{\backslash operatorname\{SU\}(3)\}$에 대응된다.

이렇게 정의된 화살집 게이지 이론은 4차원 $\backslash mathcal\{N\}\; =1$ 초대칭 게이지 이론의 한 종류이다. 비슷한 방식으로 더 높은 차원에서의 화살집 게이지 이론도 정의할 수 있다.

화살집은 특히 등각 게이지 이론(conformal gauge theory)을 나타내는 데 유용하다. 화살집의 구조를 통해 해당 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 비교적 쉽게 확인할 수 있다는 장점이 있다.

3.1. 변칙 상쇄 조건

편의상, 4차원 $\backslash mathcal\; N=1$ SU(N)×…×SU(N) 양-밀스 이론을 예로 들어 살펴보자. 이러한 이론은 다음과 같은 데이터로 정의된다.
* 유한 화살집 $Q$
* 각 꼭짓점 $v\backslash in\backslash operatorname\; V(Q)$에 대응하는 2 이상의 정수 $N\_v$. 이 꼭짓점은 게이지 군 $\backslash operatorname\; U(N\_v)$ (또는 편의상 $\backslash operatorname\{SU\}(N\_v)$)를 나타낸다.

이론의 변칙 여부를 확인하기 위해, 화살집 $Q$로부터 부호 결합 행렬(signed incidence matrix^영어) $B\_Q$를 정의할 수 있다. 이는 $|\backslash operatorname\; V(Q)|\backslash times|\backslash operatorname\; E(Q)|$ 크기의 행렬로, 각 성분 $M(e,v)$는 다음과 같이 주어진다.
:$M(e,v)\; =\; \backslash begin\{cases\}$
+1 & v = t(e) \ne s(e)\\
-1 & v = s(e) \ne t(e)\\
0 & v = t(e) = s(e) \\
0 & s(e) \ne v \ne t(e)
\end{cases}
여기서 $e$는 화살집의 변(edge), $v$는 꼭짓점(vertex), $s(e)$는 변 $e$의 시작점, $t(e)$는 변 $e$의 도착점을 의미한다. 즉, 이 행렬은 각 꼭짓점에 어떤 변들이 들어오고 나가는지를 부호를 통해 나타낸다.

이 부호 결합 행렬을 이용하여 부호 인접 행렬(signed adjacency matrix^영어) $A\_Q$를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:$A\_Q=B\_Q^\backslash top\; B\_Q$
여기서 $B\_Q^\backslash top$는 $B\_Q$의 전치행렬이다.

또한, 각 꼭짓점 $v$에 대응하는 차원 $N\_v$들을 모아 $|\backslash operatorname\; V(Q)|\backslash times\; 1$ 크기의 열벡터 $N$으로 간주하자.

화살집 $(Q,N)$에 대응되는 게이지 이론이 게이지 변칙을 갖지 않기 위한 필요 조건은 다음과 같다.
:$A\_Q\; N\; =\; B\_Q^\backslash top\; B\_Q\; N\; =\; 0$
이 조건은 각 꼭짓점 $v$에 해당하는 게이지 군 $\backslash operatorname\{SU\}(N\_v)$에서, 연결된 변들이 나타내는 물질장 표현들(기본 표현과 반기본 표현)의 기여도가 총합 0이 되어 변칙이 상쇄되어야 함을 의미한다. 즉, 각 꼭짓점으로 들어오는 화살표와 나가는 화살표에 연관된 표현들의 수가 특정 균형을 이루어야 한다.

특히, 어떤 꼭짓점 $v$에 대해 $N\_v=2$인 경우, 즉 $\backslash operatorname\{SU\}(2)$ 게이지 군에 대해서는 위의 조건을 만족하더라도 대역적 위튼 변칙이 발생할 수 있으므로 추가적인 확인이 필요하다.

3.2. 끈 이론과의 관계

일부 화살집 게이지 이론은 점근 국소 유클리드 공간 위에 평행한 D-막들을 놓았을 때, 이 D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다.

구체적으로, SU(2)의 유한 부분군 $\backslash Gamma\backslash le\backslash operatorname\{SU\}(2)$가 주어졌을 때, $\backslash mathbb\; R^4\; \backslash cong\; \backslash mathbb\; C^2$의 뒤발 특이점 $\backslash mathbb\; C^2/\backslash Gamma$을 정의할 수 있다. 이는 오비폴드의 일종이며, 이 위에 초끈 이론을 정의할 수 있다. IIB형 초끈 이론에서, 이 오비폴드의 특이점에 $N$개의 D5-막을 배치하면, 그 위에는 $\backslash Gamma$의 매케이 화살집에 해당하는 5+1차원 $\backslash mathcal\; N=(1,0)$ 화살집 게이지 이론이 존재한다.

이 이론은 오비폴드를 적용하기 전의 6차원 $\backslash mathcal\; N=(1,1)$ 이론에 오비폴드를 가한 것으로 해석할 수 있다. $\backslash mathcal\; N=(1,0)$ 초대칭의 관점에서 보면, 이 이론은 하나의 딸림표현 벡터 초다중항과 하나의 딸림표현 하이퍼 초다중항으로 구성된다. 이론의 각 오비폴드 섹터는 일반적으로 천-페이턴 지표 공간 $\backslash mathbb\; C^N$으로 분류되며, 이는 $\backslash Gamma$의 유니터리 표현에 해당한다. 이 표현을 $\backslash Gamma$의 기약 표현으로 분해하면 다음과 같다.
:$\backslash mathbb\; C^N\; =\; \backslash bigoplus\; N\_i\backslash rho\_i$
이 경우, 원래의 $\backslash operatorname\; U(N)$ 게이지 군은 다음과 같이 깨진다.
:$\backslash prod\_i\; \backslash operatorname\; U(N\_i)$
(여기서 U(1) 성분은 나머지 성분과 상호작용하지 않으므로, 실질적으로 $\backslash textstyle\backslash prod\_i\backslash operatorname\{SU\}(N\_i)$로 간주해도 된다.) 하이퍼 초다중항의 경우, SU(2) R대칭의 2 표현을 따르므로, 이들은 2 표현에 대한 매케이 화살집의 변(edge)에 해당하는 게이지 표현을 갖는다.

D5-막 대신 T-이중성을 적용하면, 6차원 이하의 임의의 차원에서 위와 유사하게 16개의 초전하를 갖는 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다. 예를 들어, 4차원에서는 $\backslash mathcal\; N=2$ 초대칭 이론에 해당한다.

마찬가지로, SU(3)의 유한 부분군 $\backslash Gamma\backslash le\backslash operatorname\{SU\}(3)$가 주어졌을 때, $\backslash mathbb\; R^6\; \backslash cong\; \backslash mathbb\; C^3$의 오비폴드 $\backslash mathbb\; C^3/\backslash Gamma$를 생각할 수 있다. IIB형 초끈 이론에서 이 오비폴드의 특이점에 $N$개의 D3-막을 배치하면, 그 위에는 $\backslash Gamma$의 매케이 화살집에 해당하는 3+1차원 $\backslash mathcal\; N=1$ 화살집 게이지 이론이 존재한다. 이는 4차원 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론에서 R대칭 군 SU(4)의 부분군인 SU(3)를 통해 오비폴드를 적용하는 것에 해당한다. (만약 SU(4) 전체에 속하는 일반적인 부분군을 사용하면, 초대칭이 전혀 남지 않게 된다.) 이 경우, 스칼라 보손들은 SU(3)의 3⊕ (원래 SU(4)의 6) 표현을 따르고, 페르미온들은 SU(3)의 3⊕1 (원래 SU(4)의 4) 표현을 따른다. 즉, 이 입자들은 해당 표현에 대한 매케이 화살집으로 묘사되는 게이지 표현을 갖는다. 이 중 3(또는 ) 표현에 해당하는 입자들은 4차원 $\backslash mathcal\; N=1$ 손지기 초다중항을 이루며, 1 표현에 해당하는 페르미온은 $\backslash mathcal\; N=1$ 벡터 초다중항의 일부이다.

4. 응용

화살집 게이지 이론은 물리학의 여러 분야, 특히 입자물리학에서 게이지 이론을 시각적이고 대수적으로 다루는 데 유용하게 응용될 수 있다. 대표적으로, 표준 모형과 같은 복잡한 이론의 입자 및 상호작용 구조를 화살집 형태로 표현하여 분석하는 데 활용된다.

4.1. 표준 모형

표준 모형의 한 세대의 장들은 다음과 같이 화살집으로 표기될 수 있다.
:$1\; \backslash ,\; \backslash overset\; L\backslash to\; \backslash ,\; \backslash operatorname\{SU\}(2)\; \backslash ,\; \backslash overset\; Q\backslash to\; \backslash ,\; \backslash operatorname\{SU\}(3)\; \backslash ,\; \backslash overset\{\; U^\{\backslash mathsf\; c\}\}\{\backslash underset\{D^\{\backslash mathsf\; c\}\}\backslash rightrightarrows\}\; \backslash ,\; 1$
이 표현을 통해, $\backslash operatorname\{SU\}(2)$ 및 $\backslash operatorname\{SU\}(3)$에 대하여 게이지 변칙이 발생하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다. 그러나 이 방식은 U(1)을 표기하지 못하는 한계가 있다.

5. 역사