화살집 게이지 이론

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 예시
3. 성질
- 3.1. 변칙 상쇄 조건
- 3.2. 끈 이론과의 관계
4. 응용
- 4.1. 표준 모형
5. 역사
참조

1. 개요

화살집 게이지 이론은 수학적 구조인 화살집을 사용하여 게이지 이론을 설명하는 이론이다. 4차원 N=1 초대칭 게이지 이론을 예시로, 화살집의 각 꼭짓점에 리 군을, 각 변에 초장을 대응시켜 이론을 구성한다. 이러한 이론은 끈 이론과의 관계가 있으며, D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다. 화살집 게이지 이론은 표준 모형의 장들을 표현하는 데 사용될 수 있으며, 게이지 변칙의 발생 여부를 쉽게 확인할 수 있다. 이 이론은 하워드 조자이에 의해 처음 도입되었으며, 끈 이론과의 연관성은 마이클 더글러스와 그레고리 윈스럽 무어에 의해 밝혀졌다.

2. 정의

편의상, 4차원 시공간의 $\mathcal N=1$ 초대칭 게이지 이론을 기준으로 설명한다.

'''화살집 게이지 이론'''은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

유한 화살집 $Q$
$Q$ 의 각 꼭짓점 $v\in\operatorname V(Q)$ 에 대하여, 연결 콤팩트 리 군 $G_v$ . 이 군은 유니터리 군 $\operatorname U(N)$ , 특수 유니터리 군 $\operatorname{SU}(N)$ , 특수 직교군 $\operatorname{SO}(N)$ , 심플렉틱 군 $\operatorname{USp}(N)$ 가운데 하나이다.

이 데이터를 바탕으로 정의되는 화살집 게이지 이론은 다음과 같은 4차원

\mathcal N=1

초대칭 게이지 이론이다.

게이지 군은 각 꼭짓점에 대응하는 리 군들의 곱 $\textstyle\prod_{v\in\operatorname V(Q)}G_v$ 이다.
$Q$ 의 각 변 $e\colon u\to v$ 에 대하여, 쌍기본 표현(bifundamental representation^영어) $\bar N_u \otimes N_v$ 으로 변환하는 손지기 초장 $\Phi_e$ 이 존재한다. 여기서 $N_u$ 와 $N_v$ 는 각각 $G_u$ 와 $G_v$ 의 정의 표현(defining representation^영어)을 나타낸다.

다른 차원에서도 유사한 방식으로 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다.

화살집 도형은 특히 등각 게이지 이론을 나타내는 데 유용하며, 화살집의 구조를 통해 해당 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 쉽게 확인할 수 있다.

2. 1. 예시

화살집의 각 변

e\colon u\to v

에 대응하는 초장

\Phi_e

이 변환하는 표현

\bar N_u \otimes N_v

을 '''쌍기본 표현'''(bifundamental representation^영어)이라고 한다. 예를 들어, 화살집의 두 꼭짓점

u, v

에 각각 리 군

\operatorname{SU}(2)

와

\operatorname{SU}(3)

이 대응된다고 하자. 그렇다면 이 두 꼭짓점을 잇는 변

e: u \to v

는

\operatorname{SU}(2)

의 기본 표현의 켤레 표현

\bar{\mathbf{2}}

와

\operatorname{SU}(3)

의 기본 표현

\mathbf{3}

의 텐서곱인 6차원 표현

\bar{\mathbf{2}}_{\operatorname{SU}(2)}\otimes{\mathbf{3}}_{\operatorname{SU}(3)}

으로 변환하는 초장

\Phi_e

에 해당한다.

3. 성질

편의를 위해 4차원 시공간에서 초대칭 $\mathcal{N} =1$ 게이지 이론을 기준으로 살펴보자.

화살집 게이지 이론은 다음과 같은 요소들로 정의된다.

유한 화살집 $Q$
화살집의 각 정점 $v\in \operatorname{V}(Q)$ 는 콤팩트 리 군 $G_{v}$ 에 해당한다. 이 군은 유니타리 군 $U(N)$ , 특수 유니타리 군 $SU(N)$ , 특수 직교 군 $SO(N)$ 또는 심플렉틱 군 $USp(N)$ 등이 될 수 있다.
전체 게이지 군은 각 정점에 해당하는 군들의 곱 $\textstyle \prod_{v\in \operatorname{V}(Q)}G_{v}$ 으로 주어진다.
화살집의 각 변(화살표) $e\colon u\to v$ 는 특정 표현 ${\bar{N}}_{u}\otimes N_{v}$ 에 해당하며, 이는 쌍기본 표현(bifundamental representation^영어)이라고 불린다. 이 표현에 대응하는 초장(superfield) $\Phi_{e}$ 이 존재한다.

예를 들어, 어떤 변의 시작점

u

가

SU(2)

군에 해당하고 도착점

v

가

SU(3)

군에 해당한다면, 이 변은 6차원 표현

{\bar {\mathbf{2}}}_{\operatorname{SU}(2)}\otimes {\mathbf{3}}_{\operatorname{SU}(3)}

에 대응된다.

이렇게 정의된 화살집 게이지 이론은 4차원

\mathcal{N} =1

초대칭 게이지 이론의 한 종류이다. 비슷한 방식으로 더 높은 차원에서의 화살집 게이지 이론도 정의할 수 있다.

화살집은 특히 등각 게이지 이론(conformal gauge theory)을 나타내는 데 유용하다. 화살집의 구조를 통해 해당 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 비교적 쉽게 확인할 수 있다는 장점이 있다.

3. 1. 변칙 상쇄 조건

편의상, 4차원

\mathcal N=1

SU(N)×…×SU(N) 양-밀스 이론을 예로 들어 살펴보자. 이러한 이론은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

유한 화살집 $Q$
각 꼭짓점 $v\in\operatorname V(Q)$ 에 대응하는 2 이상의 정수 $N_v$ . 이 꼭짓점은 게이지 군 $\operatorname U(N_v)$ (또는 편의상 $\operatorname{SU}(N_v)$ )를 나타낸다.

이론의 변칙 여부를 확인하기 위해, 화살집

Q

로부터 부호 결합 행렬(signed incidence matrix^영어)

B_Q

를 정의할 수 있다. 이는

|\operatorname V(Q)|\times|\operatorname E(Q)|

크기의 행렬로, 각 성분

M(e,v)

는 다음과 같이 주어진다.

:

M(e,v) = \begin{cases}+1 & v = t(e) \ne s(e)\\

1 & v = s(e) \ne t(e)\\

0 & v = t(e) = s(e) \\0 & s(e) \ne v \ne t(e)\end{cases}

여기서

e

는 화살집의 변(edge),

v

는 꼭짓점(vertex),

s(e)

는 변

e

의 시작점,

t(e)

는 변

e

의 도착점을 의미한다. 즉, 이 행렬은 각 꼭짓점에 어떤 변들이 들어오고 나가는지를 부호를 통해 나타낸다.

이 부호 결합 행렬을 이용하여 부호 인접 행렬(signed adjacency matrix^영어)

A_Q

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

A_Q=B_Q^\top B_Q

여기서

B_Q^\top

는

B_Q

의 전치행렬이다.

또한, 각 꼭짓점

v

에 대응하는 차원

N_v

들을 모아

|\operatorname V(Q)|\times 1

크기의 열벡터

N

으로 간주하자.

화살집

(Q,N)

에 대응되는 게이지 이론이 게이지 변칙을 갖지 않기 위한 필요 조건은 다음과 같다.^[2]

:

A_Q N = B_Q^\top B_Q N = 0

이 조건은 각 꼭짓점

v

에 해당하는 게이지 군

\operatorname{SU}(N_v)

에서, 연결된 변들이 나타내는 물질장 표현들(기본 표현과 반기본 표현)의 기여도가 총합 0이 되어 변칙이 상쇄되어야 함을 의미한다. 즉, 각 꼭짓점으로 들어오는 화살표와 나가는 화살표에 연관된 표현들의 수가 특정 균형을 이루어야 한다.

특히, 어떤 꼭짓점

v

에 대해

N_v=2

인 경우, 즉

\operatorname{SU}(2)

게이지 군에 대해서는 위의 조건을 만족하더라도 대역적 위튼 변칙이 발생할 수 있으므로 추가적인 확인이 필요하다.

3. 2. 끈 이론과의 관계

일부 화살집 게이지 이론은 점근 국소 유클리드 공간 위에 평행한 D-막들을 놓았을 때, 이 D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다.^[7]^[3]^[4]^[2]

구체적으로, SU(2)의 유한 부분군

\Gamma\le\operatorname{SU}(2)

가 주어졌을 때,

\mathbb R^4 \cong \mathbb C^2

의 뒤발 특이점

\mathbb C^2/\Gamma

을 정의할 수 있다. 이는 오비폴드의 일종이며, 이 위에 초끈 이론을 정의할 수 있다. IIB형 초끈 이론에서, 이 오비폴드의 특이점에

N

개의 D5-막을 배치하면, 그 위에는

\Gamma

의 매케이 화살집에 해당하는 5+1차원

\mathcal N=(1,0)

화살집 게이지 이론이 존재한다.^[7]^[4]^[5]

이 이론은 오비폴드를 적용하기 전의 6차원

\mathcal N=(1,1)

이론에 오비폴드를 가한 것으로 해석할 수 있다.

\mathcal N=(1,0)

초대칭의 관점에서 보면, 이 이론은 하나의 딸림표현 벡터 초다중항과 하나의 딸림표현 하이퍼 초다중항으로 구성된다. 이론의 각 오비폴드 섹터는 일반적으로 천-페이턴 지표 공간

\mathbb C^N

으로 분류되며, 이는

\Gamma

의 유니터리 표현에 해당한다. 이 표현을

\Gamma

의 기약 표현으로 분해하면 다음과 같다.

:

\mathbb C^N = \bigoplus N_i\rho_i

이 경우, 원래의

\operatorname U(N)

게이지 군은 다음과 같이 깨진다.

:

\prod_i \operatorname U(N_i)

(여기서 U(1) 성분은 나머지 성분과 상호작용하지 않으므로, 실질적으로

\textstyle\prod_i\operatorname{SU}(N_i)

로 간주해도 된다.) 하이퍼 초다중항의 경우, SU(2) R대칭의 2 표현을 따르므로, 이들은 2 표현에 대한 매케이 화살집의 변(edge)에 해당하는 게이지 표현을 갖는다.

D5-막 대신 T-이중성을 적용하면, 6차원 이하의 임의의 차원에서 위와 유사하게 16개의 초전하를 갖는 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다. 예를 들어, 4차원에서는

\mathcal N=2

초대칭 이론에 해당한다.

마찬가지로, SU(3)의 유한 부분군

\Gamma\le\operatorname{SU}(3)

가 주어졌을 때,

\mathbb R^6 \cong \mathbb C^3

의 오비폴드

\mathbb C^3/\Gamma

를 생각할 수 있다. IIB형 초끈 이론에서 이 오비폴드의 특이점에

N

개의 D3-막을 배치하면, 그 위에는

\Gamma

의 매케이 화살집에 해당하는 3+1차원

\mathcal N=1

화살집 게이지 이론이 존재한다. 이는 4차원 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론에서 R대칭 군 SU(4)의 부분군인 SU(3)를 통해 오비폴드를 적용하는 것에 해당한다. (만약 SU(4) 전체에 속하는 일반적인 부분군을 사용하면, 초대칭이 전혀 남지 않게 된다.) 이 경우, 스칼라 보손들은 SU(3)의 3⊕ (원래 SU(4)의 6) 표현을 따르고, 페르미온들은 SU(3)의 3⊕1 (원래 SU(4)의 4) 표현을 따른다. 즉, 이 입자들은 해당 표현에 대한 매케이 화살집으로 묘사되는 게이지 표현을 갖는다. 이 중 3(또는 ) 표현에 해당하는 입자들은 4차원

\mathcal N=1

손지기 초다중항을 이루며, 1 표현에 해당하는 페르미온은

\mathcal N=1

벡터 초다중항의 일부이다.

4. 응용

화살집 게이지 이론은 물리학의 여러 분야, 특히 입자물리학에서 게이지 이론을 시각적이고 대수적으로 다루는 데 유용하게 응용될 수 있다.^[1] 대표적으로, 표준 모형과 같은 복잡한 이론의 입자 및 상호작용 구조를 화살집 형태로 표현하여 분석하는 데 활용된다.

4. 1. 표준 모형

표준 모형의 한 세대의 장들은 다음과 같이 화살집으로 표기될 수 있다.

:

1 \, \overset L\to \, \operatorname{SU}(2) \, \overset Q\to \, \operatorname{SU}(3) \, \overset{ U^{\mathsf c}}{\underset{D^{\mathsf c}}\rightrightarrows} \, 1

이 표현을 통해,

\operatorname{SU}(2)

및

\operatorname{SU}(3)

에 대하여 게이지 변칙이 발생하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다. 그러나 이 방식은 U(1)을 표기하지 못하는 한계가 있다.

5. 역사

게이지 이론의 구조를 화살집으로 나타내는 아이디어는 하워드 조자이가 1985년에 처음으로 제시하였다.^[6] 조자이는 이러한 화살집을 moose|무스^영어라고 불렀는데, 이는 말코손바닥사슴을 의미한다. 이 이름은 화살집의 모양이 수컷 말코손바닥사슴의 뿔과 비슷하다는 점에서 유래했다.

이후, 마이클 더글러스(Michael R. Douglas^영어, 1961~)와 그레고리 윈스럽 무어는 1996년에 이러한 형태의 이론이 끈 이론에서 자연스럽게 발생한다는 사실을 증명하였다.^[7]

참조

_[1] 논문 D-branes, Quivers, and ALE Instantons
_[2] 저널 Brane tilings and their applications 2008-06
_[3] 저널 On geometric engineering of N=1 ADE quiver models 2003-07
_[4] 저널 Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi–Yau singularities 2004
_[5] 저널
_[6] 서적 Sixth workshop on grand unification. Proceedings of the conference held in April, 1985 at University of Minnesota, Minneapolis World Scientific 1986
_[7] 저널 D-branes, quivers, and ALE instantons 1996

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