E₇

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 표현론
5. 대수기하학적 성질
6. 한국의 관점에서의 E₇
7. 응용
- 7.1. 물리학
- 7.2. 끈 이론 (String Theory)
참조

1. 개요

E₇은 133차원의 단순 리 군으로, 다양한 방법으로 정의될 수 있다. 56차원 실수 표현, 사원수 또는 팔원수를 사용한 정의, Spin(12)를 통한 정의 등이 있다. E₇은 4개의 실수 형식을 가지며, 콤팩트 형식은 64차원 리만 대칭 공간의 등거리 변환군이다. 133차원 리 군으로서 콤팩트 형식의 기본군은 Z/2Z이며, 주요 극대 부분군으로 (E₆×U(1))/(Z/3), (Spin(12)×SU(2))/(Z/2), SU(8)/(Z/2), (SU(6)×SU(3))/(Z/3) 등을 갖는다. E₇은 E₈의 부분군이며, 11차원 초중력의 차원 축소, 4차원 초등각 장론의 자이베르그 이중성, 끈 이론의 게이지 군 등 물리학 분야에 응용된다.

더 읽어볼만한 페이지

대수군 - 직교군
직교군은 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V에서 비퇴화 이차 형식 Q를 보존하는 가역 선형 변환으로 이루어진 대수군이자 리 군이며, 특수직교군, 스핀 군, 핀 군과 관련되어 물리학, 기하학, 대수학 등에서 중요한 역할을 한다.
대수군 - 보렐 부분군
보렐 부분군은 대수적으로 닫힌 체 위의 연결 대수군에서 자리스키 위상에서 닫힌집합이자 연결 공간인 가해군들의 극대 원소이거나 완비 대수다양체를 이루는 포물형 부분군들의 최소 원소로 정의되는 특정한 종류의 부분군이다.
리 군 - 리 대수
리 대수는 가환환 위의 가군과 리 괄호 연산으로 구성되며 쌍선형성, 교대성, 야코비 항등식을 만족하고, 리 군 연구와 분류, 표현 이론에 중요한 역할을 한다.
리 군 - 보렐-베유-보트 정리
보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에서 층 코호몰로지를 사용하여 리 군의 기약 표현을 설명하며, 보렐-베유 정리와 보트의 일반화를 포함한다.

E₇
E₇ (수학)
E₇ 딘킨 다이어그램
차원	133
순위	7
딘킨 지수	1
기본 표현 차원	56, 912
바깥쪽 자기 동형군	크기 2
근계	E₇
베유 군	질서 2 10 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 2 = 2,903,040
근계	단순 리 군
대수	단순 리 대수 e₇

2. 정의

E₇은 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다.^[7]^[8]

E₇은 56차원 실수 표현, 한스 프로이덴탈이 제시한 팔원수를 사용한 구성,^[9] 팔원수나 사원수를 사용한 다른 구성,^[10]^[11]^[12]^[13] Spin(12)×SU(2) 극대 부분군을 이용해 정의할 수 있다.^[6]

E₇은 네 가지 실수 형식(real form)을 갖는다.

기호	다른 기호	설명	기본군	외부자기동형군
E_7(-133)		콤팩트 형식	$\mathbb Z/2\mathbb Z$	1
E₇₍₇₎	EⅤ	갈린(split) 형식	$\mathbb Z/4\mathbb Z$	$\mathbb Z/2\mathbb Z$
E_7(-5)	EⅥ		$\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z$	1
E_7(-25)	EⅦ		$\mathbb Z$	$\mathbb Z/2\mathbb Z$

2. 1. 56차원 표현을 통한 정의

E₇은 56차원 실수 표현을 가지며, 다음과 같이 정의할 수 있다.^[7]^[8]

''V''가 8차원 실수 벡터 공간이라고 하고, ''W''를 다음과 같이 정의한다.

:''W'' = ⋀²''V'' ⊕ ⋀²''V''^∗

이는 자연스럽게 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 4차 형식을 정의한다.

:''q''(''v''^−,−, ''w''_−,−) = ''v''^''ij''''w''_''jk''''v''^''kl''''w''_''li'' - (1/4)''v''^''ij''''w''_''ij''''v''^''kl''''w''_''kl'' + (1/96)(ε_''ijklmnpq''''v''^''ij''''v''^''kl''''v''^''mn''''v''^''pq'' + ε^''ijklmnpq''''w''_''ij''''w''_{''kl''''w''_{''mn''''w''_''pq'')

그렇다면 심플렉틱 형식과 4차 형식 ''q''를 보존하는 56차원 실수 선형 변환들의 부분군은 E₇의 분할 형식 E₇₍₇₎과 동형이다.

E₇은 56개의 비가환 변수로 구성된 다음 다항식 쌍의 자기 동형사상 그룹이다. 변수를 (''p'', ''P'')와 (''q'', ''Q'')의 두 그룹으로 나누며, 여기서 ''p''와 ''q''는 실수 변수이고 ''P''와 ''Q''는 3×3 옥토니언 에르미트 행렬이다. 첫 번째 불변량은 Sp(56, '''R''')의 심플렉틱 불변량이다.

:''C''₁ = ''pq'' - ''qp'' + Tr[''PQ''] - Tr[''QP'']

두 번째로 더 복잡한 불변량은 대칭 사차 다항식이다.

:''C''₂ = (''pq'' + Tr[''P''∘''Q''])² + ''p'' Tr[''Q''∘tilde|틸데^영어''Q''] + ''q'' Tr[''P''∘tilde|틸데^영어''P''] + Tr[tilde|틸데^영어''P''∘tilde|틸데^영어''Q'']]

여기서 tilde|틸데^영어''P'' ≡ det(''P'') ''P''^-1이고, 이진 원 연산자는 ''A''∘''B'' = (''AB''+''BA'')/2로 정의된다.

카르탄(Cartan)이 구성한 또 다른 사차 다항식 불변량은 28개의 성분을 가진 두 개의 반대칭 8x8 행렬을 사용한다.

:''C''₂ = Tr[(''XY'')²] - (1/4)Tr[''XY'']² + (1/96)ε_''ijklmnop''(''X''^''ij''''X''^''kl''''X''^''mn''''X''^''op'' + ''Y''^''ij''''Y''^''kl''''Y''^''mn''''Y''^''op'')

2. 2. 사원수 또는 팔원수를 사용한 정의
한스 프로이덴탈은 팔원수를 사용한 E₇의 구성을 제시하였다.^[9] 이 밖에도, 팔원수를 사용한 다른 구성^[10]^[11]이나, 사원수를 사용한 E₇의 구성 또한 알려져 있다.^[12]^[13]

2. 3. Spin(12)를 통한 정의
E₇은 Spin(12)×SU(2)를 극대 부분군으로 가지므로, 이로부터 E₇을 정의할 수 있다.^[6] 구체적으로, E₇의 딸림표현 '''133'''은 Spin(12)×SU(2) 아래 딸림표현 및 ('''32''', '''2''')로 분해된다. 여기서 '''32'''는 Spin(12)의 바일 스피너 표현이다.

이 경우, A₁의 가능한 실수 형식은 $\operatorname{SL}(2;\mathbb R)$ 와 SU(2) 두 가지가 있다.
$\operatorname{SL}(2;\mathbb R)$ 의 경우, 정의 표현 '''2'''는 실수 표현이다. 따라서, Spin(12)의 표현 '''32''' 역시 실수 표현이어야 한다. 즉, 이는 마요라나-바일 스피너가 되어야 한다. 12차원에서, 마요라나-바일 스피너가 존재하는 계량 부호수는 (10,2) 및 (6,6) 두 가지 밖에 없다. 이들은 각각 단순 리 대수 D₆₍₋₂₆₎⊕A₁₍₁₎ 및 D₆₍₆₎⊕A₁₍₁₎ (분할)에 해당한다. 이로부터, E₇의 두 실수 형식 E₇₍₋₂₅₎ 및 E₇₍₇₎ (분할)을 얻는다.
SU(2)의 경우, 정의 표현 '''2'''는 사원수 표현이다. 즉, 이 경우 Spin(12)의 바일 스피너 역시 사원수 표현이어야 한다. 이러한 경우인 계량 부호수는 (12,0) 및 (8,4) 두 가지 밖에 없다. 이들은 각각 단순 리 대수 D₆₍₋₆₆₎⊕A₁₍₋₃₎ (콤팩트) 및 D₆₍₋₂₎⊕A₁₍₋₃₎에 해당한다. 이로부터, E₇의 두 실수 형식 E_7(−133) (콤팩트) 및 E₇₍₋₅₎를 얻는다.
2. 4. 실수 형식
E₇은 네 가지 실수 형식을 갖는다. 이들은 중심이 없는 형태로, 다음과 같다.

기호 다른 기호 설명 기본군 외부자기동형군 사타케 도표 보건 도표
E_7(-133) 콤팩트 형식 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 1 $\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet$ $\circ-\circ-\overset\circ-\circ-\circ-\circ$
E₇₍₇₎ EⅤ 갈린(split) 형식 $\mathbb Z/4\mathbb Z$ $\mathbb Z/2\mathbb Z$ $\circ-\circ-\overset\circ-\circ-\circ-\circ$ $\circ-\circ-\overset\circ-\circ-\circ-\circ$
E_7(-5) EⅥ $\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z$ 1 $\circ-\circ-\overset\circ-\bullet-\circ-\bullet$ $\bullet-\circ-\overset\circ-\circ-\circ-\circ$
E_7(-25) EⅦ $\mathbb Z$ $\mathbb Z/2\mathbb Z$ $\circ-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\circ-\circ$ $\circ-\circ-\overset\circ-\circ-\circ-\bullet$

E₇ 유형의 복소 리 대수는 복소 차원 133의 복소수에 해당하는 복소군에 해당한다. 복소 차원 133의 복소 딸림 리 군 E₇는 실수 차원 266의 단순 실수 리 군으로 간주할 수 있다. 이는 기본군이 '''Z'''/2'''Z'''이고, E₇의 콤팩트 형식인 최대 콤팩트 공간 부분군을 가지며, 복소 켤레에 의해 생성된 2차 외부 자기 동형 군을 갖는다.

E₇ 유형의 복소 리 군 외에도, 리 대수의 네 가지 실수 형식과 중심이 없는 군의 네 가지 실수 형식이 있다. 이들은 모두 실수 차원 133이며, 다음과 같다.

콤팩트 형식은 기본군이 '''Z'''/2'''Z'''이고 외부 자기 동형 군이 없다.
분할 형식, EV(또는 E₇(7))는 최대 콤팩트 부분군이 SU(8)/{±1}이고, 기본군이 4차 순환군이며, 외부 자기 동형 군이 2차이다.
EVI(또는 E₇(-5))는 최대 콤팩트 부분군이 SU(2)·SO(12)/(중심)이고, 기본군이 4차 비순환군이며, 외부 자기 동형 군이 없다.
EVII(또는 E₇(-25))는 최대 콤팩트 부분군이 SO(2)·E₆/(중심)이고, 무한 순환 기본군이며, 외부 자기 동형 군이 2차이다.

E₇의 콤팩트 실수 형식은 64차원 예외 콤팩트 리만 대칭 공간 EVI (카르탄의 분류)의 등거리 변환군이다. 이는 사원수와 팔원수의 텐서 곱인 대수를 사용하여 구축할 수 있고, 로젠펠트 사영 평면으로도 알려져 있지만, 일반적인 사영 평면의 공리를 따르지 않는다. 이는 한스 프로이덴탈과 자크 티츠에 의한 ''마법의 정사각형'' 구성을 사용하여 체계적으로 볼 수 있다.

티츠-코처 구성은 27차원 예외 요르단 대수인 알베르트 대수로부터 E₇ 리 대수의 형식을 생성한다.

3. 성질

E₇은 133차원의 리 군이다. 중심이 없는 콤팩트 형식의 기본군은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이며, 자명하지 않은 외부자기동형사상을 가지지 않는다.^[6]

E₇의 근계는 126개의 7차원 벡터로 구성된다. E₇의 SU(8) 부분군을 사용하여 8차원 벡터로 나타내면, 다음과 같다.

$(1,-1,0,0,0,0,0,0)$ 의 모든 순열 ( $8\times7=56$ 개)
$(1/2,1/2,1/2,1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2)$ 의 모든 순열 ( $\textstyle\binom84=70$ 개)

이는 E₇의 딸림표현이 $\mathbf{133}_{E_7}\to\mathbf{63}_{\operatorname{SU}(8)}\oplus\mathbf{70}_{\operatorname{SU}(8)}$ 로 분해되는 것을 바탕으로 한다.

E₇의 126개의 근들은 7차원에 존재하는 고른 폴리토프 2₃₁을 이룬다.

E₇의 126개의 근들은 고른 폴리토프 2₃₁을 이룬다.

E₇의 바일 군의 크기는 $2^{10}\cdot3^4\cdot5\cdot7=2903040$ 이다. 이는 2차 순환군 $\mathbb Z/2$ 와 크기 1451520의 유일한 단순군의 직접곱이다.

E₇의 딘킨 도표는 다음과 같이 7개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다(simply laced^영어). 중심 꼭짓점에서 3개의 "팔"이 뻗어나오며, 팔의 길이는 각각 1, 2, 3이다.

: $\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet$

E₇의 무중심 콤팩트 형식은 133차원 콤팩트 연결 매끄러운 다양체이다.^[14] 그 호모토피 군은 다음과 같다.

: $\pi_1(E_7)\cong\mathbb Z/2$

: $\pi_3(E_7)\cong\pi_{11}(E_7)\cong\mathbb Z$

: $\pi_n(E_7)\cong0,\qquad n<11,n\ne1,3$

$\mathfrak e_7$ 의 불변 다항식의 차수는 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18이다.

E₇의 기약 표현의 차원들은 다음과 같다.^[16]

:1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840, …

3. 1. 대수적 성질
E₇은 133차원의 리 군이다. 중심이 없는 콤팩트 형식의 기본군은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이며, 자명하지 않은 외부자기동형사상을 가지지 않는다.^[6]

E₇의 주요 극대 부분군은 다음과 같다.
$(E_6\times\operatorname U(1))/(\mathbb Z/3)$
$(\operatorname{Spin}(12)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)$
$\operatorname{SU}(8)/(\mathbb Z/2)$
$\left(\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)\right)/(\mathbb Z/3)$

E₇은 E₈의 부분군이다. 구체적으로, E₈은 $(E_7\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)$ 부분군을 갖는다.^[6]

E₇ 유형의 고유한 복소 리 대수가 있으며, 복소 차원 133의 복소수에 해당하는 복소군에 해당한다. 복소 차원 133의 복소 딸림 리 군 E₇는 실수 차원 266의 단순 실수 리 군으로 간주할 수 있다. 이는 기본군이 '''Z'''/2'''Z'''이고, E₇의 콤팩트 형식인 최대 콤팩트 공간 부분군을 가지며, 복소 켤레에 의해 생성된 2차 외부 자기 동형 군을 갖는다.

E₇ 유형의 복소 리 군 외에도, 리 대수의 네 가지 실수 형식과, 중심이 없는 군의 네 가지 실수 형식이 있으며, 모두 실수 차원 133이다.

E₇의 콤팩트 실수 형식은 64차원 예외 콤팩트 리만 대칭 공간 EVI (카르탄의 분류)의 등거리 변환군이다.

티츠-코처 구성은 27차원 예외 요르단 대수인 알베르트 대수로부터 E₇ 리 대수의 형식을 생성한다.

E₇은 SU(8) 부분 대수를 갖는다.

133차원 수반 표현 외에도, 56차원 "벡터" 표현이 있다.

실수 및 복소수 리 대수와 리 군의 유한 차원 표현의 문자는 모두 바일 문자 공식으로 주어진다. 가장 작은 기약 표현의 차원은 다음과 같다.

:1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840...

기본 표현은 133, 8645, 365750, 27664, 1539, 56 및 912 차원을 갖는다.

3. 2. 위상수학적 성질
E₇의 무중심 콤팩트 형식은 133차원 콤팩트 연결 매끄러운 다양체이다.^[14] 그 호모토피 군은 다음과 같다.

:π₁(E₇) ≅ ℤ/2

:π₃(E₇) ≅ π₁₁(E₇) ≅ ℤ

:πₙ(E₇) ≅ 0, n<11, n≠1, 3

불변 다항식의 차수는 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18이다. 즉, E₇의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 11차 · 15차 · 19차 · 23차 · 27차 · 35차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

3. 3. 근계 (Root system)

E₇의 근계는 126개의 7차원 벡터로 구성된다. E₇의 SU(8) 부분군을 사용하여 8차원 벡터로 나타내면, 그 근들은 다음과 같이 구성된다.
다음 $8\times7=56$ 개의 근 (이는 SU(8) 근계를 이룬다):
$(1,-1,0,0,0,0,0,0)$ 의 모든 순열
다음 $\textstyle\binom84=70$ 개의 근 (이는 SU(8)의 '''70''' 표현의 무게를 이룬다):
$(1/2,1/2,1/2,1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2)$ 의 모든 순열

이는 E₇의 딸림표현의 분해

: $\mathbf{133}_{E_7}\to\mathbf{63}_{\operatorname{SU}(8)}\oplus\mathbf{70}_{\operatorname{SU}(8)}$

를 바탕으로 한 것이다. 여기서 '''70'''은 SU(8)에서, 영 타블로

: $\begin{matrix}\square\\\square\\\square\\\square\end{matrix}$

에 대응하는 $\textstyle\binom84=70$ 차원 표현이다.

E₇의 126개의 근들은 7차원에 존재하는 고른 폴리토프 2₃₁을 이룬다. 2₃₁ 폴리토프는 126개의 꼭짓점, 2016개의 변, 10080개의 정삼각형 면, 20160개의 정사면체 3차원 초면, 16128개의 4차원 초면, 4788개의 5차원 초면, 632개의 6차원 초면으로 구성된다.

E₇의 바일 군의 크기는 $2^{10}\cdot3^4\cdot5\cdot7=293040$ 이다.^[15] 이는 2차 순환군 $\mathbb Z/2$ 와 크기 1451520의 유일한 단순군의 직접곱이다. 후자는 $\operatorname{PSp}(6;\mathbb F_2)$ 또는 $\operatorname{PS\Omega}(7;\mathbb F_2)$ 로 표기할 수 있다.

: $\operatorname{Weyl}(E_7)\cong(\mathbb Z/2)\times\operatorname{PSp}(6;\mathbb F_2)\cong(\mathbb Z/2)\times\operatorname{PS\Omega}(7;\mathbb F_2)$

E₇의 딘킨 도표는 다음과 같이 7개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다(simply laced^영어). 중심 꼭짓점에서 3개의 "팔"이 뻗어나오며, 팔의 길이는 각각 1, 2, 3이다.

: $\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet$

E₇의 아핀 딘킨 도표는 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다. 길이가 2인 팔에 $\scriptstyle\otimes$ 로 표시된 새 꼭짓점이 추가되어, E₇ 아핀 딘킨 도표는 $\mathbb Z/2$ 대칭을 보인다.

: ${\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet$

H3 대칭을 제공하는 기저 벡터 [u,v,w]를 사용하여 3D 투영으로 표시됨. 투영된 2₃₁ 다포체 꼭짓점은 3D 노름에 의해 정렬되고 집계되어 각 집계된 노름 집합의 점점 더 투명한 헐을 생성한다.

u = (1, ''φ'', 0, -1, ''φ'', 0,0)
v = (''φ'', 0, 1, ''φ'', 0, -1,0)
w = (0, 1, ''φ'', 0, -1, ''φ'',0)

결과는 다음과 같다.

1) 원점에 있는 2개의 점

2) 2개의 이십면체

3) 1개의 이십이십이면체

4) 2개의 십이면체

5) 1개의 이십이십이면체

총 126개의 꼭짓점이 있다.

근은 7차원 공간을 차지하지만, 8차원 벡터 공간의 7차원 부분 공간에 있는 벡터로 나타내는 것이 더 대칭적이고 편리하다.

근은 (1,−1,0,0,0,0,0,0)의 8×7 모든 순열과 (,,,,−,−,−,−)의 $\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$ 모든 순열이다.

7차원 부분 공간은 8개의 모든 좌표의 합이 0인 부분 공간이다. 근은 126개이다.

단순근은 다음과 같다.

:(0,−1,1,0,0,0,0,0)

:(0,0,−1,1,0,0,0,0)

:(0,0,0,−1,1,0,0,0)

:(0,0,0,0,−1,1,0,0)

:(0,0,0,0,0,−1,1,0)

:(0,0,0,0,0,0,−1,1)

:(,,,,−,−,−,−)

Dynkin diagram에서 해당 노드가 왼쪽에서 오른쪽으로(위에 묘사된 다이어그램) 정렬되도록 나열되며, 측면 노드가 마지막에 있다.

E₇의 근계에 대한 또 다른 (7차원) 설명은 E₇ × SU(2)를 E₈의 부분군으로 간주할 때 유용하다.

마지막 항목에 0을 유지하는 (±1,±1,0,0,0,0,0)의 모든 $4\times\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$ 순열, 짝수 개의 +를 갖는 다음 모든 근

: $\left(\pm{1\over 2},\pm{1\over 2},\pm{1\over 2},\pm{1\over 2},\pm{1\over 2},\pm{1\over 2},\pm{1\over \sqrt{2}}\right)$

그리고 다음 두 근:

: $\left(0,0,0,0,0,0,\pm \sqrt{2}\right).$

따라서 생성자는 66차원 '''so'''(12) 부분 대수와 반대 손지성을 가진 '''spin'''(12)의 두 자기 켤레 바일 스피너로 변환되는 64개의 생성자, 그리고 그들의 손지성 생성자, 그리고 손지성이 $\pm \sqrt{2}$ 인 다른 두 개의 생성자로 구성된다.

단순근의 한 가지 선택은 다음 행렬의 행으로 주어지며, 카르탕 행렬의 노드 순서는 위 드킨 다이어그램과 같다.

: $\begin{bmatrix}1&-1&0&0&0&0&0 \\0&1&-1&0&0&0&0 \\0&0&1&-1&0&0&0 \\0&0&0&1&-1&0&0 \\0&0&0&0&1&1&0 \\$ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\
0&0&0&0&1&-1&0 \\\end{bmatrix}.

E₇ 근 포셋의 하세 다이어그램으로, 모서리 레이블은 추가된 단순근 위치를 식별한다.

3. 4. 바일 군 (Weyl group)
E₇의 바일 군은 크기가 2903040이다. 이는 2차 순환군과 크기가 1451520인 유일한 단순군의 직접곱이며, (ℤ/2)×PSp(6; 𝔽₂) ≅ (ℤ/2)×PSΩ(7; 𝔽₂)와 동형이다.^[2]

3. 5. 딘킨 도표 (Dynkin diagram)
E₇의 딘킨 도표는 7개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다(simply laced^영어). 중심 꼭짓점에서 3개의 "팔"이 뻗어나오며, 팔의 길이는 각각 1, 2, 3이다.

E7 딘킨 도표

: $\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet$

E₇의 아핀 딘킨 도표는 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다. 길이가 2인 팔에 $\scriptstyle\otimes$ 로 표시된 새 꼭짓점이 추가되어, E₇ 아핀 딘킨 도표는 $\mathbb Z/2$ 대칭을 보인다.

: ${\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset\bullet-\bullet-\bullet-\bullet$

4. 표현론

E₇의 기약 표현 차원은 1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750 등이다.^[16] E₇의 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750 차원 표현이고, 딸림표현은 133 차원이다. 56차원 정의 표현은 사원수 표현이다.

E₇의 표현들은 그 부분군의 표현으로 분해될 수 있다.^[16]

E₇ 표현 부분군의 표현
56_E₇ 27_E₆ ⊕ 27_E₆ ⊕ 1_E₆ ⊕ 1_E₆
133_E₇ 78_E₆ ⊕ 27_E₆ ⊕ 27_E₆ ⊕ 1_E₆
56_E₇ 28_SU(8) ⊕ 28_SU(8)
133_E₇ 63_SU(8) ⊕ 70_SU(8)
56_E₇ (12, 2)_{SO(12)×SU(2)} ⊕ (32, 1)_{SO(12)×SU(2)}
133_E₇ (66, 1)_{SO(12)×SU(2)} ⊕ (1, 3)_{SO(12)×SU(2)} ⊕ (32, 2)_{SO(12)×SU(2)}
56_E₇ (6, 3)_SU(6)×SU(3) ⊕ (6, 3)_SU(6)×SU(3) ⊕ (20, 1)_SU(6)×SU(3)
133_E₇ (35, 1)_SU(6)×SU(3) ⊕ (1, 8)_SU(6)×SU(3) ⊕ (3, 15)_SU(6)×SU(3) ⊕ (3, 15)_SU(6)×SU(3)

E₇의 콤팩트 실수 형식은 64차원 예외 콤팩트 리만 대칭 공간 EVI의 등거리 변환군이다.

가장 작은 기약 표현의 차원은 다음과 같다.

:1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840...

밑줄 친 용어는 E₇의 수반 형태가 갖는 기약 표현의 차원이며, 전체 시퀀스는 E₇의 단일 연결 형태의 기약 표현의 차원을 제공한다.

5. 대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 $\mathfrak e_7(\mathbb Z)$ 및 군 $E_7(\mathbb Z)$ 을 정의할 수 있으며, 이는 임의의 가환환에 대한 대수군으로 확장될 수 있다.^[1]

특히, 유한체 $\mathbb F_q$ 에 대한 슈발레 군 $E_7(\mathbb F_q)$ 을 정의할 수 있다. 이 군은 유한 단순군이며, 크기는 다음과 같다.

: $|E_7(\mathbb F_q)|=\frac1{\gcd\{2,q-1\}}q^{63}(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^{10}-1)(q^8-1)(q^6-1)(q^2-1)$ ^[3]^[4]

가장 작은 두 유한 단순군 $E_7(\mathbb F_q)$ 의 크기는 다음과 같다.

체 크기
$\mathbb F_2$ $\approx 8.00 \times 10^{39}$
$\mathbb F_3$ $\approx 1.27 \times 10^{63}$

$E_7(\mathbb F_3)$ 은 괴물군보다 크다.

실수 체 위에서, E₇의 대수적으로 꼬인 형식은 세 가지 실수 리 군과 일치하지만, 기본군에 대한 미묘한 차이가 있다. E₇의 수반 형식은 대수 기하학적 의미에서 기본군 '''Z'''/2'''Z'''를 가지며, 이는 하나의 이중 덮개를 허용한다. E₇의 추가적인 비콤팩트 실수 리 군 형식은 대수적이지 않으며 충실한 유한 차원 표현을 허용하지 않는다.

유한 체 위에서, 랑-슈타인버그 정리에 의해 E₇은 꼬인 형식이 없다.

6. 한국의 관점에서의 E₇

E₇은 순수 수학 및 이론 물리학 분야에서 중요한 연구 대상이지만, 한국 사회에서 직접적인 인지도는 높지 않다. 한국의 수학 및 물리학 연구자들은 E₇을 포함한 리 군 및 리 대수 이론, 그리고 이와 관련된 초끈 이론, M이론, 초중력 이론 등의 연구에 참여하고 있다. 하지만 이러한 연구는 고도의 전문 지식을 요구하는 분야이므로 일반 대중에게 널리 알려지기는 어렵다.

7. 응용

E₇은 11차원 초중력을 4차원으로 축소할 경우 나타나는 U-이중성 대칭군이다.^[7]^[17]^[18] 이는 M이론 전체를 고려하면 이산 부분군으로 깨진다. 또한 E₇은 일부 4차원 $\mathcal N=1$ 초등각 장론의 자이베르그 이중성으로 등장한다.^[19]

7. 1. 물리학
11차원 초중력을 4차원으로 축소화하면 E₇ U-이중성 대칭군이 나타난다.^[7]^[17]^[18] 이는 11차원 초중력 대신 M이론 전체를 고려하면 이산 부분군으로 깨지게 된다.

E₇은 일부 4차원 $\mathcal N=1$ 초등각 장론의 자이베르그 이중성에도 등장한다.^[19]

''N'' = 8인 4차원 초중력은 11차원 초중력에서 차원 축소된 것으로, E₇ 보존적 대역 대칭과 SU(8) 보존적 국소 대칭을 갖는다. 페르미온은 SU(8)의 표현에 속하고, 게이지 장은 E₇의 표현에 속하며, 스칼라는 둘 다의 표현에 속한다(중력자는 둘 다에 대해 싱글렛이다). 물리적 상태는 코셋 E₇ / SU(8)의 표현에 속한다.

끈 이론에서 E₇은 이종 끈의 (불안정하고 비초대칭) 버전 중 하나의 게이지 군의 일부로 나타난다. 또한, 이종 끈 이론의 6차원 콤팩트화에서 깨지지 않은 게이지 군 E₈ × E₇으로 나타날 수 있으며, 예를 들어 4차원 곡면 K3에서 나타난다.

7. 2. 끈 이론 (String Theory)
끈 이론에서 E₇은 이종 끈의 (불안정하고 비초대칭) 버전 중 하나의 게이지 군의 일부로 나타난다.^[7] 또한, 이종 끈 이론의 6차원 콤팩트화에서 깨지지 않은 게이지 군 E₈ × E₇^영어으로 나타날 수 있으며, 예를 들어 4차원 곡면 K3에서 나타난다.

참조

_[1]
서적

Algebraic groups and number theory

https://books.google[...]
Academic Press

_[2]
서적

ATLAS of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups

Oxford University Press

_[3]
서적

Simple Groups of Lie Type

John Wiley & Sons

_[4]
서적

The Finite Simple Groups

Springer-Verlag

_[5]
서적

http://press.uchicag[...]
2013-09-13

_[6]
저널

_[7]
저널

http://ccdb5fs.kek.j[...]
2015-09-24

_[8]
저널

_[9]
저널

http://math.ucr.edu/[...]

_[10]
저널

http://dml.cz/handle[...]

_[11]
저널

_[12]
저널

_[13]
저널

_[14]
저널

http://projecteuclid[...]

_[15]
서적

Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups

Oxford University Press

_[16]
저널

http://citeseerx.ist[...]

_[17]
저널

_[18]
저널

_[19]
저널

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.

모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.

하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.

따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com}}

E₇ 표현	부분군의 표현
56_E₇	27_E₆ ⊕ 27_E₆ ⊕ 1_E₆ ⊕ 1_E₆
133_E₇	78_E₆ ⊕ 27_E₆ ⊕ 27_E₆ ⊕ 1_E₆
56_E₇	28_SU(8) ⊕ 28_SU(8)
133_E₇	63_SU(8) ⊕ 70_SU(8)
56_E₇	(12, 2)_{SO(12)×SU(2)} ⊕ (32, 1)_{SO(12)×SU(2)}
133_E₇	(66, 1)_{SO(12)×SU(2)} ⊕ (1, 3)_{SO(12)×SU(2)} ⊕ (32, 2)_{SO(12)×SU(2)}
56_E₇	(6, 3)_SU(6)×SU(3) ⊕ (6, 3)_SU(6)×SU(3) ⊕ (20, 1)_SU(6)×SU(3)
133_E₇	(35, 1)_SU(6)×SU(3) ⊕ (1, 8)_SU(6)×SU(3) ⊕ (3, 15)_SU(6)×SU(3) ⊕ (3, 15)_SU(6)×SU(3)

체	크기
$\mathbb F_2$	$\approx 8.00 \times 10^{39}$
$\mathbb F_3$	$\approx 1.27 \times 10^{63}$