군의 표현

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1. 개요

군의 표현은 군에서 일반 선형군으로의 군 준동형 사상으로, 군의 구조를 벡터 공간의 선형 변환으로 나타내는 방법이다. 표현은 군의 원소를 선형 변환에 대응시키며, 표현 공간, 차수, 충실한 표현, 연속 표현 등의 개념을 포함한다. 표현은 기약 표현, 유니타리 표현, 유도 표현 등으로 분류되며, 군의 종류에 따라 유한군, 콤팩트군, 리 군, 선형 대수적 군, 비콤팩트 위상군 등 다양한 하위 이론으로 나뉜다. 표현의 분해는 불변 부분 공간, 완전 가약 표현, 마슈케 정리, 슈어 보조정리와 관련이 있으며, 양자역학에서 대칭성과 에너지 고유 상태를 분류하는 데 응용된다.

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군의 표현
일반 정보
분야	군론
하위 분야	선형대수학
역사	1896년, 페르디난트 게오르크 프로베니우스
정의
정의	군의 원소를 가역 선형 변환으로 나타내는 방법
대수적 구조	결합 대수
성질
성질	기약 표현, 유니태리 표현
관련 항목
관련 항목	기군 유도 표현 지표 이론 페르디난트 게오르크 프로베니우스

2. 정의

군 ''G''의 체 ''K'' 상의 벡터 공간 ''V''에 대한 표현은 ''G''에서 ''V''의 일반선형군 GL(''V'')로의 군 준동형 사상이다. 이는 군의 각 원소에 선형 변환을 대응시키되, 군의 연산 구조를 보존하는 방식으로 정의된다.

즉, 표현은 다음과 같은 사상이다.

: $D \colon G \to \mathop{GL}(V)$

이는 ''G''의 임의의 원소 ''g''₁, ''g''₂에 대하여 다음 두 조건을 만족해야 한다.

# $D(e) = 1$

# $D(g_1 g_2) = D (g_1) D (g_2)$

여기서 ''e''는 ''G''의 항등원이고, 1은 GL(''V'')의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존되어야 한다.

표현이 단사 함수이면 충실한 표현(忠實한表現, faithful representation^영어)이라고 한다. 이는 핵이 군의 항등원만으로 구성된 자명한 부분군 {''e''}인 표현을 말한다.

''G''가 위상군이고 ''V''가 위상 벡터 공간일 때, ''G''의 ''V''에 대한 표현 ''D''가 연속 표현(連續表現, continuous representation^영어)이라는 것은 다음 함수 Φ가 연속 함수인 경우를 의미한다.

: $\begin{array}{lll}\Phi: & G\times V & \to V\\ & (g,v) & \mapsto D(g)v\end{array}$

2. 1. 표현 공간

군의 표현에서 연산자들이 작용하는 벡터 공간 ''V''를 '''표현 공간'''(representation space^영어)이라고 하며, ''V''의 차원을 이 표현의 '''차원'''(dimension^영어)이라고 한다. 기호의 남용으로, ''G''에서 GL(''V'')로의 사상이 명확할 때에는 ''V''를 ''G''의 표현이라 부르기도 한다.

''V''가 유한 차원 ''n''일 때에는 ''n''을 '''차수'''(degree^영어)라고도 한다. 이때 ''V''의 기저를 하나 선택하여 GL(''V'')를 ''K'' 상의 ''n''×''n'' 가역행렬들의 군 GL(''n'', ''K'')와 동일시하는 것이 일반적이다.

2. 2. 표현 행렬

표현 공간에 적당한 기저를 도입하면, 는 구체적으로 차 정사각 행렬로 나타낼 수 있다. 따라서 군 의 표현은 " 에서 가역 행렬로 이루어진 군 으로의 준동형 사상"이라고 할 수 있다. 이때 행렬 를 의 '''표현 행렬'''이라고 부른다.

즉, 군 에 대응하여 행렬의 집합

\Gamma = \{\, T(g) \mid g \in G \,\}

가 있고, 임의의 군의 원소 에 대해 가 성립할 때, 이러한 행렬을 군 의 표현 행렬이라고 한다.

2. 3. 동치인 표현

두 표현 ''D''₁ : ''G'' → GL(''V''₁)와 ''D''₂ : ''G'' → GL(''V''₂)가 동등하다는 것은 벡터 공간 ''V''₁와 ''V''₂ 사이에 동형 사상 ''A'' : ''V''₁ → ''V''₂가 있어, ''G''의 모든 원소 ''g''에 대해

:D₂(''g'')''A'' = ''AD''₁(''g'')

를 만족하는 것을 말한다. 만약 두 표현의 표현 공간이 같은 경우, 위는 간단히

:D₂(''g'') = ''AD''₁(''g'')''A''^-1

로 쓸 수 있다. 여기서 연산자 ''A''를 '''엮음 연산자'''(intertwining operator^영어)라 하기도 한다.

군의 두 표현 (''T''₁, ''V'')과 (''T''₂, ''W'')가 주어졌을 때, 어떤 선형 동형 ''S'': ''V'' → ''W''가 존재하여, 모든 원소 ''g''에 대해 닮음 변환

:''ST''₁(''g'')''S''^-1=''T''₂(''g'')

로 연결된다면, 표현 (''T''₁, ''V'')과 (''T''₂, ''W'')는 '''동치''' 또는 '''동형'''이라고 하며, 둘은 본질적으로 같은 표현이다. 이 조건은 모든 원소 ''g''에 대해 다음 그림이 가환성을 만족한다고 말할 수도 있다.

:

\begin{array}{ccc}V                          & \stackrel{T_1(g)}{\longrightarrow} & V                          \\{\scriptstyle S}\downarrow &                                    & \downarrow {\scriptstyle S}\\W                          & \stackrel{T_2(g)}{\longrightarrow} & W\end{array}

또한, 일반적으로, 전단사일 필요는 없는 이러한 변환을 Equivariant map^영어이라고 한다.

3. 특별한 표현

군의 표현에는 다음과 같은 특별한 표현들이 있다.

'''충실한 표현''': 군의 구조를 완벽하게 반영하는 표현이다. 군의 서로 다른 원소들이 서로 다른 선형 변환으로 대응된다.
'''기약 표현''': 더 이상 작은 표현으로 분해될 수 없는 가장 기본적인 표현이다. 표현 공간 ''V''가 군의 작용에 대해 불변하는 진부분 공간을 갖지 않는다. 슈어의 보조 정리에 따르면, 군의 대수적 폐체 상에서의 유한 차원 기약 표현에서 모든 원소와 가환하는 변환은 항등 변환의 상수배로 제한된다. 유한군의 동치 아닌 복소수체 상의 유한 차원 기약 표현의 수는, 군의 공액류의 수와 같다.
'''유니타리 표현''': 모든 원소가 유니타리 변환인 표현이다. 직교 변환은 유니타리 변환의 특별한 경우이므로, 직교 변환에 의한 표현도 유니타리 표현이다.^[1]
'''유도 표현''': 부분군의 표현을 확장하여 전체 군의 표현을 얻는 방법이다. 부분군 $H$의 표현 $T$가 주어졌을 때, 유도 표현 $T^G$는 $T$의 차수를 $ 배만큼 증가시킨다.

3. 1. 충실한 표현

충실한 표현은 군 ''G''에서 GL(''V'')로의 군 준동형 사상이 단사 함수인 표현이다. 즉, 핵이 군의 항등원만으로 구성된 자명한 부분군 {''e''}인 표현이다.

달리 말하면, 군의 서로 다른 원소들이 서로 다른 선형 변환으로 대응되는 표현을 충실한 표현이라고 한다. 이는 군의 구조를 완벽하게 반영하는 표현이다.

대응

g \mapsto T(g)

가 단사인 경우, 그 표현은 충실한 표현이라고 한다.

3. 2. 기약 표현

표현 공간 ''V''가 군의 작용에 대해 불변하는 진부분 공간을 갖지 않는 표현을 기약 표현이라고 한다. 이는 더 이상 작은 표현으로 분해될 수 없는 가장 기본적인 표현이다.

군 작용에 불변하는 ''V''의 부분 공간 ''W''를 ''부분 표현''이라고 한다. ''V''가 정확히 두 개의 부분 표현, 즉 영차원 부분 공간과 ''V'' 자체를 가지면, 그 표현은 '''기약'''이라고 하며, 0이 아닌 차원의 진 부분 표현을 가지면, 그 표현은 '''가약'''이라고 한다. 차원이 0인 표현은 합성수도 아니고 소수도 아닌 숫자 1과 마찬가지로 가약도 아니고 기약도 아닌 것으로 간주한다.

\{\, T(g) \mid g \in G \,\}

로 불변하는 표현 공간 ''V''의 부분 공간이 ''V''와

\{0\}

의 두 가지 이외에는 존재하지 않을 때, 표현

(V, T)

는 '''기약'''이라고 한다. 기약이 아닌 표현을 '''가약'''이라고 한다.

;슈어의 보조 정리:

T

를 군

G

의 대수적 폐체 상에서의 유한 차원 기약 표현이라고 하면, 모든

T(g)

와 가환하는 변환은 항등 변환의 상수배로 제한된다.

유한군의 동치 아닌 복소수체 상의 유한 차원 기약 표현의 수는, 군의 공액류의 수와 같다.

3. 3. 유니타리 표현

모든 ''T''(''g'')가 유니타리 변환인 표현을 '''유니타리 표현'''이라고 한다(직교 변환은 유니타리 변환의 특별한 경우이므로, 직교 변환에 의한 표현도 유니타리 표현이다).^[1]

3. 4. 유도 표현

유한군 $G$의 부분군 $H$를 취하고, 잉여류 분해의 완전 대표계 $t_1, \dots, t_m$를 하나 고정한다.

:$G = t_1H \amalg \dotsb \amalg t_mH.$

체 $F$ 위의 표현 $T\colon H \to \text{GL}_n(F)$의 '''유도 표현(induced representation)''' $T^G\colon G \to \text{GL}_{nm}(F)$은 다음으로 정의되는 군 $G$의 표현이다.

:$T(g) = \begin{bmatrix} T(t_i^{-1}gt_j) \end{bmatrix}_{1 \leq i, j \leq m}$

단, $x \not\in H$일 때는 $T(x) = 0$으로 한다. 유도 표현은 잉여류 분해의 대표계의 선택에 의존하지 않는다.

유도 표현 $T^G$의 차수는 표현 $T$의 차수의 $ 배이다. 또한 자명한 부분군의 자명한 표현의 유도 표현은 군 $G$의 정칙 표현을 제공한다.

부분군 $H$의 표현 가군을 $U$라고 할 때, 유도 표현에서 정해지는 군 $G$의 표현 가군을 '''유도 가군'''이라고 하며, $U^G$, $U\uparrow^G$ 또는 $\text{Ind}_H^G U$로 나타낸다. 대수의 텐서 곱을 사용하여 $U^G = U \otimes_{FH} FG$로 정의해도 동형인 표현 가군을 정의할 수 있다.

4. 군 표현론의 분과

군의 표현 이론은 표현되는 군의 종류에 따라 다양한 하위 분야로 나뉜다. 주요 분류는 다음과 같다:

'''유한군''': 유한군의 구조 연구 및 결정학, 기하학 등에 응용된다.
'''콤팩트군 또는 국소 콤팩트군''': 하르 측도를 이용한 적분을 통해 유한군 표현 이론의 결과를 확장하며, 조화해석학의 핵심을 이룬다.
'''리 군''': 물리학과 화학에서 중요하며, 콤팩트 표현 이론이 적용된다.
'''선형 대수적 군''': 리 군과 유사하지만 더 일반적인 필드에서 정의되며, 대수 기하학적 기술이 필요하다.
'''비콤팩트 위상군''': 일반적인 이론은 없지만, 반단순 리 군 등 특수한 경우에 대한 연구가 진행된다.

표현 이론은 군이 작용하는 벡터 공간의 유형(유한/무한 차원, 힐베르트 공간, 바나흐 공간 등)과 필드(복소수, 실수, 유한체, p진수 등)에 따라서도 달라진다. 특히, 필드의 표수는 유한군 표현론에서 중요한 역할을 한다.

4. 1. 유한군

유한군의 표현은 유한군의 구조를 연구하는 데 매우 중요한 도구이다. 또한 결정학과 기하학에 유한군 이론을 적용하는 데에도 나타난다. 벡터 공간의 스칼라 필드가 표수 ''p''를 가지고, ''p''가 군의 차수를 나누면, 이를 ''모듈러 표현 이론''이라고 한다. 이 특수한 경우는 매우 다른 속성을 갖는다.

4. 2. 콤팩트군 및 국소 콤팩트군

유한군 표현 이론의 많은 결과는 군에 대한 평균을 구함으로써 증명된다. 이러한 증명은 적절한 적분 개념을 정의할 수 있다면, 평균을 적분으로 대체하여 무한군으로 옮길 수 있다. 이는 하르 측도를 사용하여 국소 콤팩트군에 대해 수행할 수 있다. 결과 이론은 조화해석학의 핵심 부분이다. 폰트랴긴 쌍대성은 일반화된 푸리에 변환으로서 가환군에 대한 이론을 설명한다. 페터-바일 정리도 참조할 수 있다. 많은 중요한 리 군은 콤팩트하므로, 콤팩트 표현 이론의 결과가 적용된다.

4. 3. 리 군

리 군의 표현은 물리학과 화학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이들 학문에서 군론을 적용할 때 리 군의 표현 이론이 필수적이기 때문이다. 많은 중요한 리 군은 콤팩트하므로, 콤팩트 표현 이론의 결과가 적용된다. 더 자세한 내용은 리 군의 표현 및 리 대수의 표현을 참조하면 된다.

4. 4. 선형 대수적 군

선형 대수적 군은 리 군의 아날로그이지만, 실수('''R''') 또는 복소수('''C''')보다 더 일반적인 필드에 적용된다. 선형 대수적 군은 리 군과 매우 유사한 분류를 가지며, 동일한 리 대수족을 생성하지만, 그 표현은 상당히 다르다(그리고 훨씬 덜 잘 이해되고 있다). 리 군 연구에 사용되는 해석적 기술은 대수 기하학의 기술로 대체되어야 하며, 비교적 약한 자리스키 위상은 많은 기술적인 복잡성을 야기한다.

4. 5. 비콤팩트 위상군

비콤팩트 군의 경우, 일반적인 표현 이론을 구성하기가 어렵지만, 특수한 경우에 대한 연구는 진행되었으며, 때로는 임시방편적인 기술이 사용되기도 한다. 반단순 리 군은 콤팩트한 경우를 기반으로 하는 심오한 이론을 가지고 있다. 보완적인 가해 리 군은 같은 방식으로 분류할 수 없다. 리 군에 대한 일반 이론은 위그너의 분류 방법을 일반화한 매키 이론이라는 결과를 통해 두 유형의 반직접곱을 다룬다.

5. 표현의 분해

군 작용에 불변하는 ''V''의 부분 공간 ''W''를 ''부분 표현''이라고 한다. ''V''가 정확히 두 개의 부분 표현, 즉 영차원 부분 공간과 ''V'' 자체를 가지면, 그 표현은 '''기약'''이라고 하며, 0이 아닌 차원의 진 부분 표현을 가지면, 그 표현은 '''가약'''이라고 한다. 차원이 0인 표현은 합성수도 아니고 소수도 아닌 숫자 1과 마찬가지로 가약도 아니고 기약도 아닌 것으로 간주한다.

필드 ''K''의 표수가 군의 크기를 나누지 않는다는 가정 하에, 유한군의 표현은 기약 부분 표현의 직합으로 분해될 수 있다(마슈케 정리 참조). 이는 복소수의 표수가 0이므로 군의 크기를 절대로 나누지 않기 때문에, 복소수 상의 유한군의 모든 표현에 특히 적용된다.

5. 1. 불변 부분 공간

벡터 공간 ''V''의 부분 공간 ''W''가 군 ''G''의 작용에 대해 '''불변'''(invariant^영어)이라는 것은 부분 공간 위의 임의의 벡터에 어떠한 ''D''(''g'')를 작용시켜도 벡터가 부분 공간 위에 남아있는 부분 공간을 말한다. 즉, ''G''의 모든 원소 ''g''에 대해

:

D(g) W \subseteq W

이 성립하면 ''W''를 '''불변부분공간'''(invariant subspace^영어)이라 한다.

'''약분 가능 표현'''(reducible representation^영어)은 불변 부분 공간이 존재하는 표현이다. 약분 가능 표현이 아닌 표현은 '''기약 표현'''이라고 한다.

군 작용에 불변하는 ''V''의 부분 공간 ''W''를 ''부분 표현''이라고 한다. ''V''가 정확히 두 개의 부분 표현, 즉 영차원 부분 공간과 ''V'' 자체를 가지면, 그 표현은 '''기약'''이라고 하며, 0이 아닌 차원의 진 부분 표현을 가지면, 그 표현은 '''가약'''이라고 한다. 차원이 0인 표현은 합성수도 아니고 소수도 아닌 숫자 1과 마찬가지로 가약도 아니고 기약도 아닌 것으로 간주한다.

필드 ''K''의 표수가 군의 크기를 나누지 않는다는 가정 하에, 유한군의 표현은 기약 부분 표현의 직합으로 분해될 수 있다(마슈케 정리 참조). 이는 복소수의 표수가 0이므로 군의 크기를 절대로 나누지 않기 때문에, 복소수 상의 유한군의 모든 표현에 특히 적용된다.

위의 예에서, 주어진 처음 두 표현(ρ와 σ)은 모두 두 개의 1차원 부분 표현(span{(1,0)} 및 span{(0,1)}에 의해 주어짐)으로 분해될 수 있으며, 세 번째 표현(τ)은 기약이다.

5. 2. 완전 가약 표현

표현 공간이 기약인 불변 부분 공간들의 직합으로 분해될 수 있는 표현을 완전 가약 표현이라고 한다.

5. 3. 마슈케 정리

군 작용에 불변하는 ''V''의 부분 공간 ''W''를 ''부분 표현''이라고 한다. ''V''가 정확히 두 개의 부분 표현, 즉 영차원 부분 공간과 ''V'' 자체를 가지면, 그 표현은 '''기약'''이라고 하며, 0이 아닌 차원의 진 부분 표현을 가지면, 그 표현은 '''가약'''이라고 한다. 차원이 0인 표현은 합성수도 아니고 소수도 아닌 숫자 1과 마찬가지로 가약도 아니고 기약도 아닌 것으로 간주한다.

필드 ''K''의 표수가 군의 크기를 나누지 않는다는 가정 하에, 유한군의 표현은 기약 부분 표현의 직합으로 분해될 수 있다. 이를 마슈케 정리라고 한다. 이는 복소수의 표수가 0이므로 군의 크기를 절대로 나누지 않기 때문에, 복소수 상의 유한군의 모든 표현에 특히 적용된다.

6. 양자역학에서의 응용

양자역학에서 물리적 계의 대칭군은 상태 공간인 힐베르트 공간 상의 유니타리 표현으로 나타내어진다. 해밀토니안이 특정 변환군에 대해 불변이라면, 하나의 에너지 고유값에 속하는 해밀토니안의 고유 공간은 그 군의 유니타리 표현의 표현 공간이 된다. 따라서 군의 기약 유니타리 표현을 앎으로써 해밀토니안의 고유 상태를 분류할 수 있다. 이러한 이유로 군 표현론은 원자나 분자의 상태 및 기본 입자의 분류에 중요한 도구로 사용된다.

7. 추가 이론

유한군 $G$의 부분군 $H$가 주어졌을 때, 군 $G$의 표현 $T$에 대하여, 부분군 $H$에 대한 '''제한 표현''' $T_H$를 $T_H(h) = T(h)$로 정의한다. 여기서 $GL$은 일반선형군을 의미한다. 또한 이 제한 표현으로부터 정해지는 부분군 $H$의 표현 가군을 '''제한 가군'''이라고 하며, $V_H$, $V\downarrow_H$ 또는 $\operatorname{Res}^G_H V$로 표기한다. 이때, 다음 선형 공간으로서의 동형이 성립한다.

$\operatorname{Hom}_{FH}(U, V_H) \cong \operatorname{Hom}_{FG}(U^G, V), \quad f \mapsto \big(\sum_{t \in G/H} u \otimes t \mapsto \sum_{t \in G/H} f(u)t\big)$

$\operatorname{Hom}_{FH}(V_H, U) \cong \operatorname{Hom}_{FG}(V, U^G), \quad f \mapsto \big(v \mapsto \sum_{t \in G/H} f(vt^{-1}) \otimes t)\big)$

이를 '''프로베니우스 상호 법칙'''(Frobenius reciprocity)이라고 한다.

유한군 $G$의 부분군 $H$, $K$가 주어지고, 양쪽 잉여류 분해를

$G = \coprod_{t \in H \backslash G/K} HtK$

라고 하자. 이때 $FH$ 가군 $W$에 대해 $FK$ 가군으로서 다음 동형이 성립한다.^[1]

$(W^G)_K \cong \bigoplus_{t \in H \backslash G/K} (W^t_{H^t \cap K})^K$

여기서 $W^t$는 $FH^t$ 가군이며, 선형 공간으로는 $W$와 동형이고, $W^t$의 원소를 (형식적으로) $w^t$라고 표기할 때, 그 작용은 $w^t h^t = (wh)^t$로 정의한다. 이 $FH^t$ 가군 $W^t$는 $W$의 켤레 가군이라고 불리는 경우가 있다.

유한군 $G$의 정규 부분군 $N$이 주어졌을 때, $FN$ 가군 $W$에 대해

$T = \{\, t \in G \mid W^t \cong W \,\}$

를 $W$의 '''관성군'''(inertia group)이라고 한다.

기약 $FG$ 가군 $V$와 그 제한 $V_N$의 기약 부분 $FN$ 가군 $W$에 대해, '''분기 지수'''(ramification index)라고 불리는 자연수 $e$가 존재하여, 다음의 $FN$ 가군으로서의 동형이 성립한다.

$V_N \cong e\bigoplus_{t \in G/T} W^t$

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