다면체

3. 분류

다면체는 다양한 기준으로 분류할 수 있다.

• '''볼록 다면체''' - 내부 전체가 볼록 집합을 이루는 다면체를 말한다. 보다 구체적으로는, 표면이 자기 자신과 교차하지 않으며, 표면에 속하는 임의의 두 점을 연결하는 선분이 표면이나 내부에 포함되는 경우이다.^[16][17] 이 조건을 다면체의 정의에 포함시켜, 볼록 다면체를 단순히 '다면체'라 부르는 경우도 있다.
• '''오목 다면체''' - 내부가 오목하게 들어가 있는 다면체를 말한다. 즉, 다면체의 한 꼭짓점에서 모이는 내각의 합이 360도 이상인 다면체를 뜻한다.
• '''점추이 다면체''' - 임의의 두 꼭짓점에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체. 즉 이는 등거리변환들이 꼭짓점들의 집합에 추이적으로 작용하는 경우이다.
• '''변추이 다면체''' - 임의의 두 변에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체.
• '''면추이 다면체''' - 임의의 두 면에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체.
• '''정다면체''' - 위의 점추이, 변추이, 면추이 조건을 모두 만족시키는 다면체이다. 따라서 정다면체의 모든 면은 전부 동일한 정다각형이다.
• '''준정다면체''' - 변추이지만 점추이, 면추이는 아닌 다면체를 말한다. 정의에 따라 준정다면체의 각 면은 정다각형이다. 변추가 아닌 변점추및 면추이 다면체는 '''쌍대 준정다면체'''라고 한다.
• '''반정다면체'''- 점추이이며, 모든 면이 정다각형인 다면체를 말한다. (다르게 정의하는 경우도 많으므로 주의할 것.) 모든 꼭짓점이 정꼭짓점이며 변추이가 아닌 면추이 다면체를 '''쌍대 반정다면체'''라고 한다.
• '''고른 다면체''' - 모든 면이 정다각형인 점추이 다면체. 즉 이는 정다면체, 준정다면체, 반정다면체 셋 중 하나에 해당한다. '''쌍대 고른 다면체'''는 모든 꼭짓점이 정꼭짓점인 면추이 다면체이다.
• '''귀한 다면체''' - 점추이 및 면추이적인 다면체. 특정 다면체가 정다면체일 필요충분조건은 그것이 고르면서 귀하다는 것이다.

3. 1. 볼록 다면체와 오목 다면체

• 정다면체 (플라톤의 입체)
• 준정다면체 (아르키메데스의 입체)
• 카탈란의 입체 (아르키메데스 쌍대)
• 델타 다면체
• 각기둥
• 각반기둥
• 존슨의 입체
• 각뿔
• 쌍각뿔
• 비틀린 쌍각뿔
• 각뿔기둥
• 각뿔대
• 존 다면체
• 등면 마름모 다면체
• 평행 다면체

• 별 다면체
• 별 정다면체 (케플러-푸앵소의 다면체)
• 복합 다면체
• 복합체
• 균일 다면체
• 관통 다면체
• 단측 다면체^[98]

3. 2. 대칭성에 따른 분류

• 정다면체: 꼭짓점 추이적, 모서리 추이적, 면 추이적이다. 모든 면이 동일한 정다각형이고, 모든 꼭짓점이 정규적이다.
• 준정다면체: 꼭짓점 추이적이고 모서리 추이적이지만 면 추이적이지 않다. 정규 면을 갖는다. 준정규 쌍대는 면 추이적이고 모서리 추이적이지만 꼭짓점 추이적이지 않다.
• 반정다면체: 꼭짓점 추이적이지만 모서리 추이적이 아니며, 모든 면은 정다각형이다. 준정규 각기둥과 각뿔대가 여기에 포함된다. 준정규 쌍대는 면 추이적이지만 꼭짓점 추이적이지 않다.
• 고른 다면체: 꼭짓점 추이적이며 모든 면이 정다각형이다. 즉, 정다면체, 준정다면체, 반정다면체 중 하나이다. 고른 쌍대는 면 추이적이고 정규 꼭짓점을 갖지만 반드시 꼭짓점 추이적인 것은 아니다.
• 등각: 꼭짓점 추이적이다.
• 등축 도형: 모서리 추이적이다.
• 등면 도형: 면 추이적이다.
• 고귀한 다면체: 면 추이적이고 꼭짓점 추이적이다. 정다면체는 고귀하며, 유일한 고귀한 균일 다면체이다. 고귀한 다면체의 쌍대는 그 자체로 고귀하다.

3. 3. 면의 구성에 따른 분류

• 볼록 다면체: 내부 전체가 볼록 집합을 이루는 다면체이다. 표면이 자기 자신과 교차하지 않으며, 표면에 속하는 임의의 두 점을 연결하는 선분이 표면이나 내부에 포함된다. 이 조건을 다면체의 정의에 포함시켜, 볼록 다면체를 단순히 '다면체'라 부르는 경우도 있다.
• 오목 다면체: 내부가 오목하게 들어가 있는 다면체이다. 즉, 다면체의 한 꼭짓점에서 모이는 내각의 합이 360도 이상인 다면체를 뜻한다.
• 점추이 다면체: 임의의 두 꼭짓점에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체이다. 즉 이는 등거리변환들이 꼭짓점들의 집합에 추이적으로 작용하는 경우이다.
• 변추이 다면체: 임의의 두 변에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체이다.
• 면추이 다면체: 임의의 두 면에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체이다.
• 정다면체: 점추이, 변추이, 면추이 조건을 모두 만족시키는 다면체이다. 따라서 정다면체의 모든 면은 전부 동일한 정다각형이다.
• 준정다면체: 변추이지만 점추이, 면추이는 아닌 다면체를 말한다. 정의에 따라 준정다면체의 각 면은 정다각형이다. 변추가 아닌 변점추및 면추이 다면체는 쌍대 준정다면체라고 한다.
• 반정다면체: 점추이이며, 모든 면이 정다각형인 다면체를 말한다. (다르게 정의하는 경우도 많으므로 주의할 것.) 모든 꼭짓점이 정꼭짓점이며 변추이가 아닌 면추이 다면체를 쌍대 반정다면체라고 한다.
• 고른 다면체: 모든 면이 정다각형인 점추이 다면체. 즉 이는 정다면체, 준정다면체, 반정다면체 셋 중 하나에 해당한다. 쌍대 고른 다면체는 모든 꼭짓점이 정꼭짓점인 면추이 다면체이다.
• 귀한 다면체: 점추이 및 면추이적인 다면체. 특정 다면체가 정다면체일 필요충분조건은 그것이 고르면서 귀하다는 것이다.

4. 일반화

'다면체'라는 이름은 전통적인 다면체와 유사한 구조적 특성을 갖는 다양한 객체에 사용되게 되었다.

=== 무한다면체 ===

고전적인 다면체는 유한한 유계 영역을 감싸는, 꼭짓점과 변들로 구획된 표면이다. 이 표면을 한없이 확장한 것을 무한다면체라 한다. 무한다면체의 예시는 다음과 같다.

• 평면의 쪽 맞추기.
• 무한 꼬인 다면체.

4. 1. 무한다면체

• 평면의 쪽 맞추기.
• 무한 꼬인 다면체.

4. 2. 복소다면체

5. 추가 정보

• 크롬웰(Cromwell, P.)의 ''Polyhedra'', CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• 컨디(Cundy, H.M.) & 롤렛(Rollett, A.P.)의 ''Mathematical models'', 1st Edn. hbk OUP (1951), 2nd Edn. hbk OUP (1961), 3rd Edn. pbk Tarquin (1981).
• 홀든(Holden)의 ''Shapes, space and symmetry'', (1971), Dover pbk (1991).
• 피어스(Pearce, P)와 피어스(Pearce, S)의 ''Polyhedra primer'', Van Nost. Reinhold (May 1979), ISBN-10: 0442264968, ISBN-13: 978-0442264963.
• [http://www.tarquin-books.demon.co.uk/books/tarquinpaperpoly.html Tarquin publications] : 잘라서 만드는 카드 모델 책.
• 웨닝거(Wenninger, M.)의 ''Polyhedron models for the classroom'', pbk (1974).
• 웨닝거(Wenninger, M.)의 ''Polyhedron models'', CUP hbk (1971), pbk (1974).
• 웨닝거(Wenninger, M.)의 ''Spherical models'', CUP.
• 웨닝거(Wenninger, M.)의 ''Dual models'', CUP.
• 콕서터(Coxeter, H.S.M.), 듀발(DuVal), 플래더(Flather) & 페트리(Petrie)의 ''The fifty-nine icosahedra'', 3rd Edn. Tarquin.
• 콕서터(Coxeter, H.S.M.) ''Twelve geometric essays''. Republished as ''The beauty of geometry'', Dover.
• 톰프슨 경(Thompson, Sir D'A. W.)의 ''On growth and form'', (1943).
• 크리츨로(Critchlow, K.)의 ''Order in space''.
• 피어스(Pearce, P.)의 ''Structure in nature is a strategy for design'', MIT (1978).
• 윌리엄스(Williams, R.)의 ''The geometrical foundation of natural structure'', Dover (1979).
• 콕서터(Coxeter, H.S.M.)의 ''Regular Polytopes'' 3rd Edn. Dover (1973).
• 콕서터(Coxeter, H.S.M.)의 ''Regular complex polytopes'', CUP (1974).
• 라카토시(Lakatos, Imre)의 ''Proofs and Refutations'', Cambridge University Press (1976) - 오일러 특성 증명에 대한 논의
• 브뤼크너(Brückner)의 ''Vielecke und Vielflache''(다각형과 다면체), (1900).
• 페예스 토트(Fejes Toth, L.).


• [http://www.steelpillow.com/polyhedra/ 다면체 페이지]
• [https://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf Dr. Zvi Har'El의 균일 다면체에 대한 균일 해]
• [https://web.archive.org/web/20170224151555/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/symmetry.htm 대칭, 결정 및 다면체]
• [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html 가상 현실 다면체] – 다면체 백과사전.
• [http://www.eg-models.de/index.html 전자 기하학 모델] – 특이한 속성을 가진 다면체의 동료 검토를 거친 선택 사항을 포함.
• [http://www.orchidpalms.com/polyhedra/index.html 다면체 모델] – 가상 다면체.
• [http://www.polyedergarten.de/ 정다각형(및 기타) 다면체의 종이 모델]
• [https://web.archive.org/web/20170616023727/http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/pdp-en.html 다양한 다면체] – 자바(Java)로 만들어진 대화형 무료 다면체 모음. 300개 이상의 다면체의 전개도, 평면 절단, 쌍대다면체, 절단 및 별 모양 등을 포함.
• [http://dogfeathers.com/java/hyperstar.html 하이퍼스페이스 스타 폴리토프 슬라이서] – 다양한 3D 뷰어 옵션을 포함하는 자바 애플릿 탐색기.
• [http://www.openscad.org/ openSCAD] – 프로그래머를 위한 무료 크로스 플랫폼 소프트웨어. 다면체는 모델링할 수 있는 여러 가지 중 하나. openSCAD 사용자 매뉴얼도 제공.
• [http://www.openvolumemesh.org/ OpenVolumeMesh] – 다면체 메쉬 처리를 위한 오픈 소스 크로스 플랫폼 C++ 라이브러리. 아헨 컴퓨터 그래픽 그룹(Aachen Computer Graphics Group), RWTH 아헨 대학교에서 개발.
• [https://levskaya.github.com/polyhedronisme/ 폴리헤드론이즘] – 콘웨이 다면체 표기법을 사용하여 다면체 모델을 생성하는 웹 기반 도구. 모델은 2D PNG 이미지 또는 3D OBJ 또는 VRML2 파일로 내보낼 수 있다.
• [http://www.korthalsaltes.com/ 다면체 종이 모형] 다면체의 무료 전개도.
• [http://ldlewis.com/How-to-Build-Polyhedra/ 30개 이상의 종이 다면체를 만드는 간단한 설명]
• [http://hbmeyer.de/flechten/indexeng.htm 종이 스트립으로 엮은 다면체] – 접착제 없이 구성된 다면체 모형.

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