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멱영군

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목차

1. 개요

멱영군은 군의 하중심렬 또는 상중심렬이 유한한 군으로 정의되며, 멱영 차수라는 개념을 통해 분류된다. 아벨 군, 데데킨트 군은 멱영군에 속하며, 모든 멱영군은 가해군이다. 멱영군의 부분군은 멱영군이며, 준동형사상에 의한 상 역시 멱영군이다. 유한 멱영군은 p-군의 직접곱으로 나타낼 수 있다. 멱영군은 아벨 군, 사원수군, 하이젠베르크 군, 상삼각 행렬군 등 다양한 예시를 갖는다.

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멱영군
기본 정보
다른 이름멱영군, 영군
영어 이름Nilpotent group
문화어제곱령군
설명군론에서, 가해군의 일종
초가해군의 일반화
정의
정의군 G의 하행 중심열이 유한한 단계에서 자명군에 도달하면, G를 멱영군이라고 한다.
동치 조건은 다음과 같다.
G의 모든 부분군이 부분정규 부분군이다.
G의 모든 극대 부분군이 정규 부분군이다.
G는 자기 중심화 부분군의 정규화 부분군과 다르다.
성질
성질멱영군의 모든 부분군과 몫군은 멱영군이다.
유한하게 생성된 멱영군은 유한하게 나타낼 수 있다.
멱영군의 중심은 자명군이 아니다.
유한군의 경우, 멱영군일 필요충분조건은 모든 실로우 부분군이 정규 부분군이라는 것이다.
멱영군의 켤레류는 Tits 시스템을 이룬다.
예시
예시모든 아벨 군은 멱영군이다.
4원수군
이산 하이젠베르크 군
유한하게 생성된 비틀림 없는 멱영군은 polycyclic이다.
참고 문헌
참고 문헌제곱령군 (nilpotent group) - 북한과학기술네트워크
관련 항목
관련 항목가해군
초가해군
군론
셀게이 체르니코프

2. 정의

군론에서 '''멱영군'''(冪零群, nilpotent group영어)은 군의 중심에 가까운 군이다. 즉, 유한 번의 연산으로 중심에 도달할 수 있는 군이다.

임의의 군 G에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 군을 멱영군이라고 한다.[3]


  • 하중심렬이 유한하다. 즉, G_{n+1}=1인 음이 아닌 정수 n이 존재한다.
  • 상중심렬이 유한하다. 즉, Z_{n+1}=G인 음이 아닌 정수 n이 존재한다.


이들을 만족하는 가장 작은 n을 G의 '''n류 멱영군'''(nilpotent group of class ''n''영어)이라고 한다.

2. 1. 하중심렬

군 G의 '''하중심렬'''(lower central series영어)은 다음과 같이 정의되는 정규 부분군의 열이다.[3]

:G=G_0\triangleright G_1\triangleright G_2\triangleright\cdots

여기서 각 항은 다음과 같이 정의된다.

:G_0=G

:G_{n+1}=[G_n,G]

2. 2. 상중심렬

군 G의 상중심렬(上中心列, upper central series영어)은 다음과 같이 정의되는 정규 부분군의 열이다.

:1=Z_0\triangleleft Z_1\triangleleft Z_2\triangleleft\cdots

:Z_0=1

:Z_{n+1}=\{x\in G\colon [x,G]\subset Z_n\}

상중심렬에서 Z_1은 군 G의 중심 Z(G)와 같다.

2. 3. 멱영군의 정의

임의의 군 G에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 군을 멱영군이라고 한다.

  • 하중심렬이 유한하다. 즉, G_{n+1}=1인 음이 아닌 정수 n이 존재한다.
  • 상중심렬이 유한하다. 즉, Z_{n+1}=G인 음이 아닌 정수 n이 존재한다.


이를 만족하는 가장 작은 n이 주어지면, G를 '''n류 멱영군'''(nilpotent group of class ''n''영어)이라고 한다.

3. 성질

멱영군은 다음과 같은 성질을 갖는다.


  • 아벨 군이나 데데킨트 군보다는 일반적이지만, 가해군보다는 특수한 군이다.
  • 부분군과 준동형사상에 대한 상은 멱영군의 성질을 유지한다.
  • 유한 멱영군은 실로우 부분군을 이용하여 특성화할 수 있으며, 이는 구조를 이해하는 데 중요하다.
  • 무한 멱영군에서도 실로우 부분군과 관련된 성질이 성립한다.
  • 과중심 군과 많은 성질을 공유한다.
  • 승중심열을 이루는 연속적인 부분군에 의한 각 잉여군은 아벨군이며, 열이 유한하므로 임의의 멱영군은 비교적 단순한 구조를 갖는 가해군이다.

3. 1. 포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[9]

:아벨 군 ⊊ 데데킨트 군 ⊊ 멱영군 ⊊ 가해군

즉, 모든 아벨 군 및 데데킨트 군은 멱영군이며, 모든 멱영군은 가해군이다. 중심 열에서 각 연속적인 인자군 ''Z''''i''+1/''Z''''i''가 아벨군이고, 그 열이 유한하므로, 모든 멱영군은 비교적 단순한 구조를 가진 가해군이다.

3. 2. 부분군과 준동형사상

분류가 ''n''인 멱영군의 모든 부분군은 분류가 최대 ''n''인 멱영군이다.[9] 또한, ''f''가 분류가 ''n''인 멱영군의 군 준동형사상이면, ''f''의 상은 분류가 최대 ''n''인 멱영군이다.[9]

멱영도 ''n''의 멱영군의 임의의 부분군은 멱영도 ''n'' 이하이다. 게다가, ''f''가 멱영도 ''n''의 멱영군 상의 준동형사상이라면, ''f''의 상은 멱영도 ''n'' 이하의 멱영군이 된다.

3. 3. 유한 멱영군

유한군 ''G''에 대해 다음 명제들은 서로 동치이다.[10]

  • (a) ''G''는 멱영군이다.
  • (b) '''정규화 부분군 성질''': ''H''가 ''G''의 진부분군이면, ''H''는 ''N''''G''(''H'') (''G''에서 ''H''의 정규화 부분군)의 진정규 부분군이다. ("정규화 부분군은 증가한다"라고 표현할 수 있다.)
  • (c) ''G''의 모든 실로우 부분군은 정규 부분군이다.
  • (d) ''G''는 실로우 부분군의 직접 곱이다.
  • (e) 만약 ''d''가 ''G''의 군의 위수를 나누면, ''G''는 위수 ''d''인 정규 부분군을 갖는다.


이러한 동치 조건들은 멱영군의 유용한 성질들을 보여준다. 예를 들어, (d)에 따르면 멱영군은 자신의 실로우 부분군들의 직접 곱으로 표현될 수 있다. 이는 멱영군의 구조를 더 명확하게 이해하는 데 도움을 준다.

3. 4. 무한 멱영군

G가 멱영군이면, G의 모든 실로우 부분군 Gp는 정규 부분군이고, 이러한 실로우 부분군의 직접 곱은 G에서 유한한 위수를 갖는 모든 원소의 부분군(꼬임 부분군 참조)과 일치한다.[10]

4. 예시


잘 알려진 멱영군의 예시인 이산 하이젠베르크 군의 케일리 그래프 일부

  • 임의의 체 ''F'' 위의 상부 상단위 ''n'' × ''n'' 행렬의 곱셈군은 멱영 등급이 ''n'' − 1인 멱영군이다.[7]
  • 체 ''F'' 위의 가역 상삼각 ''n'' × ''n'' 행렬의 곱셈군은 일반적으로 멱영군이 아니지만 가해군이다.
  • ''G''/''Z''(''G'')가 아벨군인 모든 비아벨군 ''G''는 멱영 등급 2를 가진다.

4. 1. 아벨군

모든 아벨 군은 0류 멱영군이다.[3][4]

4. 2. 사원수군

사원수군 Q_8은 2류 멱영군의 한 예시이다.[3][4] 사원수군은 가장 작은 비가환 ''p''-군이며, 차수가 2인 중심 {1, −1}을 갖는다. 사원수군의 상부 중심열은 {1}, {1, −1}, ''Q''8이다.

4. 3. 유한 p-군

모든 유한 ''p''-군은 멱영군이다(증명).[5] ''n'' > 1에 대해, 차수 ''p''''n''인 군의 최대 멱영 등급은 ''n'' - 1이다. 예를 들어, 차수 ''p''''2''인 군은 아벨군이다. 최대 등급의 2-군은 일반화된 사원수군, 이산면군, 반이산면군이다.

4. 4. 직접곱

유한 개의 멱영군의 직접곱은 멱영군이다.[5] 유한 멱영군은 ''p''-군 (단위원이 아닌 모든 원소의 계수(order)가 소수 ''p''인 군)의 직접곱으로 나타낼 수 있다.[5]

4. 5. 하이젠베르크 군

하이젠베르크 군은 비가환 무한 멱영군의 한 예시이다.[6][7]

4. 6. 상삼각 행렬군

임의의 체 ''F'' 위의 상부 상단위 ''n'' × ''n'' 행렬의 곱셈군은 멱영 등급이 ''n'' − 1인 멱영군이다.[7] ''n'' = 3을 사용하면 Heisenberg 군 ''H''가 생성되며, 이는 비아벨[6] 무한 멱영군의 한 예이다.

5. 용어 설명

멱영군의 명칭은 임의의 원소의 "수반 작용"이 멱영인 것에서 유래한다. 멱영 차수 ''n''의 멱영군 ''G''와 원소 ''g''에 대해, \operatorname{ad}_g \colon G \to G 함수는 \operatorname{ad}_g(x) := [g,x]로 정의된다. 여기서 [g,x]=g^{-1} x^{-1} g x는 ''g''와 ''x''의 교환자이다. 이때, 함수의 ''n''번째 반복은 자명하다. 즉, 모든 ''G''의 원소 ''x''에 대해 \left(\operatorname{ad}_g\right)^n(x)=e이다.[8]

이는 멱영군의 정의적 특징은 아니다. \operatorname{ad}_g가 (위에서 언급한 의미로) ''n'' 차수의 멱영인 군은 ''n''-엥겔 군이라고 불리며, 일반적으로 멱영일 필요는 없다. 유한 차수를 가지면 멱영임이 증명되었고, 유한 생성군이면 멱영일 것으로 추측된다.[8]

아벨 군은 수반 작용이 자명한 군(1-엥겔 군)이다.[8]

참조

[1] 논문 S. N. Chernikov and the development of infinite group theory 2012
[2] 서적 Topics in Group Theory (Springer Undergraduate Mathematics Series) https://books.google[...]
[3] 서적 Matrix Groups https://books.google[...]
[4] 서적 Algebra https://books.google[...]
[5] 서적 The theory of groups https://books.google[...]
[6] 서적 Automatic Sequences (De Gruyter Expositions in Mathematics, 36) https://books.google[...]
[7] 서적 Banach algebras and the general theory of *-algebras https://books.google[...]
[8] 문서 For the term, compare [[Engel's theorem]], also on nilpotency.
[9] 문서 Bechtell (1971), p. 51, Theorem 5.1.3
[10] 문서 Isaacs (2008), Thm. 1.26
[11] 논문 S. N. Chernikov and the development of infinite group theory 2012
[12] 웹인용 제곱령군 (nilpotent group) http://www.nktech.ne[...] 북한과학기술네트워크


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