베르마 가군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 기약성
- 3.2. 준동형 사상
4. 예
- 4.1. sl(2;C)의 베르마 가군
5. 응용
- 5.1. 베른슈타인-겔판트-겔판트 분해 (BGG 분해)
6. 역사
참조

1. 개요

베르마 가군은 체 위의 리 대수와 그 부분 리 대수의 표현을 사용하여 구성되는 가군으로, 리 대수의 표현론에서 중요한 역할을 한다. 일반화 베르마 가군은 주어진 리 대수와 부분 리 대수의 표현을 통해 정의되며, 특히 반단순 리 대수와 보렐 부분 대수, 그리고 1차원 표현을 사용하는 경우를 베르마 가군이라고 한다. 베르마 가군은 최고 무게 가군이며, 최고 무게 벡터에 의해 생성된다. 또한, 최고 무게 가군을 구성하는 데 사용되며, 기약성, 준동형 사상, 그리고 등급 구조와 같은 중요한 성질을 갖는다. 베르마 가군은 BGG 분해와 같은 응용 분야에서 활용되며, 다야난드 베르마에 의해 처음 도입되었다.

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베르마 가군

2. 정의

베르마 가군은 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 표현론에서 중요한 역할을 하는 대상이다. 이는 더 일반적인 개념인 '''일반화 베르마 가군'''(generalized Verma module^영어)의 특수한 경우로 이해할 수 있다.

일반화 베르마 가군은 체 $K$ , $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ , $\mathfrak g$ 의 부분 리 대수 $\mathfrak p\subset\mathfrak g$ , 그리고 $\mathfrak p$ 의 표현 $V$ (즉, $\operatorname U(\mathfrak p)$ 의 왼쪽 가군)가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname U(\mathfrak g)\otimes_{\operatorname U(\mathfrak p)}V$

여기서 $\operatorname U(-)$ 는 리 대수의 보편 포락 대수를 나타내며, $\operatorname U(\mathfrak g)$ 의 오른쪽 $\operatorname U(\mathfrak p)$ -작용은 푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라 $\operatorname U(\mathfrak p)\subseteq\operatorname U(\mathfrak g)$ 이므로 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 일반화 베르마 가군의 정의에서 다음 조건을 만족하는 경우를 '''베르마 가군'''이라고 부른다.

$K$ 는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다.
$\mathfrak g$ 는 $K$ 위의 반단순 리 대수이다.
$\mathfrak p$ 는 보렐 부분 대수 $\mathfrak b$ 이다.
$V=\mathbb C$ 는 $\mathfrak b$ 의 무게 $\lambda\colon\mathbb b\to\mathfrak b/[\mathfrak b,\mathfrak b]\to\mathbb C$ 를 이루는 1차원 표현이다.

2. 1. 일반화 베르마 가군

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

체 $K$
$K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$
$\mathfrak g$ 의 부분 리 대수 $\mathfrak p\subset\mathfrak g$
$\mathfrak p$ 의 표현 $V$ (즉, $\operatorname U(\mathfrak p)$ 의 왼쪽 가군)

그렇다면, 이에 대응되는 '''일반화 베르마 가군'''(一般化वर्मा加群, generalized Verma module^영어)은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname U(\mathfrak g)\otimes_{\operatorname U(\mathfrak p)}V

여기서

\operatorname U(-)

는 리 대수의 보편 포락 대수를 나타낸다.

\operatorname U(\mathfrak g)

의 오른쪽

\operatorname U(\mathfrak p)

-작용은 푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라

\operatorname U(\mathfrak p)\subseteq\operatorname U(\mathfrak g)

이므로, 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다.

$K$ 는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다.
$\mathfrak g$ 는 $K$ 위의 반단순 리 대수이다.
$\mathfrak p=\mathfrak b$ 는 보렐 부분 대수이다.
$V=\mathbb C$ 는 $\mathfrak b$ 의 무게 $\lambda\colon\mathbb b\to\mathfrak b/[\mathfrak b,\mathfrak b]\to\mathbb C$ 를 이루는 1차원 표현이다.

이 경우를 베르마 가군이라고 부른다.

베르마 가군을 구성하는 두 가지 표준적인 방법이 있으며, 두 방법 모두 보편 포락 대수의 개념을 사용한다. 표기법은 다음과 같이 따른다:

\mathfrak{g}

는 복소수 반단순 리 대수,

\mathfrak{h}

는 고정된 카르탕 부분 대수,

R

은 고정된 양근의 집합

R^+

과 관련된 근계이다. 각

\alpha\in R^+

에 대해, 영이 아닌 원소

X_\alpha\in\mathfrak{g}_\alpha

와

Y_\alpha\in\mathfrak{g}_{-\alpha}

를 선택한다.

=== 보편 포락 대수의 몫을 이용한 구성 ===

베르마 가군의 첫 번째 구성 방법^[5]은

\mathfrak{g}

의 보편 포락 대수

U(\mathfrak{g})

의 몫으로 정의하는 것이다. 베르마 가군은

\mathfrak{g}

-가군이므로, 보편 포락 대수의 보편적 성질에 의해

U(\mathfrak{g})

-가군이기도 하다. 최고 무게 벡터

v

를 가진 베르마 가군

W_\lambda

가 있다면,

U(\mathfrak{g})

에서

W_\lambda

로 가는 전사 선형 사상

\Phi(x)=x\cdot v

가 존재한다.

v

가 최고 무게 벡터이고 무게

\lambda

를 가지므로,

\Phi

의 핵

\ker\Phi

는 모든

\alpha\in R^+

에 대한

X_\alpha

와 모든

H\in\mathfrak{h}

에 대한

H-\lambda(H)1

형태의 벡터들을 포함해야 한다. 또한

\ker\Phi

는

U(\mathfrak{g})

의 왼쪽 아이디얼이어야 한다.

따라서 베르마 가군

W_\lambda

를 다음 몫 벡터 공간으로 정의할 수 있다.

:

W_\lambda=U(\mathfrak{g})/I_\lambda

여기서

I_\lambda

는 다음 원소들로 생성되는 왼쪽 아이디얼이다.

모든 $\alpha\in R^+$ 에 대해 $X_\alpha$
모든 $H\in\mathfrak{h}$ 에 대해 $H-\lambda(H)1$

I_\lambda

가 왼쪽 아이디얼이므로,

U(\mathfrak{g})

의 자연스러운 왼쪽 작용이 몫 공간

W_\lambda

로 내려가

W_\lambda

는

U(\mathfrak{g})

-가군, 즉

\mathfrak{g}

-가군이 된다.

=== 스칼라 확장을 이용한 구성 ===

"스칼라 확대"는 대수

A_1

위의 왼쪽 가군

V

를

A_1

을 부분 대수로 포함하는 더 큰 대수

A_2

위의 왼쪽 가군으로 만드는 방법이다.

A_2

를 오른쪽

A_1

-가군으로 보고,

V

는 왼쪽

A_1

-가군이므로, 텐서곱

A_2\otimes_{A_1}V

를 구성할 수 있다. 이 텐서곱은 자연스럽게 왼쪽

A_2

-가군 구조를 가지며,

a_1\cdot (a_2\otimes v)=(a_1a_2)\otimes v

(모든

a_1, a_2 \in A_2

)를 만족한다.

이 구성을 반단순 리 대수에 적용해 보자.

\mathfrak{b}

를

\mathfrak{h}

와 모든 양의 근 벡터

X_\alpha

(

\alpha\in R^+

)로 생성되는

\mathfrak{g}

의 부분 대수(보렐 부분 대수)로 둔다. 이제

U(\mathfrak{b})

위에 1차원 왼쪽 가군

F_\lambda

를 다음과 같이 구성한다.

F_\lambda

는 단일 벡터

v

로 생성되며, 다음과 같은 작용을 가진다.

$H\cdot v=\lambda(H)v$ (모든 $H\in\mathfrak{h}$ )
$X_\alpha\cdot v=0$ (모든 $\alpha\in R^+$ )

이는 베르마 가군의 최고 무게 벡터에

U(\mathfrak{b})

가 작용하는 방식을 나타낸다.

푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라

U(\mathfrak{b})

는

U(\mathfrak{g})

의 부분 대수이다. 스칼라 확장 기법을 사용하여 왼쪽

U(\mathfrak{b})

-가군

F_\lambda

를 왼쪽

U(\mathfrak{g})

-가군

W_\lambda

로 변환할 수 있다.

:

W_\lambda := U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{b})} F_\lambda

이렇게 정의된

W_\lambda

는 왼쪽

U(\mathfrak{g})

-가군이므로, 특히

\mathfrak{g}

의 표현(가군)이 된다.

2. 2. 베르마 가군

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

체 $K$
$K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$
$\mathfrak g$ 의 부분 리 대수 $\mathfrak p\subset\mathfrak g$
$\mathfrak p$ 의 표현 $V$ (즉, $\operatorname U(\mathfrak p)$ 의 왼쪽 가군)

그렇다면, 이에 대응되는 '''일반화 베르마 가군'''(generalized Verma module^영어)은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname U(\mathfrak g)\otimes_{\operatorname U(\mathfrak p)}V

여기서

\operatorname U(-)

는 리 대수의 보편 포락 대수이며,

\operatorname U(\mathfrak g)

의 오른쪽

\operatorname U(\mathfrak p)

-작용은 푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라

\operatorname U(\mathfrak p)\subseteq\operatorname U(\mathfrak g)

이므로 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 일반화 베르마 가군의 정의에서 다음 조건을 만족하는 경우를 '''베르마 가군'''이라고 한다.

$K$ 는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다.
$\mathfrak g$ 는 $K$ 위의 반단순 리 대수이다.
$\mathfrak p=\mathfrak b$ 는 보렐 부분 대수이다.
$V=\mathbb C$ 는 $\mathfrak b$ 의 무게 $\lambda\colon\mathbb b\to\mathfrak b/[\mathfrak b,\mathfrak b]\to\mathbb C$ 를 이루는 1차원 표현이다.

최고 무게 $\lambda$ 를 갖는 $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$ 에 대한 베르마 가군의 무게

베르마 가군의 아이디어는 다음과 같이 설명될 수 있다.^[2]

\mathfrak{g}

를 복소수체

\mathbb{C}

위의 반단순 리 대수라고 가정하자.

\mathfrak{h}

를

\mathfrak{g}

의 고정된 카르탕 부분 대수로,

R

을 관련된 근계로,

R^+

를 고정된 양근의 집합으로 둔다. 각 양근

\alpha\in R^+

에 대해, 해당 근 공간

\mathfrak{g}_\alpha

의 0이 아닌 원소

X_\alpha

와 음의 근 공간

\mathfrak{g}_{-\alpha}

의 0이 아닌 원소

Y_\alpha

를 선택한다. 이때

X_\alpha

는 "올림 연산자",

Y_\alpha

는 "내림 연산자"로 생각할 수 있다.

임의의 선형 범함수

\lambda\in\mathfrak{h}^*

에 대해 (이는 지배적이거나 정수일 필요는 없다), 무게

\lambda

를 갖는 단일 벡터

v

에 의해 생성되는 최고 무게

\lambda

를 갖는

\mathfrak{g}

의 표현

W_\lambda

를 구성하는 것이 목표다. 베르마 가군은 이러한 최고 무게 가군 중 하나이며, 최고 무게

\lambda

를 갖는 다른 모든 최고 무게 가군이 베르마 가군의 몫 가군이라는 점에서 보편적인 성질을 가진다. 베르마 가군은 일반적으로 무한 차원이지만,

\lambda

가 지배적 정수 무게일 경우 유한 차원 몫 가군을 구성할 수 있다. 이러한 이유로 베르마 가군은 반단순 리 대수의 유한 차원 표현론에서 중요한 역할을 하며, 특히 최고 무게 정리의 증명, 즉 모든 지배적 정수 무게가 실제로

\mathfrak{g}

의 유한 차원 기약 표현의 최고 무게로 나타남을 보이는 데 사용된다.

최고 무게

\lambda

를 갖는 베르마 가군

W_\lambda

의 구조를 직관적으로 살펴보면, 최고 무게 벡터

v

는 다음 조건을 만족해야 한다.

:

H\cdot v=\lambda(H)v,\quad H\in\mathfrak{h}

:

X_\alpha\cdot v=0,\quad\alpha\in R^+

W_\lambda

는 내림 연산자

Y_\alpha

들을

v

에 반복적으로 작용시켜 얻어지는 벡터들

Y_{\alpha_{i_1}}\cdots Y_{\alpha_{i_M}}\cdot v

로 생성된다. 이 벡터들 사이의 관계는 오직

Y

연산자들 사이의 교환 관계로만 결정된다. 따라서 베르마 가군은 항상 무한 차원이다. 베르마 가군의 무게들은

\lambda

에서 시작하여 양근들의 정수 선형 결합을 뺀 형태의 모든 원소

\mu

로 구성된다. 그림은

\mathfrak{sl}(3;\mathbb C)

에 대한 베르마 가군의 무게 집합을 보여준다.

푸앵카레-버코프-비트 정리를 이용하면, 리 대수

\mathfrak{g}

의 임의의 원소

Z

가

Y_{\alpha_{i_1}}\cdots Y_{\alpha_{i_M}}

형태의 벡터에 작용하는 방식을 유일하게 결정할 수 있다.

Z

를 포함한 항을 재배열하여 올림 연산자(

X_\alpha

), 카르탕 부분 대수 원소(

H

), 내림 연산자(

Y_\alpha

) 순서로 나타나는 항들의 선형 결합으로 만들 수 있다. 이 결합을

v

에 작용시키면,

X_\alpha

항은 0이 되고

H

항은 스칼라로 작용하므로, 결과는 다시

Y

연산자들만

v

에 작용한 형태의 벡터들의 선형 결합이 된다.

양근의 순서를

\alpha_1,\ldots\alpha_n

으로 정하고 해당 내림 연산자를

Y_1,\ldots Y_n

이라 하면, 임의의

Y_{\alpha_{i_1}}\cdots Y_{\alpha_{i_M}}\cdot v

형태의 벡터는

Y_1^{k_1}\cdots Y_n^{k_n}v

(단,

k_j

는 음이 아닌 정수) 형태의 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있으며, 이 벡터들이 베르마 가군의 기저를 이룬다는 사실이 알려져 있다.

이러한 직관적인 설명 외에, 베르마 가군을 엄밀하게 구성하는 두 가지 표준적인 방법이 있으며, 두 방법 모두 보편 포락 대수를 사용한다. 그중 하나는 "스칼라 확대"를 이용하는 방법이다. 이는 어떤 대수

A_1

(반드시 가환일 필요는 없음) 위의 왼쪽 가군

V

를,

A_1

을 부분 대수로 포함하는 더 큰 대수

A_2

위의 왼쪽 가군으로 만드는 과정이다.

A_2

는 오른쪽

A_1

-가군으로 생각할 수 있는데, 여기서

A_1

은 오른쪽에 곱셈을 가하여

A_2

에 작용한다.

V

는 왼쪽

A_1

-가군이고

A_2

는 오른쪽

A_1

-가군이므로, 두 가군의 텐서곱을 대수

A_1

위에서 구성할 수 있다.

:

A_2\otimes_{A_1}V

이제

A_2

는 자체적으로 왼쪽

A_2

-가군이므로, 위의 텐서곱은 더 큰 대수

A_2

위의 왼쪽 가군 구조를 가지며, 다음 조건을 만족하는 것으로 고유하게 결정된다.

:

a_1\cdot (a_2\otimes v)=(a_1a_2)\otimes v

는

A_2

의 모든

a_1

과

a_2

에 대해 성립한다. 따라서 왼쪽

A_1

-가군

V

에서 시작하여 왼쪽

A_2

-가군

A_2\otimes_{A_1}V

를 생성했다.

이 구성을 반단순 리 대수의 설정에 적용한다.

\mathfrak{b}

를

\mathfrak{h}

와

\alpha\in R^+

인 근 벡터

X_\alpha

에 의해 생성되는

\mathfrak{g}

의 부분 대수로 둔다. (따라서

\mathfrak{b}

는

\mathfrak{g}

의 "보렐 부분 대수"이다.) 다음과 같이 보편 포락 대수

U(\mathfrak{b})

위에 왼쪽 가군

F_\lambda

를 구성할 수 있다.

$F_\lambda$ 는 단일 벡터 $v$ 에 의해 생성되는 1차원 벡터 공간이며, $\mathfrak{h}$ 가 $\lambda$ 에 의한 곱셈으로 작용하고 양의 근 공간이 자명하게 작용하는 $\mathfrak{b}$ -가군 구조를 갖는다.

:

\quad H\cdot v=\lambda(H)v,\quad H\in\mathfrak{h};\quad X_\alpha\cdot v=0,\quad \alpha\in R^+

이 공식의 동기는 이 공식이 베르마 가군의 최고 무게 벡터에

U(\mathfrak{b})

가 어떻게 작용해야 하는지를 설명한다는 것이다.

이제 푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라

U(\mathfrak{b})

는

U(\mathfrak{g})

의 부분 대수이다. 따라서 스칼라 확장의 기술을 적용하여

F_\lambda

를 왼쪽

U(\mathfrak{b})

-가군에서 다음과 같이 왼쪽

U(\mathfrak{g})

-가군

W_\lambda

로 변환할 수 있다.

:

W_\lambda := U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{b})} F_\lambda

W_\lambda

는 왼쪽

U(\mathfrak{g})

-가군이므로, 특히

\mathfrak{g}

에 대한 가군(표현)이다.^[3]

2. 3. 등급

복소수체 위의 반단순 리 대수

\mathfrak g

와 그 포물형 부분 대수

\mathfrak p

가 주어졌다고 가정하자. 이 경우,

\mathfrak g

위에는 다음과 같은 자연스러운 등급 구조가 존재한다.

:

\mathfrak g=\bigoplus_{i=-k}^k\mathfrak g_i

이 등급 구조를 이용하면, 포물형 부분 대수

\mathfrak p

와 리 대수

\mathfrak h

는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

\mathfrak p=\bigoplus_{i=0}^k\mathfrak g_i

:

\mathfrak h=\mathfrak g_0

즉,

\mathfrak g

의 보편 포락 대수

\operatorname U(\mathfrak g)

는 등급

\{-k,-k+1,\dotsc,k-1,k\}

을 가지는 복소수 등급 대수이며,

\operatorname U(\mathfrak p)

는 이 중에서 음이 아닌 등급만을 포함하는 부분 대수가 된다.

임의의

\mathfrak p

-표현

V

에 대하여,

(\mathfrak g,\mathfrak p,V)

-일반화 베르마 가군은 푸앵카레-버코프-비트 정리를 활용하여 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname U(\mathfrak g)\otimes_{\operatorname U(\mathfrak p)}V=\bigoplus_{i=-k}^{-1}\operatorname U(\mathfrak g_i)\otimes_KV

여기서

\otimes_{\operatorname U(\mathfrak p)}

는

\operatorname U(\mathfrak p)

위의 텐서곱을,

\otimes_K

는 밑이 되는 체(여기서는 복소수체

\mathbb C

) 위의 텐서곱을 의미한다. 이 표현은 일반화 베르마 가군이

\mathfrak g

의 음수 등급 부분 공간들의 보편 포락 대수와 주어진

\mathfrak p

-표현

V

의 텐서곱으로 구성됨을 보여준다.

3. 성질

베르마 가군은 주어진 무게를 갖는 최고 무게 가군 중에서 가장 '큰' 가군이라는 중요한 보편 성질을 만족시킨다. 구체적으로, 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 카르탕 부분 대수 $\mathfrak h$ 의 무게 $\lambda\in\mathfrak h^\vee$ 가 주어졌을 때, 최고 무게 $\lambda$ 를 갖는 임의의 $\mathfrak g$ -최고 무게 가군 $V$ 에 대하여, 베르마 가군 $M_\lambda$ 로부터 $V$ 로 가는 유일한 전사 $\mathfrak g$ -표현 준동형

: $M_\lambda\twoheadrightarrow V$

이 존재한다. 즉, 최고 무게 $\lambda$ 를 갖는 모든 최고 무게 가군은 베르마 가군 $M_\lambda$ 의 몫가군으로 표현될 수 있다.

베르마 가군의 아이디어를 이해하기 위해, $\mathfrak{g}$ 를 반단순 리 대수라 하고 $\mathfrak{h}$ 를 카르탕 부분 대수, $R$ 을 근계, $R^+$ 를 양근의 집합이라고 하자. 각 양근 $\alpha\in R^+$ 에 대해 올림 연산자 $X_\alpha \in \mathfrak{g}_\alpha$ 와 내림 연산자 $Y_\alpha \in \mathfrak{g}_{-\alpha}$ 를 선택한다. 임의의 무게 $\lambda\in\mathfrak{h}^*$ (지배적이거나 정수일 필요는 없음)에 대해, 베르마 가군 $M_\lambda$ 는 다음 조건을 만족하는 유일한 최고 무게 벡터 $v$ 에 의해 생성된다.^[2]

: $H\cdot v=\lambda(H)v,\quad H\in\mathfrak{h}$

: $X_\alpha\cdot v=0,\quad\alpha\in R^+$ .

$M_\lambda$ 는 $v$ 에 내림 연산자 $Y_\alpha$ 들을 반복적으로 작용시켜 얻어지는 벡터들 $Y_{\alpha_{i_1}}\cdots Y_{\alpha_{i_M}}\cdot v$ 로 생성되는 벡터 공간이다. 이때 $Y$ 연산자들 사이의 교환 관계를 제외하고는 다른 관계는 없다. 푸앵카레-비르코프-위트 정리(PBW 정리)에 따르면, 베르마 가군 $M_\lambda$ 의 기저 벡터 공간은 음의 근 공간들로 생성된 리 부분 대수 $\mathfrak{g}_-$ 의 보편 포락 대수 $U(\mathfrak{g}_-)$ 와 동형이다. 이 때문에 베르마 가군은 일반적으로 무한 차원이다. 베르마 가군의 무게들은 최고 무게 $\lambda$ 에서 시작하여 양근들의 음의 정수 계수 선형 결합을 더한 형태 $\mu = \lambda - \sum k_i \alpha_i$ ( $k_i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}, \alpha_i \in R^+$ )로 나타난다.

베르마 가군은 두 가지 주요한 방법으로 구성될 수 있다.

# '''몫 가군 구성:''' $\mathfrak{g}$ 의 보편 포락 대수 $U(\mathfrak{g})$ 에서, 모든 올림 연산자 $X_\alpha$ ( $\alpha\in R^+$ )와 모든 $H-\lambda(H)1$ ( $H\in\mathfrak{h}$ )로 생성되는 왼쪽 아이디얼 $I_\lambda$ 를 생각한다. 베르마 가군은 몫 공간 $M_\lambda = U(\mathfrak{g})/I_\lambda$ 로 정의된다.^[5]

# '''스칼라 확장 구성:''' 보렐 부분 대수 $\mathfrak{b} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\alpha \in R^+} \mathfrak{g}_\alpha$ 를 정의한다. $\mathfrak{h}$ 는 $\lambda$ 로 작용하고 모든 $X_\alpha$ ( $\alpha\in R^+$ )는 0으로 작용하는 1차원 $U(\mathfrak{b})$ -가군 $F_\lambda$ 를 만든다. 그 다음 스칼라 확장을 통해 $M_\lambda = U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{b})} F_\lambda$ 로 정의한다. 이 구성에서 최고 무게 벡터는 $1 \otimes v$ (여기서 $v$ 는 $F_\lambda$ 의 기저 벡터)에 해당한다.

어떤 방법으로 구성하든, PBW 정리는 베르마 가군이 자명하지 않음(즉, 0이 아님)을 보장한다. 베르마 가군은 일반적으로 기약이 아니지만, 유한 차원 기약 표현을 구성하는 데 핵심적인 역할을 한다. 특히, $\lambda$ 가 우세하고 정수인 경우, 베르마 가군 $M_\lambda$ 는 유한 차원의 기약 몫가군 $L_\lambda$ 를 가지며, 이는 최고 무게 정리의 증명에 중요한 도구가 된다.^[3]

3. 1. 기약성

베르마 가군

W_\lambda

는 일반적으로 기약이 아니다. 하지만 모든 베르마 가군

W_\lambda

는 고유한 극대 부분 가군

N_\lambda

를 가지며, 이 부분 가군으로 몫을 취하여 얻는 가군

L_\lambda = W_\lambda / N_\lambda

는 최고 무게

\lambda

를 갖는 유일한(동형 사상까지) 기약 표현이다.^[7]

특히 중요한 경우는 최고 무게

\lambda

가 우세하고 정수일 때이다. 이 경우, 위에서 설명한 기약 몫 표현

L_\lambda

는 유한 차원이 된다.^[8] 이 구성 방법은 반단순 리 대수의 유한 차원 기약 표현을 실제로 만드는 데 사용되며, 최고 무게 정리의 핵심적인 부분을 증명하는 데 기여한다.

예를 들어, 리 대수 sl2를 생각해보자. 여기서 최고 무게

m

이 음이 아닌 정수(즉, 우세하고 정수)라고 하자. 그러면 베르마 가군

W_m

은 기약이 아니며, 무게가

m

인 최고 무게 벡터

v_0

로부터 생성된 벡터들

v_k = \frac{1}{k!} Y^k v_0

중에서

v_{m+1}

에 의해 생성되는 부분 가군이 극대 부분 가군

N_m

이 된다. 몫 표현

L_m = W_m / N_m

은 기저

\{v_0, v_1, \ldots, v_m\}

을 가지는

(m+1)

-차원 기약 표현이다. 이 몫 표현에서 리 대수의 작용은 베르마 가군과 거의 동일하지만, 내림 연산자

Y

의 작용에서

Y \cdot v_m = 0

이 된다는 점이 다르다 (베르마 가군에서는

Y \cdot v_m = v_{m+1}

이다).

베르마 가군

W_\lambda

자체가 기약이 되는 경우는 드물며, 이는 최고 무게

\lambda

가 반우세(antidominant)일 때, 그리고 오직 그때만 가능하다.^[9] 만약

\lambda

가 정수 무게라면,

W_\lambda

가 기약이기 위한 필요 조건은 기본 무게들의 기저로

\lambda

를 표현했을 때 모든 계수가 집합

\{0, 1, 2, \ldots\}

에 속하지 않는 것이다. 하지만 이 조건이 항상 충분 조건은 아니다.

3. 2. 준동형 사상

임의의 두 무게

\lambda, \mu

에 대해, 자명하지 않은 준동형 사상

:

W_\mu\rightarrow W_\lambda

은

\mu

와

\lambda

가 리 대수

\mathfrak{g}

의 바일 군

W

의 아핀 작용으로 연결된 경우에만 존재할 수 있다. 이는 무한소 중심 문자에 대한 하리쉬-찬드라 동형 사상으로부터 쉽게 유도될 수 있다.

각 베르마 가군의 준동형 사상은 항상 단사이며, 임의의

\mu, \lambda

에 대해 준동형 사상 공간의 차원은 다음과 같다.

:

\dim(\operatorname{Hom}(W_\mu, W_\lambda))\leq 1

따라서, 0이 아닌 준동형 사상

W_\mu\rightarrow W_\lambda

은

W_\mu

가

W_\lambda

의 (유일한) 부분 가군과 동형인 경우에만 존재한다.

베르마 가군 준동형 사상의 완전한 분류는 베른슈타인-겔판트-겔판트^[10]와 베르마^[11]에 의해 이루어졌으며, 그 조건은 다음과 같다. 0이 아닌 준동형 사상

W_\mu\rightarrow W_\lambda

이 존재하기 위해서는, 다음 조건을 만족하는 무게의 수열

:

\mu=\nu_0\leq\nu_1\leq\ldots\leq\nu_k=\lambda

이 존재해야 한다. 여기서 각

i

(

1\leq i\leq k

)에 대해,

\nu_{i-1}+\delta=s_{\gamma_i}(\nu_i+\delta)

가 어떤 양의 근

\gamma_i

에 대해 성립해야 한다. 이때

s_{\gamma_i}

는 해당 근 반사이고,

\delta

는 모든 기저 무게의 합이다. 또한, 각

1\leq i\leq k

에 대해

(\nu_i+\delta)(H_{\gamma_i})

는 자연수여야 한다 (

H_{\gamma_i}

는 근

\gamma_i

에 관련된 공근이다).

만약 베르마 가군

W_\mu

와

W_\lambda

가 정칙 무게를 갖는다면, 유일한 우세 무게

\tilde\lambda

와 바일 군

W

의 유일한 원소

w, w'

이 존재하여 다음을 만족한다.

:

\mu=w'\cdot\tilde\lambda

:

\lambda=w\cdot\tilde\lambda

여기서

\cdot

은 바일 군의 아핀 작용을 나타낸다. 만약 무게가 더 나아가 적분 무게라면, 0이 아닌 준동형 사상

:

W_\mu\to W_\lambda

은 바일 군의 브루아 순서에서

w \leq w'

인 경우에만 존재한다.

또한,

\mathfrak{g}

-가군의 부분 가군열

:

0\subset A\subset B\subset W_\lambda

이 주어졌을 때, 만약 몫 가군

B/A

가 최고 무게

\mu

를 갖는 기약

\mathfrak{g}

-가군이라면, 0이 아닌 준동형 사상

W_\mu\to W_\lambda

가 존재한다.

이로부터, 최고 무게 가군

V_\mu, V_\lambda

에 대해 만약

V_\mu

가

V_\lambda

의 부분 가군이라면 (

V_\mu\subset V_\lambda

), 0이 아닌 준동형 사상

W_\mu\to W_\lambda

가 존재한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

4. 예

베르마 가군의 개념은 구체적인 예시를 통해 더 명확하게 이해할 수 있다. 가장 기본적인 예시로는 리 대수 $\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)$ 의 베르마 가군이 있으며, 이는 하위 섹션에서 자세히 다룬다. 여기서는 더 일반적인 반단순 리 대수에서의 베르마 가군 구성 아이디어를 설명한다.^[2]

$\mathfrak{g}$ 를 복소수체 $\mathbb{C}$ 위의 반단순 리 대수라 하고, $\mathfrak{h}$ 를 $\mathfrak{g}$ 의 고정된 카르탕 부분 대수, $R$ 을 관련된 근계라고 하자. 양근의 집합 $R^+$ 를 고정하고, 각 양근 $\alpha\in R^+$ 에 대해 근 공간 $\mathfrak{g}_\alpha$ 의 0이 아닌 원소 $X_\alpha$ (올림 연산자)와 근 공간 $\mathfrak{g}_{-\alpha}$ 의 0이 아닌 원소 $Y_\alpha$ (내림 연산자)를 선택한다.

임의의 선형 범함수 $\lambda\in\mathfrak{h}^*$ (반드시 우세적이거나 정수일 필요는 없음)에 대해, 최고 무게 $\lambda$ 를 갖는 $\mathfrak{g}$ -가군 $W_\lambda$ 를 구성하는 것이 목표이다. 이 가군은 무게 $\lambda$ 를 갖는 단 하나의 0이 아닌 벡터 $v$ 에 의해 생성된다. 베르마 가군은 이러한 최고 무게 가군 중 하나로, 같은 최고 무게를 갖는 다른 모든 가군이 베르마 가군의 몫 가군이 된다는 점에서 '가장 큰' 가군이다.

베르마 가군은 일반적으로 무한 차원이지만, $\lambda$ 가 우세 정수 무게일 경우에는 유한 차원의 기약 몫 가군을 구성할 수 있다. 이 때문에 베르마 가군은 유한 차원 기약 표현의 분류에서 중요한 역할을 한다. 특히, 모든 우세 정수 무게가 실제로 유한 차원 기약 표현의 최고 무게로 나타난다는 최고 무게 정리의 증명에 핵심적인 도구로 사용된다.

최고 무게 $\lambda$ 를 갖는 베르마 가군 $W_\lambda$ 는 최고 무게 벡터 $v$ 로 생성된다. 이 벡터 $v$ 는 다음 조건을 만족해야 한다.

: $H\cdot v=\lambda(H)v, \quad \forall H\in\mathfrak{h}$

: $X_\alpha\cdot v=0, \quad \forall \alpha\in R^+$

가군 $W_\lambda$ 전체는 $v$ 에 내림 연산자 $Y_\alpha$ 들을 반복적으로 작용시켜 얻어지는 벡터들

: $Y_{\alpha_{i_1}}\cdots Y_{\alpha_{i_M}}\cdot v$

의 선형 결합으로 생성된다. 이 벡터들 사이의 관계는 오직 리 대수의 교환 관계에 의해서만 결정된다. 베르마 가군의 무게들은 $\lambda$ 에서 시작하여 양근들의 음이 아닌 정수 계수 선형 결합을 뺀 형태 $\mu = \lambda - \sum k_\alpha \alpha$ ( $k_\alpha \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ ) 로 나타난다. 오른쪽 그림은 $\mathfrak{sl}(3;\mathbb C)$ 의 베르마 가군에 대한 무게들을 보여준다.

푸앵카레-비르코프-위트 정리에 따르면, $W_\lambda$ 의 기저는 특정한 순서로 내림 연산자들을 적용한 형태의 벡터들로 구성될 수 있다. 예를 들어, 양근에 순서를 부여하여 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 이라 하고 해당 내림 연산자를 $Y_1, \dots, Y_n$ 이라 하면, 베르마 가군 $W_\lambda$ 의 기저는 다음과 같은 벡터들로 주어진다.

: $Y_1^{k_1}\cdots Y_n^{k_n}v$ , 여기서 $k_j$ 는 음이 아닌 정수이다.

이러한 구성 방식은 임의의 무게 $\lambda$ 에 대해 최고 무게 $\lambda$ 를 갖는 표현 $W_\lambda$ 를 제공하지만, 이 가군은 일반적으로 무한 차원이다. $\lambda$ 가 우세하고 정수인 특별한 경우에만 유한 차원의 기약 몫 가군을 얻을 수 있다.^[3]

4. 1. sl(2;C)의 베르마 가군

\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)

의 베르마 가군은 리 대수

\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)

의 표현론에서 중요한 역할을 한다. 이 리 대수는 다음과 같은 기저와 교환 관계로 표현될 수 있다.

:

\mathfrak{sl}(2;\mathbb C) = \operatorname{Span}_{\mathbb C}\{a,a^\dagger,c\}

:

[a^\dagger,a] = c

:

[a^\dagger,c] = -2a^\dagger

:

[a,c] = 2a

여기서

\mathfrak h=\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{c\}

를 카르탕 부분 대수로,

\mathfrak b=\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{c,a^\dagger\}

를 보렐 부분 대수로 잡는다.

\mathfrak h

의 무게는 하나의 복소수

\lambda\in\mathbb C

로 결정된다. 최고 무게 벡터를

|\lambda\rangle

로 표기하면, 이는 다음 조건을 만족한다.

:

c|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle

:

a|\lambda\rangle = 0

최고 무게

\lambda

를 갖는 베르마 가군

W_\lambda

는 다음과 같은 기저를 가진다.

:

W_\lambda = \operatorname{Span}_{\mathbb C} \left\{ |\lambda\rangle, a^\dagger|\lambda\rangle, (a^\dagger)^2|\lambda\rangle, \dotsc \right\} = \operatorname{Span}_{\mathbb C} \{ (a^\dagger)^n|\lambda\rangle \mid n=0, 1, 2, \dots \}

이 기저 벡터들 위에서

\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)

의 원소들은 다음과 같이 작용한다.

:

c (a^\dagger)^n|\lambda\rangle = (\lambda - 2n)(a^\dagger)^n|\lambda\rangle

:

a^\dagger (a^\dagger)^n|\lambda\rangle = (a^\dagger)^{n+1}|\lambda\rangle

:

a (a^\dagger)^n|\lambda\rangle =\begin{cases}n(\lambda - n + 1) (a^\dagger)^{n-1}|\lambda\rangle & n > 0\\0 & n = 0\end{cases}

만약

\lambda

가 음이 아닌 정수 (

\lambda \in \{0, 1, 2, \dots\}

)일 경우, 특별한 상황이 발생한다. 위 공식에 따라

n = \lambda + 1

일 때,

:

a (a^\dagger)^{\lambda+1}|\lambda\rangle = (\lambda+1)(\lambda - (\lambda+1) + 1) (a^\dagger)^{\lambda}|\lambda\rangle = (\lambda+1)(0) (a^\dagger)^{\lambda}|\lambda\rangle = 0

이 된다. 이는 벡터

(a^\dagger)^{\lambda+1}|\lambda\rangle

가

a

에 의해 0으로 보내짐을 의미하며, 이 벡터가 생성하는 부분 공간

:

V = \operatorname{Span}_{\mathbb C}\{(a^\dagger)^{\lambda+1}|\lambda\rangle,(a^\dagger)^{\lambda+2}|\lambda\rangle,\dotsc\}\subseteq W_\lambda

는

W_\lambda

의 진부분가군(proper submodule)을 형성한다. 이 부분 가군

V

에 대한 몫 가군

W_\lambda / V

를 취하면, 이는

\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)

의

\lambda+1

차원 기약 표현이 된다. 이 조건은

\lambda

가 정수 우세 무게인 경우에 해당한다.

\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)

의 베르마 가군은 다른 표준 기저

\{X, Y, H\}

를 사용해서도 설명할 수 있다.

:

X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}

이 기저에서 교환 관계는

[H, X] = 2X

,

[H, Y] = -2Y

,

[X, Y] = H

이다. 카르탕 부분 대수는

H

로 생성된다. 임의의 복소수

m \in \mathbb{C}

에 대해 무게

\lambda

를

\lambda(H) = m

으로 정의하자. 그러면 최고 무게

\lambda

(또는 간단히 최고 무게

m

)를 갖는 베르마 가군은 선형 독립인 벡터들

v_0, v_1, v_2, \dots

로 생성되며, 기저 원소의 작용은 다음과 같다.^[4]

:

H \cdot v_j = (m - 2j) v_j

:

Y \cdot v_j = v_{j+1}

(여기서

v_{-1}

은 0으로 정의)

:

X \cdot v_j = j(m - (j-1)) v_{j-1}

(여기서

X \cdot v_0 = 0

)

이 정의에서

v_0

는 최고 무게 벡터이며,

H \cdot v_0 = m v_0

이고

X \cdot v_0 = 0

을 만족한다. 벡터

v_j

는

Y^j v_0

에 (상수배를 무시하면) 해당한다.

이 구성에서

m

은 임의의 복소수일 수 있다. 하지만

m

이 음이 아닌 정수일 때,

j = m+1

을 대입하면,

:

X \cdot v_{m+1} = (m+1)(m - (m+1 - 1)) v_m = (m+1)(m - m) v_m = 0

이 된다. 이는 벡터

v_{m+1}

이 최고 무게 벡터처럼 행동함을 의미하며 (비록 무게는

m - 2(m+1) = -m-2

이지만),

v_{m+1}, v_{m+2}, \dots

가 생성하는 부분 공간은

\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)

의 작용에 대해 불변인 진부분가군을 형성한다. 이 부분가군에 대한 몫 가군은 차원이

m+1

인 유한 차원 기약 표현이 된다. 이 몫 표현의 기저는

v_0, v_1, \dots, v_m

이며, 작용은 위와 동일하지만

Y \cdot v_m = 0

이 된다는 점이 다르다.

일반적으로 베르마 가군

W_\lambda

는 유일한 극대 부분 가군을 가지며, 그 몫은 최고 무게

\lambda

를 갖는 유일한 (동형 사상까지) 기약 표현이다.^[7] 최고 무게

\lambda

가 우세하고 정수이면, 이 기약 몫은 유한 차원이다.^[8] 베르마 가군

W_\lambda

자체가 기약이 될 필요충분조건은

\lambda

가 반우세(anti-dominant)인 것이다.^[9]

\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)

의 경우, 이는 최고 무게

m

이 음이 아닌 정수가 아닐 때 해당한다.

5. 응용

베르마 가군은 특정 최고 무게 $\lambda$ 를 갖는 반단순 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 표현 중 하나로, 주어진 최고 무게를 갖는 다른 모든 최고 무게 표현은 베르마 가군의 몫이 되는 '최대성'을 가진다.^[2] 일반적으로 베르마 가군은 무한 차원이지만, 특정 조건 하에서는 유한 차원 표현을 얻는 데 중요한 역할을 한다.

특히 베르마 가군은 $\mathfrak{g}$ 의 유한 차원 표현 분류에서 핵심적인 도구로 사용된다. 최고 무게 정리의 증명 과정에서, 모든 지배적 정수 무게 $\lambda$ 가 실제로 $\mathfrak{g}$ 의 유한 차원 기약 표현의 최고 무게로 나타남을 보이는 데 베르마 가군이 활용된다. 이는 $\lambda$ 가 지배적이고 정수일 때, 무한 차원인 베르마 가군 $W_\lambda$ 의 적절한 몫을 취하여 유한 차원의 기약 표현 $V_\lambda$ 를 구성할 수 있기 때문이다.^[3] 이러한 방식으로 베르마 가군은 무한 차원 구조를 통해 유한 차원 표현의 존재와 분류를 이해하는 데 기여한다.

5. 1. 베른슈타인-겔판트-겔판트 분해 (BGG 분해)

유한 차원 기약 표현

V_\lambda

를 리 대수

\mathfrak{g}

의 최고 무게 λ라고 하자. 베르마 가군의 준동형 사상에 대한 내용에서, 바일 군 ''W''의 부르하 순서에서

w\leq w'

일 때 준동형 사상

W_{w'\cdot\lambda}\to W_{w\cdot\lambda}

가 존재함을 알 수 있다.

다음 정리는 베르마 가군을 사용하여

V_\lambda

의 분해를 설명하며, 1975년 번스타인–겔판트–겔판트에 의해 증명되었다^[12]. 이를 베른슈타인-겔판트-겔판트 분해 또는 간단히 BGG 분해라고 한다.

>

\mathfrak{g}

준동형 사상의 완전 수열이 존재한다.

> :

0\to \oplus_{w\in W,\,\, \ell(w)=n} W_{w\cdot \lambda}\to \cdots \to \oplus_{w\in W,\,\, \ell(w)=2} W_{w\cdot \lambda}\to \oplus_{w\in W,\,\, \ell(w)=1} W_{w\cdot \lambda}\to W_\lambda\to V_\lambda\to 0

> 여기서 ''n''은 바일 군 ''W''의 가장 긴 원소의 길이이고,

\ell(w)

는 원소 ''w''의 길이를 나타내며,

w\cdot \lambda

는 바일 군의 아핀 작용을 의미한다.

일반화된 베르마 가군에도 유사한 분해가 존재한다.

6. 역사

다야난드 베르마가 도입하였다.^[13]

참조

_[1] 참고
_[2] 참고
_[3] 참고
_[4] 참고
_[5] 참고
_[6] 참고
_[7] 참고
_[8] 참고
_[9] 서적 Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category 𝒪 http://www.ams.org/g[...] American Mathematical Society 2008-07-22
_[10] 논문
_[11] 논문
_[12] 논문
_[13] 저널 Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras 1968

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